附录 截面的几何性质94147
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学笔记(附录)
材料力学（土）笔记附录I 截面的几何性质1．截面的静矩和形心位置设任意形状的截面，其截面面积为A ，从截面中坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则xdA 和ydA 分别称为该面积元素dA 对于y 轴和x 轴的静矩或一次矩y AS xdA =⎰定义为该截面对y 轴的静矩x AS ydA =⎰定义为该截面对x 轴的静矩上述积分应遍及整个截面面积A截面的静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩不同 静矩可能为正值也可能为负值，也可能等于零，常用单位为m ³或mm ³ 由理论力学可知，在Oxy 坐标系中，均质等厚度薄板的重心坐标为y AxdA S x AA==⎰，xAydA S y AA==⎰ 均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的上式可计算形心坐标，在知道截面对y 轴和x 轴的静矩以后，即课的截面形心坐标 将上式改写为y S Ax =，x S Ay =则在已知截面的面积A 及其形心的坐标x 、y 时 就可求得截面对y 轴和x 轴的静矩，由上式可看出，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零反之，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心当截面由若干简单图形组成时，由于简单图形的面积及其形心位置均为已知由静矩定义可知，截面各组成部分对某一轴的静矩之代数和等于该截面对同一轴的静矩 即得整个截面的静矩为1n y i i i S A x ==∑，1nx i i i S A y ==∑式中，i A 和i x 、i y 分别代表任一简单图形的面积及其形心的坐标n 为组成截面的简单图形个数可得组合截面的星系坐标为11ni ii nii A xx A===∑∑，11ni ii nii A yy A===∑∑2．极惯性矩·惯性矩·惯性积设一面积为A 的任意形状截面，从截面坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则dA 与其至坐标原点距离平方的乘积2dA ρ 称为面积元素对O 点的极惯性矩或截面二次极矩2p AI dA ρ=⎰定义为整个截面对O 点的极惯性矩上述积分应遍及整个截面面积A ，极惯性矩的数值恒为正，单位为4m 或4mm面积元素dA 与其至y 或x 轴距离平方的乘积2x dA 或2y dA 分别称为该面积元素对y 轴或x 轴的惯性矩或截面二次轴距22y Ax A I x dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ 分别定义为整个截面对y 轴或x 轴的惯性矩 上述积分遍及整个截面的面积A222x y ρ=+，故有222()p y x AAI dA x y dA I I ρ==+=+⎰⎰任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和面积元素dA 与分别至y 轴和x 轴距离的乘积xydA ，称为该面积元素对两坐标轴的惯性积 定义为整个截面对x 、y 两坐标轴的惯性积，其积分也应遍及整个截面的面积 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积一般是不同的 惯性矩的数值恒为正值，而惯性积可能为正值也可能为负值，也可能等于零 若x 、y 两坐标轴有一为截面的对称轴，则其惯性积恒等于零因在对称轴两侧，处于对称位置的两面积元素dA 的惯性积xydA ，数值相等而正负号相反 致使整个截面的惯性积必等于零，惯性矩和惯性积的单位相同在某些应用中，将惯性矩表示为截面面积A 与某一长度平方的乘积，即2y y I i A =，2x xI i A = 式中，y i 和x i 分别称为截面对y 轴和x 轴的惯性半径，其单位为m 或mm 当已知截面面积A 和惯性矩y I 和x I 时，惯性半径即可从下式求得y i =x i =3．惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积 3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 面积为A 的任意形状的截面截面对任意的x 、y 两坐标轴的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 通过截面的形心C 有分别与x 、y 轴平行的C x 、C y 轴称为形心轴 截面对形心轴的惯性矩和惯性积分别为xC I 、yC I 和xCyC I截面上任一面积元素dA 在两坐标系内的坐标(,)x y 与(,)C C x y 间的关系为C x x b =+，C y y a =+式中，a 、b 是截面形心在Oxy 坐标系内的坐标值，即两平行坐标系间的间距 将其代入可得2222()2x C C C AAAAAI y dA y a dA y dA a y dA a dA ==+=++⎰⎰⎰⎰⎰根据惯性矩和静矩的定义，上式右端的各项积分分别为2C xC Ay dA I =⎰，C xC Ay dA S =⎰，AdA A =⎰其中xC S 为截面形心轴C x 的静矩，恒等于零，则原式子可写为2x xC I I a A =+，同理2y yC I I b A =+，xy xCyC I I abA =+a 、b 有正负号，可由截面形心所在的象限来确定，上式称为平行移轴公式应用上式即可根据截面对形心轴的惯性矩或惯性积，计算截面对于形心轴平行的坐标轴的惯性矩惯性矩或惯性积，或进行相反运算3.2 组合截面的惯性矩及惯性积组合截面对某坐标的惯性矩（或惯性积）就等于其各组成部分对同一坐标轴的惯性矩（或惯性积）之和，若截面是由n 个部分组成，则组合截面对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积为1n x xi i I I ==∑，1n y yi i I I ==∑，1nxy xyi i I I ==∑式子中，xi I 、yi I 、xyi I 分别为组合截面中组成部分i 对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积4．惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩 4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式 设一面积为A 的任意形状截面截面对通过其上任意一点O 的两坐标轴x 、y 的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 若坐标轴x 、y 绕O 点旋转α角（α角以逆时针转向为正）至1x 、1y 则该截面对新坐标轴1x 、1y 的惯性矩和惯性积分别为1x I 、1y I 和11x y I 截面上任一面积元素dA 在新、老两坐标系内的坐标11(,)x y 与(,)x y 的关系为1cos sin x x y αα=+ 1cos sin y y x αα=-经过展开逐项积分可得，该截面对坐标轴1x 的惯性矩1x I22221cos sin 2sin cos x AAAI y dA x dA xydA αααα=+-⎰⎰⎰根据惯性矩和惯性积的定义，右端的各项积分分别为2x Ay dA I =⎰，2y Ax dA I =⎰，xy AxydA I =⎰将其代入，即得1cos 2sin 222x y x y x xy I I I I I I αα+-=+- 1cos 2sin 222x yx yy xy I I I I I I αα+-=-+11sin 2cos 22x yx y xy I I I I αα-=+以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式11x y x y I I I I +=+上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数 并等于截面对该坐标原点的极惯性矩4.2 截面的主惯性主和主惯性矩当坐标轴旋转时，惯性积11x y I 将随着α角作周期性变化，且有正有负 必有一特定的角度0α，使得截面对该坐标轴0x 、0y 的惯性积等于零 截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴 截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴 截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩设0α角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则将0α角代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即00sin 2cos 202x yxy I I I αα-+=移项后得02tan 2xy x yI I I α-=-由上式解得的0α的值，即为梁主惯性轴中0x 轴的位置将所得的0α值代入，即得截面的主惯性矩0cos 2I I α-==02sin 2I α-==经化简后即得主惯性矩的计算公式0022x yx x y y I I I I I I +=+=惯性矩1x I 、1y I 都是α角的正弦和余弦函数，α角在0°到360°内变化 因此1x I 、1y I 必有极值由于对通过同一点的任意一对坐标轴的两惯性矩之和为一常数因此其中一个将为极大值，另一个则为极小值，由10x dI d α=和10y dI d α= 解得时惯性矩取得极值的坐标轴的位置的表达式，与上式完全一致可知，截面对通过任一点的主惯性轴的主惯性矩的值也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值max I 和极小值min I在通过截面形心的一对坐标轴中，若有一个为对称轴，则该对坐标轴就是形心主惯性轴 因为截面对于包括对称轴在内的一对坐标轴的惯性积等于零 在计算组合截面的形心主观性轴是，首先应确定其形心位置 然后通过形心选择一对便于计算惯性矩和惯性积的坐标轴 算出组合截面对这一对坐标轴的惯性矩和惯性积最后利用主惯性矩的计算公式即可确定形心主惯性轴的位置和形心主惯性矩的数值 若组合截面具有对称轴，则包含对称轴的一对相互垂直的形心轴就是形心主惯性轴。
附录1 截面图形的几何性质概论
一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）
以形心为原点a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
¯x y¯
x Sy A
y Sx A
S y Ax Sx Ay
坐标轴通过形心 静矩等于零 4
当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：
S y Ax Siy Ai xi Sx Ay Six Ai yi
累加式
:
x
y
xi Ai A yi Ai A
y
x
5
例 I-1-1 试确定下图的形心。
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，若
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
则与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
tan 20
2I xy Ix Iy
主
惯
性
矩
：II
x0 y0
yd
S x S1x S2 x
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
附录I 截面的几何性质
二、组合截面的惯性矩、惯性积
n
I
=
x
å
I xi
i= 1
n
I y = å I yi i= 1
n
I å I =
xy
xyi
i= 1
Ixi , Iyi —— 第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、惯性积。
13
例3-1 求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
zc
截面的形心必在对称轴 zc 上。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形 心重合时，则称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。
17
主惯性轴的位置：设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角， 则有：
Ix- Iy 2
sin 2a 0
+
I xy
cos 2a 0
=
0
tg2a 0 =
-
xy ) = 1.093 I
x
y
I x < I y 2a 0 在第三象限
2a
=
0
227.60
a 0 = 113.80
形心主惯性轴x0 , y0 分别由x轴和y轴绕 C点逆时针转113.80 得出。形心主惯形矩为:
( ) ( ) Ix0 = Ix + I y ? 1
I y0
22
Ix
Iy
2+ 4 Ixy
附录I 截面的几何性质
1. 截面的静矩和形心 2. 极惯性矩、惯性矩、惯性积 3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式、组合截面
的惯性矩和惯性积 4. 惯性矩和惯性积的转轴公式、截面的主惯性
轴和主惯性矩
1
经济学附录A截面图形的几何性质
截面图形的几何性质
为什么要研究截面图形的几何性质 形心、静矩及其相互关系
惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
移轴定理 转轴定理
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心 主惯 性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的 方法 结论与讨论
一 为什么要研究截面图形
的几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关， 不同变形形式下的承载能力，不仅与截面 的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分 量时，将产生不同的几何量。这些几何量 不仅与截面的大小有关，而且与截面的几 何形状有关。
为什么要研究截面图形的几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
y1=y＋b z1=z＋a
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
移轴定理
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，
i 1 n
Ai
i 1
例1 求形心位置
解： 建立参考坐标系oyz
y
sz 0
sy A1zc1 A2 zc2 120 2010 120 2080
z
216103 mm3
yc
sz A
0
Zc
sy A
216 103 120 20 2
附录1 截面的几何性质
tg2 0
二、主惯性矩（主矩）
图形对主轴的惯性矩Iｘ0、Iy0 称为主惯性矩，主惯性 矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。
Ix I y 2 2 I x0 I x I y ments of inertia: ( ) I xy I 2 2 y 0
y d yC O
I yC I rectangle xC I circle xC
x1
(1.5d )3 2d d 4 0.513d 4 12 64
2d
I xCyC 0 Therefore axes xC and yC are the
principal axes of the centroid.
y
一、截面的静矩
dS x dAy
x y 截面对x轴的静矩 dA 截面对y轴的静矩 x 量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
dS y dAx
S x dS x ydA
A A
S y dS y xdA
A A
o
静矩的值可以是正值、负值、或零
二、截面的形心
yC
Example
求图示图形的形心主惯性 矩(b=1.5d)
y 2d yC O
C
d
x1
解： 1 建立坐标 2 求形心 x xC
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A i i y 2 4 2 0.177d A 2 d 3 d 4
o
yC dA
y xC
x a xC y b yC
I x y 2 dA
A
C
x
( y C b ) dA
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
附录 截面的几何性质讲解
y y
dA
n
I P I Pi i 1
x n I x I xi i 1
x
n
I y I yi
i 1
n
I xy I xyi i 1
✓6、惯性矩与极惯性矩的关系：
I p A 2dA A( x2 y2 )dA I y I x
平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数， 等于图形对该点的极惯性矩。
i1
i1
i1
已知： IxC 、IyC 、IxCyC ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy
y
yC x
Ix Ay2dA A(a yC )2 dA A(a2 2ayC yC2 )dA
b
xC
a2 AdA 2aAyCdA AyC2 dA
AdA A， AyCdA 0， AyC2 dA IxC
Ix
Iy
1 2
I
pd 4
64
y
d
x
C
d
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、平行移轴公式(parallel-axis theorem) 2.平行移轴公式
1.公式推导 3.注意：
I x I xC a 2 A
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
例题
I-1
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部 分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。
设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2
Sxc Sxc1 Sxc2
A1
0 S xc1 S xc2
C
xc
A2
Sxc1 Sxc2 证毕
附录--截面的性质
遍及整个截面面积A的积分:
dI xy xydA
y
I xy xydA 截面的惯性积
A
x
dA
惯性矩 Iz、Iy 和极惯性矩 Ip 恒为正值；
r
y
x
惯性积 Iyz可能为正或负也可能为0；
如果截面有一个（或一个以上）的对称轴，则截面对包含此对 称轴的任一对正交轴的惯性积必为0。 惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为: [L]4，单位为 m4，mm4
I z 2 I z1 (a b) 2 A I (a b) 2 A
C
I z1 I zC b 2 A
× ？
I zC I b 2 A
I z 2 I zC a 2 A I b 2 A a 2 A I (a 2 b 2 ) A
例2
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形
对图形1，形心坐标为（0，0），面积 为80×10；对图2，形心坐标为（－ 35，60），面积为110×10。
C1 80
10
x
x
x A A
i i
i
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
35 110 10 20.3mm 80 10 110 10
y A y
i
i
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
S y Ax 可将上式写为： S x Ay
则在已知截面面积及其形心的坐标时，就可求得截面对y轴 和x轴的静矩。
由上式可知，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过 截面的形心；反之，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零。
附录I_截面的几何性质(3学时)
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — 0
3
y
h/2 h/2 b/2 b/2
dy
hb 3 I y z dA z 2 bdz A b 2 12
b 2
y z
I yz
A
yzdA
h/ 2
h/ 2
ydy
b/ 2
b / 2
zdz 0
h/2
y z
dz
z
如果截面图形有一个对称轴，截 面图形对与对称轴组成正交坐标 系的轴的惯性积为零。
100
z1
２、求静矩
z
20
Sz = yCAi
＝80 × 2 × 100 × 20＝32 × 10４
8
dfafdf
Dept. of Mech.
•法二：若不求形心
Sz = AiyCi＝20× 100 × 110＋20 × 100 × 50 ＝32 × 10４mm3 法三： Sz =120 × 100 × 60-2 × 100 × 40 × 50 = 32 × 10４mm3
Iz I y 2
2
y
y1
z z1 y
dA
y1
z1
z
Iz I y 2
cos 2 I y z sin 2 I
2 cos 2 I y z sin 2 I 90
I y1
Iz I y
Iz I y
I y1 I z1 I y I z C I z 1 y1
I-1 截面的静矩和形心位置
附录1 截面的几何性质概论
一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质
附录I 截面的几何性质
附录I 截面的几何性质
I yc I1yc b12 A1 I 2 yc b2 yc A2
101203 202 10120 70103 352 10 70
12
12
278.4 104 mm4
I xcyc a1b1A10 [45 （ 20）] (5 40)10 70
802 32
1002 2
2
100
3
80
3467104 mm4
截面对于轴的惯性矩为：
I x 5333 10 4 2 3467 10 4 12270 10 4 mm 4
16
材料力学Ⅰ电子教案
附录I 截面的几何性质
I- 4 惯性矩和惯性积的转轴定理 y
xy11xcxossinysyicnos
A1A2
x
3510110 20.3
101108010
y yi Ai 6010110 34.7 A 10110 8010
5
材料力学Ⅰ电子教案
附录I 截面的几何性质
120 110
70
y
负面积
方法二：用负面积法求解， 图形分割及坐标如图(b)
C2
C1（0,55） C2（5,60） 0
C1
x
80
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
②求形心位置。
xC
x
xi Ai 0 0
A
A
b
y
yi Ai A
d d 2
2d
2 1.5d
4
d 2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
22
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。