结构力学 第九章 矩阵位移法-董

0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e u1 e v1 1 u2 v 2 2
矩阵表示： a11
a 21 an1 a12 a1n x1 b1 a22 a2 n x2 b2 an 2 ann xn bn
第九章
主要内容
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 §9-8 §9-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 等效结点荷载 计算步骤及算例 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
基本要求：
即 aij a ji
b2 b4 d2 d4
8. 矩阵分块
A B C D
A、B、C、D
均为子矩阵
9、逆矩阵 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB =C
则
B=A 1 C

此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
A A 1 = A 1 A =I
方阵：
a11 a12 a1n a a22 a2 n aij 21 n n an1 an 2 ann a11 0 a22 0 ann a11 0 a a22 21 an1 an 2 ann
4i 2i 6i l 6i l
2i 4i 6i l 6i l
6i l 6i A l B 12i l2 12i 2 l
一端简支等截面直杆的刚度方程
3. 矩阵相等
4. 矩阵加减
A＝B aij bij
m n m n
A B aij bij
m n
5. 矩阵相乘
ab c
m n n p
两者相等才可乘
m p矩阵ຫໍສະໝຸດ 乘：m n n p p q
两者相等才可乘
abc d

刚度方程：
l
M AB 3i A 3i
1 QAB QBA ( M AB M BA ) l 3i 3i QAB QBA A B 2 l l

写成矩阵的形式：
3i M AB 3i QAB Q l BA 3i l
2
Me
2
v2
X 2e
Y1e u1
u2
e Y2
首先，由两个杆端轴向位移 u1和u2 可推算出相应的杆端轴向力
X1 和X 2
X1 e
1
e
2
u1
EA u1 u2 l EA X2 u1 u2 l X1
u2
X 2e
其次，由杆端横向位移
v1 , v2和转角1 ,2 ,
(1) (2)
0 12EI l3 6EI l2 0
0 6EI l2 4EI l 0
k = (4)
(5) (6)
e
(3)
0
EA l 0 0
2EI l
0 -6EI l2 只与杆件本身物理性 质有关而与外荷载、 位移、位置等无关
0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
对角阵：
a11 a12 a1n a22 a2 n 上（下）三角阵： 0 ann
单位阵：
1 0 1 n n In 0 1
力法、位移法方程的 系数矩阵均为对称阵
对称阵：
AT＝A
a1 a 3 c1 c3 a2 a4 c2 c4 b1 b3 d1 d3
6 1 4 7 5 3
a b d e g h
c f i
1 i 4 i 2 i 5 i
注意矩阵与行列式的区别：
1 4 1 4 2 5 与 2 5
2. 矩阵的简记
a11 a12 a1n a a22 a2 n A＝ aij 21 am1 am 2 amn
将上面六个方程合并，写成矩阵形式： X 1 EA e EA
l Y 1 0 M1 0 EA X2 l 0 Y2 0 M 2 0 0 l 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l 0 0 EA l 0 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。
e
以连续 梁为例：
u1 0
FX EA 1 e l F Y1 0 M1 0 EA FX2 l 0 FY2 0
mq
6. 矩阵转置 规则：
m n
T T
A
行列互换
n m
T
A
T
ab b a
7. 矩阵种类 行矩阵（向量）：
a a1 a2 an
b1 b T b 2 b1 b2 bn bn
列矩阵（向量）：
1
1
v1 0
e
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0
2
2
u2 0 v2 0
0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l e u1 e v1 1 u2 v 2
可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力
Y1 , Y2 和杆端力矩M1 , M 2
M1 M2 Y1 Y2
e
e
e
e
4 EI 2 EI 6 EI 1 2 2 v1 v2 l l l 2 EI 4 EI 6 EI 1 2 2 v1 v2 l l l 6 EI 12 EI 2 1 2 3 v1 v2 l l 6 EI 12 EI 2 1 2 3 v1 v2 l l
简记：
AX=B
X = A-1B
解的表达式：
位移法回顾
位移法基本未知量：杆端节点位移。 位移法基本方程：节点位移对应的平衡方程.
k111 k12 2 k133 k1n n F1 p 0 k211 k22 2 k233 k2 n n F2 p 0 k311 k32 2 k333 k3n n F3 p 0 kn11 kn 2 2 kn 33 knn n Fnp 0

3i l 3i A l2 3i l2
§9-2
一般单元
单元刚度矩阵(局部坐标系)
在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指 定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。
1
e
e M1 1
2
v1
X1 e
上面的式子可以用矩阵符号记为 e e e F k
局部坐标系的单元刚度矩阵
(2) (3) (4) (5) u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1 EA l 0 0 -EA l EA l 0
(1)
(6) 2 1
e
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 -6EI l2 0 6EI l2
§9-1
概述
2）矩阵位移法 （1）结构离散化——划分单元； （2） 单元分析 ——建立单元的杆端力与杆端 位移间的关系，形成单元刚度矩阵；
（3） 整体分析 ——建立整个结构的结点位移 与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。
▲ 必要的矩阵与矩阵运算知识（复习） 1. 矩阵定义—— 实数或复数的集合排列成矩形的阵式称为矩阵。 例：
熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、结构 的整体刚度矩阵、等效结点荷载的形成，已知 结点位移求单元杆端力的计算方法，整体刚度 矩阵和结构结点荷载的集成过程。 理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的元素 的物理意义。 掌握不计轴向变形时矩形刚架的整体分析。

§9-1
概述
1、结构分析方法
1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、
4EI l
二、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
kij
e
—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。
e （2）单元刚度矩阵 k 是对称矩阵，即 kij k ji。 （3）一般单元的刚度矩阵 k 是奇异矩阵； e
特殊单元
单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、 柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩
刚度方程或叠加法求得各杆端内力。
等截面直杆的刚度方程

刚度方程：
l M BA 2i A 4i B 6i l 1 QAB QBA ( M AB M BA ) l 6i 6i 12i QAB QBA A B 2 l l l M AB 写成矩阵的形式： M BA QAB QBA M AB 4i A 2i B 6i