线段之和最短问题
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
线段之和最短问题
线段之和最短问题一． 常见数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
lA3. 如图，直线和的异侧两点A 、B ，分别在直线、上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。
4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。
l 2l 1lABal 1A5.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。
6.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
N为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小NNN为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．B3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．EC BA4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
换一种思路求线段和的最小值
2020^.^1i m换一种思路求战段和的最小值■马先龙摘要：解答几何题时，经常需求线段和的最小值. 对于有的问题，直接求解，非常困难；若换一种思路，则 柳暗花明，别有洞天.关键词：线段和；最小值;折叠解线段和的最小值问题时，换一种思路，往往别有 洞天，易于求解.一、加上定长线段例1 如图丨，矩形中，/lB JM D ==6,点 M 、/V 分别是边 4Z )、 \ 'P <Q nC D 上的动点，且M i V =4,点五是线段”M N 的中点，点P 是边B C 上的动A , B c求P/l +■的最小值.分析:如图1，直接求+洲的 ，最小值比较困难.依题意，易知线段 图！况的长为定值，故欲求/M +P £的最小值，可加上定长线段£>£，先求出+ /^ + 的最小值，然后再减去线段的长即可.解：如图1，因为四边形4B C D 为矩形，所以乙S /1D =/1/1B C = zlCZM = 90。
•在 R t A M /V D 中，因为 乙M Z W = 90。
，£；为 M)V 的中点，MTV = 4,所以 £>£ =^■娜=2.延长仙到点水,使似，=仙，则点关于直线B C 对称.连接/M '，则/M = /M ',所以/M +P £ + Z )£ =凡4' + P £ +连接I D ，根据“两点之间线段最短”，知线段的长就是W +洲+训即/M +洲+ £>£ 的最小值•在 Rt中，= 90°，/i4,== 8,/lD = 6,由勾股定理，得 47) = VAA'2 + AD2=782 + 62 = 10,所以（以+J P £ + £)£)mm = 10,所以 (/M +P £；)m i … = 10-2 =8,即/M +™的最小值为8.点评:本题把求两条线段和的最小值问题转化为 求三条线段和的最小值问题.其中，发现定长线段并能灵活转化是解题的关键.本题考查了“直角三角形 斜边上的中线等于斜边一半”这一重要性质，考查了 矩形的性质，考查了勾股定理的应用，考查了“两点之 间线段最短”这一公理，考查了转化、轴对称、等线段 代换、化折为直等基本的数学思想和方法[1].例2 如图2,矩形4BCZ?中 ==5,A/、7V 分别是边上的动点，点£在边上，且=1，将沿财£所在的直线折叠 得到 A /4'O Z ,连接 n/V D ，求/t 'i V+ /V D 的最小值.分析:如图2,直接求A W +图2的最小值比较困难.由图形的折叠,知线段的长为 定值，故欲求的最小值，可加上定长线段 ^先求出f /V + /VZ)的最小值，然后再减去线段4'£的长即可.解:如图2,由图形的折叠，知= 1.因为 四边形为矩形，所以乙fiCD == 90。
线段之和最短问题
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
三条线段之和最小值问题
三条线段之和最小值问题三条线段之和最小值问题.重庆南开中学初2013级l1班周华吴朱泓郦0重庆南开中学初20i3级I2班王丁刘珈言.指导教师:张克近几年,中考数学试卷中出现了求三条线段之和最小值的试题.题目多变,风格清新,但万变不离其宗.下面举三例:霸(2009福建彰州改编)如图1,厶40B--450r腥厶4OB内一点.E图13(1)--角板绕点0旋转.acoFfl邑否成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出ACO腥等腰直角三角形时B珀勺长);若不能,请说明理由.(2)---角板绕点0旋转,线段OE和0间有什么数量关系?用图l2或图13加以证明.(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图14),当:AC4时.和贿怎样的数量关系?证明你发现的结论222012/02图14CQ-..?..图1APO=IO,Q,R分别是,OB上的动点,求PQ+PR+RQ的最小值点跟角内部的一个定点.要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小.只需将这三边的和转化为以两定点为端点的藤(1)△c匕成为等腰直角三角形.包括:当点雕曰C中点时, CF=OF,曰÷;当点B与点腹合时,Z OF=oC.Bl0.(2)如图12,连结DB,则对于△OEB和△OFC.有OB=OC;OBE=/0CF--45..因为E0露+/--BOF=/-COF+L_BOF=90..所以/_EOB=C0F所以△D朋△OFC.所以DEl_D(图13的证明方法与此类似) (3)如图14,过点尸作肼上AB,垂足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为厶EPM+厶EPN=厶EPN+/_FPN=90~. 所以厶EPM=FpN.叉因为EMP= FNP=90~.所以AEPM'-"AFPN.所以—PM—:丝.因为AAMP~APNC:BJPP}为等腰直角三角形,所~'XRt△PMA RtAPNC.所以:.又因为一AP pNPCAC一1所以一PE::三4PPC以上试题建立在三角板旋转的基础上.同学们在解题过程中通过实验操作,观察,猜想,论证,可发现图形(三角板)旋转过程中几何基本元素之间的数量关系.涉及的主要知识有三角形旋转后构造的重叠部分的面积,有关线段和角的数量关系(相等)或位置关系(垂直或平行),三角形全等与相似的判定和性质,直角三角形的性质和圆的有关内容.以上试题.突出体现了以下特点:第一.试题结合三角板的具体情境,考查了同学们对基本几何图形的形状,大小,位置关系及变换的认识, 对重要几何基本事实(核心概念)的理解和应用.第二,试题注重让同学们在应试过程中经历操作,观察,推理,想象等探索过程.强调在图形运动(重叠,旋转,平移)变化过程中研究几何图形的基本要素及其关系的能力.第三.试题更加突出"合情推理"与"演绎推理"相辅相成的关系.考查了同学们优化解题途径及方法的能力.囝一条直线即可.鬟分别作点P关于∞,OA的对称点尸I,P2,连结PlP2,根据轴对称性易知DP=OP2=OP=IO,PlO=2AOB=90.,因而P,=l0'2,故PQ+PR+RQ的最小值为10,/2.(2010福建宁德)如图2,四边形ABCD是正方形.&ABE是等边三角形,为对角线BD(不含B点)上任意一点,将嗍点逆时针旋转60o得到BN,连结EN,AM,CM.E.图2(1)求证:AAMB~AENB.(2)①当点臃何处时,AM+CM的值最小?②当点在何处时,A肘+8肘r+c的值最小?说明理由.(3)当AM+BM+CM的最小值为,/了+1时,求正方形的边长嘲易证△AAENB,以及△删为等边三角形.所以A肌BM+CM就可以转块氓EN+NM+CM. 而E,C两点已定,则连结EC,利用两点之间线段最短便可求解.(1)因为△A舾是等边三角形,所以=胞,ABE=f0~.因为MBN:而.致以厶MBN一/_ABN= 厶ABE～LABN.即LMBA=厶NBE. 又因为枷=.所以AAMB~AENB (SAS).(2)①当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小.(墓>如图3,连结佃.当点位于BD 与CE的交点处时.A删+C的值最小.理由如下:连结MN,由(1)知,△A△ENB.所以AM;叭因为MBN:而.MB=NB.纸,扶BMN足等边三角形.所以BM=MN.所以A肌BM+CM:EN+MN+CM.根据"雨点之间线段最短"得,当删+删+CM=EC时最短,所以当点位于BD与CE的交点处时,AMf+BM+CM~值最小即等于点的长.,AD(3)过点E作EF上BC交CB的延长线于点F.则LEBF--90.—60.=30..设正方形的边长为.~1BF=.,2E.在Rt△E中.因为E2EC:,所以+(孚)=(,/了十1),解得l=,/,X2一,/(舍去),所以正方形的边长为,/.黼辫(20l1四川南充)如图4.在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD= AB=CD=-2,LC=60~,幌BC的中点.(1)求证:AMDC~等边三角形.(2)将△c绕点旋转,当MD(即)与AB交于一点E,MC(即MC)同时与AD交于一点邝寸,点层.F 和点A构成AAEE试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不存在.请说明理由;如果存在,请计算出△A肼周长的最小值.BQMPC图4鳓(1)过点D作DPJ-Bc于点P,过点A作AQ_I_BCff-AQ,得到CP=BQ=÷B,CP+BQ=AB--AD.由矩形AD尸Q,AD=PQ,推I~BC=2AD.由拓展延伸点是BC的中点,推出BM=CM=AD= AB=CD.根据等边三角形的判定即可得到答案.(2)连结AM,由ABMD是菱形可得出AMAB.AMAD和AMCD是等边三角形.进而有胀ME证出△BMEAAMF'(ASA)后可得出占F,ME=MF,从而△璇等边三角形.根据的最小值为点J】If到AD的距离,/了,即的最小值是,/了.即可求出△AE肭周长.翻(1)过点D作DP~BC于点尸,过点A作口上C于点Q,因为lLC=LB=60.,所以CP=BQ=÷AB, CP+BQ--AB--AD.又因为ADPQ是矩形,AD=PQ,~k.BC=2AD.由已知,点妯C的中点.所以删=CM=AD=AB= CD.即在△MDC中,C=CD,C= 60..所以△c是等边三角形.(2)AAEF的周长存在最小值,理由如下:连结AM,由(1)易知平行四边形ABMD是菱形,△MAB, AMAD和AMCD是等边三角形.所以有BMA=BME+/AME=60.. EMF:厶AMF+厶AME=60o.所以BME=AMF.在△BME与△AMF 中,,EBM=FAM=60.,BME=AMF.致以BMEi△AMF(ASA).所.以BEF.ME= MF.A+AF=AE+砸丑因为厶EMF=LDMC=60o.故△EMF是等边三角形.E肼F因为MF的最小值为点到AD的距离.即的最小值是,/了.所以△A的周长=AE+AF+EF=ABEF.纸以△AEF的周长的最小值为2+.此类题的最大特点是找"替身"以实现"等量转化",主要途径是利用轴对称的性质和两点之间线段最短来求解.全等,等边三角形的性质等知识都是解决此类问题的得力助手.圜韧巾教学辅导23。
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
专题线段和最小值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素 在给定条件变动时，求某几何量（如线段的 长度、图形的周长或面积以及它们的和与差） 的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去 河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路 线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含 哪些数学思想方法？
线段和最小问题
基本模型一：单动点问题
基本模型二：双动点问题
一次轴对称+两点间线段最短 两次轴对称+两点间线段最短
A' C
P
A'
AP+PB最小
D B' AC+CD+DB最小
线段和最小问题
基本模型三：双动点问题 平移+两点间线段最短
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走，
路程最短.
P
A'
模型应用——单动点问题
例1.（2016•南通）平面直角坐标系xoy中，已知A（－1，0）、 B（3，0）、C（0，－1）三点，D（1，m）是一个动点， 当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为______.
3
当堂反馈：
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 8，点M在⊙O上，∠MAB =
20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN =1，
则△PMN周长的最小值为（ B ）.
A. 4
B. 5
C. 6
求线段和最小值三例
点，当 ＣＰ＝
时，△ＡＰＥ 的周长最小．
ＣＥ，得到 ＥＣ＝ＥＦ，因 此 ＥＣ＋ＥＤ＝ＥＦ＋ＥＤ ＝ＦＤ．在 Ｒｔ△ＢＤＦ 中，利 用 勾 股 定 理，可 得
ＦＤ＝槡５．
二、直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 连 线 中，
垂线段最短
例３ 如图 ５，在锐角 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝
４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＢＡＣ 的 平 分 线 交ＢＣ 于
思路与方法
江 苏 省 姜 堰 市 励 才 实 验 学 校 （２２５５００） 张 宇 石
在几何问题中，有一类求线段和最小 值 的 问 题 ，本 文 试 举 三 例 ．
一 、利 用 轴 对 称 求 线 段 之 和 最 短
例１ 如图１，矩 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，
ＢＣ＝８，Ｅ 为 ＣＤ 的 中 点，点 Ｐ 为 ＢＣ 上 的 动
∴ ＢＨ ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝４， ∴ ＢＭ ＋ＭＮ 的 最 小 值 是ＢＭ′＋Ｍ′Ｎ′ ＝ＢＭ′＋Ｍ′Ｈ ＝ＢＨ＝４． 点评 解 此 题 是 受 ４５°和 角 平 分 线 启 发， 分别构造直角三角形和利用角平分线 定 理，把 ＢＭ＋ＭＮ 进 行 转 化，把 两 条 线 段 的 和 的 最 小 值转化为点到直线的距离．构造和转化 法 是 解 题中常用的一种方法，对于最值的求解 是 考 查 的重点也是难点．
图５
图６
解 如图６，作 ＢＨ⊥ＡＣ，垂足为 Ｈ，交 ＡＤ 于 Ｍ′点，过 Ｍ′点作 Ｍ′Ｎ′⊥ＡＢ，垂足为 Ｎ′，
则线段 ＢＨ 的长为所求的最小值． 因为∠ＢＡＣ 的平分线交ＢＣ 于点Ｄ， 由角平分线性质可知，Ｍ′Ｈ ＝Ｍ′Ｎ′， 当 ＢＨ 是点Ｂ 到直线ＡＣ 的距离时（垂线 段 最 短 ），
∵ ＡＢ＝４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，
三条线段之和最小值问题
霸 （０ 建 州 编如 ２９ 彰 改 ） ０福
图 １ 厶 ４ Ｂ ４ ０腥 厶４ Ｂ ， ０ － ５ ｒ Ｏ 内一 点 ．
图１
藤
（△ 匕为 腰 １ｃ 成 等 直 ）
Ｚ
形（ 三角板 ） 旋转过程 中几何 基本元 素之间的数量关系． 涉及 的主要知识 有三角形旋转后构造 的重叠部分 的 面积 、 有关线段和角 的数量关 系（ 相
等 ） 位 置 关 系 （ 直 或 平 行 ） 角 或 垂 、 三
角三角形．包括 ： 当点雕 曰 中点 时， Ｃ
Ｃ＝Ｆ ÷； 点 与点 合时， ＦＯ ， 曰 当 Ｂ 腹
ＯＦ＝ ｏＣ． ０ Ｂｌ ．
Ｅ
（）如 图 １ ，连 结Ｄ ，则 对 于 ２ ２ Ｂ
图１ ３
形全等与相似的判定和性质 、 直角三
Ｒ ＡＰ ．所 以 ｔ ＮＣ ： ．又 因 为 一 ＡＰ
ＡＣ ｐ Ｐ Ｎ Ｃ
过程 中经历操作 、 观察 、 推理 、 想象等
探索过程 。 强调在 图形运动（ 重叠、 旋 转、 平移 ） 化过程 中研究几何 图形 变
一
Ｅ １所 以 Ｐ
一
：
：
三
的基本要素及其关系的能力． 第三 ．试题更加 突出 “ 合情推
以上试题． 突出体现了以下特点 ： 第一 ． 试题结合三角板 的具体情 境， 考查 了同学们对基本几何 图形的
（） ３若将三角板的直角顶点放在
斜边上的点Ｐ 如图１ ）当 ： 处（ ４，
Ａ Ｃ ４
所 以 厶Ｅ Ｍ＝ Ｆ Ｎ Ｐ ｐ ．叉因 为 Ｅ ＝ ＭＰ
Ｆ Ｐ ９￣ Ｎ ＝ ０ ．所 以 ＡＥ Ｍ＇ Ｐ － ＂ＡＦ Ｎ Ｐ ．所
以 —Ｍ Ｐ
初二数学：轴对称专题线段之和最短常见题型
初二数学：轴对称专题线段之和最短常见题型姓名：__________指导：__________日期：__________【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。
所以最短路径问题，需要考虑轴对称。
典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【精华提炼】下列给出常考解题作图方法：这里一定要注意审题，是在线段上找最值点还是直线上找最值点。
①线段之和最大值对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况这里有一个易错题型，求两条线段之差绝对值的最下值。
我们可以这样理解，任意一个量的绝对值都是大于等于0的，所以绝对值的最小是就是0.即PA=PB的时候，那么怎么确定这个最值点呢，我们说线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，所以点p必然在线段AB的垂直平分线上。
那么线段之差的最小值点就是线段AB的垂直平分线与直线的交点。
这里可以这样理解：p点与AB两点不共线时，由两边差小于第三边的原理可知，PA-PB的绝对值必然小于线段AB的长度。
所以最大值即为三点共线时，此时PA-PB的绝对值等于线段B。
求三角形PAB的周长最小值，常见于下面两种题型：第一种：已知定点A点和B点，在直线上确定一点p，使三角形PAB周长最短。
这里直接应用的是将军饮马模型，因为线段AB长度是定值，所以实际上点p就是P使A+PB的最小值点。
如下图第一个图片。
第二种：在一个角的内部有一个定点P，在角的两边上确定两点A点和B点，使三角形PAB周长最短，这里需要做两次对称。
如上图第二个图片。
第三种题型，一定两动，求两条线段之和的最短值。
常见作图方法有两种，第一种先做A点关于其中一条边的对称点，然后直接过这个对称点向另一条边做垂线，垂足和交点即为所求。
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线段之和最短问题一． 常见数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
3. 如图，直线 和 的异侧两点A 、B ，分别在直线 、 上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。
4. 如图，直线 的同侧两点A 、B ，分别在直线 上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。
lAl 2l 1lABal 1A5.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。
6.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”NNNN练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．B3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
7．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路x同侧，50kmAB A，、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．A'A BB8．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．9．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值10．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长.AN BE参考答案 1．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小． 点C （1，n ），说明点C 在直线x=1上，所以作点A 关于直线x=1的对称点A'，连接A'B ，交直线x=1于点C ，则AC+BC 的值最小设直线A'B 的解析式为y=kx+b ，则 -2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)当x = 1时，y = -(2/5)故当n = -(2/5)时，AC+BC 的值最小x交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2， 则OP = OP 1 = OP 2 = 10 且∠P 1OP 2 = 90°由勾股定理得P 1P 2 = 10 24．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。
在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 55．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值(1)AC = (8-x)2 + 25 ，CE = x 2 + 1 则AC+CE = (8-x)2 + 25 + x 2 + 1 (2)A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小连接AE ，交BD 于点C ，则AE 就是AC+CE 的最小值 最小值是10(3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值 在直角△AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理AE = 1351FE'D EＣ'ＡＣ（3）．求代数式x 2 + 1 + (4-x)2 + 4 （0≤x ≤4）的最小值 如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF 中AF = 3 EF = 4则AE = 5 所以，这个代数式的最小值是56．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
析：展开图如图所示，作A 点关于杯口的对称点A ’。
则BA ’=92 + 122 =15厘米7．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A ，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．分别作点A 、B 关于x 轴、y 轴的对称点A'，B'，连接A'B'，交x 轴、y 轴 于点P 、Q ，则四边形PABQ 的周长最小构造如图在Rt △A'B'C 中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10+4032F E21xB B A=50所以A'B' = 1002 + 502 =50 58．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．作点B 关于AD 的对称点B'，过点B'作B'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B'E 的长就是BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰Rt △AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 49．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值作AB 关于AC 的对称线段AB'，过点B'作B'N ⊥AB ，垂足为N ，交AC 于点M ，则B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
所以AN = 1 在直角△AB'N 中，根据勾股定理B'N = 310．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长.AA..(2)①连接AC ，交BD 于点M ，则AM+CM 的值最小②连接CE 交BD 于点M ，则AM+BM+CM 的值最小∵AM=EN ，BM=NM ， ∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC 最短(3)过点E 作CB 的延长线的垂线，垂足为F设正方形ABCD 的边长为2x则在直角△BEF 中，∠EBF=30°，所以，EF=x ，根据勾股定理：BF= 3x 在直角△CEF 中，根据勾股定理： CE 2 = EF 2 + FC 2得方程： ( 3 + 1)2 = x 2 + ( 3x +2x)2 解得：x =22所以：2x = 2 FEE。