专题一 集合简易逻辑函数与导数教师稿

第1课 集合与常用逻辑用语1．集合的概念，元素与集合的关系、集合间的基本关系与运算、充要条件是每年的必考内容，尤其是新增内容中的“非p”命题出现的频率较高.2．对于集合，注重对双基知识的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图，数轴等工具解决集合的交、并、补运算问题；对于逻辑，主要结合相关的概念，考查基本的推理论证能力. 3．预计今后的高考对学生运用集合思想及逻辑思维能力的考查力度会有所加强，题型多以选择题、填空题的形式出现.〖基点问题1〗集合间的基本关系及运算关系例1．设集合{}1,.A x x a x R =-<∈{1B x =<5,}x x R <∈.A B ⋂=Φ若则实数a 的取值范围是（C ） A.{}60≤≤a a B.{}24a a a ≤≥或 C.{}06a a a ≤≥或 D.{}60≤≤a a 解析：利用数轴知,选项C 正确.〖基点问题2〗命题的真假的判断与否定问题例2.给出下列四个结论：①命题",x R ∃∈20"x R x x ->∀∈的否定是“，”02≤-x x ；②若22bm am <，则b a <的逆命题为真；③函数()sin ()f x x x x R =-∈有三个零点；④对于任意实数,x ()(),f x f x -=-有()g x -=(),g x 0,x >且 ()0,()0,f x g x ''>>0,x <则()()f x g x ''>其中正确结论的序号为 ①④ （填写正确结论的序号）.解析：①显然正确“若2222,bm am o m bm am ==<时，当②不正确，sin y x y x ==由与的图像知，()sin ()f x x x x R =-∈函数有一个零点，③不正确，对于④，由题设知为奇函数)(x f)(,0)(,0)(0)(//11x g x f x g x f x x g >∴<><∴）（时，单调性相反，，偶函数在对称区间的对称区间的单调性相同为偶函数，又奇函数在〖基点问题3〗充要条件的判定例3．设集合{}|20,A x R x =∈->{}|0,B x R x =∈<{}|(2)0,C x R x x =∈->则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由两个集合并集的含义知,选项C正确.〖热点考向1〗集合的综合问题例4.设集合{(,)|A x y=222(2)2mx y m≤-+≤，},x y R∈，{(,)|B x y=2m x y≤+≤21m+，},x y R∈.若A B≠∅,则实数m的取值范围是．解析：当0m≤时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，(10m m=，因为,φ≠⋂BA此时无解；当0m>时，集合A是以（2，0）为圆心，以和m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有m112m≤≤.又因为2m1,122m m≤∴≤≤〖热点考向2〗充要条件的综合问题例5．若实数,a b满足0,0a b≥≥，且0ab=，则称a与b互补，记(,),a b a bϕ-那么(,)0a bϕ=是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：据充要条件的定义知，选C.(2011湖北文10题)1．要分清否命题与命题的否定：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.2．注意等价命题的使用，一个命题的真假等价于它的逆否命题的真假：当一个命题的真假不易判断时，可转而判断它的逆否命题的真假.3．充分条件,必要要条件的判断：(1)定义法：判断是否可以A B⇒（充分性）或是否可以B A⇒（必要性）.(2)转换法：当所给的命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断.(3)集合法：记条件p、q对应的集合分别为A、B,若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p 是q的充分而非必要条件；若BA⊇，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若ABBA⊄⊄,，则p是q的非充分非必要条件.4.全称命题与存在性命题（1）要判断全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明()p x成立：如果在集合M中找到⊂≠⊂≠一个元素0x ，使得()0p x 不成立，那么这个全称命题就是假命题.（2）要判断一个存在性的命题是假命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个0x x =，使()0p x 成立即可：否则，这一存在性的命题就是假命题.（3）全称命题的否定是存在性命题，因此，我们可以通过举反例来否定一个全称命题.1.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个 解析：{1,3}P M N =⋂=有两个元素，所以子集个数为224=个，选B. 2.集合{}(1)0A x x x =-<，{}2,B y y x x R ==∈.则A B =（ ）A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(,0)-∞ 解析：{01},{0}A x x B y y =<<=≥，从而A B =(0,1)，选C. 3.下列命题中是假命题的是（ ）A.1R 20x x -∀∈>，B.()2*,10x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈< D.,tan 2x R x ∃∈= 解析：分析得选B.4.下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是( )A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞解析：1a b +⇒＞10a b a b ->⇒->,1a b a b a b ∴>>->反之不能推出故选A. 5.有下例四个命题，①“若xy=1，则xy 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若21,20m x x m ≤-+=则有实数解”的逆否命题； ④A B B A B ⋂=⊆“若，则”的逆否命题. 其中真命题为 . 解析：分析得选①②.6.已知命题p ：2,20x R x ax a ∃∈++≤,若命题p ⌝是假命题，则a 的取值范围是 . 解析：分析得220x ax a ++>恒成立，2444(1)0,01a a a a a ∆=-=-<<<，填(0,1). {}27.A 3100,{121},A B ,x x x B x m x m A m =--≤=+≤≤-⋃=已知集合若 求实数的取值范围.{}()()33m 251m 221m ,121B 22,121m B 1AB A B A ,52x A ≤≤≤∴≤--≥+-≤+≠<∴->+=⊆∴=⋃≤≤-=m m m m m x ，由上知，，且，则若，则若，又因为解析：φφ()8.0,111,22x c p y c q x f x x x cp q p q c >=⎡⎤∈=+>⎣⎦∨∧已知设命题：函数为减函数.命题：当时，函数恒成立， 如果为真命题，为假命题，求的取值范围.()()()x min y c 01,p 01111,2221111,1,22p 22110,121012c c f x x x f x x cx x c ji x c p q p q p q p q c p q c c c =<<<<⎡⎤=+>∈=⎣⎦⎡⎤==∈<>⎣⎦∨∧∴<≤≥<≤≥ 解析：为减函数，即为真时，对恒成立，当即时，有得即真为真，为假，、一真一假真假时，真假时，故或第2课 函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点，多以小题的形式出现，有时也与不等式、导数，数列等知识综合出现在解答题中间.函数图像直接考查的题目常有两种类型，一是以抽象函数给出：二是以几种初等函数为基础结合函数的性质综合考查.考查的形式有：知图选式、知式选图、知图选图、图象变换等.间接考查是希望考生自觉利用函数的图像来解决一些函数、方程、不等式问题.〖基点问题1〗作图例1.函数()()log 101a f x x a =+<<的大致图象为（ ）()()()()()正确。

，故，和，变化为，，，移一个单位，点再将所得的图像向上平到左恻，得轴右侧对称轴右侧不变，再将的图像，然后保留解析：作出A 11110101,log y 10log --=<<=x y y a x y a〖基点问题2〗图象与性质例2．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．(1,1](2,)-⋃+∞ B ．(2,1](1,2]--⋃ C ．(,2)(1,2]-∞-⋃ D ．[-2，-1] 解析：画出图象，选B.〖基点问题3〗图象的对称性例3．已知(21)y f x =+是偶函数，则函数(2)y f x =的图像关于直线 对称，函数()y f x =关于直线 对称.()()()()()()212121,1(1)1122y f x f x f x f x f x f x x y f x x =+-+=+-=+===解析：是偶函数，，故的 图像关于对称，的图像关于对称〖热点考向1〗函数的图象例4.函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )解析：因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数; 令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.〖热点考向2〗函数性质确定与应用()15.log 0,1112()131(,)()1a mxf x a a x m f x a x t a f x a t -=>≠-+∞>∈+∞例已知函数（）的图像关于原点对称.（）求的值; （）判断函数在区间（，）上的单调性并加以证明; （）当时，时，的值域是（，），求与的值.()()()()()()()()()()()()21log 0,1111110log log log0,1111111,1,11111110,1aa mxf x a a x mx mx mx mxf x f x x x x x mx mx m m m x x mxm x -=>≠--++--+=+==-------+==∴==-----==-<-解析：因为函数的图像关于原点对称，所以即得或当时，舍去：1111,0,111111mx x xm x x x x x m -++=-=><->----当时，令解得或所以符合条件的的值为1．深刻理解函数的概念与内涵，不仅包括理解函数的概念，而且包含理解函数的灵活应用，在新课标中，函数的实际应用大为加强，望复习中特别注意.2．函数的图象不仅是函数的直观反映，是数形结合的基础，因此必须掌握函数图象的做法，并能灵活应用图象来解决问题，常用的作图方法有描点法和变换法，解决函数图象的问题的常用方法有：定量分析法、函数模型法和定性分析法.3．讨论函数的性质必须定义域优先的原则，对于函数实际问题，必须挖掘隐含实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.1.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（ ） A ．12-B ．1 4-C ．14D ．12解析：先利用周期性，再利用奇偶性得: 5111()(()2222f f f -=-=-=-.选A.2.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈- 时，2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个 解析：画出图象,不难得出选项A 正确.3.已知()1ln ,01,0x x f x x x⎧>⎪=⎨<⎪⎩，则()1f x >-的解集为（ ）A ．()()e ,01,⋃-∞-B ．()()+∞⋃-∞-,1,eC ．()()+∞⋃-,0,1eD ．()()e ,00,1⋃- 解析：分段解不等式最后求并集,不难得出选项A 正确.4.()()()x x f x x e ae x R a -=+∈设函数是偶函数，则实数的值为 .解析：利用偶函数的定义,得1a =-.()()115.R 0,3log 0.f x f f x ∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭已知是定义在上的偶函数，且在[0,+)上为增函数， 则不等式的解集为解析：由题意画出简图，知181log 3x <-或181log 3x >，得解集()1022⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，，.6.函数()f x 的定义域为A,若12,x x ∈A ，且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如()()21f x x x R =+∈是单函数，下列命题： ①函数()2f x x =()x R ∈是单函数； ②函数()2()x f x x R =∈是单函数，③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）.解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．1122217.,(2,1)().(1)()2f x x C C A C C g x xg x y m C m =+=设函数（）关于点对称的图像为，对应的函数为求的解析式;（）若直线与只有一个交点，求的值和交点坐标.()()2'1(,)(,)2111 P 4,2,24,4112,()244p x y C p x y A x y f x x y x x xy x g x x xx--=+-=-+-=-+=-+--解析：（）设点是上的任意一点，则关于点（，）的对称点为代入可得 即()()()222(2)64901246449C 0.04030454y m y x m x m y x x m m y m m m m m =⎧⎪-+++=⎨=-+⎪-⎩∆=+-+=∴∆=====有消去得 因为直线与只有一个交点或 当时，交点（，）；当时，交点为（，）.第3课 基本初等函数基本初等函数在历年的高考中都占据重要的地位，从近几年的高考形式来看，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.预测今后高考对本节的考查是：利用以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质.同时在它们与其它知识点交汇处命题，且难度加大.〖基点问题1〗考查指数函数例1.设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-≥,则(){}20x f x ->=( )A.{}24x x x <->或B.{}04x x x <>或C.{}06 x x x <>或 D.{}22x x x <->或 解析：当0x ≥时，()2402x f x x =->⇒>，又由于函数是偶函数，所以x R ∈时，()0f x >的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．选B.另解：根据已知条件和指数函数2x y =的图像易知()240x f x =->的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．选B.〖基点问题2〗考查对数函数例2.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )A.1(,)b aB.(10,1)a b -C.10(,1)b a + D.2(,2)a b解析：由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.〖基点问题3〗考查幂函数例3.幂函数的图像经过点111((,),8P x y 2212(,)()Q x y x x <是图像上不同的两点，给出以下结论：（1）()2211)(x f x x f x >;(2)()2211)(x f x x f x <；(3)()22111)(1x f x x f x >； (4)()22111)(1x f x x f x <.其中正确结论的序号是 .解析：由题得12()f x x =，带入整理得（2）（3）正确.〖热点考向1〗二次函数{[]2(),(0)4.()1(0),().(1)0(),(0)()01()22,2,()()f x x f x ax bx a F x f f x x x f x F x x g x f x kx k >=++>=-=-<≥∈-=-例已知二次函数若且对任意实数均有成立. （）求的表达式;（）当时是单调函数，求的取值范围.()()[]222222221(1)0,10.1(1)10()010(1)4021,(0)1,2,()21,()21,(0)(2)()21(2)1()2222f a b b a f x ax a x a f x a a a x x x a b f x x x F x x x x g x x x kx x k x g x k -=∴-+=∴=+∴=+++>⎧≥∴∴-≤⎨∆=+-≤⎩++>⎧∴==∴=++∴=⎨---<⎩=++-=+-+--∴≤ 析（）恒成立，从而在区间，上是单调函数，解：{}22226226k k k k k k k --≥≤-≥≤-≥或，解得或所以所求的取值范围是或〖热点考向2〗函数性质的综合考查[][]()()[][]25.()11(1)1,()()1100.1(1)12(2)()21,1,11,1f x f f m f n m n m n m n f x f x f x t at x a t -=+∈-+≠>++<-≤-+∈-∈-例已知是定义在区间，上的奇函数，且若当、，，时有:解不等式：若对所有、恒成立，求实数的取值范围.[]()()()()()()()()()()()()())12212121212121211,11,()0,,()1112111111,0241121110.24x x x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x x x x f x f x x x x x f x f x ->-=+-+-=∙->∴>∴+-⎧-≤+≤⎪⎪+<-⇔-≤-≤⇔≤<⎨⎪⎪+<-⎩⎡+<-⎣析（）任取在，，且则是增函数，即不等式的解集为，解： ()()()[][][]222211()211,1,1,12111,120f x x f f x t at a x t at a t at ∴=∴≤-+∈-∈-⇔-+≥∈-⇔-≥（）由于为增函数，的最大值为对恒成立对任意的恒成立 [][][]221,121,1201,1a y t at a a t at a ∈-=-∈-∴-≥∈-⇔对任意恒成立。