椭圆的参数方程(学案)
西城学探诊高中数学 2.3.1椭圆的参数方程导学案(无答案)新人教B版选修4-4
§2.3.（1、2）椭圆、抛物线的参数方程
学习目标
学习过程
【任务一】椭圆的参数方程
阅读教材P41，完成下面例题
例1：已知椭圆的方程为13
)1(5)3(2
2=++-y x ，写出它的参数方程。
例2：已知椭圆的参数方程为⎩⎨
⎧==t
y t x sin 5cos 2，点M 在椭圆上，对应参数6π=t ，点O 为原点，求直线OM 的斜率。
【任务三】课后作业
1.写出椭圆1642
2=+y x 的参数方程。
2.椭圆的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=t
y t x sin 22cos 31，点P 为椭圆上对应6π=t 的点，求直线OP 倾斜角的正切值。
3.设直线的参数方程为⎩⎨
⎧+-=+=t y t x 212，求点)11(，-P 到直线的距离。
4.P 是椭圆⎩⎨
⎧==θθsin 32cos 4y x （θ为参数）上一点，且在第一象限，OP （O 是坐标原点）的倾斜角是
3π，求点P 的坐标及OP 。
5.将参数方程⎩⎨
⎧==t y t x sin 2cos 5，（θ为参数）化为普通方程。
6.设椭圆的参数方程为⎩⎨
⎧==t y t x sin cos 2求椭圆上的动点P 到直线04=--y x 的最大距离。
第2讲 第2节 第3课时椭圆的参数方程
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
解析：
x＝acosθ 设椭圆方程 y＝bsinθ
(a＞b＞0,0≤θ＜2π)
2 2 2 b a － b c 2 则e ＝a2＝ a2 ＝1－a2得
(3)由重心公式可得G坐标；
(4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[解题过程]
由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆
上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得 x＝6＋0＋6cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ， 3
x＝2＋2cosθ， 即 y＝1＋sinθ.
x－22 消去参数θ得到 4 ＋(y－1)2＝1.
[规律方法]
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决
相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[变式训练]
2.已知线段AB＝4，直线l垂直平分AB，垂足
3 1 1 ∴b＝ 7－2＞2与b＜2矛盾． 1 1 若2b≤1即b≥2时， 1 此时sinθ＝－2b，d2有最大值．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
故有( 7)2＝4b2＋3，∴b＝1，a＝2
x＝2cosθ 椭圆方程为 y＝sinθ
1 3 由sinθ＝－2，cosθ＝± 2 ，
沪教版高三一轮学案——11.6参数方程
参数方程（校本）学习目标：1.理解参数方程的意义，领会建立曲线的参数方程的方程.2.掌握参数方程与直角坐标方程的互化.3.掌握直线、圆与椭圆的参数方程，并能用于解决一些简单的几何问题，形成参数思想并懂得参数法的基本运用.【例题解析】一、直线、圆与椭圆的参数方程例1.写出下列普通方程的一个参数方程.（1）10+-=x y （2）223+=x y （3）22149x y +=例2.将下列参数方程化为普通方程并写出,x y 的范围.（1）312=-⎧⎨=--⎩x t y t （2）sin 3cos =⎧⎨=⎩x y θθ练习：1.设直线参数方程为335:2⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t l y （t 为参数），则这条直线经过定点________，直线的倾斜角为________2.已知椭圆4cos :3sin =⎧⎨=⎩x C y θθ（02θπ≤<），则椭圆C 的焦点坐标为______________二、曲线的参数方程综合应用例3.已知直线l 的参数方程为1212x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设直线l 与曲线C 交于两点,A B（1（2）设P 为曲线C 上的一点，当ABP ∆的面积取最大值时，求点P 的坐标．练习：已知(1,5)-P 是直线1:()52=+⎧⎨=-+⎩为参数x t l t y t 上一点，求点P 到直线l 和圆()⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x y θθθ的两个交点的中点M 的距离.例4.已知点P 为椭圆222312x y +=上的一个动点，求2x y +的最值范围.练习：已知椭圆的参数方程3cos 2sin =⎧⎨=⎩x y θθ (θ为参数)，求椭圆上一点P 到直线2322=-⎧⎨=+⎩x t y t (t 为参数)的最短距离．。
椭圆的参数方程(学案)
椭圆的参数方程班级：_______ 姓名：_______小组：__________ 评价：__________【学习目标】1.了解椭圆的参数方程及其参数的意义2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 【学习重点】椭圆参数方程的定义和应用 【学习难点】1.选择适当的参数写出椭圆的参数方程2.正确理解椭圆离心角的几何意义 【课堂六环节】一、导——教师导入新课。
（2-3分钟）如图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.二、思——自主学习。
学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。
(13分钟)椭圆）（012222>>=+b a b ya x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数） 1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ） 2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3.当焦点在y 轴时椭圆的标准方程：_________________________与其对应的参数方程为：___________________ 【典型例题】例1、写出下列普通方程化为参数方程.例2、写出下列参数方程的普通方程例3、在椭圆14922=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离2222(1)1(2)14916x y y x +=+=3cos 8cos (1)(2)5sin 10sin x x y y ϕϕϕϕ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩例4、动点),(y x P 在曲线14922=+y x 上变化，求y x 32+的最大值和最小值三、议——学生起立讨论。
根据以上学习的内容进行小组集体讨论。
（9分钟） 四、展——学生激情展示。
小组代表或教师随机指定学生展示。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
椭圆参数方程中参数的几何意义教案
椭圆的参数方程中参数的几何意义教学重难点：椭圆参数方程中参数的几何意义教学用具：多媒体辅助教学教学方法：由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此采用教师讲解的方法，只要学生理解就可以了教学过程：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导 因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ 椭圆的标准方程：12222=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看右边图片如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时M 的轨迹的参数方程. 分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x ===ϕϕsin sin b OB NM y ===，当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ① 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。
椭圆的参数方程(公开课)
x
令
a y
c os sin
xy
a cos(为参数) b sin
b
是焦点在X轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
问题:你能仿此推导出椭圆
x2 b2
y2 a2
1的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
(为参数)
（2）椭圆的参数方程在求最值，范围问题上有其优 越性；
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
问题：
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S >
ABC
面积一定,
需求
S >
ABP
最大即可
即求点P到线AB的距离最大值
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
椭圆及其标准方程(第一课时)导学案
课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
（2）了解圆锥曲线的初步应用。
编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。
【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。
通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。
从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。
【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。
5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。
但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。
高中数学 第二章 参数方程 2.3.1 椭圆的参数方程教学设计 新人教A版选修4-4-新人教A版高二
椭圆的参数方程一、知识回顾（4’）以设问的方式进行复习回顾：1、当焦点在x轴上时椭圆的普通方程:2、相关知识点：（1）焦点，顶点(), ()；（2）（3）；（4）；3、辅助角公式：学生跟着老师的思路进行复习回顾，并能较为准确回答出老师所问问题。
为接下来的新知识做铺垫。
明确相关知识便于学生理解下面的新知识，加深了学生对单一函数的认识及应用二、新课引入（3’）对椭圆的普通方程进行换元可得到椭圆的参数方程。
对学生提出思考：上节课圆的参数方程中，参数的几何意义是圆的旋转角，那么椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？学生认真记录笔记，并根据老师所提出的思考题进行思考，并忆起圆的参数方程中参数的几何意义。
利用学生熟悉的三角函数公式进行换元，通过换元法进行引入。
然后对参数进行设问，引导学生合作探究。
三、探究参数（14’）设椭圆上任一动点M 坐标为()，则：探究1：参数是椭圆的旋转角吗？不是，因为x=，不是定值。
探究2：从参数方程出发（即M的坐标点）根据圆的参数方程寻找的意义：建立以a为半径的圆，过M作垂线交圆于A，点A的横坐标与M的横坐标一样为(为∠AOx)；再建立以b为半径的圆交线段OA于B，而B点纵坐标为，恰与M的纵坐标一样，即BM∥x轴。
因此，椭圆的参数方程中参数的几何意义并非旋转角，而是椭圆的离心角。
探究3：当椭圆的焦点在y轴上时的参数方程是什么样子的，其参数是否满足探究2中的几何意学生之间先进行探究一的讨论，发现不是椭圆的旋转角，然后再自己原有讨论的基础上跟着老师一起探究参数的几何意义，得出原来参数的几何意义是椭圆的离心角。
探究3让学生自主探究，发现不论椭圆的焦点在哪，其参数的几何意义仍是椭圆的离心角。
探究1：类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义，引导发现不相同之处，否定原有猜想。
探究2：从所设M点的坐标出发，通过数形结合思想，引导学生从已知点坐标出发，进行探究，思考椭圆的参数方程中参数的几何意义。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案第一章：引言1.1 椭圆的定义讲解椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过实际例子演示椭圆的形成过程，让学生直观理解椭圆的定义。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质：椭圆有两个焦点，两个半轴，对称性等。
通过图形和数学公式展示椭圆的性质，让学生理解椭圆的特性。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程定义讲解椭圆标准方程的概念：椭圆的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\) 是半长轴，\(b\) 是半短轴。
通过实际例子解释椭圆标准方程的含义和作用。
2.2 椭圆标准方程的推导讲解椭圆标准方程的推导过程：利用椭圆的定义和性质，通过几何方法和代数方法推导椭圆的标准方程。
分步解释推导过程，让学生理解并掌握椭圆标准方程的来源。
第三章：椭圆的长轴和短轴3.1 椭圆的长轴讲解椭圆的长轴的概念：长轴是椭圆上距离两个焦点最远的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆长轴的性质和计算方法。
3.2 椭圆的短轴讲解椭圆的短轴的概念：短轴是椭圆上距离两个焦点最近的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆短轴的性质和计算方法。
第四章：椭圆的焦点和焦距4.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点的概念：焦点是椭圆上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和数学公式展示椭圆焦点的性质和计算方法。
4.2 椭圆的焦距讲解椭圆的焦距的概念：焦距是椭圆上两个焦点之间的距离。
通过图形和数学公式展示椭圆焦距的性质和计算方法。
第五章：椭圆的离心率5.1 椭圆的离心率定义讲解椭圆的离心率的概念：离心率是椭圆的焦距与长轴长度的比值，用\(e\) 表示。
通过图形和数学公式展示椭圆离心率的性质和计算方法。
5.2 椭圆的离心率的应用讲解椭圆的离心率的应用：离心率可以用来判断椭圆的形状和大小，以及与焦点和焦距的关系。
通过实际例子演示椭圆的离心率的应用，让学生理解并掌握椭圆离心率的重要性。
高中数学人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》(第一课时)教学设计
《椭圆的参数方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教科书通过推广前一节例4，得出椭圆的参数方程（与椭圆的标准方程相对应）．这个参数方程实际上是通过纯粹的代数和三角变换得到的，参数ϕ的几何意义并不明确．为此，教科书利用“思考”，引导学生类比圆的参数方程中参数的几何意义，探究椭圆参数方程中参数的几何意义．参数ϕ不是x轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角度(称为OM的旋转角)，这一点与圆的参数方程中的参数有着显著差异．离心角ϕ容易与点M和中心O连∠混淆．线的倾斜角xOM应当说，由学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教科书采用了直接讲解的方法．二、学情分析学生是在学习了选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》、选修4-4《第一讲坐标系》2．平面直角坐标系中的伸缩变换与《第二讲参数方程》1．参数方程的概念、2．圆的参数方程等知识之后，自然而然地要研究椭圆的参数方程，而前面知识就作了相应的知识基础准备．其次，教学对象是我们学校高2013级的A层次的班级2班，学生的学习习惯较好，有较强的动手操作能力，有一定的自主学习基础与能力，也善于合作研究、讨论学习．这为学习新知提供了一定的能力基础．三、学习目标1．通过类比圆的参数方程，选择参数写出椭圆的参数方程，理解参数的几何意义．2．体会参数法的应用，能用椭圆参数方程解决一些简单问题，建立椭圆参数方程与代数变换、三角函数之间的联系．3．进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，从不同的角度认识椭圆的几何性质．四、教学重点和难点重点：根据问题的条件（椭圆的几何性质）引进适当的参数，写出椭圆的参数方程，体会参数的意义、椭圆参数方程的应用；难点：根据椭圆的几何性质选取恰当的参数，建立椭圆的参数方程以及椭圆的参数方程中参数的几何意义．1/ 72 / 7五、教学基本流程六、教学情景设计3/ 74/ 75/ 76/ 7（3）在椭圆中，还可以选取其它变量作为参数吗？请将你选取的参数与离心角作为参数进行比较．七、板书设计八、课后反思1．椭圆的参数方程一、1．圆的参数方程2．椭圆的参数方程参数的几何意义θM0rM(x, y)yxOMBAOyx三、课堂小结与作业布置三、应用举例[例]已知椭圆C的方程为22194x y+=．若2392z x y=+-，其中(),x y是椭圆C上的点．求z的最大值和最小值．xy23O7/ 7。
椭圆参数方程教学设计
椭圆的参数方程教学设计一、基本说明1、教学内容所属模块：选修4-42、年级：高三3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版）4、所属的章节：第二讲第二节第1课时5、学时数：45 分钟二、教学设计（一）、内容分析1、内容来源普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程2、地位与作用参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。
在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。
以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。
（二）、教学目标1、知识与技能：（1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。
（2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。
（3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。
2、过程和方法：（1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。
（2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。
3、情感、态度和价值：通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。
同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。
以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。
培养学生用“了解”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的了解，培养学生学好数学的信心。
（三）、教学重点、难点重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义难点：巧用椭圆的参数方程解题（四）、学情分析：“坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。
坐标系是了解几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。
椭圆的参数方程
2.已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点． 1－ 5≤2x＋y≤1＋ 5 (1)求2x＋y的取值范围．
c≥ 2－1 (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围． 3.已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，( D ) A．m＜1 B．－1＜m＜1 C．m＞1 D．0＜m＜1 4.已知90°＜θ＜180°，方程x2＋y2cosθ＝1表示的 曲线是( C ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
x2
4.已知椭圆 100 64 ABCD的最大面积。
y2
1
有一内接矩形ABCD，求矩形
y y
D
解 : 设A 10 cos ,8sin
AD 20 cos , AB 16 sin S 20 16 sin cos 160 sin 2
B2
A
A1
F1
C
y 1
2
归纳延伸
2
作业：P26 3 P34 1,2 x y 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1
2
a
b
x a cos ( 为参数 ) y b sin
θ
（acos ,bsin）
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. b 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同： tan tan ;
预习检测 x2 y2 1．椭圆的参数方程：椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程是 a b x a cos 离心角 _____________．φ 称为__________规定参数 φ 的取值范围 y b sin
[0,2 ) 为__________．
x 2 3 cos , 2.曲线 (为参数)的焦距是___________. y 3 2 sin . 2
椭圆的参数方程（教案）
椭圆的参数⽅程（教案）8.2 椭圆的⼏何性质(5)——椭圆的参数⽅程（教案）齐鲁⽯化五中翟慎佳 2002.10.25⼀．⽬的要求：1．了解椭圆参数⽅程，了解系数a、b、含义。
2．进⼀点完善对椭圆的认识，并使学⽣熟悉的掌握坐标法。
3．培养理解能⼒、知识应⽤能⼒。
⼆．教学⽬标：1．知识⽬标：学习椭圆的参数⽅程。
了解它的建⽴过程，理解它与普通⽅程的相互联系；对椭圆有⼀个较全⾯的了解。
2．能⼒⽬标：巩固坐标法，能对简单⽅程进⾏两种形式的互化；能运⽤参数⽅程解决相关问题。
3．德育⽬标：通过对椭圆多⾓度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学⽣辩证唯物主义观点。
三．重点难点：1．重点：由⽅程研究曲线的⽅法；椭圆参数⽅程及其应⽤。
2．难点：椭圆参数⽅程的推导及应⽤。
四．教学⽅法：引导启发，计算机辅助，讲练结合。
五．教学过程：（⼀）引⾔（意义）⼈们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这⼀规律。
本节课学习椭圆的参数⽅程及其简单应⽤，进⼀步完善对椭圆认识。
（⼆）预备知识（复习相关）1．求曲线⽅程常⽤哪⼏种⽅法？答：直接法，待定系数法，转换法〈代⼊法〉，参数法。
2．举例：含参数的⽅程与参数⽅程例如：y =kx +1（k 参数）含参⽅程，⽽+==142t y tx （t 参数）是参数⽅程。
3．直线及圆的参数⽅程？各系数意义？（三）推导椭圆参数⽅程1．提出问题（教科书例5）例题．如图，以原点为圆⼼，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆。
点B 是⼤圆半径OA 与⼩圆的交点，过点A 作AN ⊥O x ，垂⾜为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂⾜为M 。
求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数⽅程。
2．分析问题本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。
故采⽤间接法——参数法。
引导学⽣阅读题⽬，回答问题：（1）动点M 是怎样产⽣的？M 与A 、B 的坐标有何联系？（2）如何设出恰当参数？设∠AOX=?为参数较恰当。
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椭圆的参数方程
一、学习目标
(1).掌握椭圆的参数方程.
(2).掌握椭圆的参数方程与普通方程的互化。
一、课前预习 温故而知新
1、椭圆的标准方程
（1）焦点在X 轴 ，（2）焦点在Y 轴 ，
2、将下列参数方程化成普通方程，并说明曲线形状和位置。
（1）cos ()cos 21x y θθθ=⎧⎨
=+⎩为参数 （2）5cos ()3sin x y ϕϕϕ
=⎧⎨=⎩为参数
3、椭圆的参数方程
（1）焦点在x 轴: （2）焦点在y 轴:
二、课堂研习 重点、难点都在这里
例1把下列普通方程化为参数方程，并求椭圆的长轴、短轴和焦距。
. (1)19422=+y x (2)116
2
2=+y x
例2把下列参数方程化为普通方程，并求椭圆的长轴、短轴和焦距。
(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==y x
B 例3、在椭圆882
2=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.
三、课后练习
懂了，不等于会了 A1练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为
______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_-________。
?____________________),
(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x
（ ）
的最大值和最小值吗？
求出的前提下，满足数题进行类比，你能在实、与简单的线性规划问y x z y x y x 2116
25,5B 2
2-==+
C 、已知椭圆 164
1002
2=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。
)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(3πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。
上各点连线的中点轨迹为参数和椭圆、求定点)(sin cos {)0,2(4B θθθb y a x a ==2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩。