2012数学二轮复习课件 随机变量及其分布

2．常见的离散型随机变量的分布
(1) ห้องสมุดไป่ตู้点分布
分布列为(其中0 < p < 1)： ξ 0 1 P 1-p p
( 2 ) 二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的
次数ξ 是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1, 2,
k 3， ，n，并且P (ξ = k ) = Cn p k q n − k (其中k = 0,1, 2， ， … …
( 3) 记“甲同学在一次数学竞赛预赛中成绩高于80分
6 3 为事件A，则P( A) = = . 8 4 3 随机变量ξ的可能取值为0、 2 3，且ξ ～B(3， )， 1、、 4 k 3 k 1 3− k 所以P(ξ = k ) = C3 ( ) ( ) ，k = 0,1, 2,3. 4 4 所以随机变量ξ的分布列为：
甲 9 8 4 5 8 2 3 1 7 8 9 0 0 0 2 乙 5 3 5 5
( 2 ) 派甲参加比赛比较合适．理由如下：
1 x甲 = (70 × 2 + 80 × 4 + 90 × 2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 8 5) = 85， 1 x乙 = (70 ×1 + 80 × 4 + 90 × 3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 8 5) = 85， 1 2 2 2 2 s = [( 78 − 85 ) + ( 79 − 85 ) + ( 81 − 85 ) + ( 82 − 85 ) + 8
(1) 设甲、乙两人同时承担H 任务为事件A，
A３ １ ３ 那么P ( A) = ２ ４ = ， C５ A 40 ４ A３ １ ３ 即甲、乙两 ２ ４ 人同时承担H 任务的概率是 . C５ A 40 ４
( 2 ) 记甲、乙两人同时承担一项任务为事件B，
4 A4 1 那么P ( B ) = ２ ４ = ， C５ A 10 ４
ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …
则均值 Eξ = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn + …， 方差 Dξ = ( x1 − Eξ ) 2 ⋅ p1 + ( x2 − Eξ ) 2 ⋅ p2 + … + ( xn − Eξ ) 2 ⋅ p n + … . 若 ξ ～ B ( n， p )，则 Eξ = np， Dξ = npq，这里 q = 1 − p.
(1)以十位为茎、 个位为叶绘制 ； (2)计算平 以十位为茎、个位为叶绘制； 计算平 以十位为茎 均值和方差； 是三次独立重复试验问题 是三次独立重复试验问题， 均值和方差 ； (3)是三次独立重复试验问题 ， 按照 二项分布的概率公式进行计算． 二项分布的概率公式进行计算．
(1) 作出茎叶图如下：
ξ P 1 2
3 1 5 所以Eξ = 1× + 2 × = . 4 4 4
本题是以排列组合为基础的古典概型问题， 这类试题中一个极为重要的技巧就是充分利用对 立 事件之 间的关 系，简 化运算 ，如第 ( 2 ) 问 中 “甲、乙两人不同时承担同一项任务”，如果直 接求解，就要先分配甲、乙两人担任四项任务中 的两项，再分配其余三人，这三人还要满足两个 空缺任务，安排起来是很麻烦的，但从对立事件 考 虑问题 就简单 多了， 第 ( 3 )问 也是类 似的 情 况．
2 2 2
2
] = 41.
2 2 因为x甲 = x乙，s甲 < s乙，所以甲的成绩较稳定，派甲
参加比赛比较合适． 本小题的结论及理由均不唯一，如派乙参加比赛比 较合适．理由如下：从统计学的角度看，甲获得85 3 分以上(含85分)的概率P1 = ，乙获得85分以上(含 8 4 1 85分)的概率P 2 = = .因为P2 > P，所以派乙参加比 1 8 2 赛比较合适．
所以三次摇奖中至少有一次中奖的概率为P = 1 − 4 3 61 ( ) = . 5 125
1 1 Cn ⋅ C10− n n(10 − n) = ， ( 2 ) 每次摇奖中奖的概率为P = 2 C10 45
摇奖中首次中奖的摇奖次数服从超几何分布，其分 布列如下：
ξ P 1 P 2 (1-P)P 3 (1-P)2P … … k (1-P)k-1P … …
【解析】1) 令f ′( x) = 3x 2 + 2ax + b = 0，当且仅当∆ = ( 2 2 4a − 12b = 4(a − 3b) > 0时，函数f ( x)有极值．符合 a 2 − 3b > 0的a，b共有20组，所以函数f ( x)有极值的 20 5 概率P = = . 36 9 5 ( 2 ) ξ的取值为0或2，由(1) 知P(ξ = 2) = ，则P(ξ = 9 4 0) = ，其分布列为： 9
所以，甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是 9 P( B) = 1 − P( B) = . 10
( 3) 随机变量ξ 可能取的值是1, 2，事件“ξ = 2”是指有
两人同时承担H 任务，
2 3 C 5 A3 1 则P (ξ = 2) = 2 4 = ， C 5 A4 4
3 所以P (ξ = 1) = 1 − P(ξ = 2) = ， 4 所以ξ的分布列是：
专题六 概率与统计
1．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1 ，x 2 ，…， xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=p i，则称下表： ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xi pi … …
为离散型随机变量ξ的分布列． 为离散型随机变量 的分布列． 的分布列 (2)离散型随机变量 的分布列具有两个性质： 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质 离散型随机变量 的分布列具有两个性质： ； ， ． ①pi≥0；②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3，…)．
3 P( X = 3) = C3 × 0.13 = 0.001.
故随机变量 X 的分布列为
X P 0 0.729 1 0.243 2 3
0.027 0.001
X 的数学期望为EX = 0 × 0.729 + 1× 0.243 + 2 × 0.027 + 3 × 0.001 = 0.3.
【变式训练】 一个摇奖装置内有红球和白球共10个， 每次摇出两个球(每次摇奖后放回)，若两个球颜色不同 则为中奖． (1)当红球数为1时，求三次摇奖中至少有一次中 奖的概率； (2)求摇奖中首次中奖的摇奖次数ξ的分布列，当 红球数为多少时，ξ的数学期望值最小． 2 C9 4 (1) 一次摇奖不中奖的概率为P = 2 = ， C10 5
ξ P 0 2
4 5 10 数学期望Eξ = × 0 + × 2 = . 9 9 9
这个问题的易错点是△=4a 2 -12b=4(a 2 3b)=0时，认为函数有一个极值点，从而导致 全盘皆错．
【变式训练 】 四个大小相同的小球分别标有数字 1,1,2,2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两 个小球，它们标注的数字分别为x，y，记ξ=x+y. (1)求随机变量ξ的分布列； (2)设“函数f(x)=x2-ξx-1在区间(2,3)上有且只 有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．
1 45 45 9 数学期望Eξ = = ≥ = . P n(10 − n) ( n + 10 − n ） 5 2 2 9 (E 当且仅当n = 5时， ξ ) min = . 5
【例2】 设a，b分别是先后抛掷一枚骰子得到的 点数，用随机变量ξ表示函数f(x)=x3+ax2+bx+c的极 值点个数． (1)求函数f(x)有极值的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望． 函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点的必要条件 是导函数f ′(x)=3x2+2ax+b=0有解，但f ′(x)=0有唯一 解时显然不存在极值点．
n，q = 1 − p )．
k 显然P(ξ = k ) ≥ 0(k = 0,1, 2， ，n)， Cn p k q n − k = 1. … ∑ k =0 n
称这样的随机变量 ξ 服从参数为 n和 p的二项分布， 记为 ξ ～ B ( n， p )． 3． 离散型随机变量的均值与方差、标准差
(1) 若ξ的分布列为：
0． + 0.1 + x + 0.37 + 0.39 = 1，解得x = 0.12. 02
( 2 )由题意知，X ～B ( 3, 0.1)，
因此P( X = 0) = ×0.93 = 0.729，
1 P( X = 1) = C3 × 0.1× 0.92 = 0.243，
P( X = 2) = C32 × 0.12 × 0.9 = 0.027，
(1) ξ的可能取值为2,3, 4.
２ C２ 1 P(ξ = 2) = 2 = ； C4 6 1 1 C2 C2 2 P(ξ = 3) = 2 = ； C4 3 ２ C２ 1 P(ξ = 4) = 2 = . C4 6 所以ξ的分布列为：
ξ P
2
3
4
( 2 )函数f ( x) = x − ξ x − 1在区间( 2,3) 上有且只有一个 零点的充要条件为f ( 2 ) ⋅ f ( 3) = (3 − 2ξ ) × (8 − 3ξ ) < 0，
(1)任务分配是等可能的，基本事件的总数 是 C2 A 4 ，甲、乙确定了，只要在其他三个任务上安 5 4 排其余三人即可求出随机事件甲、乙两人同时承担H 任务所包含的基本事件的个数；(2)求出甲、乙两人担 任同一任务的概率，用对立事件的概率关系求解； (3)ξ只能等于1,2，ξ=2是指五位同学中有两人担任H任 务，再根据概率分布列的性质求ξ=1时的概率．