极限存在准则 两个重要极限教案
高等数学1.6极限存在准则两个重要极限公式教学内容.ppt
2024年9月27日星期五
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
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内容小结
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
2024年9月27日星期五
15
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作业
习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6）
思考与练习
3（3）（4）
1. 填空题 ( 1～4 )
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。
首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim，其中n x =1x =对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→Λ那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I ' 称为夹逼准则。
教学内容极限存在准则与两个重要极限(精)
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
例如 , 当x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
又如 ，
lim
即
xn a
,
故
lim
n
xnLeabharlann a.例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
xn
a xn
a
xn1 xn
1 (1 2
a xn 2
)
1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，故极限存在，设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
极限存在法则和两个重要极限
听讲勾画做笔记
听讲勾画做笔记
听讲交流
听讲交流
记忆、总结
听讲交流
小结
1、总结本节课所学知识点
2、学生自我总结归纳
3、收集学生意见或者建议
作业
习题1.4
教学反馈
教研室审
阅意见
(□代表同一变量).
例2求下列极限:
（1）
（2）
（3）
（4）
分析（略）
2）
该极限的基本特征是：底数的极限值为1，指数的极限是无穷大，且指数与底数中第二项互为倒数.因此，该极限的一般形式为
， (□代表同一变量).
通过演示讲解基本知识
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
例题讲解
通过演示讲解基本知识点
难点
理解极限存在准则
教学
方法
讲授法，练习法
教学
准备
黑板，教案
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活同情况下的极限的概念；（熟记）
2、函数极限的运算法则。（理解）
二、讲授新课
（一）极限存在准则
准则I（夹挤定理）
则
准则I’（夹挤定理）
（二）第一个重要极限
1）
该极限的基本特征是：分子分母的极限值均为零，且分母中的变量与分子正弦函数中的变量相同.因此，该极限的一般形式为
课程名称
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
1.4极限存在法则和两个重要极限
教学
目标
知识目标：
1.理解极限的夹逼准则。
2、熟练掌握两个重要函数极限，并且会求函数的极限。
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
06第5讲两个重要极限、极限存在准则
x0 x
x0 5x
5lim siun 5. (u5x) u 0 u
或直接 l(x) i0 m s用 ia ( x n )(x)公 a(a式 0 ):
limsin5x5. x0 x
例4
求 limsin3(xa) xa xa
解 x a 时, (x) = x a 0 ,
故 lim si3n(xa)3.
2 22
2
故当 0x时 , 1 x 1
2
sinx cosx
即有 cox ssixn1, x
由sin x 与cos x 的奇偶性可知：
当0|x|时 , coxssixn1成.立
2
x
由 lic m o xs 1, li1 m 1及夹,得 逼
x 0
x 0
lim sin x 1 x0 x
一般地
limsink(x)k (x)0 (x)
想想, 作一个什么样的代换？
令 x t ,则 x 时 ,t .
令 x t, 则 x 时 , t ,
1
1
x
x
1
1 t
t
t
t
t 1
t
1
1
t
t 1
1
t
1
t
1
1
1
t1
1
1
t1 t1
再令 ut1,则 t 时 , u ,且
lim 1 x
e3
例8 解
求 lim x 1 x
x x 1
( 1 )
lim
x
x x
1x
1
lim1 x
2
x
x 1
lim1
2
(x1) x
高等数学教案(极限部分)4 极限存在准则与两个重要极限
n →∞
8
如右图, 当 n > N 0 = 5 , 数列 x n = 右图
ln n n
2
有界、 有界、
但收敛很慢. 单调递减有极限, 单调递减有极限 且 lim xn = 0, 但收敛很慢 n →∞
2 1.5 1 0.5
2000
4000
6000
8000
10000
9
设
2 1.5 1 0.5 -1 -0.5 -1 1
o 函数图形如上, 函数图形如上 它在 ( − 1, 3) 有界且分段单调， 有界且分段单调，
请观察函数在每一点的单侧极限都存在, 请观察函数在每一点的单侧极限都存在 如
x → 2− 0
x 2 − 1 x ∈ [−1, 0) x ∈ [0,1) 2x f ( x) = , −2 x + 4 x ∈ [1, 2) 0.8 x − 1 x ∈ [2, 3)
101520253002040608如左图数列有界20004000600080001000005如右图数列有界它在有界且分段单调函数图形如上请观察函数在每一点的单侧极限都存在10505数列单调下降有下设其极限值为a存在所以120204060802040608证明重要极限1如图先考虑一个很明显的几何事实
1 − cos x lim , 2 x →0 x
1 1 = ⋅1⋅1 = 2 2
15
解
x tan x 1 x2 1 x sin x lim = lim ⋅ 2 ⋅ x →0 2 − 2cos x 2 x →0 1 − cos x x cos x
1 x 1 1 sin x 1 = lim ⋅ ⋅ = ⋅ 2 ⋅1⋅ = 1 2 x →0 1 − cos x x cos x 2 1
高等数学教案 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较
课题极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极限存在准则与两个重要极限。
（2）理解无穷小阶的比较。
思政育人目标：通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用准则Ⅰ（夹逼准则）设数列{}na，{}nb，{}nc满足：（1）00N n N+∃∈>Z，时，n n na c b，（2）lim limn nn na b a→∞→∞==（a为常数），则limnnc a→∞=．学习极限存在准则与两个重要极限。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2例1 求222111lim 2n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+π+π+π⎝⎭．解 对n ∀∈N ，有22221112n nn n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 2222221112n n n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 而1limlim 11n n n n n→∞→∞==π+π+，2221lim lim 11n n n n n →∞→∞==π+π+． 由夹逼准则可知222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+π+π+π⎝⎭．上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ'（夹逼准则） 若函数()()()f x g x h x ，，在点0x 的某去心邻域内满足： （1）()()()g x f x h x ，（2）0lim ()lim ()x x x x g x h x A →→==，则有0lim ()x x f x A →=．作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限：0sin lim1x xx→=．证明 在图1-25所示的单位圆中，设圆心角BOA x ∠=，AD 切圆O 于A ，且与OB 延长线相交于D ，于是有AOB AOB OAD S S S <<△△△扇形，即111sin tan 222x x x <<，sin tan x x x <<，不等式两边同时3除以sin x 得11sin cos x x x<<， 不等式两边同时取倒数得sin cos 1x x x <<，02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． 当02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，02x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，有sin()cos()1x x x--<<-，同样可得sin cos 1x x x <<．所以当22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，sin cos 1xx x<<．又因为0limcos cos01x x →==，0lim11x →=，由判别准则I 知0sin lim 1x xx →=．图1-25例2 求0tan limx xx→．解 00tan sin 11limlim 11cos cos0x x x x x x x →→=⋅=⋅=．例3 求0sin limx kxx→．解 设t kx =，则当0x →时，0t kx =→，于是4000sin sin sin limlim lim 1x x t kx k kx tk k k x kx t →→→==⋅=⨯=．例4 求0sin limsin x axbx→．解 0000sin sin limsin lim lim sin sin sin lim x x x x ax axax a x x bx bx bx bx x→→→→===． 例5 求sin 2()limx x x →π-π-π．解 设t x =-π，则x →π时，0t →，所以0sin 2()sin 2limlim 2x t x tx t→π→-π==-π．⏹ 【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限⏹ 【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1 如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递增的；如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列．准则Ⅱ（单调有界原理） 单调有界的数列必存在极限． 不妨设{}n a 是一单调递增的数列，且0M ∃>，使对n ∀，n a M ，则数列{}n a 的通项n a 随n 的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点M ．因此，n a 必然无限接近于某个实数()n a a a M <<，a 便是数列{}n a 的极限，如图1-26所示．图1-265证明：1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（详见教材）例6 求4lim 1xx x →∞⎛⎫+⎪⎝⎭． 解法1 设4t x=，则当x →∞时，0t →，所以 4144004lim 1lim(1)lim[(1)]e xt t x t t t t x →∞→→⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭． 解法2 44444444lim 1lim 1lim 1e xxxx x x x x x ⋅→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 例7 求21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解22(2)2111lim 1lim 1lim 1e x x xx x x x x x --⋅---→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 例8 求431lim 12x x x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解43432221111lim 1lim 1lim 1lim 11e 2222x x x x x x x x x x x --⋅→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结论 一般地，有公式lim 1e bx cab x a x +→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例9 求123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解63121233112323e 22lim lim lim lim 1e 1212111e 122xxx x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⏹ 【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？⏹ 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用定义1 设α，β是同一变化过程中的两个无穷小量， （1）若lim0αβ=，则称α是比β高阶的无穷小量，记为()o αβ=．（2）若limαβ=∞，则称α是比β低阶的无穷小量． （3）若lim c αβ=（c 是不等于零的常数），则称α与β是同阶无穷小量．特别地，若1c =，则称α与β是等价无穷小量，记作~αβ．例1 证明：当0x →时，211cos ~2x x -． 证明 因为22220002sin sin1cos 22lim lim lim 1222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭，所学习无穷小阶的比较。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 让学生理解极限存在的概念，掌握极限的定义和性质。
2. 让学生掌握两个重要极限：e^x 和sin x 的极限存在性。
3. 培养学生运用极限思想解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：理解极限过程，灵活运用极限思想解决问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、性质和两个重要极限的推导过程。
2. 运用案例分析法，引导学生运用极限思想解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
四、教学准备1. 教案、PPT、教材等相关教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
五、教学过程1. 导入新课：回顾极限的基本概念和性质，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念，阐述极限的重要性和应用范围。
3. 推导第一个重要极限：e^x 的极限存在性。
a. 讲解e^x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导e^x 的极限存在性。
4. 推导第二个重要极限：sin x 的极限存在性。
a. 讲解sin x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导sin x 的极限存在性。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学内容。
6. 总结与展望：对本节课内容进行总结，强调极限存在的意义和应用。
7. 布置作业：布置课后习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：针对学生存在的问题进行个别辅导，提高学生的学习效果。
六、教学拓展与应用1. 让学生了解极限存在在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 引导学生运用极限思想解决实际问题，如求解函数极限、导数、积分等。
3. 分析极限在实际问题中的作用，培养学生运用极限思维分析问题的能力。
七、极限存在与连续性的关系1. 讲解连续函数的极限存在性定理。
2. 分析连续函数在其极限点处的性质，如连续性、导数存在等。
3. 引导学生理解连续性与极限存在的关系，提高学生对连续性的认识。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
极限存在准则两个重要极限教案
§1。
7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题,有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f ,但0→x 时,()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求?再如()∞→+=n n n f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1）() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε,当1N n >时，有ε<-a y n 。
同理20N ∃>∀ε，当2N n >时,有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时, 有ε<-a y n ， ε<-a z n 同时成立 即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n ，而(),2,1=≤≤n z x y n n n n,∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
＊数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果（1） ),ˆ(0r x U x ∈ （或M x >）时,有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ）,那么()A x h =lim （0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限:1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积 即x sin 21 <<x 21 x tan 21， 1sin cos <<x xx (1)（∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立）。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
两个重要极限教案
两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。
二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。
三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。
两个重要极限、极限存在准则
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第十讲函数极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性本章学习要求：▪了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X ”语言描述函数的极限。
▪理解极限与左右极限的关系。
熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
▪理解无穷小量的定义。
理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。
了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
▪理解极限存在准则。
能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
▪理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。
了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
▪理解幂级数的基本概念。
掌握幂级数的收敛判别法。
第四、五节极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性二.夹逼定理一.单调收敛准则三.两个重要极限五.柯西准则四. 函数极限与数列极限的关系请点击一.单调收敛准则. )(sup )(lim:,)( , x f x f x f =的极限存在则在该极限过程中函数单调增加且有上界函数设在某极限过程中. )(inf )(lim:,)( , x f x f x f =的极限存在则在该极限过程中函数单调减少且有下界函数设在某极限过程中一般说成:在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.δ-0x δ+0x 0x ε+=a y ε-=a y ay =)(x h y =)(x f y =)(x g y =xy O 看懂后, 用精确地语言描述它.二.夹逼定理函数极限的夹逼定理有时设 , ) || ( ),(Uˆ 0X x x x >∈δ.)()()(x h x f x g ≤≤则必有若 , )(lim )(lim )()(00a x h x g x x x x x x ==∞→→∞→→. )(lim )(0a x f x x x =∞→→定理. 0的情形只证x x →且设 , ),U( )()()( 10δx x x h x f x g ∈≤≤ , 0 , )(lim )(lim 00>∀==→→ε则a x h x g x x x x. |)(| , || 0 ,0202εδδ<-<-<>∃a x h x x 时当. |)(| , || 0 ,0303εδδ<-<-<>∃a x g x x 时当 .)( εε+<<-a x h a 即 .)( εε+<<-a x g a 即, || 0 },,,min{ 0321时则当取δδδδδ<-<=x x , )()()(εε+<≤≤<-a x h x f x g a . )(lim 0a x f x x =→即证. 2 lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求,有由取整函数的定义 ,2212xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-;222 , 0 ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<->x x x x 时故当.22lim , ,2)2(lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-→→x x x x x 所以而夹逼定理例3解2 22, x x x ⎡⎤->≥⎢⎥⎣⎦当<0x 时，三.重要极限 1sin lim .10=→xx x 重要极限 11lim .2e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→重要极限请点击首先看看在计算机上进行的数值计算结果： 1sin lim .1=→xx x 0重要极限xx xsin→1→0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.9999998333333416367097 0.00010.9999999983333334174773 0.000010.9999999999833332209320 0.0000010.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000 0.000000011π2-π2ππ-xx y sin =xyO1. sin 的图形然后看xxy =运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.x O1DBA xy, 作一单位圆20 π<<x 先令从图中可看出:, x AOB =∠设面积面积扇形面积DOB AOB AOB ∆<<∆xsin xtan 证. )2(0 tan 2121sin 21 π<<<<x x x x 即x x x cos 1sin 1<<由sin x 与cos x 的奇偶性可知：, 2||0 时当π<<x . 1sin cos 成立<<x xx 1sin lim 0=→xxx 得及夹逼定理由 , 11lim , 1cos lim 0==→→x x x , 20 时故当π<<x, 1sin cos <<xxx 即有一般地其中,a ≠0 为常数.)() (sin lim)(a xxax=→ϕϕϕ.)()(的极限为零表示在某极限过程中xxϕϕ→=→xx x 5sin lim 0xx x 5sin lim 0→求x x x 55sin 5lim0→)5( . 5sin lim 50x u uu u ===→: )0( )()(sin lim 0)(≠=→a a x x a x ϕϕϕ可直接用公式 . 55sin lim 0=→xx x 例2解=→xx x tan lim 01cos 1lim sin lim 00==→→xx x x x xxx tan lim 0→求x x x x cos 1sin lim 0→例3解x →a 时,ϕ(x ) = x -a →0 ,. 3)(3sin lim =--→ax a x a x ax a x a x --→)(3sin lim 求故例4解20cos 1lim xxx -→求2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x =-→20cos 1lim x x x 22022sin 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2202sin 2lim xxx →例5解, π-=x t 令=-→ππx xx sin lim ππ-→x xx sin lim求故1sin lim 0-=-=→tt t , 时则π→x 0→t tt t )sin(lim0π+→例6解⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 1sin sin 1lim 0(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x xx 1sin sin 1lim 求(1)请自己动手做一下例4(1)=→x x x sin 1lim 0 01sin lim 0=→xx x )11sin (是有界量≤x⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴→x x x x x 1sin sin 1lim 01sin lim 0=→xxx 11sin lim sin 1lim 00=+=→→xx x x x x 解=∞→x x x 1sin lim 0sin 1lim =∞→x xx )1 |sin | (是有界量≤x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴∞→x x x x x 1sin sin 1lim (2)111sinlim =∞→xx x 11sin lim sin 1lim =+=∞→∞→xx x x x x 解由三角函数公式33232sin 2cos 2cos 2cos 2x x x x === nn xx x 2cos 2cos 2cos lim 2 ∞→求2222sin 2cos 2cos 2x x x =2cos 2sin 2x x =x sin nn nx x x x 2sin 2cos 2cos 2cos 22 故原式x x x x n n n sin 2sin 2lim ∞→=nn nx x 2sin 2sin lim ∞→=x x sin =例8解2.重要极限ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 特别重要啊！ex xx =+→1)1(lim变量代换xy 1=下面先证明ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ex xx =+→1)1(lim由它能得到e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11 lim 吗？如果可行, 则可以利用极限运算性质ax f x f a x f x x x ==⇐⇒=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim 得到所需的结论吗？进一步可得e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 吗？在讨论数列极限时, 有 .11lim e n nn=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→第一步：证明因为x →+∞, 故不妨设x > 0.ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11 lim1111111 nx n +≤+<++1111111111111 +⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xxxnn n x n n 由实数知识, 总可取n ∈Z +, 使n ≤x < n +1,故111lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→111lim , 111111lim 1e n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→, 1111lim e n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→.11lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→故由夹逼定理得时而 , , +∞→+∞→x nex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 我们作变量代换,将它归为x →+∞的情形即可.想想, 作一个什么样的代换？., , +∞→-∞→-=t x t x 时则令第二步：证明, t x -=令=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 11tt ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111 , 1 -=t u 再令xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim ,, +∞→-∞→t x 时则且时则 , , +∞→+∞→u t tt t ⎪⎭⎫⎝⎛-1tt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-1111111t t t e u u uu =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛--tt 11ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11 lim 由e x x xx x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+→∞-→11lim 11lim⇐⇒e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11 lim 第三步：证明现在证明()ex xx =+→101 lim. 的情形转化为∞→xex xx =+→10)1(lim 11 lim e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→令,1t x =t →∞,则x →0时,,11lim )(1 lim 10e t x tt xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→→故ex xx =+→10)1( lim 于是有证综上所述, 得到以下公式e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11 lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11 lim ex xx =+→10)1( lim)(1 lim )()(kx x e x k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ϕϕϕ))(1( lim )(10)(kx x e x k =+→ϕϕϕ一般地其中, k≠ 0 为常数..)( 0)(的极限为零表示在某极限过程中x x ϕϕ→.)( )(∞∞→的极限为表示在某极限过程中x x ϕϕx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→31 lim xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→31 lim 求33311 lim ⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx x 333311lim e x xx =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→例9解xx x 2cot 2)tan 31(lim +→3tan 3322)tan 31(lim ex xx =+=→xx x 2cot 2)tan 31(lim +→求解例10xx x21lim 0-→210)21( lim -→=-=ex xx ( 即k = -2 的情形)x x x21lim 0-→求解例11xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11 lim ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+∞→)1(121ln 1exp lim x x x x x 2)1(121ln lim 1lim exp -+∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=e x x x x x x 1)1(121 lim +⋅+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x xx x x ( 1∞)xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 求xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→121 lim 解例12x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11 lim x xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1111lim x x xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→11lim 11 lim21--==e e e 解此题的另一解法：1cos 0 →→x x ，时 2211)]1(cos 1[ )(cos x x x x -+=∴21cos 1cos 1)]1(cos 1[x x x x -⋅--+=21)(cos lim x x x →求)1 ( ∞, 211cos lim ,)]1(cos 1[ lim 201cos 10-=-=-+→-→x x e x x x x 又211)(cos lim 2-→=e x x x 故常用的方法解例13.1cos 1sin lim xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→求)1 (∞xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1cos 1sin lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→22sin 1lim 221cos 1sin lim x x x x ⋅∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=首先平方解例14).0( ln ln lim >--+→a ax ax a x 求你想怎么做?,0 , , 于是时则令++→→+=y a x y a x 1ln 1lim )(ln )ln(lim ln ln lim 00⎪⎭⎫⎝⎛+=-+-+=--+++→→→a y y a y a a y a a x a x y y a x.1ln 1ln lim 110a e a y ayy ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→解例15. , , ,3lim 10为正常数其中求极限c b a cb a xxx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→. 1 型的极限这是∞,3)1()1()1( 13-+-+-+=++xxxxxxc b a c b a,3)1()1()1( )( 则令-+-+-=xx x c b a x ϕxx x x xxx x x x c b a )()(1010))(1(lim 3lim ϕϕϕ⋅→→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++.3)ln ln (ln 31abc ec b a ==++解例16ax f n n =∞→)(lim D ( f )为函数f ( x ) 的定义域.其中, 极限值a 可为有限数或为∞；四. 函数极限与数列极限的关系定理⇐⇒=→ )(lim 0a x f x x ),( )( },{ 0x x f D x x n n n ≠∈对任意的数列, )( 0都有时当∞→→n x x n该定理说明：的则对于任何一个趋向于如果 ,)(lim .100x a x f x x =→)),( ,( }{ 0都有数列f D x x x x n n n ∈≠),( }{ .200x x x x n n ≠的数列如果对每一个收敛于则有且所有极限相等存在极限 , , )(lim n n x f +∞→.)(lim 0a x f x x =→.)(lim a x f n n =+∞→证必要性： ,)(lim 0a x f xx =→设. |)(|ε<-a x f, || 0 ,0 0, 0有时当则δδε<-<>∃>∀x x,lim , ),( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且, ,0 ,0 有时当则对于上面的N n N >>∃>δ , ||0δ<-x x n从而有.|)(|ε<-a x f n 即有. )(lim 0a x f n x x =→. |)(| , || 0 , ,0 , 000εδδεε≥-'<-'<'>a x f x x x 但满足总存在则对于任意的的值取定一个下面怎么做？,lim ),( )( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且假设 .)(lim a x f n n =+∞→有.)(lim 0a x f x x ≠→如果,lim ),( )( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且假设 .)(lim a x f n n =+∞→有.)(lim 0a x f x x ≠→如果),( 1 , 0+∈=Z n nn δεε并取的值任意取定一个 ),( , 1满足存在一个则对每一个f D x nnn ∈'=δ , || 00n nx x δ<-'< . |)(| 0ε≥-'a x f n且有 , ),( :}{ 0x x f D x x n n n≠'∈''于是得到一个数列. ,性成立该矛盾说明定理的充分这与假设矛盾. |)(| ,lim 00ε≥-'='+∞→a x f x x n nn 且。
两个重要极限说课PPT教案
2
能力目标
能够运用两个重 要极限求实际问 题的能力；能够 运用等价无穷小 的代换求极限。
3
情感目标
培养学生抽象的 概括能力和严密 的逻辑思维能力
第4页/共15页
4 教法学法
讲授法
练习法 演示法
教法
讨论法
比较法
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4 教法学法
练习法
自主探索
学法
演示法
讨论法
第6页/共15页
5 教学过程
难点：两个重要极限的运用。
第2页/共15页
2 学情分析
学生
函数 函数的极限 无穷大和无穷小 极限的四则运算
普遍基础差 对先学后教的教 学方法不适用 不喜欢动脑筋 喜欢老师讲例题 后自己做练习
第3页/共15页
3 教学目标
1
知识目标
熟练掌握两个重 要极限的结论； 熟练运用两个重 要极限求函数极 限；掌握利用等 价无穷小的代换
lim
0
sin
1
第12页/共15页
6 设计理念
是什么？ 为什么？ 怎么办？
第13页/共15页
第14页/共15页
lim cos x lim 1 1
x0
x0
lim sin x 1 x0 x
3.师生互动，归纳总结
注意：第一个重要极限特点： （1）它是“ ”型；
（2）形式必须一致，即
中的三个 必
须是一样的, 是指同一个变量或表达式.
第9页/共15页
4.应用解题，总结步骤；
例1.计算 lim sin 3x x0 3x
结论 ：
lim 1 cos x0 x 2
x
1 2
变形即： lim
两个重要极限教案(修改稿)
例2：求⑴ ⑵
解：⑴ =3 =3
⑵ =
=
=
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地 ， ， 。
例3：求
解： = = =
回顾反思：利用公式 求函数极限，有时不仅要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
③
一、问题的提出
“ 型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“ 型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求 ？
（学生使用计算器进行实验）
二、动态演示，验证猜想
于 ，则 ，拖动点 ，改变 的大小，观察 值的变化趋势。
得出结论：
三、证明猜想
过程见课本
公开课教案ຫໍສະໝຸດ 教者徐明科目数学
班级
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。
作业
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§1.7 极限存在准则 两个重要极限
求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=
x
x
x f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？
再如()∞→+=n n
n f n )1
1(无限多个积，n 换成x ？
一．极限存在准则I
1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：
(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim
那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞
→lim .
证：∵a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim ，
∴10
N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .
同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立
即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞
→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果
(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),
那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim 0=→x
x x
证：函数x
x
sin 在0≠x 时有定义
单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积
即x sin 21 <<x 21 x tan 2
1
, 1sin cos <<x x
x (1)(∵用x -代x 时，x cos 与x
x sin 都不变号， ∴对⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
证 1cos lim 0
=→x x
20π
<<x 时，2
2222sin 2cos 11cos 0⎪⎭
⎫ ⎝⎛<=-=-<x x x x 22x =
即<-<x cos 1022x , 02
,
02
→→x x 由准则I ′有1cos lim 0
=→x x
由式(1)及准则I ′即得1sin lim 0=→x
x
x 。
3．应用：求极限
(1)1sin lim
0=→x
x x 0lim →x 1sin =x x
0lim
→x 1tan =x x
11sin lim =∞→x
x x ,
(2)3
5
35sin lim 0=→x x x ,
(3)212sin 2lim cos 1lim 2
2
020==-→→x x x x x x (4)2sin 2cos 2lim sin 3sin lim 00==-→→x
x
x x x x x x
(5)n
n n 2
sin
2lim π
∞
→( 0≠x ,常数)x =
ex:∞→n lim n x
x x 2
cos 2cos 2cos 2 令n x x x y 2cos 2cos 2cos 2 =, n n x
x y 2
sin 2sin =⋅,
∞→n n n n x y x 2
sin 2sin ,02sin =
∴≠ ∞→n lim x
x
y sin = ()01lim ==∞→x y n .
二．极限存在准则Ⅱ
如果数列n x 满足()≥≤≤≤≤≤+ 121n n x x x x ,
称为单调增加的（减少）。
已知收敛的数列一定有界，但有界数列不一定收敛。
若数列单调且有界，则有：
1．准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。
（正确性通过数列的几何意义容易从直观上看出，严格的证明用实数理论，不作证明。
）
几何解释：单调数列的点只向一个方向移动±∞→n x ,→n x 定点A 因为有界，所以n x 都落在[]M M ,-内，且极限的绝对值不超过M
2．讨论第二个重要极限∞→x lim x
x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+11考虑x 取n 并+∞→
设n
n n x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=11,证数列单调有界。
=n x n n
n n n n n n n n n n n n n n 1
!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132+--++--+-++ ＝1+1+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 11!21+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n 112111!12111!31
1+n x =1+1+ +⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121111!31111!21n n n
⎪⎭⎫
⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+111111!1n n n n +()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+11111!11n n n n ，
比较n x 与1+n x ，
n x 1+<n x 数列单调增加
又x n <1+1+!
1
!31!21n +++
1122132
1121
1121212111---=--
+=+++++<n n n 3<，即数列有界。
根据准则Ⅱ，数列极限存在，通常用e 表示，即e n n
n =⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→11lim 。
可证x 取实数→+∞或→-∞时,x
x ⎪⎭⎫
⎝
⎛+11的极限都存在且等于e ，
因此，∞→x lim e x x
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+11.(e=2.718281828…)
利用代换x
z 1
=，则当∞→x 时0→z 可有()e z z z =+→101lim 。
3．应用求极限
(1)∞→x lim ()
331e x x
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∞→x lim 21
2
11e x x
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
∞→x lim 111-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x x ∞→x lim 10521-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-e x x
（2）∞
→x lim 1
22
21+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x x =∞→x lim e x x x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
2211112
三．利用极限存在准则求极限
例1. 证明：∞→n lim
0!
2=n n
证:由于0<!2n n =
n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⋅⋅⋅⋅-322932232122222 ,∞→n lim 032=⎪⎭⎫
⎝⎛n
, 所以∞→n lim !
2n n
=0.
例2. 已知对=n 1,2,…,均有10<<n x ,且2
12n n n x x x -=+,
求n n x ∞
→lim
解：由于2
12n n n x x x -=+,故()n n n n n n x x x x x x -=-=-+12
1
而10<<n x ，故01>-+n n x x 即n n x x >+1，数列单调增加。
又()1112
1<--=+n n x x ,可知数列有界.
所以n n x ∞
→lim 存在，设a x n n =∞
→lim
则由=+∞
→1lim n n x ∞
→n lim )2(2
n n x x -,有22a a a -=
所以0=a ,或1=a ,而由10<<n x 及数列递增,知1=a 即1lim =∞
→n n x
*未证极限存在之前不能两边取极限.
小 结：极限存在准则与两个重要极限是函数极限的重要内容，必须熟练掌握并能准确应用。