变化率与导数导数的计算图文
第二章第十一节变化率与导数、导数的计算
当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
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[冲关锦囊]
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数f′(x0)＝ lim x0
Δy Δx.
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[精析考题]
[例2] (2019·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
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[精析考题] [例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则， 求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
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2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
2020 第二章第十一节变化率与导数、导数的计算
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(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0处)) 的 切线的斜率．(瞬时速度就是位移函数
s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
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原函数 f(x)＝logax f(x)＝lnx
变化率与导数、导数的计算 (共31张PPT)
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
3x2sin x－x3－1cos x y′ = sin2x
考点一
导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．基本初等函数的导数公式 (xα)′＝αxα－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′ 1 1 ＝a ln a，(e )′＝e ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝x. xln a
'
(二)小题查验
判断正误
(1)sin
π π ′＝cos 3 3
(× ) (× )
(√ )
1 1 (2)若(ln x)′＝x，则x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
基础盘查三
导数四则运算法则
(一)循纲忆知
能利用导数的四则运算法则求解导函数．
知识小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 ( × )
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x； (3)y＝ cos x ； ex
变化率与导数、导数的运算 课件
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1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
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角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
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5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
第1节变化率与导数导数的计算
第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。
在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。
2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。
这些性质可以简化复杂函数的导数计算。
3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。
如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。
高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。
4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。
这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。
5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。
通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。
在实际问题中，导数的应用非常广泛。
例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。
总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。
第1节 变化率与导数、导数的计算
第三章 导数及其应用第1节 变化率与导数、导数的计算【知识衍化体验】 知识梳理 1．(1)瞬时变化率2．点(x 0，f(x 0))处切线 f′(x 0) y-f(x 0)＝f′(x 0)(x-x 0) 瞬时速度 3．(1)0 (2) nxn －1(3) cos x (4) -sin x (5)a x ln a ；(6) e x(7)1x lna (8)1x4．(1) f ′(x )±g ′(x ) (2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) Cf ′(x )(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)基础自测1．D 2．C 3．B 4．B 5．1e考点聚焦突破【例1-1】解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x3.(3) y ′＝1x ·（x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝()2212ln 1x x x x x +-+＝()22222ln 11x x x x x -++. （4）y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x ..(5)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x －13′＝[(2x －1)－3]′＝－3(2x －1)－4×2＝－6(2x －1)－4. 【例1-2】D令G (x )＝f （x ）ex ，则G ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ，∵G (0)＝f (0)＝1.∴c ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2. 【训练1】(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)()32y 12x -'=-.【例2-1】（1）(1，1) （2） 2x －y －2＝0 (3) x －y －4＝0或y ＋2＝0（1）由题意，y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设点P (x 0，y 0)，x 0>0，易知函数y ＝1x 的导函数y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k 2＝－1x 20.由题意，知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝1或－1(舍去)．又因为P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x(x >0)上，将x 0＝1代入，得y 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)．（2） 对y ＝2ln x 求导，得y ′＝2x.当x ＝1时，y ′＝2，故所求切线的斜率为2.又因为切线经过点(1，0)，所以切线的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.（3）设经过点A (2，－2)的曲线的切线的切点为P (x 0， 30x －420x ＋5x 0－4)．由题意，f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(x 0)＝320x －8x 0＋5，所以过点A (2，－2)的切线方程为y ＋2＝(320x －8x 0＋5)·(x －2)．将切点P (x 0，x 30－420x ＋5x 0－4)代入，得x 30－420x ＋5x 0－4＋2＝(320x －8x 0＋5)(x 0－2)，整理，得x 30－520x ＋8x 0－4＝0.观察可知x 0＝1是方程的一个根，所以x 30－520x ＋8x 0－4＝20x (x 0－1)－4x 0(x 0－1)＋4(x 0－1)＝0，即(x 20－4x 0＋4)(x 0－1)＝0，即(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝1或2.将x 0＝1或2分别代入切线方程y ＋2＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，得y ＋2＝0或y ＋2＝x －2.所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.【例2-2】（1） －3; （2）A（1）y ′＝a e x ＋(ax ＋1)e x ＝(ax ＋a ＋1)e x .因为曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，所以y ′|x ＝0＝(a ·0＋a ＋1)e 0＝－2，解得a ＝－3.（2）f (x )＝－e x－x ，则f ′(x )＝－e x－1，∵e x＋1>1，∴－e x－1<－1，由g (x )＝ax ＋2cos x ，可得g ′(x )＝a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2，2]，∴a －2sin x ∈[－2＋a ，2＋a ]，要使得过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a ≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2.即实数a 的取值范围是[－1，2]．【例2-3】 （1） D （2）y ＝x ＋1解（1） ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2.故选D.(2) 设直线l 与曲线y ＝e x的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x在点(x 0，e x0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2| x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x0或y ＝－12x 1x＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x＝－x12，－x 0e x 0＋e x＝x214，所以e x0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y＝x ＋1. 【训练2】 1. A设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A.2． 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3. A要使得图像在两点处的切线互相垂直，只需在这两点处的切线的斜率之积为－1.对于A ，y ＝sin x ，y ′＝cos x ，易知cos0·cosπ＝－1，即函数y ＝sin x 的图像上存在两点，使得图像在这两点处的切线互相垂直，故A 正确；对于B ，y ＝ln x ，x >0，所以y ′＝1x>0恒成立， 所以不符合题意；同理y ＝e x ，y ＝x 3的导函数y ′＝e x >0，y ′＝3x 2≥0均恒成立，C ，D 均不符合题意.。
3.1变化率与导数
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
2 2
2
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1,
Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x
1 0
第十节 变化率与导数、导数的计算
【例 5】 (2019·深圳二模)设函数 f(x)＝x＋1x＋b，若
曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则 ab
＝( )
A．1
B．0
C．－1
D．－2
解析：由题意可得，f(a)＝a＋1a＋b，f′(x)＝1－x12，
所以 f′(a)＝1－a12，故切线方程是 y－a－1a－b＝1－a12(x
f（x0＋Δx）－f（x0） ______________Δ_x_________．
(2)函数 f(x)的导函数．
f（x＋Δx）－f（x） 函数 f′(x)＝____________Δ_x________为 f(x)的导函数． 2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的_斜__率__，过点 P 的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
[变式训练]
Байду номын сангаас
1．若 y＝x－cos
x 2sin
x2，则 y′＝________．
解析：因为 y＝x－12sin x， 所以 y′＝x－12 sin x′＝x′－12sin x′＝1－12cos x. 答案：1－12cos x
答案：B
1．熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数 计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量， 提高运算速度，减少差错．
2．(1)函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求 导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程 思想求解．
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
第三章 第1节 变化率与导数、导数的计算
f(x)＝cos x f(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝__－__s_i_n_x___ f′(x)＝_____ex_____ f′(x)＝___a_xl_n_a____
1 f′(x)＝ x ________________________
解析 (1)设切点的横坐标为 x0(x0>0)，∵曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12，
∴y′＝2x－3x，即x20－x30＝12，解得 x0＝3 或 x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横 坐标为 3.
21
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex， ∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
lim f（x＋Δx）－f（x）
＝___x__0_________Δ_x__________，则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数， 通常也简称为导数. 2.导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线 的斜率 k，即 k＝__f_′(_x_0)__，切线方程为：___y_－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x0_)_(x_－__x_0_)__.
2
知识衍化体验
考点聚集突破
知识梳理
1.导数与导函数的概念
(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就 是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的 导数，通常用符号f′(x0)表示，记作
lim f（x1）－f（x0）
高考数学变化率与导数导数的计算
高考数学变化率与导数导数的计算2021高考各科温习资料2021年高三开学曾经有一段时间了，高三的同窗们是不是曾经投入了紧张的高考一轮温习中，数学网高考频道从高三开学季末尾为大家系列预备了2021年高考温习，2021年高考一轮温习，2021年高考二轮温习，2021年高考三轮温习都将继续系统的为大家推出。
一、选择题1.函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0，+∞)B.(-∞ ，0)C.(-∞，0)和(0，+∞)D.R2.假定函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3，那么使得函数f(x+1)单调递减的一个充沛不用要条件为x∈()A.(0,1)B.[0,2]C.(1,3)D.(2,4)3.函数f(x)的导函数为f′(x)，假定(x+1)·f′(x)0，那么以下结论中正确的选项是()A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f (x)的极值点4.函数f(x)=4x+3sin x，x∈(-1,1)，假设f(1-a)+f(1-a2)0成立，那么实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(1，)C.(-2，-)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)5.假定函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是( )A.[1，+∞)B.[1，)C.[1,2)D.[，2)6.假定a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，那么ab的最大值等于() A.2 B.3C.6D.9。