2011年广州市高三数学 调研测试试题
2011年广州市高三年级文科数学调研测试试题含答案解析
试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011.01 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1. 函数()g x =的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．||||=a b B ． 12=a b C ．//a b D ．()-⊥a b b4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的 方程为A ．y =B ．yC ．y x =D ．y =图2侧视图俯视图正视图5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．1207.“2>x ”是“0232>+-x x ”成立的 图1A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于 A ．h - B ．0 C ．h D ．3h9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为123π+，则正视图中x 的值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A ．sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x πC ．1sin 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x πD ．1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π图3N二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .12．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则sin sin()AA C =+ .13.设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数 分布)如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；A B CPD （2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以 下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为539，求x 、y 的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，2AB DC ==（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥A PCD -的体积．19.（本小题满分14分） 图4已知椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中， 对于一切n ∈N *,有nk ==且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.21.（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()22g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．12 12．2313.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒ 15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin θθ==, ∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴4cos()5θω-==. …… 8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分=…… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、 运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m=, 解得3m =. …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分 (2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020x y==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =∴222AD BD AB +=. …… 2分 ∴ AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . …… 4分 （2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分∵PAD △是边长为2的等边三角形， ∴PO =.O PDC A由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中， 斜边AB边上的高为AD BD h AB ⨯==. …… 8分 ∵AB DC ∥，∴11222ACD S CD h =⨯==△. …… 10分∴11233A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯=△. …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴12=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<0t <<．∴弦长||AB == ……8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t+-≤7=…… 12分=，即7t=.∴ABC∆…… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t<<．由22,1,43x tx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234ty-=.∴圆C的半径为2r=．…… 6分∴圆C的方程为222123()4tx t y--+=．∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t=，∴0t<<7t<<．在圆C的方程222123()4tx t y--+=中，令0x=，得y=∴弦长||AB=…… 8分∴ABC∆的面积12S=⋅…… 9分)2127t=-)221272t+-≤=……12分=，即7t=.∴ABC∆的面积的最大值为7．…… 14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵1n nS a=-，当1n=时,1111a S a==-, 解得112a=. ……1分当2n≥时,1n n na S S-=-()()111n na a-=---,得12n na a-=, 即112nnaa-=. …… 3分∴数列}{na是首项为12, 公比为12的等比数列.∴1111222nn na-⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. …… 4分∵对于一切n∈N*,有1nk==①当2n≥时, 有1nk-==，②①-②=化简得:11(1)0n nn b nb b+--+=, ③用1n+替换③式中的n，得：211(1)0n nnb n b b++-++=, ④……6分③－④整理得：211n n n nb b b b+++-=-，∴当2n≥时, 数列{}nb为等差数列.∵32211b b b b-=-=,∴数列{}nb为等差数列. …… 8分∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n =+-=. …… 10分 (2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n n nT =++++, ⑤ ∴2211122222n n nT +=+++ , ⑥⑤－⑥得：21111122222n n n nT +=+++- …… 12分1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-- 1212n n ++=-.∴2222n n n T +=-<. ……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x= 得20x xa +-=, 解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则20x =≤.11 ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x的单调递减区间为⎛ ⎝⎭,单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减.∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分 而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-, 当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分 ∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分。
2011年广州市普通高中毕业班综合测试数学试卷(理科)
12011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫=⎪+⎝⎭A ．13B ．25C ．13-D ．15-2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U A B == ，(){}2,4,6U A B = ð，则集合B =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,4,5,6,7 3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73B ．53C ．5D ．34．已知函数()()32120f x x ax xa a =++>，则()2f 的最小值为A． B ．16 C ．288a a++D ．1128a a++5．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 6．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．270x y -+=C ．30x y -+=D ．290x y +-= 7．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且1=a ，2=b ，3=c ，则a +b +c 等于AB ．6 C． 6D ．3或68．正方形A B C D 的边长为2，点E 、F 分别在边A B 、B C 上，且1A E =，12B F =，将此正方形沿D E 、D F 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P D EF -的体积是A ．13B．6C．9D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）29．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ．11．若1223211C 3C 3C 3C385n n n nn n n---+++++= ，则 n 的值为 ． 12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形A B C D 中，AD BC ，2AD =，5B C =，点E 、F 分别在A B 、C D 上，且EF AD ，若34A E E B=，则E F 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．17．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆图160ABC东南西北 α3能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．力为中等或中等以上的概率为25．（1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． 18．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11AD D A 和三棱锥E A B C -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，A B A C =，2A E =．（1）求证：A C B D ⊥；（2）求二面角A B D C --的平面角的大小．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()12nn n a S +=，且11a =．（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1 D 1A D 1A 1E BCOD 图3420．（本小题满分14分） 已知双曲线C ：()222210x y a b ab-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线C 上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线A B 的方程；（3）求三角形O A B 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；（3）当4n m >≥时，证明()()mnn m m n nm >．参考答案一、选择题：二、填空题： 9．3210．()32f x x x =-- 11．4 12．11 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--=三、解答题：16．解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220A C =⨯=，B C A α∠=．在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠60ABC东南西北 α522122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=． 解得28B C =．所以渔船甲的速度为142B C =海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28B C =，B C A α∠=，由正弦定理，得sin sin 120A B B C α=．即12sin 1202sin 2814AB BCα⨯===． 答：sin α14方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28B C =，B C A α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC ABAC BCα+-=⨯．即22220281213c o s 2202814α+-==⨯⨯．因为α为锐角，所以sin α===14． 答：sin α1417．解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==，解得6a =．所以40(32)40382b a =-+=-=．答：a 的值为6，b 的值为2．（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332340C 124123()1()11C247247P B P B =-=-=-=．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以()122138328328340C C C C C 123C247P B ++==．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．6（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k -，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340C C ()Ck kP k ξ-==，()0,1,2,3k =．ξ的可能取值为0，1，2，3，因为032416340C C 14(0)C247P ξ===， 122416340C C 72(1)C247P ξ===，212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，32416340C C 253(3)C 1235P ξ===． 所以ξ的分布列为0E ξ=⨯142471+⨯722472+⨯55212353+⨯25312352223912355==．答：随机变量ξ的数学期望为95．18．方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即E D A C ⊥． 又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==过点C 作C H BD ⊥于点H ，连接A H ，由（1）知，A C B D ⊥，AC CH C = ，所以B D ⊥平面A C H ．因为AH ⊂平面A C H ，所以BD AH ⊥．所以A H C ∠为二面角A B D C --的平面角．由（1）知，A C ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ，所以A C A H ⊥，即△C A H 为直角三角形．在R t △BAD 中，AB =2AD =，则BD ==AB AD BD AH ⨯=⨯，解得3AH =．因为tan A C AH C A H∠==A H C ∠60=．所以二面角A B D C --的平面角大小AD 1A 1EBCO D7为60 ．方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =- ，()2,2,2DB =．因为()()2,2,02,2,20A CD B =-=，所以A C D B⊥．所以A C B D ⊥．（2）解：设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面B C D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅ n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩ 所以4B C =，AB AC ==AD 1A 1E BCODAD 1A 1EBC O D8以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =- ，()2,2,2DB =设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，则0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BC D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．19．解：（1）解法1：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-，即11n n a a nn -=-()2n ≥． 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =的常数列．所以1n a n =，即n a n =()n ∈*N ．所以数列{}na 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．解法2：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-， 即11n n a n a n -=-()2n ≥．所以1321122113211221n n n n n a a a a nn a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ．因为11a =，符合n a 的表达式．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．（2）假设存在k ()2,,k m k ≥∈*N ，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，则2k k b b +=21k b +．因为ln ln n n b a n ==（n≥2），所以()()2222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦9()()22221ln 1ln 12k k k b +⎡⎤+<=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．这与2k k b b +=21k b +矛盾． 故不存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．20．解：（1）因为0a b >>，所以1b a<，所以c e aa===<．由90APB ∠= 及圆的性质，可知四边形P A O B是正方形，所以OP =．因为OP a =≥，所以2b a≥，所以c e aa===2≥．故双曲线离心率e的取值范围为2⎡⎢⎣⎭． （2）方法1：因为22222200PA O P O A x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线A B ， 所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩消去2x ，2y ，即得直线A B 的方程为200x x y y b +=． 方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ，则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--． 整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．因为O A O B =，PA PB =，根据平面几何知识可知，A B O P ⊥．因为00O P y k x =，所以00AB x k y =-．所以直线A B 方程为()0110x y y x x y -=--．即0010x x y y x xy y +=+．所以直线A B 的方程为200x x y y b +=．方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．10因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．这说明点A 在直线200x x y y b +=上． 同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线A B 的方程．（3）由（2）知，直线A B 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线A B的距离为2bd =．因为A B ===，所以三角形O A B 的面积20012S AB d x y =⨯⨯=+以下给出求三角形O A B 的面积S 的三种方法： 方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，所以2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．设t ==≥322b t S t b=+．因为()()()3222bt b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b t S t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．当b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b⨯==+最大值，当b >，即a >时，2S ab==+最大值综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．11方法2：设t =33222b t b S b t bt t==++．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以t ==≥令()2b g t t t=+，则()()()2221t b t b b g t tt+-'=-=．所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．当b ≤，即b a <≤时，32212b S b bb b==+最大值，当b >，即a >时，322bbS a==最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．方法3：设2200t x y =+，则S bt==．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 当22112b a≤，即b a <≤时，()22max1124g u g b b ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值．当22112ba>，即a >时，()2224m ax1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时S a=最大值．12综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，2bS a=最大值．21．（1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3，所以()e 3f '=，即l n e 13a ++=．所以1a =．（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x xx-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln 30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 1x x x g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000m in001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3． （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x x g x x +=-是[)4,+∞上的增函数，所以当4n m >≥时，l n l n 11n n n m m m n m ++>--．即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．整理得 ()l n l n l n l n m n n m mm n mn nn m+>++-． 因为n m >， 所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn nn m m n +>+．即()()ln ln mnmmnnn mmn>． 所以()()mnn mm n nm>．证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，则()()1l n 1l n f x m x mm m '=-+--．因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->．所以函数()f x 在[),m +∞13上单调递增．因为n m >， 所以()()f n f m >．所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=． 即ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+． 即()()ln ln mn m mn n n m m n >．所以()()mnn m m n nm >．。
2011年广州市高三第二次模拟考试试题答案
2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．3 12．2 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--= 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．）解：（1）由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()10a +人． 记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==， …………………………………………………………………………………4分 解得6a =． ………………………………………………………………………………………………5分因为3240a b ++=，所以2b =．答：a 的值为6，b 的值为2．……………………………………………………………………………7分 （2）由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()11b +人，由（1）知，2b =，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有13人．………………………9分记“听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件B ， 则()11134040b P B +==． 答：听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为1340．…………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =．………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=．……………………………………………………………………9分即12sin1202sin 28AB BCα===． 答：sin α．………………………………………………………………………………12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB AC BC α+-=⨯．…………………………………………………………9分即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯． 因为α为锐角，所以sin α===答：sin α．………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）60ABC东南西北 α（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+．………………………………………1分 由已知，得111091055,2201920210.2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩………………………………………………………………………3分 即112911,21921.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………5分所以1(1)n a a n d n =+-=（n *∈N ）．………………………………………………………………6分 （2）假设存在m 、k ()2,,k m m k >≥∈N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列，则21m k b bb =．……………………………………………………………………………………………7分 因为11n n n a nb a n +==+，…………………………………………………………………………………8分 所以11,,211m k m k b b b m k ===++． 所以21121m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………9分 整理，得22221m k m m =-++．…………………………………………………………………………10分 以下给出求m ，k 的三种方法：方法1：因为0k >，所以2210m m -++>．………………………………………………………11分解得11m <<12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分方法2：因为k m >，所以22221m k m m m =>-++．…………………………………………………11分 即221021mm m +<--，即221021m m m -<--．解得11m -<<11m <<………………………………………………………………12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分方法3：因为2k m >≥，所以222221m k m m =>-++．……………………………………………11分 即221021m m m +<--，即22221021m m m m --<--．解得1m <<1m <<12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==8分以下给出求三棱锥E BCD -体积的两种方法： 方法1：由（1）知，AC ⊥平面EBD ，AD 1A 1EBCOD所以13E BCD C EBD EBD V V S CA --∆==⨯．………………………………………………………………10分 因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面， 所以EA AB ⊥，即ED AB ⊥．其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==，所以11422EBD S ED AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=．…………………………………………………13分所以11633E BCD V -=⨯=．…………………………………………………………………14分方法2：因为EA ABC ⊥平面，所以111333E BCD E ABC D ABC ABC ABC ABC V V V S EA S DA S ED ---∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯．…………………10分其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==，所以11422ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯=．…………………………………………………13分 所以1164433E BCDV -=⨯⨯=．…………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识，考查分类讨论思想，以及运算求解能力和推理论证能力等．） 解：（1）因为函数()2f x x =的定义域(),F =-∞+∞，函数()lng x a x =的定义域()0,G =+∞，所以()22ln ,0,,0.x a x x h x x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤……………………………………………………………………4分（2）当0x ≤时，函数()2h x x =单调递减，所以函数()h x 在(],0-∞上的最小值为()00h =．……………………………………………………5分 当0x >时，()2ln h x x a x =+．若0a =，函数()2h x x =在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………6分若0a >，因为()2220a x ah x x x x+'=+=>，………………………………………………………7分 所以函数()2ln h x x a x =+在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………8分若0a <，因为()222x x x a h x x x⎛- +⎝⎭⎝⎭'==，……………………………………9分所以函数()2ln h x x a x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．此时，函数()h x的最小值为h ．…………………………………………………………………………………10分因为ln 1ln 222222a a a a a a h a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，………………………11分 所以当2e 0a -<≤时，0h ≥，当2e a <-时，0h <．…………………………13分 综上可知，当0a >时，函数()h x 没有最小值；当2e 0a -≤≤时，函数()h x 的最小值为()00h =；当2e a <-时，函数()h x的最小值为1ln 22a a h ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．）解：（1）因为0a b >>，所以1b a <，所以c e a===<1分 由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP ．因为OP a =≥，所以b a ≥，所以c e a ===≥．……………3分故双曲线离心率e的取值范围为⎣．…………………………………………………………4分（2）方法1：因为22222200PA OP OA x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，……………………………………………6分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………………………7分 消去2x ，2y ，即得直线AB 的方程为200x x y y b +=．………………………………………………8分 方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ，则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………………………6分 因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为00OP y k x =，所以00AB xk y =-．………………………………………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+．所以直线AB 的方程为200x x y y b +=．………………………………………………………………8分 方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……6分这说明点A 在直线200x x y y b +=上． …………7分同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线AB 的距离为2d =因为AB ===， 所以三角形OAB 的面积0012S AB d =⨯⨯=……………………………………10分以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b-=上，所以2200221x y a b -=，即22222002b x a b y a-=()220x a ≥．设t ==≥所以322b tS t b=+．………………………………………………………………………………………11分 因为()()()3222b t b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b tS t b =+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．……………………………………12分b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b ⨯==+最大值，…………………………………13分b >，即a >时，()3222b b S a b ==+最大值综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S =最大值．………14分 方法2：设t =33222b t b S b t b t t==++．…………………………………………11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b -=，即22222002b x a b y a-=()220x a ≥．所以t ==≥令()2b g t t t =+，则()()()2221t b t b b g t t t +-'=-=． 所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．…………………………………12分b ≤，即b a <≤时，32212b S b b b b==+最大值，……………………………………13分b >，即a >时，32b S ==最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S =最大值．………14分 方法3：设2200t x y =+，则S b ==11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b -=，即22222002b x a b y a-=()220x a ≥． 所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………12分 因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 当22112b a ≤，即b a <≤时，()22max 1124g u g b b ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． ………………………………13分当22112b a >，即a >时，()2224max 1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时S =最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S =最大值．………14分。
广州市高三年级调研测试-数学(理)
试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011. 01 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 函数()g x =的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2. 已知i 为虚数单位, 则复数i (1+i )的模等于A .12B. 2C.D. 23. 已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为A . 3- B. 32-C. 32D. 34. 已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 图1A. 720 B . 360 C . 240 D. 1206. 已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<= A ．0.1358 B ．0.1359 C ．0.2716 D ．0.27187. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为12π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2图38.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 .10. 已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的 方程为 .11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = . 12. 922()2x x -展开式的常数项是 .（结果用数值作答） 13. 设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）MDCBAP 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n c o s,2s i n 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.1-=⋅n m (1) 求cos A 的值;(2)若a =2b =, 求c 的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产 的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的 一等品的概率是多少?(2) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲 厂生产的一等品的个数记为ξ, 求E ξ的值.18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.图4 19．（本小题满分14分）已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. (1) 求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；(2) 若关于x 的方程()()22g x f x e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C ：xy e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点 22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；图52011年广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题 5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．3y x =- 11. 126 12. 212- 13.()(),22,-∞-+∞14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n ,∴ 222cos2sin 122A A-=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<, ∴ 23A π=. ……6分∵a =2b =,由正弦定理得sin sin a bA B =,2sin sin 3B =, ∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<,∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”,依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分 解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡 有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个, 故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡,它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分 (2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== ……8分 ∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分 18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分∵BM PD ⊥, ABBM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM .∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点,在Rt △PAD 中, 得AM =Rt △CDM中,得MC ,∴12ACM S AM MC ∆=⋅= 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分332ACM ACDS PA ∆∆=3设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则sin 3h CD θ==，……12分 ∴cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为3. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin 3CD n CD nα⋅==. ……12分 ∴cos α=∴直线CD与平面ACM 3……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =, ∴12a =. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C 的半径为r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴t <<，即07t <<．∴ 弦长||AB == …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅…… 9分)2127t =-)221272t +-≤=……12分=，即t =. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7． …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C 的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y--+=中，令0x =，得2y =±，∴ 弦长||AB =…… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ (9)分 )2127t =-)221272t +-≤=……12分=，即7t=时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7． …… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x=-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则2102x -+=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则10,2x ⎛-∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间⎛ ⎝⎭上单调递减, 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭, 单调递增区间为1,2⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 由()()22g x f x e x =-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x=-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分 而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解: 由xy e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n xn k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分 ∴111xy e e ==， ∴11(1,)P e -.∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分 一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y ee x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分 （2）解：11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212n e e e-⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e e e e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-.……10分∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-.要证明11n n n n T x T x ++<，只要证明111n e e e n+-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ② 假设n k =时，1(1)k e e k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>.∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++.∴2(1)(1)k ee k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立. 由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0x >时, ()()00f x f >=.∵n ∈N *,∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n e e n e +>-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立.……14分。
高三数学毕业班综合测试(二)(2011广州二模) 理
2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2011.４ 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．13 B ．25C ．13-D ．15-2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U AB ==，(){}2,4,6UAB =，则集合B =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,4,5,6,7 3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73 B ．53C ．5D ．3 4．已知函数()()32120f x x ax x a a=++>，则()2f 的最小值为A ．B ．16C ．288a a ++D ．1128a a++5．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 6．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．270x y -+=C ．30x y -+=D ．290x y +-= 7．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且1=a ，2=b ，3=c ，则a +b+c 等于AB ．6 C6D ．3或68．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是 A ．13B．6 C．9 D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 ． 10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ．11．若1223211C 3C 3C 3C 385n n n n n n n ---+++++=，则 n 的值为 ．12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N 且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()pf n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．图1（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD 中，ADBC ，2AD =，5BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EFAD ，若34AE EB =，则EF 的长为 ． （坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．17．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25． （1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ．60 A BC东南 西 北 α18．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面，AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知双曲线C ：()222210x y a b a b-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线C 上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线AB 的方程；（3）求三角形OAB 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明()()mnn m mnnm >．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1D 1A D 1A 1EBCO D 图32011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．32 10．()32f x x x =-- 11．4 12．11 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或cos sin 20θρθ--=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．） 解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =． ………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，BCA α∠=，60ABC东南西北 α由正弦定理，得sin sin120AB BCα=．…………………………………………9分即12sin1202sin 2814AB BCα===． 答：sinα的值为14．……………………………………………………12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB AC BC α+-=⨯．………………………………………9分即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯． 因为α为锐角，所以sin α===14．答：sin α12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等．） 解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ， 则102()405a P A +==，解得6a =．………………………………………………2分 所以40(32)40382b a =-+=-=．答：a 的值为6，b 的值为2．………………………………………………………3分（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332340C 124123()1()11C 247247P B P B =-=-=-=． 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．……………………………………………………………6分方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以()122138328328340C C C C C 123C 247P B ++==． 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．……………………………………………………6分 （3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C kk-，………………………7分 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340C C ()C k kP k ξ-==，()0,1,2,3k =…………………………8分 ξ的可能取值为0，1，2，3，………………………………………………9分因为032416340C C 14(0)C 247P ξ===， 122416340C C 72(1)C 247P ξ===， 212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，302416340C C 253(3)C 1235P ξ===， 所以ξ的分布列为所以0E ξ=⨯142471+⨯722472+⨯55212353+⨯25312352223912355==． 答：随机变量ξ的数学期望为95．…………………………………………12分（若将抽取的3人理解为可重复抽取，而采用二项分布求解，可酌情给分）18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．） 方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………4分……………………10分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C =，所以BD ⊥平面ACH ． 因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥．所以AHC ∠为二面角A BD C --的平面角．………………………………9分 由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ， 所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形． 在Rt △BAD中，AB =2AD =，则BD ==．由AB AD BD AH ⨯=⨯，解得3AH =．因为tan ACAHC AH∠==13分 所以AHC ∠60=．所以二面角A BD C --的平面角大小为60．………………………………14分 方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………2分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==3分以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系AD 1A 1EBCO DAD 1A 1EBCO DD xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =-，()2,2,2DB =．…………………5分因为()()2,2,02,2,20AC DB =-=， 所以AC DB ⊥．所以AC BD ⊥．…………………………………………………9分 （2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．……………………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，ABBD B =，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．………………………………12分 因为1cos ,22AC AC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C --的平面角大小为60．……………………………………14分方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ． 因为BD EBD ⊂平面， 所以AC BD ⊥．……………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩AD 1A 1EBCO D所以4BC =，AB AC ==7分 以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =-，()2,2,2DB =．……………9分设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，则0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B =，所以AC ⊥平面ABD ． 所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．……………………………12分因为1cos ,22AC AC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C --的平面角大小为60．……………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，以及函数与方程、化归与转化等数学思想．） （1）解法1：当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，………………………2分即11n n a a n n -=-()2n ≥．………………………………………………………………4分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =的常数列．……………………………………………5分所以1na n=，即n a n =()n ∈*N ．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．………………………………………7分 解法2：当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，……………………………2分即11n n a na n -=-()2n ≥．…………………………………………………………………4分 所以1321122113211221n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--．…………5分 因为11a =，符合n a 的表达式．………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．………………………………………7分 （2）假设存在k ()2,,k m k ≥∈*N ，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，则2k k b b +=21k b +．……………………………………………………………………………8分因为ln ln n n b a n ==（n ≥2）， 所以()()2222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………11分 ()()22221ln 1ln 12k k k b +⎡⎤+<=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．……………………13分 这与2k k b b +=21k b +矛盾．故不存在k （2,k k*≥∈N ），使得kb 、1k b +、2k b +成等比数列．……………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）解：（1）因为0a b >>，所以1b a <，所以c ea a ===<1分 由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP =．因为OP a =≥，所以2b a ≥，所以c e a a ===2≥．3分故双曲线离心率e 的取值范围为6,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣．…………………………………………4分 （2）方法1：因为22222200PA OP OA x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，……………………………6分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………7分 消去2x ，2y ，即得直线AB 的方程为200x x y y b +=．………………………………8分方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．……………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………6分因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为00OP y k x =，所以00AB xk y =-．……………………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+．所以直线AB 的方程为200x x y y b +=．…………………………………………………8分方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．……………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．这说明点A 在直线200x x y y b +=上． …………7分 同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线AB的距离为2d =．因为AB ===， 所以三角形OAB 的面积0012S AB d =⨯⨯=．……………………………………10分以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b-=上，所以2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．设t ==≥所以322b tS t b=+．…………………………………………………………………………11分 因为()()()3222b t b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b tS t b =+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．……………………12分当b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b ⨯==+最大值，……………………13分当b >，即a >时，()3222b b S a b==+最大值． 综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S =最大值．………14分 方法2：设t =33222b t b S b t bt t==++．……………………………11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b -=，即22222002b x a b y a-=()220x a ≥．所以t ==≥令()2b g t t t =+，则()()()2221t b t b b g t t t +-'=-=． 所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．……………………12分当b ≤，即b a <≤时，32212b S b b b b==+最大值，……………………13分当b >，即a >时，322b b S a==最大值． 综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，2b S a =最大值．………14分方法3：设2200t x y =+，则b S b t ==11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a-=()220x a ≥． 所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．…………………12分 因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当22112b a ≤，即b a <≤时，()22max1124g u g b b⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． …………13分当22112b a >，即a >时，()2224max1a b g u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时2b S a =最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S =最大值．………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．） （1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．……………………………1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 所以()e 3f '=，即lne 13a ++=．所以1a =．…………………………………………………………………………………2分 （2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………………3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，……………………………………………………………………4分令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．……………………………………………5分 因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． 当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，………………6分所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．…………………7分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．…………………………………………………………………8分 （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x xg x x +=-是[)4,+∞上的增函数，……………………9分所以当4n m >≥时，ln ln 11n n n m m mn m ++>--．……………………………………………………10分 即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+． 整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-．………………………………………11分因为n m >， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+．……………………………12分 即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mnmmnn n m mn >．…………………………………………………………13分所以()()mnn m mn nm >．………………………………………………………………………14分证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，………………………………………9分则()()1ln 1ln f x m x m m m '=-+--．………………………………………………10分 因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->． 所以函数()f x 在[),m +∞上单调递增．……………………………………11分 因为n m >， 所以()()f n f m >． 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=．…12分即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+． 即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn n n m m n >．……………………………………………………………13分 所以()()mnn m mnnm >．………………………………………………………………14分。
广东省广州市花都区2011届高三年级调研考试
广东省广州市花都区2011届高三年级调研考试数学试题（理）考试时间 120分钟 满分150分一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{2,3}A =,则集合A 的子集个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知数列{}n a 满足120n n a a +-= ()n N +∈ ，则数列{}n a 一定是（ ）A ．公差为12的等差数列 B ．公差为2的等差数列C ．公比为12的等比数列D ．公比为2的等比数列3．函数1sin(),(0)26y x πωω=+>的最小正周期是4π，则ω=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．24．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰 直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体 的体积为 （ ）A ．13 B ．23C ． 43D ．25．已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其导函数'()y f x =的图象如右图，则函数()y f x =的单调递增区间为（ ）A ．411[4,],[1,]33--B ．7[3,0],[,5]3- C ．411[,1],[,6]33-D ．7[4,3],[0,],[5,6]3--6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ），根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周 长小于110cm 的株数n 是 （ ） A ．30 B ．60 C ．70 D ．80 7．如图，平面内有三个向量,,,OA OB OC 其中OA 与OB 的夹角为60°, OA 与OC 、OB 与OC 的夹角都为30°,且∣OA ∣=∣OB ∣=1, ∣OC ∣=若OC =λOA +μOB , 则λμ+的值为（ ）A ．4B．C．D ．28．奇函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则不等式()f x x >的解集为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(1,0)(0,1)-二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量(3,2),(1,2),a x b x =-=且a b ⊥，则_______x =10．已知函数()(0)xf x a b a =+>的图象经过点(2,3)和原点，则(2)____f -=．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的S = ． 12．在ABC ∆中，已知4,3,AB BC AC ===则ABC∆的最大角的大小为 ．13．在区间[0,10]上随机取两个实数x ，y ，则事件“22x y +≥”的概率为_____14．若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为_________.三、解答题15．（本题满分12分）已知()cos()sin 3f x x k xπ=+-，且()62f π=． （1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘是41,21,43，且各汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分） 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为棱BC AB ,的中点. （1）试判截面11A MNC 的形状，并说明理由；（2）证明：平面⊥1MNB平面11B BDD ．18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 中，13a =，前项和为nS ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ；（2）求数列1{}n S 的前n 项和19．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0f x m +=在1[,]e e 内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,3),(5,1)M N -，若动点C 满足.NC t NM =且点C 的轨迹与抛物线24y x =交于,A B 两点.（1）求证：OA OB ⊥；（2）在x 轴上是否存在一点(,0)(0)P m m ≠，使得过点P 的直线l 交抛物线24y x =于,D E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。
2011年广州市高三数学 调研测试试题
2011年广州市高三调研测试说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．33y x =- 11. 126 12. 212-13.()(),22,-∞-+∞14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n ,∴ 222cos2sin 122A A -=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<,∴ 23A π=. ……6分∵23a =,2b =,由正弦定理得sin sin a b A B=,即2322sin sin3B π=,题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBBBCB∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<,∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡 有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分(2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== (8)分∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.ξ 0 12P2531225 6211225 3511225zyxMD CB AP∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分 ∵BM PD ⊥, AB BM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点, 在Rt △PAD 中,得2AM =，在Rt △CDM 中,得223MC MD DC =+=,∴1622ACM S AM MC ∆=⋅=. 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111332ACM ACD S h S PA ∆∆=. 解得63h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则6sin 3h CD θ==， ……12分 ∴3cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin 3CD n CD nα⋅==. ……12分 ∴3cos 3α=.∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴2312a a -=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =， ∴ 212302t t -<<，即22107t <<．∴ 弦长22222123||221274t AB r d t t -=-=-=-． …… 8分∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. …… 12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立.∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=.∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =， ∴ 212302t t -<<，即22107t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得21272t y -=±，∴ 弦长2||127AB t =-． …… 8分∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分 ()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立.∴ ABC ∆的面积的最大值为377． (14)分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=, 解得121141140,22a ax x --+-++=<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则211402a x -++=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则1140,2a x ⎛⎫-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x <; 114,2a x ⎛⎫-++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x 在区间1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭, 单调递增区间为114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2xx ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. (12)分∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x=-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由x y e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n xn k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分∴111xy e e ==， ∴11(1,)P e-. ∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y ee x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上， ∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分 （2）解：11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212ne e e -⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e ee e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-. ……10分∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-.要证明11n n n nT x T x ++<，只要证明111n e e e n +-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ② 假设n k =时，1(1)k e e k e +>-+成立， 则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+， 而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>. ∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++. ∴2(1)(1)k e e k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立. 由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x ee x e +=---,则()()'11x fx e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ∴当0x >时, ()()00f x f >=. ∵n ∈N *, ∴()0f n >, 即()110n ee n e +--->.∴()11n e e n e +>-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 ［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解. ［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1写出下列命题的否定：⑴对于任意实数x，使x2＝1；⑵存在一个实数x，使x2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命水产价格 /shuichan/ 水产价格吘莒咦题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p ：x ＞1或x ＜－3，∴┐p ：－3≤x ≤1．第1章 第3节知能训练·提升考点一：命题真假的判断1．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则下列结论中正确的为( )①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ”是假命题； ③命题“p 或q ”是真命题； ④命题“p 或q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：由“非p 或非q ”是假命题知，非p 和非q 都是假命题．即p 为真，q 为真．所以p 且q 为真，p 或q 也为真．①③正确．答案：A2．设命题p ：若a ＞b ，则1a ＜1b ；命题q ：1ab＜0⇔ab ＜0.给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③綈p 且q ；④綈p 或綈q .其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意知p 为假命题，q 为真命题，故p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 且q 为真，綈p 或綈q 也为真，故真命题有3个．答案：D3．(2010·湖北质检)P ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；Q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.情形(1)：P 正确，但Q 不正确，因此a ∈(0,1)∩[12，52]，即a ∈[12，1)．情形(2)：P 不正确，但Q 正确，因此a ∈(1，＋∞)∩[(－∞，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．考点二：反证法的应用4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案：B5．已知函数f (x )对其定义域内的任意两个实数a 、b ，当a ＜b 时，都有f (a )＜f (b )，求证：f (x )＝0至多有一实根．证明：假设f (x )＝0至少有两个不同的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，由方程的定义，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，则f (x 1)＝f (x 2)，①但是由已知，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，②①式与②式矛盾，因此假设不成立．故f (x )至多有一个实根．考点三：充要条件的判断及证明6．若不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，－12]D ．[43，＋∞)解析：|x －m |＜1⇔m －1＜x ＜m ＋1.由题意m －1≤13且m ＋1≥12，得－12≤m ≤43.答案：B7．(2010·山东名校联考)已知命题p ：－1≤4x －3≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[12，1]C ．[13，12]D ．(13，1]解析：由题知，命题p 为M ＝[12，1]，命题q 为N ＝[a ，a ＋1]．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有M N ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1＞1.而当a ＝0或a ＝12时，同样满足M N 成立，故a 的取值范围是[0，12]．答案：A8．(探究题)(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解：(1)因为x 2－x －2＞0的解为x ＞2或x ＜－1.所以当x ＞2或x ＜－1时，x 2－x －2＞0.由4x ＋p ＜0得x ＜－p 4.设A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}，B ＝{x |x ＜－p4}．由题意得B ⊆A .所以－p4≤－1，所以p ≥4.故存在实数p ≥4，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件．(2)由(1)知，要使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件，则需满足A ⊆B ，但这不可能，故不存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件.1.(2009·浙江)已知a 、b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由a ＞0且b ＞0可得a ＋b ＞0，ab ＞0，由a ＋b ＞0有a 、b 至少一个为正，ab ＞0可得a 、b 同号， 两者同时成立，则必有a ＞0，b ＞0，故选C. 答案：C2．(2009·安徽)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x－b (a ＞0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数 解析：∵p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＜d ， ∴pq ，q ⇒p .对于选项B ：p ⇒q ，qp ，p 是q 的充分不必要条件．对于选项C ：p ⇒q ，q p ，p 是q 的充分不必要条件． 对于选项D ：p ⇔q ，p 是q 的充要条件．故选A. 答案：A3．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号是________(写出所有真命题的序号)． 解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确； (2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．(3)如图(举反例)，a ⊂α，α∩β＝l ，a ⊥l ，使α与β不垂直．(4)l ⊥α，垂直的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直． 答案：(1)(2)1.对于函数：①f (x )＝|x ＋2|，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x －2)，判断如下两个命题的真假；命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是( )A ．①②B ．②C ．①③D ．③解析：对于函数①，∵f (x ＋2)＝|x ＋4|，∴命题甲是假命题；对于函数②，∵f (x ＋2)＝x 2，∴命题甲是真命题，且命题乙是真命题； 对于函数③，∵f (x ＋2)＝cos x ，∴命题甲是真命题，但命题乙是假命题． 答案：B2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方得y ＝(x －34)2＋716.∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2， B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解之，得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]或[34，＋∞)．。
广州市2011届高三二模文科数学试题
记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A ， 则 P( A) = 10 + a = 2 ， …………………………………………………………………………………4 分
40 5 解得 a = 6 ． ………………………………………………………………………………………………5 分 因为 32 + a + b = 40 ，所以 b = 2 ． 答：a 的值为 6，b 的值为 2．……………………………………………………………………………7 分
橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上 要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的， 答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一点 P ( x0 , y0 ) 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A 、 B ．
（1）若双曲线 C 上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，求双曲线离心率 e 的取值范围； （2）求直线 AB 的方程； （3）求三角形 OAB 面积的最大值．
数学（文科）试题 A 第 4 页 共 4 页
2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
B． sin x − cos x
C． − sin x + cos x D． − sin x − cos x
8．一条光线沿直线 2x − y + 2 = 0 入射到直线 x + y − 5 = 0 后反射，则反射光线所在的直线方程为
广州一模理科数学及答案(广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学)
2011年广州一模要到2011年3月14日、15日开考大联考官网 考后第一时间权威发布答案以下是2011年广州零模试题及答案，希望有借鉴作用。
2011年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011. 01注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 函数()g x =的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2. 已知i 为虚数单位, 则复数i (1+i )的模等于A .12B.C. D. 23. 已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为图2侧视图俯视图正视图A . 3- B. 32-C. 32D. 34. 已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 图1A. 720 B . 360 C . 240 D. 1206. 已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27187. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为12π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 28.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 . 10. 已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线图3l 的方程为 .11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = . 12. 922()2x x -展开式的常数项是 .（结果用数值作答） 13. 设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n c o s,2s i n 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1∙=-m n . (1) 求cos A 的值;(2) 若a =, 2b =, 求c 的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?(2) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲MDBAP 厂生产的一等品的个数记为ξ, 求E ξ的值.18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.图4 19．（本小题满分14分）已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. (1) 求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；(2) 若关于x 的方程()()22g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C ：x y e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点 22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；2011年广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．y x = 11. 126 12. 212-13.()(),22,-∞-+∞14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n , ∴ 222cos2sin 122A A-=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<,∴ 23A π=. ……6分∵a =2b =,由正弦定理得sin sin a b A B=,2sin sin3B =,∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<, ∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分(2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== ……8分∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分 ∵BM PD ⊥, AB BM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点,在Rt △PAD 中,得AM =Rt △CDM 中,得MC ==∴12ACM S AM MC ∆=⋅=设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111332ACM ACD S h S PA ∆∆=.解得3h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则sin 3h CD θ==， ……12分∴cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为3. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin CD n CD nα⋅==. ……12分∴cos α=∴直线CD 与平面ACM ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =,12=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为143+=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<07t <<．∴弦长||AB == …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤7= (12)分=，即7t=. ∴ ABC ∆ …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C 的半径为2r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得y =∴弦长||AB = …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤=……12分=，即t=. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7． …… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax+-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥.∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则2102x -+=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间10,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭, 单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减.∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-, 当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解: 由x y e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n x n k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分 ∴111x y e e ==， ∴11(1,)P e -. ∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分 一般地，直线n l 的方程为()n n x x n y e e x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分（2）解：11(1)(1)111()()222|n n xx n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212n e e e-⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e e e e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-. ……10分 ∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e +++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-. 要证明11n n n nT x T x ++<，只要证明111n e e e n +-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ② 假设n k =时，1(1)k e e k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>.∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++.∴2(1)(1)k e e k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立.由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0x >时, ()()00f x f >=.∵n ∈N *,∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n ee n e +>-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分。
2011年广州高三年级调研测试
酶 2011年广州市高三年级调研测试理科综合参考答案一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
多选、错选均不得分。
二、双项选择题：本题包括9小题，每小题6分，共54分。
每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求。
全选对得6分，只选1个且正确得3分，错选、不选得0分。
三、非选择题：本题包括11小题，共182分。
26．（16分）（1）酵母菌、小球藻（2） C 6H 12O 6+6H 2O+6O 2→6CO 2+12H 2O+能量（3）B B 瓶的小球藻能获得A 瓶的酵母菌呼吸产生的CO 2 （4）抽样检测（显微镜直接计数） 对样液稀释后再取样计数 （5）反应时间 降低CO 2的浓度（或CO 2的浓度）（答“提高CO 2的浓度”不得分）27.（16分） （1）11（2）幼苗细胞分裂旺盛，DNA 复制时更容易发生基因突变 微型繁殖（植物组织培养） （3）①非同源染色体上的非等位基因 ②控制酶的合成来控制代谢过程 ③AAbb 、aaBB （全对才给分） 产油：不产油=9：7（全对才给分） 1/428.（16分）（1）血浆和淋巴 （2）静息 负 （3）突触小泡 突触后膜 阴 载体蛋白 控制物质进出细胞和进行细胞间的信息交流 29．（16分）（1）光合作用、细胞呼吸（或有氧呼吸）、水解反应（答对2点即可） 强 抵抗力 竞争 （2）①合理利用不同层次土壤的水分和无机盐 ②提高植物利用阳光的能力 （3）次生 （4）湿地 30．（16分）（1）大于（2分） （2）A （2分） D （2分） （3）（6分）CO 2（g ）＋3H 2（g ）CH 3OH （g ）＋H 2O （g ）起始物质的量/mol 6 8 0 0 物质的量变化/mol 2 6 2 2平衡物质的量/mol 4 2 2 2 （2分）（2分）（2分）（4）升高温度（2分） 增大压强（2分） 31．（16分）（1）3Cu ＋8H ＋＋2NO 3－ ＝ 3Cu 2＋＋2N O↑＋4H 2O （3分） （2）AC （4分）（3）温度不是反应速率明显加快的主要原因。
2011年广州市高三年级调研测试--数学(理)
(1)
解:
∵m
2
cos
A 2
, sin
A 2
,n
cos
A 2
, 2sin
A 2
,
mAn 1 ,
∴ 2 cos2 A 2sin2 A 1.
2
2
∴ cos A 1 . 2
(2)解: 由(1)知 cos A 1 ,且 0 A , 2
根据条件概率计算公式得 P AB P AAP B A 0.6 0.9 0.54 . ……4 分
解法 2: 该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50 60% 30 个, 乙厂生产的灯泡
有 50 40% 20 个, 其中是甲厂生产的一等品有 30 90% 27 个, 乙厂生产的
∴ AB 平面 PAD .
∵ PD 平面 PAD
∴ AB PD ，
……3 分
∵ BM PD , AB BM B , AB 平面 ABM ,
BM 平面 ABM ,∴ PD 平面 ABM .
∵ AM 平面 ABM ,∴ AM PD .
……6 分
（2）解法 1：由（1）知， AM PD ，又 PA AD ，
本, 若高Leabharlann 入家庭抽取了 25 户, 则低收入家庭被抽取的户数为
.
10. 已知直线 l 经过坐标原点，且与圆 x2 y2 4x 3 0 相切，切点在第四象限，则直线 l 的
方程为
.
11. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2 6, S4 30 ，则 S6
.
12.
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2011年广州市高三调研测试说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．33y x =- 11. 126 12. 212-13.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=- m n ,∴ 222cos2sin 122A A -=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<,∴ 23A π=. ……6分∵23a =,2b =,由正弦定理得sin sin a b A B=,即2322sin sin3B π=,题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBBBCB∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<,∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯= . ……4分解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡 有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分(2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== (8)分∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.ξ 0 12P2531225 6211225 3511225zyxMDCB AP∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂ 平面PAD ,PA ⊂平面PAD , ∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分∵BM PD ⊥, AB BM B = ,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面ABM , ∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点, 在Rt △PAD 中,得2AM =，在Rt △CDM 中,得223MC MD DC =+=,∴1622ACM S AM MC ∆=⋅=. 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111332ACM ACD S h S PA ∆∆=. 解得63h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则6sin 3h CD θ==， ……12分 ∴3cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M .∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-. ∴(2,1,1)n =-. ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin 3CD n CD nα⋅==. ……12分 ∴3cos 3α=.∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴2312a a -=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =， ∴ 212302t t -<<，即22107t <<．∴ 弦长22222123||221274t AB r d t t -=-=-=-． …… 8分∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. …… 12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立.∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=.∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =， ∴ 212302t t -<<，即22107t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得21272t y -=±，∴ 弦长2||127AB t =-． …… 8分∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分 ()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立.∴ ABC ∆的面积的最大值为377． (14)分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=, 解得121141140,22a ax x --+-++=<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则211402a x -++=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则1140,2a x ⎛⎫-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x <; 114,2a x ⎛⎫-++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x 在区间1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭, 单调递增区间为114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2xx ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. (12)分∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x=-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由x y e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n xn k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分∴111xy e e ==， ∴11(1,)P e-. ∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y ee x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上， ∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分 （2）解：11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212ne e e -⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e e e e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭- . ……10分∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-.要证明11n n n nT x T x ++<，只要证明111n e e e n +-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ② 假设n k =时，1(1)k e e k e +>-+成立， 则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+， 而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>. ∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++. ∴2(1)(1)k e e k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立. 由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x ee x e +=---,则()()'11x fx e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ∴当0x >时, ()()00f x f >=. ∵n ∈N *, ∴()0f n >, 即()110n ee n e +--->.∴()11n e e n e +>-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 ［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解. ［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.饲料行情 /siliao/ 饲料行情吘莒咦。