2.5简单的幂函数

简单的幂函数
一、教材的地位和作用：
《简单的幂函数》北师大版必修1第2章第5节的内容。

是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x
y 及其他们的图像和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

二、教学目标：
（1）知识与技能目标：
①理解幂函数的概念
②通过几个幂函数的图象，理解函数奇偶性的概念
③会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图
像的方法
（2）过程与方法目标：
①通过幂函数解析式共性的观察、培养学生抽象概括和画图与识图能力。

②使学生进一步体会数形结合、转化的思想。

③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶
性的能力。

（3）情感态度与价值观
①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激
发学生的学习兴趣。

②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数
学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

三、教学重难点
教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法
教学难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性
四、教法学法与教具
本节主要采用“发现法”教学。

通过观察函数解析式及函数图像，借助多媒
体全方位的审视，由特殊到一般、直观到抽象进行教学，同时也解决时间上的矛
盾,突破了难点。

辅助以启发式、演示法教学，通过优化组合，以期达到最佳教
学效果。

教具：多媒体
五、教学过程
教学程序主要分为五个环节：
1、温故知新，引入新课:x y =,x
y 1=,2x y = 开门见山 问题：这三个函数解析式从结构上看有什么共同的特点吗？
这时，学生观察可能有些困难，教师提示，可以改变形式，上述函数式变成：121
1y x y x y x x
-====，，，（这个教师可直接给出，说明一下，在后面指数函数将详尽讲解）
设计意图： 就近区域的理论，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索
引出当前学习的新知识，这样获取的知识，易保持，且易于迁移到陌生的问题情
境中。

由实例得出本课新的知识点。

2、新课讲授：
多媒体展示引入课题：（1）简单的幂函数
归纳幂函数的概念：
如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量α，即αx y =，这样的函数称
为幂函数。

注意：①系数是1 ② 底数就是x
练习1：下列函数是幂函数的为：( )
①m ax y =(,a m 为非零常数，且1a ≠ );②1-=x y +2x ;③n x y =;④3)2(-=x y .
A ． ①③④ B.③ C.③④ D.都不是
练习2：若函数22)33()(x a a x f --=是幂函数，则a 值为
设计意图：①进一步辨析幂函数概念及形式上的特征; 系数是1；底数为x 而
不是x的其他代数式，如3x或2
-
x等；
②另一方面是突出待定系数法。

（2）幂函数的图像
例1 画出幂函数3
)
(x
x
f=的图像并讨论其单调性。

学生活动：思考用描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义，并完成这个题目。

设计意图：让学生回顾用描点法是作函数图像的基本方法，再一个是学生可以对幂函数3
)
(x
x
f=的图像建立一个感性认识。

（3）函数的奇偶性探究
探究：再利用几何画板重新分别作出1
2)
(
|,
|
)
(
,
)
(
,
)
(-
=
=
=
=x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f的图像。

组织学生观察以上两组图像，总结图像规律。

（以分组的形式进行）
利用几何画板作图时有意识在自变量x的取值关于原点对称来取值，同时用列表的方式突出对应的y的取值，利用几何画板的动态演示，让学生观察奇、偶函数图像的对称性的变化，以利于突出重点，突破难点。

归纳概念：一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，对定义域内的任意x满足)
(
)
(x
f
x
f-
=
-；图像关于y轴对称的函数叫偶函数，对定义域内的任意x 满足)
(
)
(x
f
x
f=
-。

提问：奇偶函数的定义域有何规律？（教师引导还是通过观察图像得出，即其定义域关于是原点对称的，否则就不具有奇偶性）
设计意图：①让学生从幂指数为奇为偶的图像中发现对称特征，从而引出
概念。

从而也可以让学生体会函数图像对研究函数问题的重
要性。

②从特殊到一般，具体到抽象，三种数学语言的转化，体现转
化的数学思想
③借助几何画板帮助学生从直观认知过渡的抽象概况
④突出定义域关于原点对称是前提
3.运用巩固：
（1）①学生完成本节教材P49动手实践中4个作图题。

设计意图：为巩固奇偶函数的对称特征让学生立即完成该题，还要使之充分讨论，加深对函数奇偶性的理解。

例2 判断2
2
)
(x
x
f-
=和2
)
(4+
=x
x
g的奇偶性。

教师活动：除示范规范的板书外还要对学生进行强调，以引起学生的足够重视。

例3.设函数
x
a x
x x
f
) )(1
( )
(
+ +
=为奇函数，则实数a= 。

1
a=-
学生练
1.设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3且f(x)为奇函数，则f(x)在[1,2]上
A．为减函数，最大值为－3 B．为减函数，最小值为3
C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为3 (B) 2．已知f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝(1－x)x，则x<0时，f(x)＝( B) A．－x(1＋x) B．x(1＋x) C．－x(1－x) D．x(1－x)
3. 若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解：函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
4．函数f(x)＝x3＋ax是定义在[-1, a] 上的奇函数，f(1)＝m，则f(－a)＝________.
解：f(x)是奇函数，∴a =1，f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2) 是________
解：令F (x )＝f (x )＋4＝ax 3＋bx ，显然F (x )＝ax 3＋bx 为奇函数， F (－2)＝f (－2)＋4＝6， F (2)＝f (2)＋4＝－6，f (2)＝－10.
例4. 已知幂函数f （x ）＝23221++-p p x （p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其
定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）.
解：因为幂函数f （x ）＝23221++-p p x
在（0，＋∞）上是增函数， 所以－21p 2＋p ＋2
3＞0，解得－1＜p ＜3 又幂函数在其定义域内是偶函数且p ∈Z ，所以p ＝2、相应的函数f （x ）＝23
x
六、课堂小结：
（1）幂函数概念及简单性质。

（2）函数奇偶性的概念及应用。

对函数奇偶性的判断可做归纳：①图像法②定义法（强调定义域关于原点的对称性）。

七、作业布置： P49习题2-5A 组2,3，4。