高中数学第一章坐标系1.2极坐标系课件新人教B版选修4_4
选修4-4 1.2 极坐标系
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G(6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
选修4-4 1.2 极坐标系
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三பைடு நூலகம்前提条件：
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )． 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边， 求正六边形各顶点坐标．
解： 由点的极坐标的定义可知， 正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).
《1.2.2 极坐标与直角坐标的关系》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
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3.能利用已知条件求出曲线方程.
-2-
2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角
坐标的互化
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12
1.极 坐 标系的概念 (1)极坐标系的建立. 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴,选 定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面 极坐标系,简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图所示,对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实 数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).
的坐标重合的是( ).
A.
5,-
π 3
B.
5,
4π 3
C.
5,-
2π 3
D.
5,-
5π 3
解析:与点 M重合的极坐标可以表示为
5,2������π
+π
3
(k ∈Z),即极径相等,
极角相差 2π 的整数倍.根据选项,当 k=-1 时,2kπ+π3=-2π+π3=-53π,即
选修4-4 1.2 极坐标系
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3, ) 6 3 D ( , ) 2 4
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
选修4-4 1.2 极坐标系
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
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第二章 参数方程 2.1 曲 线的参数方程
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2.2 直线和圆的参数方程
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第一章 坐标系 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变 本章小结 2.2 直线和圆的参数方程 2.4 一些常见曲线的参数方程 附录部分中英文词汇对照表
第一章 坐标系 1.1 直角 坐标系，平面上的伸缩变换
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1.2 极坐标系
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本章小结
2020人教版高三数学选修4－4(B版 )(全套)精品课件
新人教B版高中数学选修4-4第1章坐标系1.2极坐标系讲义
学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化．(重点)1．平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．2．点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2k π)代表同一个点，其中k 为整数．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图121所示)．(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：[提示] 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置．思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？[提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？[提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带． 事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.1．极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1，π) C ．(1，π)D ．(1,2π)[解析] ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π)． [答案] C2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A ．(1,0) B ．(2，π4) C ．(3，π2) D ．(4，π)[答案] C3．点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，1)C ．(－3，－1)D ．(3，－1)[解析] x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.[答案] C4．点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( )A ．(π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π2)D ．(π2，－π2)[解析] ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为(π2，π2)．[答案] C【例1】 设点A (2，3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[思路探究] 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． [解] 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3)．关于直线l 的对称点为C (2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，－23π)．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后．1．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称．所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求．(1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[解] (1)由题意知x ＝2cos4π3＝2×(－12)＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×(－32)＝－ 3. ∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos(－23π)＝－1，y ＝2sin(－23π)＝－3，∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(3)x ＝2cos(－π3)＝1，y ＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．2．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π)．[解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．(1)(－2,23)；(2)(6，－2)．[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限． [解](1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限． ∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)， 由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6)．1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)求解． 2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．3．(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R ，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x ，y )满足xy <0，那么在限定ρ>0，θ∈R 的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．[解] (1)根据与角α终边相同的角为α＋2k π(k ∈Z )知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈R )分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z )．(6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z )．(2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限．把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为(π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z )．【例4】 在极坐标系中，如果A (2，4)，B (2，4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)． ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π)．1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成．4．本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，∴AC →·BC →＝0， 即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝± 2.∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4)．(教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：A (－1,1)，B (0，－2)，C (3,4)，D (－3，－4)．已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．[命题意图] 主要考查直角坐标与极坐标的互化．[解析] ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2. ∴x ＝－2，且y ＝－2. ∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tan θ＝y x＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝54π.因此点P 的极坐标为(22，54π)．[答案] (22，54π)。
2017年高中数学 第1讲 坐标系 第2节 极坐标系 第2课时 极坐标和直角坐标的互化课件 北师大版选修4-4
3－
32 2
＝ 4＋12＝4.
[规律方法] (1)|AB|除了利用两点间距离公式解决之外， 由A，B两点在极坐标系上的位置．如图可知O，A，B在同一条 直线上，故|AB|＝|OA|＋|OB|＝1＋3＝4.
(2)平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐 标表示．我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与 直角坐标的互化，利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题 转化为熟悉的问题．
1．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点 重合；②极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；③两坐标系中 的长度单位相同．
(2)不作特殊说明，由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值．
由tanθ＝
y x
确定θ时，θ∈[0,2π)，注意x≠0时才能由上述公
式确定，同时结合x、y的符号确定θ所在象限，x＝0时，①若y
第二课时 极坐标和直角坐标的互化
[学习目标]
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系． 2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 3．能够根据坐标转化解决某些数学问题.
[学法指要]
1．利用点的坐标互化公式解决问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．灵活运用互化公式求点的极(直角)坐标．(难点)
∴x2＋y2＝4.
①
又|AC|2＝|BC|2，
于是(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2，
即y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝± 2， ∴xy＝＝－2，2， 或xy＝＝－2，2， ∴点C的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)． ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝74π或34π， ∴点C的极坐标为2，34π或2，74π.
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
° O
x
• M(-2, 5) 6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
2 F 3 • 5 6 B
2
4
•
•
D
• A
。 O
x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
11 6
A(-4,0) 5 B(3, ) 6 C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 (-4,- ) F 3
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
高中数学 第一章 坐标系 1-2-4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件 北师大版选修4-4
3．将直角坐标方程 x2＋y2＋2x＋2y＝0 化为极坐标方程为
()
A．ρ＝－2cosθ
B．ρ＝－2sinθ
C．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)
π D．ρ＝－2cos(θ＋ 4 )
答案 C 解析 依题意得 ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0， 所以 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 或 ρ＝0， 又曲线 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 经过极点， 所以 ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选 C.
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
(2)圆心为(2，23π)，半径为 3.
π (3)圆心为(2， 3 )，半径为 3.
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
【答案】 (1)(x－12)2＋(y＋ 23)2＝1， (2)(x－ 23)2＋(y－12)2＝1， (3)x－ 3y－2＝0， (4) 3x＋y－2＝0
题型三 极坐标方程的应用
例 3 (2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x ＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．
π 由此题总结：直线 ρcosθ＝1 绕极点逆时针旋转 3 ，即得直线
π
π
ρcos(θ－ 3 )＝1，其中点(1，0)转到(1， 3 )．
选修4-4 1.2 极坐标系
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
高中数学2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5圆锥曲线统一的极坐标方程课件北师大版选修4_4
自主预习 探新知
教材整理 1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ，θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 每个点 的极坐标中 至少 有一组(ρ，θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0；
(2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上 ． 那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的 极坐标方程，曲线 C 叫作极 坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的 曲线 ．
1．(1)求过 A2，π4且平行于极轴的直线方程． (2)在圆心的极坐标为 A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点 O 的 弦的中点的轨迹．
[解] (1)如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)． ∵A2，π4， ∴|MH|＝2·sin π4＝ 2， 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， 所以过 A2，π4且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2，其中 0<θ<π.
2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．
2．曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．
[解析] 直角坐标方程 x2＋y2－2x＝0 可化为 x2＋y2＝2x，将 ρ2 ＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ.
即
ρsinπ4cos
θ－cosπ4sin
θ＝
22，
化简，得 ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
(2)由题意知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设 M(ρ，θ)为 圆上除点 O，A 以外的任意一点，则|OA|＝2r，连结 AM，则 OM⊥MA.
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极坐标和直角坐标的相同点和不同点 剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系, 它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任意一点P,若|OP|=ρ(ρ≥0), 以Ox为始边,OP为终边的角为θ,则点P可用有序数对(ρ,θ)表示.直角 坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条 互相垂直的直线分别构成x轴和y轴,点的坐标用有序数对(x,y)来表 示. 在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的, 但在极坐标系内,显然一个有序数对(ρ,θ)只能与一个点对应,但一个 点P却可以与无数多个有序数对(ρ,θ)对应,也就是说平面上某点的 极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序数对(ρ,θ)不是一一对应 的.
或
������2 = ������2 + ������2,
������ tan������ = ������ (������ ≠ 0).
12
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题型一 题型二 题型三
(2)①ρ=
(
3)2 + 32 = 2
3, tan ������ =
3 3
=
3.
因为点( 3, 3)在第一象限,所以 θ= π3.
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题型一 题型二 题型三
题型三 极坐标与直角坐标的互化
【例 3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:
π
π
① 2, 4 ; ② 6,- 3 ; ③(5, π).
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨迹是以
极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
12
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1.2 极坐标系
-1-
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1.理解极坐标系的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平 面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐 标的互化.
理,得������
2,
π 4
, ������
3,
π 2
, ������
1,
5π 6
, ������(4, π), ������
6,
4π 3
, ������
5,
5π 3
,
而极点O 的极坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).
反思(1)写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,极角θ在后,不能把 顺序颠倒了.
(2)点的极坐标是不唯一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点 的极坐标是唯一确定的.
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名师点拨(1)极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平
方法等,还经常用到同乘(或除以)ρ 等技巧.
(2)通常情况下,由 tan θ 确定角 θ 时,应根据点 P 所在象限取最小
正角.在这里要注意:当
x≠0
时,角
θ
才能由
tan
θ=
������ ������
按上述方法确定.
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解析:设极点为O,极轴就是射线Ox,①正确;极点O的极径ρ=0,极
角θ是任意实数,极点的极坐标应为(0,θ),②错误;给定极坐标(0,0),可
以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与点N的极
角分别是
θ1=
π 4
,
������2
=
5π 4
,
二者的终边互为反向延长线 ,④错误;由
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名师点拨(1)极点的极坐标. 极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数.所以极点的极坐标为 (0,θ)(θ∈R),也就是说极点有无数个极坐标. (2)点的极坐标的多样性. 平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的 极坐标(ρ,θ)的定义,对于给定的点的无数个极坐标,可分为两类:一 类为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z);另一类为(-ρ,θ+2kπ+π)(k∈Z).
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2.在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单
位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标(x,y)与其极坐标
(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)在数值上相同,则点P在( )
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题型一 题型二 题型三
解:由点 A 在极坐标系中的位置知,它的极径为 4,极角为 0,所以
它的极坐标为 A(4,0),同
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【做一做1-1】 若ρ1+ρ2=0(ρ1≠0,ρ2≠0),θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点 M2(ρ2,θ2)的位置关系是( )
A.x轴上
B.y轴上
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题型一 题型二 题型三
题型二 对称问题
【例 2】
点 M 的极坐标是
-2,-
π 6
,
它关于射线������
=
π 2
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【做一做 2-1】 点 P 的直角坐标为(− 2, 2),
则它的极坐标可以是( )
A.
2,
π 4
B.
2,
3π 4
C.
2,
5π 4
D.
2,
7π 4
答案:B
【做一做 2-2】 将极坐标
2,
3π 2
化为直角坐标为(
)
A.(0,2) C.(2,0) 答案:B
B.(0,-2) D.(-2,0)
2,
π 6
的坐标还可以写成M′
-2,
7π 6
, 所以选B.
答案:B
反思极坐标系中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐
标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z).
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1.下列各点中与极坐标
5,
π 7
表示同一个点的是(
)
A.
5,
6π 7
B.
5,
15π 7
C.
5,-
6π 7
D.
5,-
π 7
答案:B
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④点M
4,
������ 4
与点 N
4,
5������ 4
表示同一个点;
⑤动点M(5,θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心,以5为半径的圆.
其中叙述正确的序号是
.
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