1第一章随机事件与概率1

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A =A
推广：
n
Ai
i 1
“ n 个事件A1 , A2 ,… , An 同时发生 ”
这一事件称为 A1 , A2 ,… , An 的积（或交）.
n
Ai
i 1

Ai “ 事件A1 , A2 ,… , An… 同时发生”
i 1
这一事件称为 A1 , A2 ,… , An…的积（或交）
2 事件的并(和)
“两个事件A、 B中至少有一个发生”
这一事件，称为事件A与B 的并(或和).
记为 A+B 或 A∪B.
对任一事件Ａ，显然有：
A
B

A +A =A , A+ =A ,
A+ =
A+B
n
推广: Ai A1+A2+…+An i 1
n
Ai
i 1
“事件 A1, A2 , …, An 中至少有一个发生”.

Ai
i 1
4 互不相容(互斥)
若事件A与B 不能同时发生，即
AB = ， 则称A、B互不相容（或互斥）.

A
B
AB
推广：两两互不相容 （或两两互斥） 若事件 A1, A2, …, An (A1, A2, …, An , …)
中任意两个事件都互不相容, 即:
Ai Aj (i j, i, j 1, 2, , n) Ai Aj (i j, i, j 1, 2, , n, )
反面的情况. ={正，反}
E2：将一硬币抛两次,观察出现正面、反面的情况.
={(正正), (正反), (反正), (反反)}
E3：在一批灯泡中，任取一只测试它的寿命
＝ t t 0
E4： 抛一颗骰子，观察出现的点数
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
E5： 某人向100米外的靶子射击，观察击中
单的结果 ，称为基本事件.
在E5中，“0环”,“1环”, ...“10环”， 这些都是基本事件.
复合事件——由若干个基本事件组成. 在E5中，“5环以上”，“8环以下”， 这些都是复合事件.
样本空间或基本事件空间 :
随机试验E的全体基本事件组成的集合.
写出上面5个试验的基本事件空间 E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、
概率论与数理统计 (2010级)
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 概率的定义 概率的性质 条件概率和乘法公式 独立性
在自然界和社会实践中，人们观察到的现象 大致可以归结为两种类型。有一类现象，在一定 的条件下必然发生(或必然不发生)，这类现象称为 确定性现象或必然现象。例如，在标准大气压下， 水温达到100C必然“沸腾”，水温降至0C必然 “结冰”。向上抛一石子必然下落， 等等。 过去我们学过的微积分和线性代数就是研究 这类现象的工具。

Ai A1+A2+…+An +….
i 1

Ai
i 1
“事件A1, A2 , …, An , …中至少有一个发生”
3 事件的交（积）
“两事件A、B 同时发生” 这一事件
称为事件A与B 的交(或积), 记为 ：AB (或A∩B)
显然对任一事件A 有：
AB

A
B
AA =A A =
简称事件.
事件A的发生：通常只要A中的一个基本 事件出现，就说事件A发生.
必然事件 ： 在每次试验中一定会出现的事件.
如：掷一颗骰子，“出现的点数不超过6” 就是一个必然事件.
不可能事件 ：在任何一次试验中都不会出现的事件.
如：掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件.
样本空间 作为一个事件是 必然事件. 空集 作为一个事件是不可能事件.
§1.1 随机事件及其运算
一 随机试验 我们把对自然现象进行观察或进行各种
科学试验，统称为试验. 在这里试验是一个 含义广泛的术语.
如果某试验满足以下三个条件：
(1) 可以在相同条件下重复进行. (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能在
试验之前明确知道所有的可能结果. (3) 在每次试验之前，不能确定这次试验
的环数.
以上均为随机试验.
二 随机事件 随机试验E的每一个可能结果,称为 随机事件,
简称事件. 通常用大写字母 A、B、 C...表示.
在E5中，有如下可能结果：“0环”, “1环”, ... ,“10环”
但还有其他可能结果：“5环以上”， “8环以下”.
统称为事件.
在随机试验E中，每一个可能出现的最简
三 事件的关系和运算 实际问题中，通常不只讨论一个事件，而是研
究多个事件之间的联系，从而把握事物的本质.
1 包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B
包含事件A (或称事件A含于B), 记作：
BA 或 AB 显然, 对任何事件A必有，
B


A
若事件 AB且 BA 则称事件 A与B 相等. 记作:A=B. 维恩图
然而在自然界和社会中还存在着另一类现象， 在一定条件下，这些现象可能发生，也可能不 发生，事先不可预言。这类现象称为 偶然性现象 或随机现象。 例如，扔一硬币，其结果有两种
可能; 同一门炮向同一目标射击，各次弹着点 不尽相同，而在一次射击前，无法预测弹着点
的确切位置。 类似的例子还可以举出许多。
在一定条件下对随机现象进行大量观察 会发现某种规律性.
哪一个结果会出现.
则称为随机试验，简称试验.
随机试验用E表示. 例如：
E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、 反面的情况.
E2： 将一硬币抛两次，观察出现正面、 反面的情况.
E3：在一批灯泡中，任取一只测试它的寿命.
E4： 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5： 某人向100米外的靶子射击，观察击中
的环数 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
事件A： “5环以上” A ={6, 7, 8, 9, 10} 事件B： “8环以下” B ={0, 1, 2, ... 6, 7 } 事件C： “奇数环” C ={1, 3, 5, 7, 9}
基本事件空间 的子集，称为E的一个随机事件，
概率论是研究随机现象统计规律性的 一门学科.
概率论的应用
1、保险业、心理学、经济管理、人口统计、 生物遗传学、质量控制、地震、气象预报等。
2、概率论和其它学科结合起来产生了许多 边缘科学：生物统计、统计物理、数学地质 等等。 3、它又是上个世纪许多新兴学科的基础， 信息学、排队论、控制论、可靠性理论、 人工智能等等。