专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)1.(2014·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2},B＝{y|y＝2x,x∈[0,2]},则A∩B＝()A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.(2014·安徽高考)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014·天津高考)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.(2014·陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|＝|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假5.(2014·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R,总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.綈p∧綈qC.綈p∧qD.p∧綈q1.集合的运算性质与结论(1)A∪A＝A,A∪∅＝A,A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅,A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B,A∪B＝A⇔B⊆A.2.四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件；若p⇔q,则p,q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A,命题q对应集合B,则p⇒q等价于A⊆B,p⇔q等价于A＝B.4.复合命题真假的判断方法命题p∧q,p∨q及綈p真假可以用下表来判定：假 真 假 真 真 假 假 假 假 真口诀记忆：p ∨q ,一真则真；p ∧q ,一假则假；綈p 与p 真假相反. 5.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ,p (x ).它的否定綈p ：∃x 0∈M ,綈p (x 0). (2)特称命题p ：∃x 0∈M ,p (x 0).它的否定綈p ：∀x ∈M ,綈p (x ).热点一 集合的概念及运算命题角度(1)考查集合的含义及集合间的关系,如T1；(2)考查集合的基本运算,且常与不等式、函数的定义域等问题相结合考查,如T2,T3,T4.1.(2014·温州模拟)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x ＋y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A .2 B.3 C.4 D.6 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0},B ＝{x |－2≤x ＜2},则A ∩B ＝( )A .[－2,－1] B.[－1,2) C .[－1,1] D.[1,2) 3.(2014·郑州模拟)已知集合A ＝{x |ax －1＝0},B ＝{x |1<log 2x ≤2,x ∈N },且A ∩B ＝A ,则a 的所有值组成的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，14，13 4.(2014·东城模拟)全集U ＝R ,集合A ＝{x |x 2－2x ≤0},B ＝{y |y ＝cos x ,x ∈R },则图中阴影部分表示的集合为________.解答集合的概念及运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合.(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以下技巧： ①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解； ②若已知的集合是点集,用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解.热点二 真假命题的判定及命题的否定命题角度(1)四种命题及其真假判断,如T1；(2)含逻辑联结词的复合命题的真假判定,如T2；(3)全(特)称命题的否定,如T3；(4)由命题的真假性求参数,如T4.1.(2014·皖西七校联考)命题“若a<0,则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A.0B.2C.4D.不确定2.(2014·湖南高考)已知命题p：若x>y,则－x<－y；命题q：若x>y,则x2>y2.在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④3.(2014·宜春模拟)命题“∀x∈R,e x>x2”的否定是()A.不存在x0∈R,使e x0>x20B.∃x0∈R,使e x0<x20C.∃x0∈R,使e x0≤x20D.∀x∈R,使e x≤x24.(2014·新余模拟)已知命题p：∀x∈[1,2],x2＋1≥a,命题q：∃x0∈R,x20＋2ax0＋1＝0,若命题“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是________.1.三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性(1)弄清构成命题的p和q的真假性；(2)弄清结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假性.2.全(特)称命题的否定全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把结论否定.热点三充要条件命题角度(1)充要条件的判定,如T1；(2)由充要条件确定参数,如T2.1.(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件2.(2014·连云港模拟)设p：12≤x≤1,q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0,若綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________.互动探究本题2的条件下,是否存在实数a,使綈p是綈q的充分不必要条件？判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；綈p是綈q 的充要条件⇔p是q的充要条件.[例1] (1)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A.若a ,b ,c ∈R ,则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B.若a ,b ,c ∈R ,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C.命题“对任意x ∈R ,有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ,有x 20≥0”D.l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β (2)(2014·福州模拟)已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ,x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋1<x ＋1”；②已知p ,q 为两个命题,若“p ∨q ”为假命题,则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0,则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题. 其中所有真命题的序号是________.解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断,需要有扎实的基础知识,这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真,需要根据有关知识作出逻辑证明,但若需要证明某命题为假,只要举出一个反例即可,因此,“找反例”是破解此类问题的重要方法之一.1.下列命题中错误的是( )A.命题“若x 2－5x ＋6＝0,则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3,则x 2－5x ＋6≠0”B.若x 、y ∈R ,则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22成立”的充要条件C.已知命题p 和q ,若p ∨q 为假命题,则命题p 与q 中必一真一假D.对命题p ：∃x 0∈R ,使x 20＋x 0＋2<0,则綈p ：∀x ∈R ,有x 2＋x ＋2≥0 2.以下有四种说法：①“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件；②“A ∩B ＝B ”是“B ＝∅”的必要不充分条件； ③“x ＝3”的必要不充分条件是“x 2－2x －3＝0”； ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”. 其中正确说法的序号是________.[例2] (1)(2014·深圳模拟)已知集合M ＝{(x ,y )|y ＝f (x )},若对于任意(x 1,y 1)∈M ,存在(x 2,y 2)∈M ,使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立,则称集合M 是“Ω集合”.给出下列4个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )y ＝1x ；②M ＝{(x ,y )|y ＝e x －2}；③M ＝{(x ,y )|y ＝cos x }；④M ＝{(x ,y )|y ＝ln x }.其中所有“Ω集合”的序号是( )A .②③ B.③④ C.①②④ D.①③④(2)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数,定义A *B ＝⎩⎨⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A＝{1,2},B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0},且A *B ＝1,设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ,则C (S )＝( )A .4 B.3 C .2 D.1解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用,在解决问题时要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.3.设集合A ＝{－1,0,1},集合B ＝{0,1,2,3},定义A *B ＝{(x ,y )|x ∈A ∩B ,y ∈A ∪B },则A *B 中元素的个数是( )A .7 B.10 C .25 D.524.设A 是自然数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k 2∉A ,且k ∉A ,那么k 是A 的一个“酷元”,给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)},设M ⊆S ,且集合M 中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M[例3] (1)(2014·西安模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ,集合A ＝{(x ,y )|f (x )＋f (y )≤2},B ＝{(x ,y )|f (x )≤f (y )},则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是( )A .π B.2π C.3π D.4π(2)已知x ∈R ,y >0,集合A ＝{x 2＋x ＋1,－x ,－x －1},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－y ，－y 2，y ＋1.若A ＝B ,则x 2＋y 2的值为________.与集合有关的交汇性问题中,集合知识固然是解题的一个重要方面,但更重要的是集合的外表下所蕴含的一些规律,通过分析题目的已知条件和结论,把这些规律找出来,脱掉集合的“外衣”,揭示问题的本质,是破解此类问题的主要思想方法.5.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )x 2＋y 24＝1,B ＝{(x ,y )|y ＝2x },则A ∩B 的子集的个数是( )A .1 B.2 C.3 D.4一、选择题1.设全集为R ,集合A ＝{x |x 2－9<0},B ＝{x |－1<x ≤5},则A ∩(∁R B )＝( ) A .(－3,0) B.(－3,－1) C .(－3,－1] D.(－3,3)2.设集合P ＝{y |y ＝－x 2＋1,x ∈R },Q ＝{y |y ＝2x ,x ∈R },则( ) A .P ⊆Q B.Q ⊆P C .∁R P ⊆Q D.Q ⊆∁R P3.(2014·广州模拟)命题“若x 2<1,则－1<x <1”的逆否命题是( ) A .若x 2≥1,则x ≥1或x ≤－1 B .若－1<x <1,则x 2<1C .若x >1或x <－1,则x 2>1D .若x ≥1或x ≤－1,则x 2≥1 4.(2014·中山模拟)“直线l 的方程为x －y －5＝0”是“直线l 平分圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的周长”的( )A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.(2014·安徽六校联考)已知命题p ：“a ＝1是x >0,x ＋ax≥2的充分必要条件”；命题q ：“存在x 0∈R ,使得x 20＋x 0－2>0”,下列命题正确的是( )A .命题“p ∧q ”是真命题B .命题“(綈p )∧q ”是真命题C .命题“p ∧(綈q )”是真命题D .命题“(綈p )∧(綈q )”是真命题6.(2014·安溪模拟)下列命题中,真命题是( )A .∃x 0∈R ,e x 0≤0B .a >1,b >1是ab >1的充要条件C .{x |x 2－4>0}∩{x |x －1<0}＝(－2,1)D .命题“∀x ∈R,2x >x 2”的否定是真命题7.已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2},B ＝{x |x ≤－2或x ≥4},则A ∩B ＝∅的充要条件是( ) A .0≤a ≤2 B.－2<a <2 C .0<a ≤2 D.0<a <2 8.(2014·重庆七校联考)下列说法错误的是( )A .命题“若x 2－4x ＋3＝0,则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3,则x 2－4x ＋3≠0”B .“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C .若p ∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题D .命题p ：“∃x 0∈R ,使得x 20＋2x 0＋3<0”,则綈p ：“∀x ∈R ,x 2＋2x ＋3≥0”9.设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a ,b ∈S ,对于有序元素对(a ,b ),在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应).若对任意的a ,b ∈S ,有a *(b *a )＝b ,则对任意的a ,b ∈S ,下列等式中不恒成立的是( )A .(a *b )*a ＝aB .[a *(b *a )]*(a *b )＝aC .b *(b *b )＝bD .(a *b )*[b *(a *b )]＝b10.已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R },若存在a ∈R ,使得集合A 中所有整数元素之和为28,则实数a 的取值范围是( )A .[9,10) B.[7,8) C .(9,10) D.[7,8]二、填空题11.命题“存在x 0∈R ,使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是________________________________________________________________________.12.(2014·广州模拟)给出下列四个结论：①若命题p ：∃x 0∈R ,x 20＋x 0＋1<0,则綈p ：∀x ∈R ,x 2＋x ＋1≥0； ②“(x －3)(x －4)＝0”是“x －3＝0”的充分而不必要条件；③命题“若m >0,则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0没有实数根,则m ≤0”；④若a >0,b >0,a ＋b ＝4,则1a ＋1b的最小值为1.其中正确结论的序号为________.13.(2014·临沂模拟)设命题p ：2x －1x －1<0,命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.14.(2014·福建高考)若集合{a ,b ,c ,d }＝{1,2,3,4},且下列四个关系： ①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是________.15.设集合A ＝{a |f (x )＝8x 3－3ax 2＋6x 是(0,＋∞)上的增函数},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ＝5x ＋2，x ∈[－1，3],则∁R (A ∩B )＝________.16.(2014·江西七校联考)记实数x 1,x 2,…,x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…,x n },最小数为min{x 1,x 2,…,x n }.已知△ABC 的三边边长为a 、b 、c (a ≤b ≤c ),定义它的倾斜度为t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ,则“t ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的________.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型)1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.(2,＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2,＋∞) 2.(2014·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数 B.f (x )是增函数C .f (x )是周期函数 D.f (x )的值域为[－1,＋∞) 3.(2014·湖南高考)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1,则f (1)＋g (1)＝( )A .－3 B.－1 C .1 D.3 4.(2014·陕西高考)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A .y ＝1125x 3－35x B.y ＝2125x 3－45xC .y ＝3125x 3－x D.y ＝－3125x 3＋15x5. (2014·新课标全国卷Ⅰ)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y ＝f (x )在[0,π]的图象大致为( )1.函数的三个性质 (1)单调性如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,且x 1<x 2,都有f (x 1)<f (x 2)成立,则f (x )在D 上是增函数(都有f (x 1)>f (x 2)成立,则f (x )在D 上是减函数).(2)奇偶性对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (－x )＝－f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立,则f (x )为偶函数).(3)周期性周期函数f (x )的最小正周期T 必须满足下列两个条件： ①当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x ＋T )＝f (x )； ②T 是不为零的最小正数. 2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期.②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期.③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期.(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x ),即f (x )＝f (2a －x ),则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x ),即f (x )＝－f (2a －x ),则f (x )的图象关于点(a,0)对称.③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x ),则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.热点一 函数及其表示命题角度 (1)考查函数的定义域,如T1；(2)考查函数值(或值域)的求法,如T2,T4；(3)考查分段函数问题,如T3.1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A .[－2,0)∪(0,2] B.(－1,0)∪(0,2] C .[－2,2] D.(－1,2]2.(2014·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1],则实数a 的取值范围是( )A .(－∞,－3] B.[－3,0) C.[－3,－1] D.{－3}3.(2014·三明模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.若m ≠n ,则m ＋n ＋(m －n )f (m －n )2的值( )A .一定是m B.一定是nC .是m 、n 中较大的数 D.是m 、n 中较小的数4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f 32＝________.互动探究在题2中,当a 取得最小值时,若方程f (x )＝m 有且只有一个实数根,求m 的取值范围. 解：由题2可知,a 的最小值为－3,则f (x )的图象如图所示.方程f (x )＝m 有且只有一个实数根,等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有且只有一个公共点,由图可知,m 的取值范围为{m |m ＝1或－1≤m <0}.函数值和值域的求法(1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；(2)求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法.1.(2014·内江模拟)若函数f (x )＝x 1－2x －x2,则函数f (x )( ) A .是偶函数,在(－∞,0)是增函数 B .是偶函数,在(－∞,0)是减函数 C .是奇函数,在(－∞,0)是增函数 D .是奇函数,在(－∞,0)是减函数2.函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠1},对定义域中任意的x ,都有f (2－x )＝f (x ),且当x <1时,f (x )＝2x 2－x .那么当x >1时,f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞B.⎝⎛⎦⎤1，54C.⎣⎡⎭⎫74，＋∞D.⎝⎛⎭⎫1，74 3.已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3),y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称,且f (4)＝4,则f (2 012)＝( )A .0 B.－4 C .－8 D.－161.四招破解函数的单调性(1)对于选择、填空题,若能画出图象一般用数形结合法；(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单调性问题来解决；(3)对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法； (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性应关注三点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称； (3)对于偶函数而言,有f (－x )＝f (x )＝f (|x |).[例1] (1)函数f (x )＝2－x2－x －1的图象大致为( )A B C D (2)(2014·宜春模拟)一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这列正三角形的底边在同一直线上,正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图),设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积S 关于时间t 的函数为S ＝f (t ),则下列图中与函数S ＝f (t )图象最近似的是( )(3)(2014·安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3,则实数a 的值为( ) A .5或8 B.－1或5 C .－1或－4 D.－4或8作图、识图、用图的技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错.1.已知函数y ＝f (x )的定义域是R ,若对于任意的正数a ,函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )是其定义域上的增函数,则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C D2.设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1].若n －m 的最小值为13,则实数a 的值为( )A.13或23B.23或34C.14或13D.14或34[例2] (2014·湖北高考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ,f (x －1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 [答案] B解决与函数有关的综合问题的常见切入点(1)已知函数的单调性和周期性,常画出函数的图象求解；(2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性,常画出函数的图象求解；(3)求函数的最值或值域时,常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解；(4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时,常借助函数性质求解.3.定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ),当x ∈[0,2)时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈[0，1)，－⎝⎛⎭⎫12⎪⎪⎪⎪x －32，x ∈[1，2)，若x ∈[－4,－2)时,f (x )≥t 4－12t 恒成立,则实数t 的取值范围是( )A .[－2,0)∪(0,1) B.[－2,0)∪[1,＋∞)C .[－2,1] D.(－∞,－2]∪(0,1][例3] (1)(2014·山东高考)已知函数y ＝f (x )(x ∈R ).对函数y ＝g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ),y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________.(2)(2014·南京模拟)对于函数f (x ),若存在区间M ＝[a ,b ],使得{y |y ＝f (x ),x ∈M }＝M ,则称区间M 为函数f (x )的一个“好区间”,给出下列4个函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝x 3－3x ；④f (x )＝lg x ＋1.其中存在“好区间”的函数是________.(填入所有满足条件函数的序号)解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义,然后把其转化为熟悉的数学问题求解.如本例(1)通过对“对称函数”的理解,将问题转化为熟知的直线与圆的位置关系,从而使问题得以顺利解决.4.在平面直角坐标系中,若两点P 、Q 满足条件； ①P 、Q 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②P 、Q 两点关于直线y ＝x 对称,则称点对{P ,Q }是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”.(注：点对{P ,Q }与{Q ,P }看作同一对“和谐点对”)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3x ＋2(x ≤0)，log 2 x (x >0)，则此函数的“和谐点对”有( )A .0对 B.1对 C.2对 D.3对5.设函数f (x )＝x －1x,对任意x ∈[1,＋∞),使不等式f (mx )＋mf (x )<0恒成立的实数m 称为函数f (x )的“伴随值”,则m 的取值范围是________.一、选择题1.函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A .{x |0<x <2}B .{x |0<x <1或1<x <2}C .{x |0<x ≤2}D .{x |0<x <1或1<x ≤2}2.若函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R ),则下列结论正确的是( )A .∀a ∈R ,f (x )在(0,＋∞)上是增函数B .∀a ∈R ,f (x )在(0,＋∞)上是减函数C .∃a ∈R ,f (x )是偶函数D .∃a ∈R ,f (x )是奇函数3.奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数,且f (1)＝1,则f (8)＋f (9)＝( ) A .－2 B.－1 C .0 D.14.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a >1,c >1B.a >1,0<c <1C.0<a <1,c >1D.0<a <1,0<c <1 5.(2014·安溪模拟)若函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b ),且f (2)＝m ,f (3)＝n ,则f (72)的值为( )A .m ＋n B.3m ＋2n C .2m ＋3n D.m 3＋n 26.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )A B C D7.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(－∞,0]上是减函数,且f (2)＝0,则使f (x )>0的x 的取值范围是( )A .(－∞,2) B.(2,＋∞) C .(－∞,－2)∪(2,＋∞) D.(－2,2)8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时,f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时,f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝( )A .335 B.337 C.1 678 D.2 0129.已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ,都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1,x 2∈R ,且0≤x 1<x 2≤2,都有f (x 1)<f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是( )A .f (4.5)<f (7)<f (6.5) B.f (7)<f (4.5)<f (6.5) C .f (7)<f (6.5)<f (4.5) D.f (4.5)<f (6.5)<f (7)10.(2014·绵阳模拟)f (x )是定义在D 上的函数,若存在区间[m ,n ]⊆D ,使函数f (x )在[m ,n ]上的值域恰为[km ,kn ],则称函数f (x )是k 型函数.给出下列说法：①f (x )＝3－4x不可能是k 型函数；②若函数y ＝(a 2＋a )x －1a 2x (a ≠0)是1型函数,则n －m 的最大值为233； ③若函数y ＝－12x 2＋x 是3型函数,则m ＝－4,n ＝0；④设函数f (x )＝x 3＋2x 2＋x (x ≤0)是k 型函数,则k 的最小值为49.其中正确的说法有( )A .①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、填空题11.偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称,f (3)＝3,则f (－1)＝________.解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称,所以f (x )＝f (4－x ),f (－x )＝f (4＋x ),又f (－x )＝f (x ),所以f (x )＝f (4＋x ),则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.12.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,＋∞)上是增函数,则方程f (x )＝f (2x －3)的所有实数根的和为________.13.(2014·江西七校联考)设函数f (x )＝2 011x ＋1＋2 0102 011x＋1＋2 012sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值为M ,最小值为N ,那么M ＋N ＝________.14.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝1，⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋1，x ≠1，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解,则a 的取值范围是________.15.(2014·温州模拟)设x ,y ∈R ,且满足⎩⎨⎧(x －2)3＋2x ＋sin (x －2)＝2，(y －2)3＋2y ＋sin (y －2)＝6，则x ＋y ＝________.16.(2014·安徽六校联考)设函数f (x )的定义域为D ,如果∀x ∈D ,存在唯一的y ∈D ,使f (x )＋f (y )2＝C (C 为常数)成立,则称函数f (x )在D 上的“均值”为C .已知四个函数： ①y ＝x 3(x ∈R )；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈R )；③y ＝ln x (x ∈(0,＋∞))；④y ＝2sin x ＋1(x ∈R ).上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是________.(填入所有满足条件函数的序号)第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1.(2014·辽宁高考)已知a ＝2－13,b ＝log213,c ＝log 1213,则( )A .a >b >c B.a >c >b C .c >a >b D.c >b >a2.(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ,在下列区间中,包含 f (x )零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,＋∞) 3.(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f (x )＝x a (x >0),g (x )＝log a x 的图象可能是( )A B C D4.(2014·北京高考)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足的函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ,b ,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟 5.(2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |,x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.1.指数与对数式的七个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(4)log a MN＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a(a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,M >0,N >0).图象单调性0<a <1时,在R 上单调递减；a >1时,在R 上单调递增a >1时,在(0,＋∞)上单调递增；0<a <1时,在(0,＋∞)上单调递减函数值性质 0<a<1,当x >0时,0<y <1；当x <0时,y >1 0<a <1,当x >1时,y ＜0；当0<x <1时,y >0a >1,当x >0时,y >1；当x <0时,0<y <1a >1,当x >1时,y ＞0；当0<x <1时,y <0函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根,即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.热点一 基本初等函数的图象与性质命题角度(1)考查基本初等函数的图象,如T1,T3；(2)考查与基本初等函数有关的比较大小问题,如T2.1.(2014·福建高考)若函数 y ＝log a x (a >0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( )A B C D2.(2014·涡阳模拟)设a ＝e 0.3,b ＝0.92,c ＝log π0.87,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B.c <b <a C .c <a <b D.b <c <a3.已知函数f (x )＝ln x ,x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ,且x 1<x 2,则下列结论中正确的是( ) A .(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0 B .f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2C .x 1f (x 2)>x 2f (x 1)D .x 2f (x 2)>x 1f (x 1) 互动探究将题3中“f (x )＝ln x ,x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ”改为“f (x )＝e x ”,如何选择？1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解.1.(2014·南安模拟)已知函数f (x )＝3x ＋2x 的零点所在的一个区间是( ) A .(－2,－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)2.函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2≤0，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.3.已知函数f (x )＝|x －2|＋1,g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是________.判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0,则方程解的个数即为零点的个数.(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ,b ]上是连续的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.[例1] 岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m ,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围(运算中2取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2,四个花坛的造价为433ax 元/m 2,其余区域的造价为12a11元/m 2,当x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低？解决函数应用题的四步曲(1)阅读理解：读懂题意,弄清题中出现的量及其数学含义.(2)分析建模：分析题目中的量与量之间的关系,同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型,以确定函数模型的种类,建立目标函数,将实际问题转化为数学问题.(3)数学求解：利用相关的函数知识求解计算.(4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结作答.1.某企业为打入国际市场,决定从A ,B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产A 产品的原材料价格决定,预计m ∈[6,8].另外,年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A ,B 两种产品的年利润y 1,y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划.[例2] (2014·成都模拟)已知偶函数f (x )满足对任意x ∈R ,均有f (1＋x )＝f (3－x )且f (x )＝⎩⎨⎧m (1－x 2)，x ∈[0，1]，x －1，x ∈(1，2].若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解,则实数m 的取值范围是________.函数与方程的转化类型(1)判断函数零点个数常转化为两函数的图象交点；(2)由函数的零点情况确定参数范围,常转化为利用函数图象求解； (3)方程根的讨论转化为函数的零点问题.2.已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1| (x ≠1)，1 (x ＝1)，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1,x 2,x 3,则x 21＋x 22＋x 23等于( )A .13 B.2b 2＋2b 2 C .5 D.3c 2＋2c23.偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x ),且在x ∈[0,1]时,f (x )＝2x －x 2,若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点,则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1515，33B.⎝⎛⎭⎫35，53 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫115，13一、选择题1.(2014·天津高考)设 a ＝log 2π,b ＝log 12π,c ＝π－2,则( )A .a >b >c B.b >a >c C.a >c >b D.c >b >a 2.(2014·西安模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2|x |－1,则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A .9 B.10 C.11 D.12 3.(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－14.(2014·荆门模拟)已知a >b >1,0<x <1,以下结论中成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a x >⎝⎛⎭⎫1b x B.x a >x b C .log x a >log x b D.log a x >log b x 5.(2014·温州模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1,若存在实数x 0,使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≤12 B.m ≥12 C .m ≤1 D.m ≥16. (2014·湖州模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象,函数g (x )＝e x －f ′(x )的零点所在的区间是(k ,k ＋1)(k ∈Z ),则k 的值为( )A .－1或0 B.0 C .－1或1 D.0或1 7.(2014·四川高考)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x ),x ∈(－1,1),现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中所有正确命题的序号是( )A .①②③ B.②③ C .①③ D.①②8.(2014·南安模拟)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,＋∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0 B.f (x 1)<0,f (x 2)>0 C .f (x 1)>0,f (x 2)<0 D.f (x 1)>0,f (x 2)>09.已知关于x 的方程⎝⎛⎭⎫12x ＝1＋lg a1－lg a 有正根,则实数a 的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎭⎫110，10 C.⎝⎛⎭⎫110，1 D.(10,＋∞) 10.(2014·眉山模拟)已知函数f (x )＝|x 3＋a |,a ∈R 在[－1,1]上的最大值为M (a ),若函数g (x )＝M (x )－|x 2＋t |有4个零点,则实数t 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫1，54B.(－∞,－1) C .(－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫1，54 D.(－∞,－1)∪(1,2) 二、填空题11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x <0(a ∈R ),若f [f (－1)]＝1,则a ＝________.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.13.(2014·宿州模拟)已知等式a ln x ＋b ＝ln(x ＋b )对∀x >0恒成立,写出所有满足题设的数对(a ,b )＝________.14.(2014·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.15.(2014·中山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋2x ＋1，(－2<x ≤0)，ax －3，(x >0)有3个零点,则实数a 的取值范围是________.16.设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ,其中c >a >0,c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ,b ,c )|a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a ＝b },则(a ,b ,c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ,b ,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号).①∀x ∈(－∞,1),f (x )>0；②∃x 0∈R ,使ax 0,bx 0,cx 0不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形,则∃x 0∈(1,2),使f (x 0)＝0.第四讲 不等式(选择、填空题型)1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A .10 B.8 C.3 D.2。