分式函数值域的求法
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
分式函数值域的求法
（ 海 县 岔路 镇 初 级 中 学 ． 江 宁 海 ３ ５ ０ ） 宁 浙 １ ６ ６
摘
要 ： 数 的值 域 是 中学 数 学 的重 要 内容 。 域 的 求 法 很 多 ， 文基 于 数 学 思 想 ： 程 思想 及 数 形 结合 思想 给 出 函 值 本 方
了分 式 函 数值 域 的 两 种求 法 ． 关键 词 ： 函数 ：值 域 ：数 学 思 想
而 函数 的值域 问题 却是联 系各种 知识 点 的纽带． 函数 值域 方法很 多 ， 求 下面 基于 数学 思想 给 出求 形 如
Ｆ ： （ ） 分 式 函数值域 的两 种方法 ．
１用 方 程 思 想 求 值 域
例 １ 求 函数 ｙ ２ ６ ｃ 。 ： ： ＋ 斛 （ ≠０） 的值 域
．
解： 变形得 似 ６ ＋（ ）０ 此二 次方 程有 实数解 ， Ａ＝ ‘ ４ （＿ ＞ ， ４ （— ≤６ ． ＋ ｃ ＝， 则 ｂ 一 ０ｃ ｙ） １０ 即 ａ ｃ Ｙ） ‘
当。， ｃ ，ｙ 喾； 。 解 ≥ 或≤ ． 。时 得 ≤ 或 当 时 得 ， 竽 解 ≥ ， ｙ
（ ） Ｏ １
收 稿 日期 ：０ ８ Ｉ — ２ ２ ０ 一 １０ 作 者 简 介 ： 晓 阳 （ ９ ５ ） 男 ， 江 宁 海人 ， 海 县 岔路 镇 初 级 中 学一 级 教 师 ， 江 省 农 村 中小 学 教 师 “ 雁 工 程 ” 娄 １６ 一 ， 浙 宁 浙 领 省 级 骨 干初 中数 学 教 师班 学 员 （ 宁波 项 目 ） 。
注 ： ｇ ｘ） １时， 当 （ ＝ 函数 Ｆ ＝ （） 为 Ｆ ） （ ） （ ，因而 ｙ ａ‘ ｂ ＋ ＝ － ｘ＋ ｘ ｃ为分式 函数 的特殊 情形．
求含有分式的函数值域的几个妙招
方法集锦求函数值域问题比较常见,其中含有分式函数的值域问题较为复杂.要求含有分式的函数值域,我们需首先求出函数的定义域,尤其要考虑分式的分母不为0的情况,然后将函数式化简、变形.求含有分式的函数值域的关键在于对函数式进行合理的化简和变形.这里介绍三种求含有分式的函数值域的方法.一、采用反函数法我们知道，反函数的定义域就是原函数的值域.当含有分式的函数存在反函数时，我们可利用反函数法来解题，先求其反函数的定义域，这样便能快速求得原函数的值域.例1.求函数y=x+1x+2的值域.解：函数y=x+1x+2的反函数为x=2y-11-y，由题意知函数的定义域为y≠1，故函数y的值域为{}y|y≠1,y∈R.利用反函数法求函数值域的前提条件是原函数存在反函数.运用该方法求函数的值域较为直接、简单.二、运用判别式法判别式法一般适用于求解一元二次函数、不等式、方程问题.对于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f、y=bx+cdx2+ex+f的二次分式函数，可用判别式法求函数的值域.在解题时，需先将函数式化为关于x的一元二次方程，然后求出方程根的判别式，令其大于或等于0，解不等式即可求得函数的值域.例2.求函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域.分析：可将原函数式化为关于x的一元二次方程，然后运用二次方程根的判别式来求出原函数的值域.解：y=2(x+1)(x-2)(x2-1)=2(x-2)(x-1)=2x2-3x+2则yx2-3yx+2y-2=0，由题意知y≠0，则由Δ≥0得(-3y)2-4y(2y-2)=y2+8y≥0，解得y≤-8或y>0.所以函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域为{}y|y≤-8或y>0.三、分离常数法分离常数法主要适用于求形如f(x)=bx+cex+f、f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f的分式函数的值域.在解题时，我们需将分子配凑为分母的倍数，将函数中的整式和分式分离，然后利用基本不等式或配方法求最值.例3.求函数y=(x-1)2x2+1的值域.解：y=（x2+1)-2xx2+1=1-2xx2+1.①当x=0时，y=1.②当x≠0时，y=1-2x+1x.当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2,此时y∈[0,1)，当x<0时，由基本不等式可得x+1x≤-2,此时y∈(1,2]，综上可述，原函数值域为[0,2].解答本题，需首先将函数式变形，使整式与分式分离，然后利用基本不等式分别讨论当x>0和x<0时函数式的值域，进而求得函数的值域.求含有分式的函数值域的方法有很多，除了以上三种方法，还有换元法、一一映射法、单调性法等.对于求含有分式的函数值域问题，我们需重点关注函数的定义域和函数的解析式，需在确定函数的定义域和将函数式变形后选择合适的方法来解题.（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法【最新版】目录1.引言2.分式函数的定义和基本性质3.三种值域求法a.直接解法b.反函数法c.数形结合法4.结论5.示例正文一、引言分式函数是初等函数中的一种重要类型，它在实际问题中有广泛的应用。
求解分式函数的值域是研究分式函数特性的关键，本文将介绍三种求值域的方法。
二、分式函数的定义和基本性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。
分式函数的基本性质包括：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
三、三种值域求法1.直接解法对于简单的分式函数，可以直接通过解方程或不等式求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+1)/(x-1)，我们可以通过解不等式|x+1|≠0 得到 x≠-1，从而得到函数的定义域，进而求得值域为 R-{1}。
2.反函数法对于复杂的分式函数，可以通过求反函数的方法求得值域。
首先求出原函数的反函数，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们可以求得它的反函数为f^-1(x)=sqrt(x^2+1)-1/x，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。
3.数形结合法对于含有参数的分式函数，可以通过数形结合的方法求得值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+a)/(x^2+a^2)，我们可以通过观察函数的图像，发现函数的值域为 (-∞,-|a|]∪[|a|，+∞)。
四、结论分式函数的值域求法是研究分式函数特性的重要手段，三种方法各有特点，需要根据具体问题灵活运用。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
分式函数值域的求法
分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。
今天我们主要讨论分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。
一、若21a a ，同时为零，则函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
例１ 求函数312+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：解法２：（求反函数法）函数 312+-=x x y 的反函数为132x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。
二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
例２ 求函数2312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---==x x x x f y 。
约分后函数变为21)(-=x x g 。
所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。
例３求函数2652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。
分式函数求值域
分式函数求值域分式函数是指函数的表达式为两个多项式的比值的形式。
求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
本文将以分式函数求值域为主题，探讨分式函数求值域的相关概念、性质和计算方法。
一、分式函数求值域的概念分式函数的求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求值域可以是一个实数集、一个有限区间或无限区间。
求值域与定义域有密切的关系，定义域的不同可能导致求值域的变化。
1. 分式函数的求值域可能是一个实数集。
例如，对于函数f(x) = 1/x，当定义域为实数集R-{0}时，求值域也是实数集R-{0}。
2. 分式函数的求值域可能是一个有限区间。
例如，对于函数g(x) = (x-1)/(x+1)，当定义域为实数集R时，求值域是(-∞,1)∪(1,+∞)。
3. 分式函数的求值域可能是一个无限区间。
例如，对于函数h(x) = 1/x^2，当定义域为实数集R-{0}时，求值域是(0,+∞)。
三、分式函数求值域的计算方法1. 分式函数求值域的计算方法与一般函数的求值域计算方法相似。
首先确定函数的定义域，然后通过分析函数的特点和性质来确定求值域的范围。
2. 对于一般的分式函数，可以通过求导数、分析函数的极值点、奇偶性、增减性等方法来确定求值域的范围。
3. 对于一些特殊的分式函数，可以通过化简、变形、图像分析等方法来确定求值域的范围。
四、分式函数求值域的例题分析1. 求函数f(x) = (2x+1)/(x-3)的求值域。
首先确定定义域为R-{3}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于负无穷。
因此，求值域为R-{0}。
2. 求函数g(x) = (x^2+1)/(x^2-1)的求值域。
首先确定定义域为R-{1,-1}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于1；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于1。
因此，求值域为(-∞,1)∪(1,+∞)。
小班专题分式函数值域求法
专题：分式函数值域求法数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具． 首先我们给出分式函数的定义：形如()()()p x f x q x =的函数叫做分式函数，其中)(x p 、()q x 是既约整式且()q x 的次数不低于一次．下面就)(x p 、()q x 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．1、一次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如(),,0ax b f x x A c cx d+=∈≠+的函数． （2）求法：一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成1()x f y -=，由于x A ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．例1、求函数232x y x +=-，[]3,8x ∈的值域． 解：改写成232y x y +=-，因为[]3,8x ∈，所以23382y y +≤≤-， 解得1996y ≤≤，即原函数的值域是19,96⎡⎤⎢⎥⎣⎦．２、二次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数， 即形如22(),,ax bx c f x x A a d dx ex f++=∈++、不全为零的函数． （2）解法：若A=2|0x dx ex f ++≠｛｝，则可采用根的判别式法求值域．例2、求函数224544x x y x x ++=++的值域． 解：化为关于x 的方程2(1)4(1)450y x y x y -+-+-=．若1y =，则方程无解，即1y ≠．因为R x ∈，所以0∆≥，解得1y ≥，即原函数的值域是（1,+∞）。
若A 2|0x dx ex f ++≠｛｝，则再分类讨论。
2.1．（1）定义：形如2()c f x dx ex f=++，,0x A d ∈≠且0c ≠的函数． （2）解法：先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数()f x 的值域．例3、求函数21(),[3,5]23f x x x x =∈---的值域． 解：令[)(]22()23(1)4,3,33,5g x x x x x =--=--∈-⋃，则[)(]()4,00,12g x =-⋃，所以函数()f x 的值域是11(,][,)412-∞-⋃+∞．2.2．（1）定义：形如2()bx c f x dx ex f+=++，,0x A d ∈≠且0b ≠ (*) 或2()ax bx c f x ex f++=+，,0x A a ∈≠且0e ≠的分式函数． （2）解法：下面就形式(*)讨论解法．≠ ⊂2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以x ，得()f x ＝b f dx e x++． 只要讨论函数(),f g x dx x A x=+∈且0x ≠的值域． 不妨设0d >．若0f <，则函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别是增函数；若0f >，则函数()g x在和[上分别是减函数，在)+∞和(,-∞上分别是增函数．这样利用函数()g x 的单调性，先求出()g x 的值域，从而求出函数()f x 的值域．例4、求函数2(),[1,)24x f x x x x =∈+∞++的值域． 解：1(),142f x x x x=≥++．令4(),1g x x x x =+≥，则()4g x ≥， 所以函数()f x 的值域是1(0,]6．2.2.2．若0c ≠，则换元，令t bx c =+，转化为２.２.1．形式的分式函数．例5、求函数21(),(1,1)(1,3)23x f x x x x +=∈-⋃+-的值域． 解：令1t x =+，则21,(0,2)(2,4)44t y t t t t==∈⋃--． 因为4(,0)(0,3)t t -∈-∞⋃，所以函数()f x 的值域是1(,0)(,)3-∞⋃+∞．2.3．（1）定义：形如22(),,0ax bx c f x x A a dx ex f++=∈≠++且0d ≠的分式函数． （2）解法：2.3.1．若0b c ==或0e f ==，则分子分母同除以2x ，转化为求关于1x的二次函数的值域，从而求出函数()f x 的值域．例6、求函数221(),[,1]413x f x x x x =∈-+的值域． 解：22111(),[1,3]1411(2)3f x xx x x==∈-+--．因为函数 211()(2)3,[1,3]g x x x =--∈的值域是[3,2]--，所以函数()f x 的值域是11[,]23--．2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设22()(),,0a x m f x x A a dx ex f+=∈≠++且0d ≠，则可令t x m =+，转化为2.3.1形式的分式函数．例7、求函数2244(),[1,0]45x x f x x x x ++=∈-++的值域． 解：令2t x =+，则222111,[,1]1121t y t t t==∈++．因为2151[,2]4t +∈， 所以函数()f x 的值域是14[,]25．2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即：2()()ae af b x c a d d f x d dx ex f-+-=+++，转化为2.2形式的分式函数． 例8、求函数2245(),[0,2]43x x f x x x x ++=∈++的值域． 解：2222()11,[0,2]43(2)1f x x x x x =+=+∈+++-，所以函数()f x 的值域是175[,]153．。
分式形式函数值域
新泰一中 闫辉
一：只在分母中含有变量的 例1 分析：求值域之前要考虑函数的定义域。只在分母上含有变量，可先求 分母部分函数的取值范围，再利用整体代换的思想求反比例函数的值 域。 解：函数的定义域为 又 令，则且 从而，且 由的图像知，当且时， 所以原函数的值域为 二：分子分母中都有变量，且变量同次幂，分离常数 例2 分析：将分子转化成分母的形式，注意变量形式。再利用例1的方法。 解：函数定义域为 = 令，则 由的图像可知，当时， ，从而 所以原函数的值域为 三：分子分母都有变量，且变量不同次幂，将高次幂转化成低次幂的形 式 例3 解：函数的定义域为 令， 则， 由对号函数性质知 当时，（当且仅当时等号成立） 当时，（当且仅当时等号成立） 所以，或 从而原函数的值域为 例4 解：函数定义域为 时， 时，
令且 由例3可知 所以 综上， 注：以上仅是求分式函数值域的一些方法，还有待进一步完善，希望大 家批评指正
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法分式函数是指由多项式函数构成的有理函数。
它包含了一个或多个分子和一个分母，其中分子和分母可以是多项式。
分式函数在数学和实际问题中的应用广泛，了解如何求解分式函数的值域对于我们理解和解决问题至关重要。
在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来求解分式函数的值域，它们分别是图像法、限制法和分解法。
这些方法各有特点，可以帮助我们更加全面地了解和解决分式函数的问题。
让我们来学习图像法。
图像法是通过绘制分式函数的图像来确定其值域的一种方法。
我们可以根据分式函数的定义域和其在定义域内的行为来判断其值域。
具体来说，我们可以观察分式函数的图像是否有水平渐近线、垂直渐近线或者有界。
水平渐近线表示分式函数在无穷远处趋于某个值，垂直渐近线表示分式函数在某个点处的值趋于无穷大或无穷小，而有界表示分式函数在某个区间内的值处于有限范围内。
通过观察这些特征，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习限制法。
限制法是通过限制分式函数的变量取值范围来确定其值域的一种方法。
对于分式函数，我们通常会限制其变量的取值范围，避免分母为零或分式函数没有定义的情况。
通过解决限制条件，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习分解法。
分解法是通过将分式函数拆分成更简单的形式来确定其值域的一种方法。
我们可以将分式函数进行因式分解，得到其最简形式。
在分解过程中，我们可能会发现一些因子可以抵消，使得分式函数的值域更加清晰和简单。
通过分解分式函数，我们可以更好地理解其值域。
通过以上三种方法，我们可以综合考虑分式函数的图像、限制条件和分解形式，来确定其值域。
对于每个具体的问题，我们可以根据实际情况选择最适合的方法来求解。
对于分式函数三种值域求解法的个人看法，我认为每种方法都有其独特的优势和适用场景。
图像法可以将抽象的数学概念通过图像的形式呈现出来，直观易懂，适合直观思维的人。
限制法可以通过限制变量的取值范围，直接对分式函数的值域进行约束，适合求解特定范围内的问题。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法摘要：一、引言二、分式函数的定义与性质三、求解分式函数的值域的方法1.代数法2.图像法3.反函数法四、总结正文：一、引言分式函数在数学中是一种常见的函数类型，它由分子和分母组成，分母不能为零。
求解分式函数的值域是数学中的一个基本问题，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍三种求解分式函数值域的方法。
二、分式函数的定义与性质分式函数的一般形式为：f(x) = (分子)/(分母)，其中分母不能为零。
分式函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
三、求解分式函数的值域的方法1.代数法代数法是通过求解分式函数的导数为零的点，来确定函数的极值点和拐点，从而确定函数的值域。
具体步骤如下：- 求导数：对分式函数进行求导，得到f"(x) = (分子" * 分母) / (分母)^2- 求导数为零的点：令f"(x) = 0，解得x = -分子" / 分母- 分析导数为零的点：如果分母不为零，则x = -分子" / 分母是函数的极值点；如果分母为零，则需要通过其他方法来确定函数的极值点。
2.图像法图像法是通过观察分式函数的图像，来确定函数的值域。
具体步骤如下：- 画出函数的图像：根据函数的表达式，画出函数的图像。
- 观察图像：观察函数的图像，确定函数的单调区间和极值点。
- 确定值域：根据函数的单调区间和极值点，确定函数的值域。
3.反函数法反函数法是通过求解分式函数的反函数，来确定函数的值域。
具体步骤如下：- 求解反函数：对分式函数进行变形，得到反函数。
- 分析反函数的值域：根据反函数的定义，确定反函数的值域。
- 确定原函数的值域：根据反函数的值域，确定原函数的值域。
四、总结本文介绍了求解分式函数的值域的三种方法：代数法、图像法和反函数法。
分式型值域
分式型值域【学习目标】1．了解分式型值域问题的适用范围，掌握解决分式型值域问题的方法；2．会针对不同情况选择合适的方法求分式型值域．【学习重难点】1．在函数综合性问题中识别出分式型值域问题，并利用合适的方法求解；2．注意讨论分子/分母为0的特殊情况．【知识精讲】1．ax by cx d+=+（一次比一次）的值域 （1）分离常数法先将分式分离常数，再根据反比例函数图像求出值域． 例如：求212x y x +=-的值域．()2152152222x x y x x x -++===+---， 根据图像求得()()5,00,2x ∈-∞+∞-U ，因此原函数值域为()(),22,-∞+∞U ． （2）秒杀法ax b d y x cx d c +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭值域为|a y y c ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或写作,,a a c c ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； ax b y cx d+=+，(),x p q ∈值域为()()(),f p f q 或()()(),f q f p （由()f p ，()f q 大小决定）．2．2ax bx cy mx n ++=+和2mx n y ax bx c+=++（二次比一次/一次比二次）的值域（1）求2ax bx cy mx n ++=+型值域可通过凑配法或大除法，转化为1x x+型函数（对勾函数）或1x x-型函数的值域问题． 例如：求2241x x y x ++=+值域．311y x x =+++，设()10t x t =+≠，则函数转化为3y t t=+，根据对勾函数图像，原函数的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ． （2）求2mx ny ax bx c+=++的值域可通过取倒数转化为（1），注意要加上0y =的情况．例如：求2124x y x x +=++的值域．①1x ≠-时，211324111y x x x x x ==++++++，由于()31,1x x ⎡++∈-∞-+∞⎣+U，66y ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； ②1x =-时，0y =．综上原函数值域为66⎡⎢⎣⎦．（3）万能∆法将函数转化为关于x 的一元二次方程，再通过0∆≥来计算y 的取值范围． 例如：求2124x y x x +=++的值域．函数可化为()221410yx y x y +-+-=，0y =时，1x =-；0y ≠时，()()2=214410y y y ∆---≥，解得y ≤≤，故原函数值域为⎡⎢⎣⎦．注：该方法不适用于分式函数可约分的情况．3．22ax bx cy mx nx p ++=++（二次比二次）（1）通过分离常数法转化为2mx ny ax bx c+=++型函数值域的问题．（2）万能△法，步骤与2中相同．【经典例题】例1. 求下列函数值域（1）323x y x +=- （2）224x y x +=-（3）4526x y x +=-，()1,2x ∈【答案】（1）{}|3y y ≠（2）1|2y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（3）139,24y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】（1）直接利用秒杀法写结果；（2）直接利用秒杀法写结果； （3）()914f =-，()1322f =-，因此原函数值域为139,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【总结】一次比一次型值域问题可以直接使用秒杀法解决．【变式】 求下列函数值域（1）sin 22sin x y x +=-（2）3sin 32cos 10x y x -=+（3）221xx y =+【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）()0,1【解析】（1）设sin t x =，则原函数转化为22t y t+=-，[]1,1t ∈-，代入1t =和1t =-可得原函数值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()3sin 33sin 12cos 102cos 5x x y x x --==⋅+--，可看作点()cos ,sin x x 和()5,1-连线斜率k 的32倍，由于()cos ,sin x x 在单位圆221x y +=上，当过定点()5,1-的直线与单位圆相切时k 取最值，联立()22115x y y k x ⎧+=⎪⎨-=+⎪⎩，由0∆>可解得5,012k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故原函数值域为5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）设2x t =，则原函数化为1ty t =+，()0,t ∈+∞，可化为111y t =-+，根据反比例函数图像可得原函数值域为()0,1．例2. 2019郑州二模高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大A.,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(]0,2C.{}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】C【解析】设2x t =，则()312t f x t +=+，()0,t ∈+∞，可化为()512221f x t =++，根据反比例函数图像可得原函数值域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()y f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1,2． 故选：C ．【总结】要从综合性问题中识别出分式函数值域问题，再通过换元法转化为一次比一次型值域，求值域时注意换元后定义域的变化．例3. 求下列函数值域（1）231x x y x++=（2）2231x x y x ++=+（3）[]236,1,12x x y x x-+=∈--【答案】（1）(][),15,-∞+∞U （2）(),⎡-∞-+∞⎣U （3）[]3,4【解析】（1）函数可化为13y x x =++，由于1y x x=+（对勾函数）的值域为(][),22,-∞-+∞U ，故原函数值域为(][),15,-∞+∞U ；（2）设1t x =+，函数可化为222t y t t t+==+，其值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，故原函数值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ；（3）设2t x =-，[]1,3t ∈，则函数可化为244=1t t y t t t-+=+-，[]1,3t ∈，根据对勾函数图像可得原函数值域为[]3,4．【总结】二次比一次型值域问题可以转化为对勾函数值域问题解决，或转化为关于x 的一元二次方程，再根据0∆≥计算y 的取值范围．求下列函数值域 （1）2y（2）321x x y x -+=-【答案】（1）5,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦（2）{}|1y y ≠-【解析】（1）设t =[)2,t ∈+∞，则函数可化为211t y t t t+==+，[)2,t ∈+∞，根据对勾函数图像可得原函数值域为5,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．（2）函数定义域为{}|1x x ≠，因此函数可化为2y x =-()1x ≠，值域为{}|1y y ≠-．注：该题目采用万能∆法求解会得到错解y ∈R ，因为忽略了定义域{}|1x x ≠．例4. 求下列函数值域（1）21xy x =+ （2）234xy x =+（3）()21,1,33x y x x x +=∈-+∞++ 【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）10,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（1）0x =时，0y =；0x ≠时函数可化为11y x x=+，由于1y x x=+（对勾函数）的值域为(][),22,-∞-+∞U ，此时值域为11,00,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ；综上原函数值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）函数可化为关于x 的一元二次方程2340yx x y -+=，0y =时，0x =；0y ≠时，29160y ∆=-≥，解得3344y -≤≤；综上原函数值域为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）设1t x =+，()0,t ∈+∞，则函数可化为21=111t y t t t t=++++，()0,t ∈+∞，由于11t t ++在()0,t ∈+∞的取值范围是[)3,+∞，则原函数的值域为10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【总结】一次比二次型值域问题中分母可转化为对勾函数的值域问题，需要注意讨论分子为0的情况；另可化为关于x 的一元二次方程，再根据0∆≥计算y 的取值范围．求下列函数值域（1）241x y x =+（2）2cos 2sin 3cos 4x y x x -=+- 【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）3,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）设2t x =，[)0,t ∈+∞，0t ≠时函数可化为2111t y t tt ==++，由于1t t +在()0,t ∈+∞时的取值范围是[)2,+∞， 原函数值域为10,2⎛⎤⎥⎝⎦；0t =时，0y =；综上，原函数值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）cos t x =，[]1,1t ∈-，函数可化为22221113433212t t y t t t t t t --===-+--+-⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭[]1,1t ∈-， 因为[]23,1t -∈--，由对勾函数图像可得1721,123t t ⎡⎤-++∈--⎢⎥-⎣⎦， 故原函数值域为3,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例5. 2019辽宁二模当1x >时，不等式211x x a x -+≤-有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞B.[)2,+∞C.[)3,+∞D.(],3-∞【答案】C【解析】设()211x x f x x -+=-，函数可化为()()1111111f x x x x x x =+=-++>--， 根据对勾函数图像可得()f x 值域为[)3,+∞，若不等式211x x a x -+≤-有解，必有 3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞，故选：C ．【总结】题目表面是根据不等式求参数范围，但其本质依然是分式函数的求值域问题．例6. 已知()28721442x f x x x ++=++，求()f x 的值域．【答案】[]1,4-【解析】()()()2242138721442211x x f x x x x ++++==++++， 故()2431x f x x +=+，设()2431x y f x x +==+，转化为2430yx x y -+-=，0y =时，34x =-；0y ≠时，()16430y y ∆=--≥，解得14y -≤≤；综上()f x 的值域为[]1,4-．【总结】先利用配凑法求出函数的解析式，再用一次比二次型值域求解．例7. 求下列函数值域（1）()2211x y x +=+ （2）22222x x y x x -+=++（3）222311x x y x x ++=++【答案】（1）[]0,2（2）5,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）1⎡+⎢⎣ 【解析】（1）函数可化为关于x 的一元二次方程()21210y x x y --+-=，1y =时，1x =；1y ≠时，()24410y ∆=--≥，解得02y ≤≤； 综上原函数值域为[]0,2；（2）函数可化为关于x 的一元二次方程()()()221210y x y x y -+++-=， 2y =时，23x =-；2y ≠时，()()()218210y y y ∆=+---≥，解得537y ≤≤；综上原函数值域为5,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）函数可化为关于x 的一元二次方程()()22310y x y x y -+-+-=，2y =时，1x =；2y ≠时，()()()234210y y y ∆=----≥，解得11y ≤+综上原函数值域为1⎡⎢⎣． 【总结】二次比二次值域问题，可使用万能∆法解决，需要注意讨论二次项系数为0的情况．例8. 不等式22222311x x a x x -+>--+对于任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是__________【答案】⎡⎣【解析】()222231x x f x x x -+=-+，根据万能∆法可求出其值域为102,3⎛⎤⎥⎝⎦，不等式22222311x x a x x -+>--+对于任意实数x 成立，则必有212a -≤，解得a ⎡∈⎣，故答案为：a ⎡∈⎣．【总结】“对于任意实数恒成立”这类条件，关键在于获取边界条件；本题通过二次比二次型值域问题，求出222231x x x x -+-+的最小值为3，想要让不等式恒成立，则需要使得21a -“比最小值的还小”，据此列式解出a 的取值范围．【变式】已知函数2281mx x ny x ++=+定义域为R ，值域[]1,9，求m ，n ．【答案】5m =，5n =【解析】将函数转换为()280y m x x y n --+-=，y m ≠时，()()6440y m y n ∆=---≥，化简得()()16y m y n --≤，1，9是方程()()16y m y n --=的两个根，代入解得5m n ==； y m =时，5m n ==满足题意；故5m =，5n =．【课后练习】1.求函数213x y x +=-的值域．2.设函数()22ax bf x x +=+ 的值域为[]1,4-，求a 、b 的值．3.求函数的值域221223x x y x x -+=-+．【课后练习答案】1．【答案】{}|2y y ≠【解析】使用秒杀法直接得到原函数值域为{}|2y y ≠．2．【答案】a =±6b =【解析】令()22ax b y f x x +==+即220yx ax y b -+-=， 方程有根，可得()2420a y y b ∆=--≥即22840y by a --≤，函数的值域为[]1,4-，所以1-和4是方程22840y by a --=的两根，由韦达定理得a =±6b =．3．【答案】31,102⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】原函数可化为()()22121310y x y x y ---+-=，12y =时，方程无解； 12y ≠时，()()()221421310y y y ∆=----≥， 整理得2201630y y -+≤，解得31102y ≤<，故原函数的值域为31,102⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
求解函数值域的三种典型方法
Җ㊀山东㊀马建国㊀㊀求解函数值域是函数学习的一个关键环节,正确求解值域对函数的运用和计算都十分重要,如果值域的求解错误,运用过程可能会受到阻碍．因此,在教学中应注重函数值域求解方法的选择,化繁为简,提高解题效率．本文从求解函数值域的三种典型方法着手进行研究．１㊀换元法换元法是指将函数中某个式子看成一个整体,用一个变量去替换它,从而将问题进行简化．在运用换元法求函数值域的过程中,通常是将复杂的复合函数进行换元,然后根据新函数的定义域对函数值域进行求解．例１㊀已知函数y＝x２＋x２－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x２－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件得出原函数的值域．解㊀令x２－１＝t,则x２＝t２＋１,所以y＝t２＋t＋１．又因为tȡ０,所以y＝t２＋t＋１＝(t＋１２)２＋３４ȡ１,则函数y＝x２＋x２－１的值域是[１,＋ɕ)．例２㊀已知函数y＝２x－x－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件,得出原函数的值域．解㊀因为x－１＝t,x＝t２＋１,所以y＝２(t２＋１)－t＝２(t－１４)２＋１５８．又因为tȡ０,所以yȡ１５８,则函数y＝２x＋x－１的值域是[１５８,＋ɕ)．２㊀判别式法判别式法是在一元二次方程中,判断方程有没有根以及有几个根的方法．当b２－４a c＜０时,方程无实根;当b２－４a c＝０时,方程有两个相等的实根;当b２－４a c＞０时,方程有两个不相等的实根．在利用判别式法求值域的过程中,首先要构造出一个一元二次方程(将y看作常数),利用判别式Δȡ０,求得函数的值域．例３㊀已知函数y＝２x１＋x２,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知目标函数是分母为一元二次函数的分式函数,因此先将函数变形为一元二次方程,即y x２－２x＋y＝０,然后根据y＝０和yʂ０的情况进行分析,同时利用判别式法对一元二次方程的根进行判断,从而可以得出函数的值域．解㊀因为y＝２x１＋x２,所以y(１＋x２)＝２x,即y x２－２x＋y＝０．当y＝０时,－２x＝０,则x＝０．当yʂ０时,根据Δ＝４－４y２ȡ０,得－１ɤyɤ１．综上所述,函数y＝２x１＋x２的值域是[－１,１]．例４㊀已知函数y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,求解该函数的值域．分析㊀已知函数是分子㊁分母均为一元二次函数的分式函数,可以利用判别式法进行值域求解,先将函数变形为一元二次方程,即(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１,再根据y－３＝０和y－３ʂ０的情况分析,从而得出函数的值域．解㊀因为y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,所以(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１＝０．当y－３＝０时,y＝３,３－１＝０不存在．当y－３ʂ０时,则Δ＝(y－３)２－４(y－３)(y－１)ȡ０,１３ɤy＜３．综上所述,y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１的值域是[１３,３)．３㊀分类讨论法分类讨论法指的是在求解一类问题时,有时会遇到多种情况,无法用同一种方法去解决,需要分类进行讨论,最后再归纳总结得出最终结论．求解函数值域４的分类讨论法通常是用在分段函数求值域或者是含绝对值函数求值域,其主要思路是分别根据定义域分类进行值域求解,最终再汇总结果．例５㊀已知函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知函数带有绝对值符号,首先考虑去绝对值符号,从而发现分段区间函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,将函数的定义域求出后,分别代入函数式,就可以得出原函数的值域．解㊀该函数的定义域可分为x ɤ－１,－１＜x ɤ２,x ＞２．在定义域内的函数表达式为y ＝－２x ＋１,x ɤ－１,３,－１＜x ɤ２,２x －１,x ＞２．ìîíïïïï当x ɤ－１时,y ＝－２x ＋１ȡ３;当－１＜x ɤ２时,y ＝３;当x ＞２时,y ＝２x －１＞３．综上所述,函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|的值域是[３,＋ɕ)．例６㊀已知函数y ＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０,{求解该函数的值域．分析㊀观察已知函数,分段区间内函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,求得x 的取值范围,再代入函数式,就可以得出函数值域．解㊀令x １＝２,则y １＝－１,令x ２＝－２,则y ２＝－１．当０＜x ＜５时,x ２－４x ＋３的值域为[－１,８);当－３ɤx ɤ０时,x ２＋４x ＋３的值域为[－１,３]．综上所述,y＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０{的值域为[－１,８)．换元法㊁判别式法㊁分类讨论法是函数求值域中典型的三种方法,使用这三种方法时,应注意换元后表达式的等价变形㊁判别式的正确使用㊁分段函数的定义域划分等．这三种方法是值域求解的重要方法,应该要求学生要对方法熟练掌握㊁融会贯通．(作者单位:山东临沂高新区高级中学)Җ㊀湖南㊀蒋迎芳㊀㊀高考对集合问题的考查多与函数㊁不等式进行交会,问题难度不大,只要准确理解集合的关系及运算即可． 集合 是高中生学习的第一个数学知识,为什么把它放在第一章?因为集合是学习其他模块的基础,与其他知识具有紧密的联系．下面谈一谈笔者的几点感悟,供读者参考．１㊀集合的关系和运算丰富了其他问题的求解视角１)集合之间的关系包括子集㊁真子集㊁相等．２)集合之间的运算包括交㊁并㊁补．集合的关系和运算可应用到其他知识的学习或问题的求解中．例如,集合的关系和运算与充分㊁必要条件之间的关系:若A 是B 的子集,即A ⊆B ,则A 是B 的充分条件;若A ＝B ,则A 与B 互为充要条件;若A ɘB ＝∅,则A ,B 之间既不是充分条件,也不是必要条件．再如,集合的关系和运算与概率之间的关系:若A ,B 为互斥事件,则A ɘB ＝∅;若A ,B 为对立事件,则A ɘB ＝∅,且B ＝∁U A ;事件A ,B 至少有一个发生,记为A ɣB ,称为A,B 的和事件;事件A ,B同时发生,记为A ɘB ,称为A ,B 的积事件．例１㊀某高校数学学院举行２０２０届毕业典礼,主席台上有并排的六个座位,出席典礼的甲㊁乙㊁丙等六位院系的教师可随意就座,则甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的概率为．设U ＝{六位教师任意就座的所有情况},A ＝{甲㊁丙两位教师的座位相邻的情况},B ＝{乙㊁丙两位教师的座位相邻的情况},则A ɘB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲或乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的情况}．本题即求P (A ɣB ),而P (A ɣB )＝１－P (A ɣB ),故只需求P (A ɣB )．因为P (A ɣB )＝P (A )＋P (B )－P (A ɘB ),而５。
常见分式函数值域的求法
题型!形如 ?& :'h!:) B,$:B?":+A"!*% 且 ,*% 的函数%
例
)
求函数
?& :'
h$ :) j):j(
":+#
j(
"9
$
的值域%
解!令 %& :'h:) j):j( h& :j$') j3":+# j("9$ "则 %& :' h
#
j3"$)$ "所以函数
?& :' 的值域是&
时为 %"$"?不同时为 %%
例
1
求函数
?& :'
h):) B:j$ :) j:B$
":+#
)
"(
$
的值域%
解!原函数等价转化为
Bh)
B(:j( :) j:B$
":+#)"(
$
"令
4h:j$"
则
Bh)
B (4 4) B4B$
h)B ( 4B$
"4+#$")$ "由此可得函数 B$
?& :' 的值
4
域是# )% "($ % 1
例
9
求函数
?& :'
h :) :) j3:B$
":+#
$ (
"$$ 的值域%
解!?& :'h $ h
$ :)
j3:B$
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
分式函数求值域
分式型函数供值域的要领探讨之阳早格格创做正在教教中，笔者时常逢到一类函数供值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，两次式比一次式，一次式比两次式，两次式比两次，当前对付那类问题举止探讨.一、形如d cx bax x f ++=)((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）正在定义域内供值域. 例1：供2312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域. 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}⎩⎨⎧≠32/y y普遍性论断，d cx bax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域}⎩⎨⎧≠c a y y /例2：供2312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域.分解：由于此类函数图像不妨通过反比列函数图像仄移得出，所以办理正在给定区间内的值域问题，咱们不妨绘出函数图像，供出其值域.解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由xy 31-=背左仄移32，进与仄移32得出，通过图像瞅察，其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛85,53小结：函数闭系式是一次式比一次式的时间，咱们收当前此类函数的真量是反比率函数通过通常得出的，果此咱们不妨做出其图像，去供函数的值域.二、形如供xa x x f +=)(（)0≠a 的值域.分解：此类函数中，当0<a ，函数为单调函数，较简朴，正在此咱们没有干计划，当0>a 时， 对付函数供导，,1)(2'xa x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈⋃+∞,a ），0)('<x f 时，),0()0,(a a x ⋃-∈，根据函数单调性，咱们不妨干出此类函数的大概图像，其咱们常道的单勾函数，通过图像供出其值域.例3)上递三、用），nmx c bx ax x f +++=2)(（0,0≠≠a m ）正在定义内供值域的问题.例3：（2010沉庆文数）已知0t >，则则函数241t t y t-+=的最小值为_______.解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基原没有等式天2-≥y例4:供)1(21)(2>++-=x x x x x f 的值域.解：令,1,1+==-t x t x 则则2)1()1()(2++++=t t tx f =341432++=++t t t t t，其中t .0>则由基原没有等式得71)(≤x f例5:供)21(12224)(2->+++=x x x x x f 的值域.解：令,12+=x t 则21-=t x ，t t t x f 2)21(2214)(2+-+⎪⎭⎫⎝⎛-==t t t 22+-=12-+t t，其中0>t ，由基原式得122)(-≥x f小结：对付于此类问题，咱们普遍换元整治后，将函数形成)0()(>+=a x ax x f 那典型的函数，办理此类函数注意应用基原没有等式，当基原没有等式没有成的时间，注意应用单勾函数的思维去办理此类问题三、形如)0,0()(22≠≠++++=m a c bx mx c bx ax x f 正在定义域内供值域.例5：供11222++++=x x x x y 的值域. 分解：当定义域为R 时，咱们采与判别式法供此类函数的值域.当定义域没有为R 时，没有该采与此法，可则有大概堕落.此时，咱们要根据函数闭系的特性，采与其余要领. 解：012>++x x恒恒创造，所以此函数的定义域为R x ∈，将函数整治成闭于x 的圆程，1222++=++x x y yx yx ，,0)1()1()2(2=-+-+-y x y x y 当,02≠-y 闭于x的圆程恒有解，则)1)(2(4)1(2----=∆y y y ,0≥即371≤≤y ，隐然，2=y 也创造，所以其值域为{}371/≤≤y y以上是供此类函数的罕睹要领，但是共教们正在解题历程中.没有要拘泥以上要领，咱们要根据简直函数的特性采与相对付应的要领，多思索，闻一知十，那以去办理此类问题便很简单了.。
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式函数y = a 1x 2+b 1x +c
1 的值域 a x 2
+ b x + c 函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。
今天我们主要讨论分式函数y = a 1x +b 1x +c 1 的值域求法。
a x 2 +
b x + c
一、若a 1，a 2同时为零，则函数y = a 1x +b 1x +c 1 就变为形如y = b 1x + c 1(b 2，b 2
1 2 a x 2 + b x + c b x + c 2 2
不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
2x - 1 例１ 求函数 y = 2x -1 的值域 x +3
解法１：（分离常数法）
所以，该函数的值域为 y （-，2）（2，+ ）：
解法２：（求反函数法）
2x -1
1- 3x 函数 y = 2x -1的反函数为y = 1 - 3x 所以 原函数值域为y y y 2（即反函数 x +3 x -2 定义域为原函数值域）。
二、若a 1，a 2不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
如果不约 分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
x - 1 例２ 求函数 y = x - 1 的值域 x 2
-3x + 2
所以 g (x ) 0
约分后函数g （x ）的定义域扩大了（严格来说g （x ）与原函数 f （x ）不是同一个函数，但
在不引起混淆的情况下也可直接约分）， g （x ）在１处所对应的函数值-1，也是f （x ）不能
x - 1
取到的值，所以函数y = x
-1 的值域是（- ，-１）（-１,０）（０，+ ）。
x 2
-3x + 2 x 2
- 5 x + 6
例３求函数y = x -5x +6的值域 x -2
利用恒等变形可化为： 2(x +3) -7 7
x +3 x +3
解： 可先将函数变为y = f （x ）= x - 1 (x - 1)(x - 2) 约分后函数变为 g （ x ） = 1 x -2
三、若a 1，a 2不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数 法、基本不等式法求函数的值域。
x - x 例４ 函数 y = x -x 的值域． x -x +1
解法 1：（判别式法）
x - x 将 y = x - x 转化为关于x 的一元二次方程（ y 看作参数）： x -x +1
(y -1)x -(y -1)x + y =0
（这是一个必有解的方程。
讨论使上方程有解的参数 y 的范围，恰为函数 y =
x -x +1 的值
域）
①若y =1，则1=0矛盾
②由 y 1 ，这时由 0 解得 - y 1且y 1； y =- 时， x = 。
∴综上所述知原函数的值域为［-1,1）．
3
解法 2：（分离常数法） 13 3 设g （x ）=（x -1）2 + 3，则g （x ）的值域是［3,+） 所以，原函
数值域为［-1,1）。
3
x 2 +2x +2
例5：函数 y = x +x 2+x 1+2的值域 x 2 +2x +2
1 解：（基本不等式法）因为y = x +2x +2＝x +1+1 x + 1 x + 1
当x -1时，x +10， 1 0， y 2当且仅当x = 0时等号成立； x +1 当x -1时，x +10， 1 0， y -2当且仅当x = -2时等号成立。
x +1
所以函数的值域为（-
,-2］U ［2,+）。
x - 1 例 6：求函数 y = x - 1
的值域 x 2
+x -2 解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，
x - 1 也可直接用判别式法来求。
将y = x -1 转化为关于x 的一元二次方程； x 2 +x -2 解： 函数可变形为 y = (x -x 2)-(x 2-3) = x - 3 ，所以该函数的值域是 y y y -1。
x 2 - x y =
x 2x --x x +1＝1 1 ＝1 - 1 x -x +1 (x -1)2 +3
yx +(y-1)x+1-2y =0
当y = 0 时，x = 1不在函数定义域内；
当y0时，=(y-1)2-4y(1-2y)0
即(3y-1)20，当(3y-1)2= 0时，y = 1，此时x =1不在函数定义域内。
所以函数值域内y(-,0)U(0,1)U(1,+)
ax2+bx +c
对于形如y = ax + bx + c (a2+ d20 )的二次分式函数的求值域问题，只要函数dx2+ex +f y=ax + bx + c ( a2+ d20 )的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求解，dx2+ex +f 但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。
同时要注意：1、把分式函数转化为关于x的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。
2、要对 = 0时y的值代回方程检验。