1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

知识回顾
生活中，存在着各种不同的度量单 位制，比如度量长度用的千米、尺、码 等，度量重量用的吨、斤、磅等，不同 单位制能给解决问题带来便利，角的度 量除了用度之外，是不是还有其他的单 位制呢？
1.1.2弧度制和弧度制 与角度制的换算
教学目标
知识与能力
理解弧度制的含义； 弧度数的绝对值公式； 会弧度与角度的换算.
3 4、 把 πrad 化成度. 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o
5 5
5、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇 形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为l ，则有
ì 2r + l = 6 ï ï ï Þ 眄 l 镲 =1 ïr ï î ìr=2 ï ï ïl=2 î
过程与方法
培养学生用数形结合的思想方法来认 识问题.
情感态度与价值观
学生在探究和解决问题的过程中， 更好的形成弧度的概念，能够进行有 条理的思考并进行简单的推理．
教学重难点
重点： 了解弧度制，并能进行弧度与 度的换算. 难点： 弧度的概念.
角的度量
1 角度制 1度的角等于周角的 360
弧度制
定义：
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径） r
y
探究
B α O A x
如图，半径为r的圆的圆心与原 点重合，角α的始边与x轴的正半轴 重合，交圆与点A，终边与圆交与点 B.请在下列表格中填空.
的长 AB
r
2 r
OB旋转的方向
ÐAOB的弧
度数
ÐAOB的度
Ｃ．4
Ｄ．2或4
例2：下列选项中，错误的是（ D ） Ａ．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量 单位 1 Ｂ．一度的角是周角的 360 ，一弧度的角是周 1 角的
2
Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们 与圆的半径长短有关
周角的弧度数是2π，而在角度制 下的度数是360. ∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
nπR 2 比较这与扇形面积公式 S扇 = 要简单. 360
例7:直径为20cm的圆中，求下列各圆
心所对的弧长⑴ 4π
3
⑵ 165o
解： r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
A
B
o
∴
扇形的面积 S =
1 rl = 2(cm)2 . 2
6、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中 心角是1弧度,求该扇形的面积． ∵ 弧长 ∴
l = a R= R
3R = 6, R = 2
1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2
7、已知扇形AOB的圆心角为120°，半 径为6，求此扇形所含弓形面积．
2π 解：由 α = 120 = ,r = 6 3 2π l = r | α |= 6´ = 4π 3
o
∴ ∴
S扇形 =
又∵ SΓΑΟΒ ∴
1 1 lr = 创4π 2 2 1 2π = r 2sin = 2 3
6 = 12π
1 2 创 6 2
3 =9 3 2
S弓形 = S扇形 - SΓΑΟΒ = 12π - 9 3
骣 π θ Î ç ，π÷ ÷ ç ÷ ç2 桫
θ=π θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
骣 π÷ ç θ违- ，÷ ç ç 桫 2÷
轹 π÷ θÎ ê，÷ 0 ÷ ê 2ø ë
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
教材习题答案
练习A（第11页）
l 1. 相等 由公式 可知，此比值即心角的弧度， . r 与心的大小无关. 4 5 2. （1）- （）- （） . .2 .3 3 4 15 （4）6. （5） . 6 （） . 8 8
把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做１弧度的角.
符号： rad 读作：弧度.
如图，圆O的半径是1，
l 的长等于1,
O
B
1 rad
l
A
ÐAOB 就是1弧度的角.
l 若l=2r，则∠AOB= = 2弧度； r l 若l= 3r，则∠AOB= = 3弧度. r
B O
l=2r
2弧度
3r
3rad
r
A
r
角 度 弧 度
0

30 45 60 90 120 135 150 270360 180
0
π π 6 4
π π 3 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
3p 2
2π
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度” 二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角 。 所对应的弧度数.但如果以度（ ）为 单位表 。 示角时，度（ ）不能省略.
l |α|= r
r r
其中 : 1、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2πr 3、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2π； r πr 4、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = = π. r
例1：已知扇形的周长是6cm，面积是 2cm² ，则扇形的圆心角的弧度数是 （ B ） Ａ．1 Ｂ．1或4
π 1= rad ≈ 0.01745rad0 ° 1rad = （ ）≈57.30° π
例3：请用弧度制表示下列角度的范围.
骣 π÷ 锐角： {θ|0°＜θ＜90°}， θ Î ç0， ÷ ç ç 2÷ 桫
直角： {θ|θ=90°}
θ=
π 2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°}
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
l 2、求弧长： α = R
1 例6:利用弧度制证明扇形面积公式 S = lR 2
其中是l扇形弧长，R是圆的半径.
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 1 πR 2
2π
∴
弧长为l的扇形圆心角为
∴
l rad R
R
o
S
l
l 1 1 S= 创 π R 2 = lR R 2π 2
3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位 的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的 定值． y y
B
Ｄ
α
O
α
A
x x
O
Ｃ
x x
（２） （１） 当圆心角一定时，它所对弧长与半径的 比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.
一般地，我们规定：
正角的弧度数是正数. 负角的弧度数是负数.
零角的弧度数是0.
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）. 用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同. 周角的弧度数是2π，而在角度制下 的度数是360.
θ Î [0，π)
θ Î [0， ) 2π
例4：将下列弧度转化为角度：
= 15 °； （1） 12
7 p = －157 ° 30 ′； （2）8
13 = 390 °. （3） 6
例5:将下列角度转化为弧度：

（1）36°= 5 （rad）；
7π （2）－105°= （rad）； 12
5π （3）37°30′= （rad）. 24
O B
r
A
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所 对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对 值是 l
l = 3， 即∠AOB=－ = －3弧度. r r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角 的制度，角度制是以“度”为单位度量角的 制度； 2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心 角（或该弧）的大小，而1°是圆的 1 所对的 360 圆心角（或该弧）的大小；
4
Ｄ．- 7π
6
2、计算
tan1.5

解： 1.5rad = 57.30按 1.5 = 85.95 = 85 57'
所以 tan1.5 = tan 85 57 ' = 14.12

3、67°30′化成弧度．
骣 1÷ 解： 67 30' = ç67 ÷ ∵ ç ç 2÷ 桫
o
o
o
π 1 3 ∴67 30' = rad ´ 67 = πrad 180 2 8
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
已知扇形的周长为30cm，当它的半径和 例8： 圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最 大？最大面积是多少？
解：扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为 l，面积为S， 则有 l + 2r = 30 ∴ l = 30 - 2r
骣 15 ÷ 225 1 1 ∴ S = rl = (30 - 2r)´ r = - çr - ÷ + ç ç 桫 2÷ 2 2 4
单位规定 等于半径的长的
1 周角的 为1度的角 360
π =180° 换算关系 1rad= 180 57.30 57°18′，
π rad=0.01745 rad 1°= 180
课堂练习
1、－300°化为弧度是（ Ｂ ）
Ａ. - 4π
3
Ｂ．- 5π
3
Ｃ．- 7π
2
15 225 2 ∴ 当 r= 时，扇形面积的最大值是 cm 2 4