绝对值的意义及应用(最新整理)

绝对值的意义及应用

绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首

先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.

一. 绝对值的实质：

正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即

也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )

A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b

(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)

解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．

所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．

三. 绝对值的性质：

1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤

|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只

有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法

1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利

用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，

求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)

根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，

∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2

(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；

(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4

2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．

解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0

令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0

以0，2为分界点，分为三段讨论：

(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。

(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0

(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0

综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0

3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。

例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。

解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2

4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．

例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．

解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4

它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4

由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。

很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，

原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0

用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。