高中数学第二章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程学案新人教B版选修4_4

2.4一些常见曲线的参数方程[对应学生用书P37][读教材·填要点]1．摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a t －sin t ，y ＝a －cos t.(2)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t.[小问题·大思维]1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)．[对应学生用书P38][例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．[精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0，即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝1k π(k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝1k π(k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πt －sin t ，y ＝1π－cos t(t 为参数)．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]，y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]．∴点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r [θ－φ＋θ，y ＝r [1－φ＋θ(θ为参数).[例2] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．[精解详析] 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，AM 0的长和线段AM x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线．由三角和向量知识，得(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，(4θsin θ，－4θcos θ)，＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．(x ，y )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．2．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋t sin t ，y ＝t －t cos t(0≤t ≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1.这是一个焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)，(－63，0)[例3] 设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[思路点拨] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t ，0≤t ≤2π.当t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．3．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6t －6sin t ，y ＝6－6cos t .(3)令y ＝0，得6－6cos t ＝0⇒cos t ＝1. 所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．[对应学生用书P39]一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝t －sin t ，y ＝－cos t(t 为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ，0≤φ≤2π，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B (3π2，2)之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.4．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πt －sin t ，y ＝12k π－cos tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πt －sin t ，y ＝1k π－cos tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πt －sin t ，y ＝12k π＋cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πt －sin t ，y ＝1k π－cos t解析：选A 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at －sin t ，y ＝a－cos t令a (1－cos t )＝0，得t＝2k π.代入x ＝a (t －sin t )得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又过(1,0)，∴a (2k π－sin 2k π)＝1.∴a ＝12k π.又a ＞0，∴k ∈N *. 二、填空题5．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________；当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是________．解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝3.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2 cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3.答案：3 ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3 6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r －cos φ，y ＝r φ－sin φ7．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应的点的坐标为________．解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，把点(π，0)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧π＝r φ－sin φ，0＝r－cos φ⇒cos φ＝1，则sin φ＝0，φ＝2k π(k ∈Z )，所以，r ＝π2k π＝12k (k ∈Z )，又r >0，所以k ∈N ＋，当k ＝1时r 最大为12，再把φ＝π4代入即可． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π－228，2－248．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2t ＋t sin t ，y ＝2t －t cos t上与t ＝π4对应的点的直角坐标为________．解析：对应点的直角坐标为x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋π4·22＝1＋π4，y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22－π4·22＝1－π4.∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4三、解答题9．当φ＝π4，π2时，求出圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．解：把φ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.即A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4－π22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4－12＝14－22π2－42π＋32－16 2.10．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，将它们依次相连接，求曲线AEFGH 的长．解：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 11．如图，若点Q 在半径AP 上(或半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，求点Q 的轨迹的参数方程．解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)．若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r .代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r－cos θ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝12r －cos θ当|AQ |＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋r θ3，y 0＝2y ＋r3.代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝rθ－sin θ，y 0＝r－cos θ∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝12r －3cos θ对应学生用书P41][对应学生用书P41](1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．[例1] 过点P (－2,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，设A ，B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．[解] 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0.∴y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，即y ＝2t1＋t2， x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2.由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0得t 2>3. ∴M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t1＋t 2，t 2>3.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的．也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．[例2] 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点[解析] x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1， 又∵x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D.[答案] D[例3] 已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1tθ， ①y ＝t －1tθ， ②t ≠0.(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝x t ＋1t，由②得cos θ＝yt －1t. ∴x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝1. 它表示中心在原点，长轴长为2|t ＋1t|，短轴长为2|t －1t|，焦点在x 轴上的椭圆．当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2,2]． 它表示在x 轴上[－2,2]的一段线段． (2)当θ≠k π2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1t. 由②得ycos θ＝t －1t.平方相减得x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝4，即x 24sin 2θ－y 24cos 2θ＝1. 它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x 轴上的双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t .∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1t≤－2(t ＜0时)，∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)．它表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．[例4] 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 曲线C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆．因为圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010，且3－71010<71010，故过圆心且与l 平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．[答案] B[例5] 直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，0≤θ≤2π交于A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A.7π6B.5π4C.4π3D.5π3[解析] 由已知得圆D ：(x －3)2＋(y －1)2＝3， 则圆心D 到直线y ＝33x ＋2的距离等于 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪33×3－1＋213＋1＝62， 故cos 12∠ADB ＝d 3＝22，12∠ADB ＝π4，∠ADB ＝π2. 又AD ＝BD ，所以有∠DBA ＝π4. 而直线y ＝33x ＋2的倾斜角是π6，因此结合图形可知，在直线AD ，BD 中必有一条直线的倾斜角等于π6＋π4，另一条直线的倾斜角等于π6＋π4＋π2.因此AD ，BD 的倾斜角之和为2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＋π2＝4π3.[答案] C[例6] 设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(0≤θ≤2π)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． [解] (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2. 由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1<2，由此解得k >2120. 即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时， 方程②有两个不相等的实数解， 即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100>0，即20sin αcos α>21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α>2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.[例7] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝32t与圆x 2＋y 2＝a (a >0)相交于A ，B 两点，设P (－1,0)，且|PA |∶|PB |＝1∶2，求实数a 的值．[解] 法一：直线参数方程可化为y ＝3(x ＋1)．联立方程⎩⎨⎧y ＝3x ＋，x 2＋y 2＝a .消去y ，得4x 2＋6x ＋3－a ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨设x 1<x 2)，则 Δ＝36－16(3－a )>0，①x 1＋x 2＝－32，② x 1·x 2＝3－a4，③ |PA ||PB |＝－1－x 1x 2＋1＝12.④ 由①②③④解得a ＝3.法二：将直线参数方程代入圆方程得t 2－t ＋1－a ＝0.设方程两根为t 1，t 2，则 Δ＝1－4(1－a )>0⇒a >34.t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝1－a .由参数t 的几何意义知|PA ||PB |＝－t 1t 2＝12或|PA ||PB |＝－t 2t 1＝12.解得a ＝3.能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．[例8] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．代入方程y 2＝4x 整理得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0.sin α－cos α＝0∴0≤α＜π.∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4·8sin2π4＝8.[例9] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过顶点的两弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程．[解] 设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)， 则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0.所以t 1，t 2为方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两个根． 由根与系数的关系，得t 1·t 2＝－x 2＋y 22px.又OA ⊥OB4p 2t 21t 22＋4p 2t 1t 2＝0，即t 1t 2＝0(舍)或t 1t 2＝－1.所以x 2＋y 2－2px ＝0，即(x －p )2＋y 2＝p 2.所以点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，以p 为半径的圆．对应学生用书P43]一、选择题1．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A ．23B ．－2 3 C.33D. 3解析：选A ∵t ＝π3，∴x ＝1，y ＝23，∴k OM ＝yx＝2 3.2．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ是常数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ，0≤φ≤2π的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 解析：选B 心到直线的距离d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．3．已知双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ，那么它的两条渐近线所成的锐角是()A ．30° B．45° C ．60° D．75°解析：选C 由⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ⇒y 2－x 23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.4．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋b ，2b b B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋b <，2b bC.b 24＋4 D ．2b解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2＋2y 得x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24.当0<b <4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b ≥4时，(x 2＋2y )max＝－(2－b2)2＋4＋b 24＝2b .二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角的大小为________．解析：原参数方程变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝1＋t sin 20°(t 为参数)，故直线的倾斜角为20°.答案：20°. 6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．解析：直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝14.答案：147．圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π4cos φ＋π4φsin φ，y ＝π4sin φ－π4φcos φ(φ为参数)，则基圆的面积为________． 解析：易知，基圆半径为π4.∴面积为π·⎝ ⎛⎭⎪⎫π42＝116π3.答案：116π38．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________.解析：显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴x 轴， 故|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|＝4p |t 1|. 答案：4p |t 1| 三、解答题9．经过P (－2,3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A ，B 两点． (1)若线段AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若P 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0. (2)|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫6sin α＋8cos αsin 2α2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－7sin 2α ＝2sin 2α16＋12sin 2α.又α＝π4，∴|AB |＝2sin2π416＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＝87.10．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.11．设P 为椭圆x 225＋y 29＝1(x ≥0，y ≥0)上的一动点，又已知定点A (10,6)，以P ，A 为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．解：设P (5cos θ，3sin θ)(0≤θ≤π2)，则矩形面积为 S ＝(10－5cos θ)(6－3sin θ)＝15[4＋sin θcos θ－2(sin θ＋cos θ)]．令t ＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝t 2－12， ∴S ＝152(t －2)2＋452. ∵t ∈[1，2]，∴当t ＝1，即P (5,0)或P (0,3)时有最大值，最大值为30；当t ＝2，即P (522，322)时有最小值，最小值为1352－30 2.。