绝对值的意义及应用(最新整理)
《绝对值》知识简要与举例
《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。
绝对值和反比例函数的应用
绝对值和反比例函数的应用在数学中，绝对值函数和反比例函数是两个非常重要的函数。
在实际生活中，我们可以看到这两种函数被广泛应用，并起到了非常重要的作用。
本文将介绍绝对值和反比例函数的定义和性质，以及它们在实际中的应用。
一、绝对值函数绝对值函数是指以0为中心，向两边对称的函数。
它的函数表达式为：f(x) = |x|其中|x|表示x的绝对值。
绝对值函数的图像是一条以原点为中心，斜率为1的直线，也就是一条下倾斜45度的直线。
绝对值函数的应用非常广泛。
例如在测量误差方面，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
又如在金融投资中，我们经常会遇到股票价格涨跌情况，这种上涨和下跌是在绝对值函数的作用下进行的。
二、反比例函数反比例函数是指一个函数，它与它的自变量的倒数成反比例关系。
它的函数表达式如下：f(x) = k/x其中k为常数。
反比例函数的图像是一条由原点开始的开口向右的双曲线。
反比例函数在实际生活中也非常常见。
例如，在公路上行驶的车速与所用时间的关系就是反比例关系。
又如，在制造业中，原材料用量与生产数量的关系也是反比例关系。
三、在实际生活中，绝对值和反比例函数被广泛应用。
下面我们将分别以两者为例进一步介绍它们在实际中的应用。
（一）绝对值函数的应用1、测量误差测量误差是指在测量中由于各种因素而引起的误差。
这种误差会对测量结果造成影响。
例如，在香港体温检测站，为了确保检测准确度，通常会在实际温度值的上下0.5度之间通行。
在测量误差的情况下，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
例如，当我们的测量结果为x，实际值为y时，误差就可以表示为：E = | x - y |这就是绝对值函数的应用之一。
2、股票涨跌股票涨跌是指股票价格上涨或下跌的情况。
在金融投资中，股票价格的涨跌是非常重要的。
当股票价格上涨时，投资者可以获得收益，反之则会亏损。
在股票涨跌的情况下，我们同样可以使用绝对值函数来计算收益或亏损。
例如，当我们买入股票的价格为x，卖出股票的价格为y时，我们所获得的收益或亏损就可以表示为：G = (y - x) / x * 100%其中，x为买入价格，y为卖出价格。
1.2.4绝对值-绝对值的意义和性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与绝对值相关的实际问题，比如计算温度变化、海拔高度差等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，使用数轴模型来演示绝对值的基本原理。
举例：解释为什么负数的绝对值是它的相反数，可以通过数轴上的点来形象说明。
（2）绝对值性质的运用：学生可能难以理解如何运用性质解决问题，需要通过具体题目进行讲解。
举例：说明如何利用绝对值的性质比较两个负数的大小。
（3）绝对值在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将绝对值应用于实际问题，需要给出具体情境，引导学生思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解绝对值的基本概念。绝对值是一个数到原点的距离，它是非负的，对于任何实数a，绝对值记作|a|，其值要么是a本身（如果a是正数或0），要么是a的相反数（如果a是负数）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，数轴上点-3和点2的位置，我们可以通过计算绝对值来比较它们距离原点的远近，即|-3|=3，|2|=2。
举例：|-3| = 3，说明绝对值具有非负性；|-(-3)| = |3|，说明绝对值具有对称性。
（3）应用绝对值解决实际问题：如求两个数的距离、比较大小等，这是绝对值知识在实际中的运用。
举例：比较|-2|和|3|的大小，求点-2和点3在数轴上的距离。
2.教学难点
（1）绝对值定义的理解：学生容易混淆正数、负数和0的绝对值，需要通过实例帮助学生理解。
在小组讨论环节，我观察到学生们在分享成果时能够较好地表达自己的观点，这说明他们已经能够在一定程度上掌握绝对值的运用。但是，我也发现有些小组在讨论时过于依赖个别学生的意见，其他成员的参与度不高。为了提高全体学生的积极性，我考虑在下次的讨论中加入更多互动性强的活动，鼓励每个学生都参与到讨论中来。
初中数学知识点：绝对值
初中数学知识点：绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。
2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值全面分析
一、绝对值的意义及其化简（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（3）绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩（4）绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④ 222a a a ==二、绝对值的非负性（1）非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0 （2） 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = （3） 若 a b b += ，则 0a =，0b ≥ （4） 若=1a a则0a >= - 1a a则0a < 对于任意非零实数a ，= 1a a ±（5） 若 2()a +2()b = 0 ，则0a =，0b = （6） 若 2()0a b += ，则0a =，0b =三、绝对值的化简零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．四、绝对值的几何意义（1）a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．（2）a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．绝对值全面分析知识讲解一、绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【变式练习】绝对值等于2的数有 个，是【变式练习】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是【例2】 下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥【例3】 已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a二、绝对值的化简【例4】 计算：3π- = ，若23x -=，则x = 【变式练习】若220x x -+-=，则x 的取值范围是【变式练习】已知：52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【例5】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【变式练习】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--=同步练习【变式练习】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【例6】 设a,b,c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-【例7】 已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例8】 已知：abc ≠0，且M =abca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．三、绝对值的非负性【例9】 若42a b -=-+，则 _______a b +=【例10】2+50a b --=，则 _______ab = 【变式练习】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【例11】若()2130a b -++=，则a b +=【例12】设a,b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab =【变式练习】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =______四、零点分段法【例13】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=- 综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥12x x ++-的最小值为两零点之间的距离，即12x -≤≤时12x x ++-=3为最小值通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-，并求出最小值五、绝对值的几何意义拓展【例14】m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=， 则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【例15】15x x -+- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【变式练习】23x x ++- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【例16】324x x ++-+的最小值是_______【变式练习】化简12m m m +-+-的值【变式练习】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【例17】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【变式练习】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？【习题1】若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12±【习题2】若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数【习题3】如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥1【习题4】若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1课后练习【习题5】若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=________________【习题6】绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【习题7】如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________【习题9】如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x |-3|y +1|-|x |= ________【习题10】若3230x y -++=，则x的值是多少？【习题11】4x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若42x -=，则x = ．【习题12】化简：212x x x -++-ba-11yx-121。
绝对值的性质及运用
绝对值的性质及运用知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质绝对值【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c b a 0-11【例15】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例16】计算111111 (23220072006)-+-++-= ．【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）c a 0b【巩固】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c ++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________7.如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________ba0-118.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________9.化简代数式24x x++-【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜03.绝对值大于1且不大于5的整数有__________个．4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．5.当x __________时，|2-x|=x-2．6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________y x-1217.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。
数字的绝对值认识数字的绝对值及其应用
数字的绝对值认识数字的绝对值及其应用数字的绝对值：认识数字的绝对值及其应用数字的绝对值是指一个数与零的距离。
无论一个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。
在数学和实际生活中，我们经常使用数字的绝对值进行各种计算和应用。
本文将详细介绍数字的绝对值的概念、性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、数字的绝对值的概念与性质数字的绝对值是指一个数与零之间的距离，用竖线“| |”表示。
例如，绝对值 |4| = 4，而 |-4| = 4。
绝对值的性质如下：1. 非负性：对于任何实数 a，其绝对值|a| ≥ 0。
2. 零的绝对值为零：|0| = 0。
3. 正数和负数的绝对值相同：对于任何正数 a，其绝对值与其本身相等，即 |a| = a；对于任何负数 a，其绝对值等于它的相反数，即 |-a| = a。
4. 三角不等式：对于任何两个实数 a 和 b，有|a+b| ≤ |a| + |b|。
这个性质在解决许多数学问题时非常有用。
二、数字的绝对值在数学中的应用1. 解绝对值方程：绝对值方程是指包含了绝对值符号的方程。
通过将绝对值拆分为正负两种情况进行求解，可以解决各种类型的绝对值方程。
例如，对于方程 |x| = 4，我们可以得到两个解：x = 4 和 x = -4。
因为一个数的绝对值与该数相等或相反数相等，所以这两个解都满足方程。
2. 解绝对值不等式：绝对值不等式是指包含了绝对值符号的不等式。
通过转化为两个不等式，分别求解后得到的结果集的交集，可以解决各种类型的绝对值不等式。
例如，对于不等式 |x| > 3，我们可以将其转化为两个不等式 x > 3 和x < -3。
解这两个不等式后，我们得到 x > 3 或 x < -3，这就是原始不等式的解集。
三、数字的绝对值在实际问题中的应用1. 距离和位移：在几何学中，我们经常使用绝对值来计算点之间的距离或者物体的位移。
例如，两个点 A 和 B 之间的距离可以表示为|AB|，其中 |AB| = |B-A|。
绝对值的意义 谢
一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y由题意得：y x 3=，0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x1)1(+=--xx201020081861641421⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx-=-20082008的解的个数是（ D ）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．（非负性）已知|a b－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b++++++++++分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
绝对值总结 (1)
绝对值的总结绝对值一直都是初中数学考查的重要内容，无论是希望杯还是中考，对绝对值的考查都是很广泛。
今天的公开课只是对于一些关于绝对值的题型做了一个展示，由于时间关系没有进行系统的总结，下面将绝对值总结如下：对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
(完整版)绝对值知识点
绝对值（一）【预习引领】两辆汽车从同一处O 出发 ,分别向东、西方行驶10km,抵达 A 、B 两处．（ 1）它们的行驶路线同样吗？（ 2）它们行驶行程的远近同样吗？答 : （ 1）不同样； (2) 同样 .【重点梳理】知识点一 :绝对值的意义1. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 a ，读作： a 的绝对值 .例 1利用数轴求以下各数的绝对值.（ 1） 2， 1， 3.5；5（ 2）0； （3）5 ， 3.2， 21.3答:(1)2 =2; 1 = 1; 3.5 =3.5；5 5(2)0 =0;(3)5 =5;3.2 =3.2;21 =21. 3 32. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.例 2直接写出以下各数的绝对值 .6， 8， 3.9， 5，10，0，26 ， 8， 3.9， 5 10，2答 :6 =6,8 =8,3.9 =3.9,5 =5; 10 =10; 0 =0;226 =6, 8 =8, 3.9 =3.9,5 = 5 ; 10 =10; 0 =0;2 2小结： （ 1）对任一个有理数，绝对值只好为正数或 0，不行能为负数，即a0 .（ 2）两个互为相反数的绝对值，绝对值相等的两个数.（ 3）绝对值为正数的有理数有类，它们 ；绝对值为 0 的有理数是.答 :(2) 相等 , 相等或互为相反数 .(3) 两，正数与负数； 0；例 3判断以下说法哪些是正确的：（ 1）符号相反的数互为相反数；（ 2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数； （ 3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （ 4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；（ 5）绝对值最小的有理数是 0． 答案：（ 2）（ 5）知识点二：绝对值的求法a,a 0a0, a 0 a,a 0例 4 求以下各数的绝对值：6 1， 1 3 ，3，2．2 2 5答案： 611； 13 3 1 ；3 3； 2 =2;= 6 2 2 25 52例5 填空：（ 1）绝对值小于 4 的正整数有 .（ 2）绝对值大于 2 而小于 5 的全部整数是（ 3）假如一个数的绝对值是13，那么这个数是.．（ 4）若xx ，则x 为数 .答案：（ 1） 3，2， 1；（ 2）± 3，± 4；（ 3）± 13；（ 4）负数与 0； 例 6 计算以下各式：⑴ 52⑵ 0.77 234答：（ 1）原式 =5－ 2=3；（ 2）原式 =0.77 ÷ 2 3=0.28 ；4☆例 8 ⑴若 a b 0 ，则 a，b .⑵若 x 73 y 12 0，则 x， y.答案：（ 1） 0，0；（ 2） 7，4；【讲堂演练】1.5 1的绝对值是 ， 0 的绝对值是，绝对值为 2 的数是.2 1.5 1， 0，± 2；2.2, 10 = ,1.5 =2 =,2.5=.， 10， 2，－ 2.5；3. ⑴一个数的绝对值和相反数都是它自己，这个数是；⑵绝对值小于 3.2 的整数有；⑶ 21的相反数是，绝对值是；3⑷ 使 x 5 建立的 x 的值是. 3.（ 1） 0；（ 2） 3， 2， 1， 0，－ 1，－ 2，－ 3；（ 3） 4. 在数轴上到数 3 所表示的点距离为 5 的点所表示的数是. 4.8 或－ 2；5. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为 6，则这两个数为.5．3 与－ 3；6. 若 m0 ，则 m m = ； 若 m 0 ，则 m m =；若 m0 ，则 m m =.6． 2m ， 0， 0；37. （ 2011 北京市， 1， 4 的绝对值是 ( )分）4A ．4 B ．4C ．3 D ．333 447.D8．（ 2011 浙江丽水， 4，3 分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450 克 )为基数，超出的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，此中表示实质克数 最靠近标准克数的是（）A ．＋ 2B ．－ 3C ．＋ 3D ．＋48.Aa 1 ，则 a （）9. 若aA ．是正数或负数；B ．是正数；C ．是有理数；D ．是正整数 .9． B10. 计算以下各题 :⑴21 6;⑵2008 2008 .10．（ 1）原式 =21+6=27；（ 2）原式 =2008－2008=0；☆11．若x7 3 y 120 ，求x、 y 的值.11．由题意可知， x－ 7=0，3y－ 12=0，解得： x=7； y=4；12. 某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取 6 件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录以下表：123456+0.4－+0.10－－0.20.20.3（1）找出哪个些部件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解说.（2）若规定与标准直径相差不超出0.2mm 为合格品，则 6 件产品中有几件是不合格品？12．（ 1）第 4 个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越靠近；（2）第 1 个与第 5 个不合格，所以共有 2 件是不合格的产品；1.（2011浙江省舟山，1，3分）－【课后清点】6 的绝对值是（）A .－ 6B . 6 C.1D.－1 661． B2.一个有理数的相反数与自己的绝对值的和（）A ．可能是负数；C．必为非负数；B．必是正数；D．必为 0.2． C3．式子 3 等于（）A ．3B． 3 C.3 D ．33． C4. 某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步状况记录以下：（向东为正，单位：米）1000，－ 1200， 1100，－ 800， 1400，则该运动员跑步的总行程为（）A ．1500 米B． 5500 米C ． 4500 米D ． 3700 米4． B5．绝对值等于自己的数是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数5． C6．以下结论中，正确的选项是 （）A ． a 必定是正数B ．a 和 a 必定不相等 C ． a 和 a 互为相反数D ．a 和 a 必定相等 6． C7．代数式 x3 3的最小值是（）A ． 0B ． 2C.3D ． 57． C8．以下结论中，正确的选项是（）A ． a 0B ．若 ab ，则 a bC. aa D ．若 a 、b 互为相反数，则1b8． B9. 若 a a ，则 a 为 数； 若 a a ，则 a 为 数 .9．非负数；非正数；10. 当 a4 时， a4 =.10． 4－ a ；11. （ 2011 湖南常德， 1， 3 分） 2 ______. 11． 212. 若 x5 3 ，则 x = ； 若m4 ，则 m =；12． 8 或 2；4 或－ 4；13．若 a 1 ，则 a 1 =， 2a 1 = ；若 a1 ，则 a 1 = ，a 1 = .13． a － 1， 2a － 1； 1－ a ， a － 1； 14. 若 a1b 10 ，则 a b = .14． 0； 15. 计算：⑴2293⑵3 174815．（ 1）原式 = 229=24；（ 2）原式 =3 17= 2 ；34 8 516. 已知 x 30 ， y4 ，求 x 3 y .16． x 3 y =30－ 3× 4=18；17. 已知 a2 b3 c4 0 ，求 a2b 3c 的值 .17．由题意可得， a=2， b=3， c=4，则 a 2b 3c =2+2× 3+3× 4=20；18. 正式的足球竞赛， 对所用足球的质量有严格规定，下边是 6 个足球的检测结果 . （用正数 记超出规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）－25， +10，－ 20， +30， +15，－ 40请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原由 .18．第二个。
绝对值的知识点
绝对值的知识点在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。
它虽然看似简单，却在解决各种数学问题中发挥着关键作用。
接下来，就让我们一起深入了解绝对值的相关知识。
绝对值的定义其实很好理解。
简单来说，绝对值就是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
比如，数字5 在数轴上距离原点5 个单位，所以 5 的绝对值就是 5 ；而－5 在数轴上距离原点也是 5 个单位，所以－5 的绝对值同样是 5 。
用数学符号表示，绝对值记作“ ｜｜”，所以｜5| ＝ 5 ，｜－5| ＝ 5 。
从几何意义上看，绝对值表示的是距离，所以它具有非负性，也就是说，任何数的绝对值总是大于等于 0 的。
这是绝对值的一个重要性质。
接下来，我们看看绝对值的运算规则。
对于正数，它的绝对值就是它本身。
比如｜3| ＝ 3 。
对于 0 ，其绝对值就是 0 ，即｜0| ＝ 0 。
对于负数，它的绝对值是它的相反数。
例如｜－7| ＝ 7 。
在进行加减运算时，如果两个数同号（即同为正数或同为负数），那么它们的绝对值相加，符号不变；如果两个数异号（一个为正数，一个为负数），则用绝对值较大的数减去绝对值较小的数，符号取绝对值较大的数的符号。
例如，计算｜5| ＋｜－3| ，因为 5 和－3 异号，且｜5| ＞｜－3| ，所以结果为 5 3 ＝ 2 。
在乘法运算中，两个数相乘，绝对值相乘，若同号得正，异号得负。
比如，｜－2| ×｜3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 ，｜2| ×｜－3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 。
在除法运算中，两个数相除，绝对值相除，若同号得正，异号得负。
比如，｜－6| ÷｜2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 ，｜6| ÷｜－2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 。
绝对值还有一些常见的不等式。
比如，对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| ，当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。
绝对元素的几何意义及应用
绝对元素的几何意义及应用绝对值是一个常用的数学概念，它有着重要的几何意义和广泛的应用。
在几何学中，绝对值常常被用来表示一个数值与原点之间的距离，这种距离可以是一维、二维或者更高维空间中的。
首先，我们来看一维空间中的绝对值的几何意义。
在一维空间中，绝对值表示一个数与原点之间的距离。
对于任意的实数x，其绝对值x 表示x到原点的距离，也就是x与原点之间的线段的长度。
当x为正数时，x 等于x本身；当x为负数时，x 等于-x。
例如，对于实数x=3和x=-3，它们的绝对值分别为3和3，表示它们与原点之间的距离相等。
在一维空间中，绝对值还有一个重要的性质，即x+y ≤x + y ，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
这个性质在一维空间中的几何意义是，两个数的距离之和大于等于它们之间的距离。
接下来，我们来看二维空间中的绝对值的几何意义。
在二维空间中，绝对值表示一个复数或者一个向量与原点之间的距离。
对于一个复数z=a+bi，其绝对值z =√(a²+b²)表示它与原点之间的距离，也就是复平面上该复数所对应点与原点之间的距离。
在向量的理解上，绝对值表示一个向量的长度，即从向量的起点到终点之间的距离。
绝对值还有一个重要的性质，即z·w = z ·w ，即两个复数（或向量）的乘积的绝对值等于它们各自的绝对值的乘积。
这个性质在二维空间中的几何意义是，两个向量的乘积的长度等于它们各自长度的乘积。
在实际中，绝对值有着广泛的应用。
首先，它在几何学中的应用极为重要。
在测量和计算几何中，我们经常需要计算点之间的距离，而绝对值正是用来计算两点之间距离的关键。
例如，在平面几何中，我们可以利用绝对值来计算两点之间的直线距离，用来解决许多问题，比如直角三角形的斜边长度、直线段的长度等。
在向量运算中，绝对值也经常被用来计算向量的长度，从而求解向量的正交、平行等性质。
其次，在代数学中，绝对值也有重要的应用。
绝对值的几何意义与数轴理解的重要性
绝对值的几何意义与数轴理解的重要性绝对值的几何意义在帮助我们理解数轴方面起着至关重要的作用。
以下是几个关键点，说明绝对值如何辅助我们深入理解数轴：一、明确数的位置1.距离表示：绝对值在数轴上的直接体现就是一个数到原点的距离。
这使我们能够直观地理解一个数在数轴上的位置，特别是它与原点的相对位置关系。
2.正负性：通过绝对值，我们可以清晰地识别一个数是正数、负数还是零。
正数的绝对值等于它本身，表示它在数轴上位于原点的右侧；负数的绝对值等于它的相反数，表示它在数轴上位于原点的左侧；而零的绝对值是零，即它就在原点上。
二、理解数与数之间的关系1.两点间距离：绝对值的几何意义还可以扩展到表示数轴上任意两点之间的距离。
例如，|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
这种表示方法使我们能够更直观地理解两个数之间的相对位置关系。
2.比较大小：通过比较两个数的绝对值，我们可以间接地比较它们在数轴上的位置关系。
例如，如果|a| > |b|，那么在忽略符号的情况下，a在数轴上的位置比b更远离原点。
三、辅助解题1.去绝对值符号：在解决包含绝对值的方程或不等式时，我们需要根据绝对值的定义和性质去绝对值符号。
这通常涉及到对未知数进行分类讨论（如分为正数、负数、零三种情况），然后分别求解。
而绝对值的几何意义为我们提供了这种分类讨论的直观依据。
2.应用三角不等式：绝对值的三角不等式（|a+b| ≤ |a| + |b|）在解决许多问题时都非常有用。
它揭示了数轴上两点间距离与它们各自到某一点距离之和之间的关系。
通过这种关系，我们可以得到一些有用的不等式或等式，从而帮助我们解决问题。
四、提升数学直觉1.可视化思维：绝对值的几何意义使我们能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题。
这种可视化思维不仅有助于我们更好地理解数学概念和定理，还能够提高我们的解题能力和数学直觉。
2.深入理解数轴：通过绝对值的几何意义，我们可以更深入地理解数轴的结构和性质。
绝对值(提高)知识讲解
绝对值（提高）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．（2015•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a＜1D. a＞1【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．【答案】A【解析】解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数．又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m|＞|n|，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ． 类型三、含有字母的绝对值的化简4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x ﹣4|= ．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ； 当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x ﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x ﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x ﹣4，=2x ﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x ﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：. 【答案】 解：由图所示，可得． ∴ 30a c ->，，， ∵ ．∴ 原式． 【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则 23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-> 综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值． 所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________． 【答案与解析】由，，，可得 ∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x 的取值范围是________． 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，． 【变式2】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值． 【答案】解：由题意得 ∴ 所以，2b a 类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。
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绝对值的意义及应用
绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首
先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.
一. 绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．
所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤
|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只
有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法
1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利
用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)
根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，
∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2
(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；
(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．
解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0
令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0
以0，2为分界点，分为三段讨论：
(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0
(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0
综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0
3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2
4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4
它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4
由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，
原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0
用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。