高中数学第二章函数2.5第1课时简单的幂函数练习北师大版

2.5 第1课时 简单的幂函数
A 级 基础巩固
1．幂函数y ＝x 3
4 的定义域是导学号 00814420( B ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(0，＋∞)
D ．以上皆错
[解析] ∵y ＝x 34 ，∴y ＝3
4 的定义域为[0，＋∞)． 2．函数y ＝x 5
3 的图像大致是导学号 00814421( B )
[解析] ∵53>0，∴图像过原点且递增，又5
3>1，故选B ．
3．f (x )＝(x 2
－2x )－
1
2 的定义域是导学号 00814422( D )
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．(0,2)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析] 由x 2
－2x >0可得x <0或x >2，故选D ．
4．已知函数f (x )＝(a ＋2)x －2
是幂函数，则f (a )的值为导学号 00814423( A ) A ．1 B ．－1 C ．±1
D ．0
[解析] 由于f (x )是幂函数，所以a ＋2＝1，即a ＝－1，于是f (x )＝x －2
，故f (－1)＝(－1)－2
＝1.
5．若幂函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (1
2)等于导学号 00814424( D )
A ．4
B ．2
C ．12
D ．14
[解析] 设f (x )＝x α
，∵f (x )的图像经过点(2,4)， ∴4＝2α
.∴α＝2.
∴f (x )＝x 2
.∴f (12)＝(12)2＝14.
6．已知幂函数f (x )＝(n 2
＋2n －2)x
n 2
－3n
(n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上
是减函数，则n 的值为导学号 00814425( B )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2
＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B ．
7．若函数y ＝(a 2
－3a －3)x 2
为幂函数，则a 的值为_－1或4__.导学号 00814426 [解析] 由幂函数定义可知a 2
－3a －3＝1，所以a 2
－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4. 8．已知f (x )为幂函数，且过(2，2)点，则f (x )＝ x 1
2 .导学号 00814427 [解析] ∵函数f (x )为幂函数，∴可设解析式为f (x )＝x α
，又∵f (x )图像过(2，2)点，
即f (2)＝2α
＝2，∴α＝1
2
，故f (x )＝x 12 .
9．比较下列各数的大小：导学号 00814428 (1)(－23)23 和(－π6)23 ；
(2)4.125 ，3.8－
23 和(－1.9)3
5 .
[解析] (1)函数y ＝x 23 在(－∞，0)上为减函数，又－23<－π
6，
∴(－23)23 >(－π6
)2
3 .
(2)4.125 >125 ＝1；0<3.8－23 <1－23 ＝1；(－1.9)35 <0，∴(－1.9)35 <3.8－
23 <4.12
5 . 10．证明：函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数.导学号 00814429 [证明] 方法一：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝
x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2
x 1＋x 2
<0，
即f (x 1)<f (x 2)．
由函数单调性的定义可知，f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数． 方法二：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 1x 2
<1，且f (x 2)>0， ∴
f x 1f x 2＝x 1
x 2
＝
x 1
x 2
<1， 即f (x 1)<f (x 2)，
由函数单调性的定义可知，f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．
B 级 素养提升
1．幂函数y ＝x α
中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与
定义域相同时，集合C 为导学号 00814430( C )
A ．{－1,0，1
2}
B ．{1
2，1,2}
C ．{－1，1
2
，1,3}
D ．{1
2
，1,2,3}
[解析] 根据幂函数y ＝x －1
，y ＝x 0
，y ＝x 1
2 ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3
的图像和解析式可知，当α＝－1，1
2
，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
2．如果f (x )＝(m －1)·x m 2
－4m ＋3
是幂函数，则f (x )在其定义域上导学号 00814431
( D )
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．在(－∞，0)上是增加的，在(0，＋∞)上为减少的
D ．在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上也是减少的 [解析] ∵f (x )＝(m －1)x
m 2
－4m ＋3是幂函数，
∴m －1＝1，即m ＝2.f (x )＝x －1
，
显然f (x )＝x －1
在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上也是减少的．
3．当0<x <1时，f (x )＝x 2
，g (x )＝x 1
2 ，h (x )＝x －2
，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系
是_h (x )>g (x )>f (x )__.导学号 00814432
[解析] 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图像，如图所示．
由图像可知h (x )>g (x )>f (x )．
4．给定一组函数解析式：①y ＝x 34 ；②y ＝x 23 ；③y ＝x －
3
2 ；
④y ＝x －
23 ；⑤y ＝x 32 ；⑥y ＝x －
13 ；⑦y ＝x 1
3 及如图所示的一组函数图像．请把图像对
应的解析式号码填在图像下面的括号内.导学号 00814433
[答案] ⑥④③②⑦①⑤
[解析] 由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，α<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y 轴对称，为偶函数；第三个在y 轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.
由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.
第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤. 5．已知函数y ＝(a 2
－3a ＋1)·x
a 2
－5a ＋5
(a 为常数).导学号 00814434
(1)a 为何值时，此函数为幂函数？ (2)a 为何值时，此函数为正比例函数？ (3)a 为何值时，此函数为反比例函数？ [解析] (1)由题意，得a 2
－3a ＋1＝1， ∴a ＝0或a ＝3.
(2)由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a ＋5＝1
a 2
－3a ＋1≠0，
∴a ＝1或a ＝4.
(3)由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a ＋5＝－1，
a 2
－3a ＋1≠0，
∴a ＝2或a ＝3. 6．函数y ＝(m 2
－m －1)x m 2
－2m －3
是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m 的
值.导学号 00814435
[解析] ∵y ＝(m 2－m －1)x m 2
－2m －3
为幂函数，
∴m 2
－m －1＝1. 即(m －2)(m ＋1)＝0， ∴m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，m 2
－2m －3＝－3，y ＝x －3
是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，m 2
－2m －3＝0，y ＝x 0
＝1(x ≠0)不是减函数． 综上所述，所求m ＝2.
C 级 能力拔高
已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点(2，1
4).导学号 00814436
(1)求f (x )，g (x )的解析式；
(2)当x 为何值时：①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )． [解析] (1)设f (x )＝x α
，
∵其图像过点(2，2)，故2＝(2)α
， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2
.设g (x )＝x β
， ∵其图像过点(2，1
4
)，
∴14
＝2β，∴β＝－2，∴g (x )＝x －2. (2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2
与g (x )＝x －2
的图像，如图所示：
由图像可知：f (x )，g (x )的图像均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．。