高中数学第二章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程学案新人教B版选修4_4

2.4一些常见曲线的参数方程

[对应学生用书P37]

[读教材·填要点]

1．摆线的概念

一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)摆线的参数方程：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝a t －sin t ，

y ＝a －cos t

.

(2)圆的渐开线方程：

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝a

t ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t

.

[小问题·大思维]

1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？

提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)．

[对应学生用书P38]

[例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．

[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．

[精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0，

即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．

代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝

1

k π

(k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝

1

k π

(k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1

π.

代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1πt －sin t ，

y ＝1π

－cos t

(t 为参数)．

由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．

1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．

解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π

2＝r [θ－sin(φ＋θ)]，

y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]．

∴点M 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝r [θ－

φ＋θ，

y ＝r [1－φ＋θ

(θ为参数).

[例2] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．

[精解详析] 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按

渐开线定义，AM 0的长和线段AM x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.

作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线．由三角和向量知识，得

(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB ＝θ，

(4θsin θ，－4θcos θ)，

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．

(x ，y )，

所以有⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝

θ＋θsin θ，

y ＝θ－θcos θ

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．

(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．

2．渐开线⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ＋t sin t ，y ＝

t －t cos t

(0≤t ≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的

横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．

解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a ＝6，其方程为x 2

＋y 2

＝36，把基圆的横坐

标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 2＋y 2

＝36，整理可得x 2144＋y 2

36＝

1.这是一个焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2

－b 2

＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．

答案：(63，0)，(－63，0)

[例3] 设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．

[思路点拨] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清

M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．

[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝

t －sin t ，

y ＝

－cos t ，

0≤t ≤2π.

当t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.