3幂函数复习学案(1)
3.3 幂函数 导学案(1)
3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。
a 是S 的函数 。
（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。
（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。
《幂函数》教案、导学案与同步练习
《第三章 函数的概念与性质》《3.3幂函数》教案【教材分析】幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
【教学重难点】重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数.21问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1.幂函数是如何定义的？ 2.幂函数的解析式具有什么特点？3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
《幂函数》教案
3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。
高中数学 2.3《幂函数》学案 湘教版必修1
自学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观 ：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．学习重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．创设情境：阅读教材思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？组织探究：材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如 αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =． [解] ○1 列表 (略) ○2 图象材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴 材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y 定义域值域[奇偶性单调性定点y=x 2 y=xy=x 3 x y o x y o xyo 12y x =y=x -1x yox y o材料四：例题（1）5.1)1(+a ，5.1a （2）322)2(-+a ，322-[例3] 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．尝试练习：1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0；（3）23)2(-，23)3(-； （4）211.1-，219.0-． ．2．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间3．用图象法解方程： 1-=x x ；探究与发现如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．作业与回馈：1．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y x y 中，幂函数的个数为：A ．0B ．1C ．2D ．32．已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．收获与体会：1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？。
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幂函数（学案）学习目标1. 理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数；2. 体会幂函数在第一象限内的变化规律；3. 借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象；学法指导自学课本 108 页—— 109 页例 1 上方。
通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。
特别强调： 指数 决定曲线的趋势。
自学检测1. 幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数 .注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。
练习 1：判断下列函数哪些是幂函数 .① y 1；② y2 x ； ③ y x x ； ④ y 1 ；23x1⑤ y 0.2x ；⑥ y x 5 ； ⑦ y x 3 ； ⑧ y x 2 .练习 2：已知某幂函数的图象经过点(2, 2) ，则这个函数的解析式为 _________________2练习 3：函数 f ( x)( m 2 m 1) x m m 3 是幂函数，求其解析式。
2. 根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗（1） 0< <1 时，（2） =1 时，（3） >1 时，（4）<0 时，14. 研究函数 y x , yx 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1 的性质，完成下表：y x y x 2 y x31y x 1 y x 2定义域值域奇偶性单调性图象课堂小结幂函数的的性质及图象变化规律：（1）所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都过点；（ 2）0 时，幂函数的图象通过，并且在区间[0, ) 上是（增、减）函数．特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当0 1 时，幂函数的图象上凸；（ 3）0 时，幂函数的图象在区间(0, ) 上是（增、减）函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x趋于时，图象在 x轴上方无限地逼近1在第一象限的图象）x 轴正半轴．（形状类似于yx能力提升求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。
新人教B版必修一3.3《幂函数》学案
预习案3.3幂函数【预习目标】1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.【知识链接】（预习教材，找出疑惑之处）复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数.复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．【自学导引】:请同学们阅读课本并思考下列问题： 探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质.【预习反馈】通过预习你还有哪些疑惑？请你学习案3.3幂函数【学习目标】1. 知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．2. 过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．3.情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辨证唯物主义观点． 【重点和难点】重点： 幂函数的概念、图象和性质．难点 ： 将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质．【学习方法】诱思探究【学习过程】 【知识梳理】：1.复习学习过的一次函数、二次函数、反比例函数等的特征，指、对函数的定义方式。
高中数学 23幂函数学案 新人教A版必修1 学案
某某省德宏州梁河县第一中学高中数学 2.3幂函数学案 新人教A 版必修1一、学习目标：（1）通过具体实例了解幂函数的概念；（2）会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象，并通过这些图象了解幂函数的图象及性质，并能进行初步应用。
二、前置作业：1、幂函数的概念（阅读课本77-78页填空）： （1）课本中的五个具体事实例对应的函数分别是：它们的共同特征是：（2）一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。
2、幂函数的图象与性质（1）在同一直角坐标系中画出x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象三、例题与变式： 例题1：证明幂函数x x f =)(在[)+∞,0上是增函数。
变式1：证明函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
例题2：比较大小（1）215.1，217.1（2）3)2.1(-，3)25.1(-（3）125.5-，126.5-，226.5-变式2：比较大小（1）878--，87)91(（2）3)2(--，3)5.2(--（3）1.0)1.1(-，1.0)2.1(-（4）52)1.4(，32)8.3(-，53)9.1(-四、目标检测： 1.在函数中，21xy =，22x y =，x x y +=2，1=y 幂函数的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2. 已知函数4222)12()(--+-=m m x m m x f 是幂函数，=)2(f3.当⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,1,21,1a 时，幂函数a x y =的图象不可能经过第象限 52)53(=a ，53)52(=b ，52)52(=c ，则c b a .,的大小关系是五、小结：六、课后作业：A 组：1.已知幂函数)(x f y =的图象过点()2,2，则此函数的解析式为2.函数32)22(122-+-+=-n x m m y m 是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值。
高中数学 3.3《幂函数》学案 新人教b版必修1
3.3幂函数一、教学目标：1、了解幂函数的概念。
2、会画幂函数y=x ，y=x 2，y=x 3，1-=x y ，y=x 21的图象，并了解幂函数的变化情况。
重点：幂函数的定义、图像和性质。
难点：幂函数图像的位置和形状变化。
二、知识梳理1函数y=x 、y=x 2、y=x1的表达式有着共同的特征：幂的 是自变量，指数是 .2、一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数。
3、幂函数的性质：（1）（2）（3） 4、幂函数y=x α（α∈R ）的图像主要分以下几类：（1）当α=0时，图像是过（1，1）点平行于x 轴但除去（0，1）点的一条断直线。
（2）当α为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。
（3）当α为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。
（4）当α为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。
（5）当α为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。
（6）当α为正分数时，设为nm （m 、n 是互质的正整数）。
如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m 是偶数、n 是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m 为奇数、n 为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。
（7）当α为负分数时，设为-nm （m 、n 是互质的正整数）。
如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n 是偶数、m 是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n 为奇数、m 为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。
（8）幂函数图像一定不会出现在第四象限，若幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
三、例题解析题型一 幂函数的概念例1、 下列函数是幂函数的是①y=ax m （a ，m 为非零常数，且a ≠1）；②y= 13x +x 2； y=x π；④y= 3(1)x -。
A 、①③ B 、①② C 、③ D 、①③④ 变式训练：在函数21y x=、22y x =、y=1、y=x 2+x 中，幂函数的个数是 。
数学2.3幂函数学案(新人教A版必修1)
第8课时 幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是 常数；注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． 3．幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过 ．4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称． 例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+ （5）1122y x x-=+ （6）1124()3()f x x x =+-解：（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-∴此函数为奇函数． （2）12y x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2211()()()f x f x x x -===- ∴此函数为偶函数 （4）22221y x xx x -=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+=∴此函数的定义域为[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴= ∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减．例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-， ∴125.265.26-->；综上，1125.25 5.265.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338420.16,0.5,6.25--（3）11121333322253(),(),(),3,()3532--解：（1）222333( 1.4) 2.5(3)-<<- （2）3338246.250.50.16,--<<（3）11211333322523()()()()35332--<<<<例3已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练3：证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0> 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <∴此函数在[0,)+∞上是增函数1．注意幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质要熟练掌握。
幂函数导学案(1)
4.1.2 幂函数举例【学习目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【学习重点】幂函数的定义和性质，以及幂函数定义域的求解．【学习难点】会画简单幂函数的图象，研究幂函数性质．【学习过程】一、引入问题①:给出下列函数: x y =， 2x y =，3x y =， 21x y =，1-=x y ,……考察这些解析式的特点,总结出来,你能举出类似的函数吗？问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？二、新课1、幂函数的概念一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数. 特征：（1）以 为底；（2）幂指数为 ；（3）幂的系数为 ；（4）只有 项. 幂函数定义域：使得幂函数有意义的自变量的取值集合.练习1：判断下列函数是不是幂函数(1)x y 2= ； (2)532x y =； (3) 87x y =； (4)32+=x y ． 练习2：求下列函数的定义域(1) 3x y =； (2) 21x y =； (3) 2-=x y ； (4) 21-=x y ．2、幂函数的性质作出下列函数的图象：x y =， 2x y =，3x y =， 21x y =，1-=x y .（提示：五点作图法，列表、描点、连线）备 注练习3：利用单调性判断下列各值的大小（1）34与35（2）212与2132-三、效果检测1、已知()22233)(-+-=m x m m x f 是幂函数，并且是偶函数，求m 的值.2、画出函数43x y =的图象，并指出其奇偶性、单调性．四、小结点评1．幂函数的定义2．求幂函数的定义域3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质五、作业六、课后反思。
2020届高三数学一轮复习 《幂函数》学案
《幂函数》学案【考纲要求】1．了解幂函数的概念．2．结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况．【知识梳理】 1．幂函数的定义一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数y x =≠α(,)01在第一象限的图象α>1 01<<α α<03．常用幂函数αx y =的图象4 y x =2y x=3y x=12y x=1y x -=定义域 值域 奇偶性 单调性定点图象规律 在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下到上，幂指数逐渐增大．【基础自测】1．函数()(1)2f x x α=-+过定点（ ）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(0,1) 2．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）A ．21()f x x=B ．2()1f x x =+ C ．3()f x x = D ．()2xf x -= 3．已知432a =，233b =，1325c =，则（ ） A ． b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<4．(2019唐山二模)函数2(),(,]1xf x x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)- C ．[1,2) D ．[1,2)-【典例剖析】考点一 幂函数的概念【例1】（2019南阳模拟）已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1()22，，则k α+等于( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2【温馨提醒】幂函数的定义满足如下特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数；(2)x α前的系数为1，x α后面不加任何项． 【变式】幂函数253(1)m y m m x --=--在区间(0,)+∞上为减函数，则实数m =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-考点二 幂函数的图象【例2】如图，曲线是幂函数ny x =在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，1-四个值，则相应图象依次为（ ）A ．1C ，2C ，3C ，4CB ．3C ，2C ，1C ，4C C ．4C ，2C ，1C ，3CD ．2C ，1C ，3C ，4C【答案】D【方法技巧】判断幂指数的大小有两种方法（1）图象法：作直线(1)x t t =>与幂函数的图象相交，根据交点的“高低”来判断，越高越大； （2）特值法：自变量取一特殊值，比较函数值便可. 【变式】（2019天门质检）在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y x =，y x =，2y x =，3y x =，1y x -=的部分图象，则函数32y x =的图象通过的阴影区域是（ ）考点三 幂函数的性质及应用 命题点1 比较幂值的大小 【例3】比较大小： （1）133.5-，233.5-，235.3-； （2）232.5，23( 1.4)-，23(3)-．【方法技巧】比较指数式大小的方法：（1）当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小； （2）当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小；（3）当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较．【变式】(2019德州一模)已知253()5a =，352()5b =，252()5c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<命题点2 幂函数的性质综合【例4】若点在幂函数()f x 的图象上，点1(2,)2在幂函数()g x 的图象上， 定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩ 求函数()h x 的最大值以及单调区间．【变式】已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1x >，则()1f x >； ②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()()22f x f x x xf ++<．其中，所有正确命题的序号是 ．。
高中数学 3.3《 幂函数 》 学案 新人教B版必修1
幂函数学案一、创设情景，引入新课【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？【问题2】如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数。
【问题3】如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积3a V =,这里V 是a 的函数。
【问题4】如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长21Sa =,这里a 是S 的函数【问题5】如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度s /km t V 1-=，这里v 是t 的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？ 二、新课讲解（一）幂函数的概念如果设变量为x ,函数值为y ，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？ 幂函数的定义：【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？试一试：判断下列函数那些是幂函数？（1）x2.0y = （2）51x y = （3）3x y -= （4）2x y -=我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？ （二）几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数12x y ,x y ,x y -===的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数213x y ,x y ==的图象吗？【探究二】观察函数12132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结论写在下表【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：2132x y ,x y ,x y ,x y ====的共同性质。
2.3幂函数 学案(人教A版必修1)
2.3幂函数【学习目标】（1）了解幂函数定义，掌握常见幂函数的图象及性质；（2）会根据函数的性质，画幂函数大致图象并简单应用；（3）理解掌握数形结合和转化的数学思想方法。
【重点难点】重点：从具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：由具体幂函数图象分类概括其性质。
【课前预习】新知呈现1、请将下列问题中的y表示成x的函数：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付y= ______元；(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y= ；(3)如果正方体的边长为x,那么正方体的体积y= ；(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么正方形的边长y= ；(5)如果某人x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度y= km/s。
思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？定义：一般地，函数 ____叫做幂函数，其中是自变量，____是常数。
思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?y O 2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数y x =，2y x =，3y x =，12y x =的图象3、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数1yx-=，2y x -=的图象yO4、观察上述图象，填写下表：自我检测（1）请指出下列函数中的幂函数：21xy =，x x y +=2，x y 21=，x y 3=，3x y =.（2）213.2与214.2的大小关系是（3）2)2(--与2)3(-的大小关系是我在预习中存在的疑惑：R()+∞,0探究1.请在《新知呈现》第2题中画函数31x y =的图象；在《新知呈现》第3题中画函数21-=x y 的图探究2. 请根据以上函数图象,画出αx y =在0>x 时的大致图象形状.探究3.如果不用描点法，如何画出αx y =在定义域的大致图象？ (举例说明)探究4.类比指、对数函数的研究方法，归纳出函数αx y =的性质.（填入本页上方表格）1．如右图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象， 已知α分别取 2,21,1,2-四个值，则相应图象依次为:________ 2.比校大小： 321.2 32)6.1(-3．连连看：试建立函数与图象之间的对应关系.2132323123)6(;)5(;)4(;)3(;)2(;)1(---======x y x y x y x y x y x y（A ） (B) (C) (D) (E) (F)【课后作业】1.下列函数中，值域为(,)-∞+∞的是 （ ） A ．2x y = B. 2y x = C. 2y x -= D. log (0,1)a y x a a =>≠ 2．解关于x 的不等式3232)12()1(->+x x3.幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--，当(0,)x ∈+∞时为减函数，求实数m 的值，并求函数的定义域4.证明幂函数x y =在[)+∞,0上是增函数。
2020-2021学年人教A版必修1 2.3 幂函数 学案
2.3幂函数学习目标1．了解幂函数的概念．2．结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，并会应用．3．结合幂函数的图象，掌握幂函数的性质．‖自主导学‖知识点一|幂函数的概念阅读教材P77倒数第5行之前的内容，完成下列问题．幂函数的概念函数y＝1xα叫做幂函数，其中2x是自变量，3α是常数．知识点二|T5Y3]幂函数的图象及性质阅读教材P77倒数第5行～P78的内容，完成下列问题．1．五种常见幂函数的图象2．五类幂函数的性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)[思考辨析]|判断正误|1．幂函数的图象均过点(1,1)．(√)2．幂函数的图象均在两个象限内出现．(×) 3．幂函数在第四象限内可以有图象．(×)4．当α>0时，幂函数在第一象限内均为增函数．(√) 5．任意两个幂函数的图象最多有两个交点．(×)‖小试身手‖1．下列所给的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 5 B ．y ＝x 3＋1 C ．y ＝x －3 D ．y ＝3x答案：C2．若y ＝ax 3＋(2b ＋4)是幂函数，则a －b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3 解析：选D ∵y ＝ax 3＋(2b ＋4)是幂函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，2b ＋4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴a －b ＝3. 3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R .所以α≠－1，所以α＝1,3.4．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α>0 B ．α<0 C ．α＝0D ．不能确定解析：选A 根据幂函数的性质知，当α>0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数．5．下列函数是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数的是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝⎩⎨⎧－x ，x ≥0，x ，x ＜0解析：选D 显然A ，C 中的函数是奇函数；B 中的函数在(－∞，0]上是减函数．6．若幂函数的图象过点(2,16)，则f (－3)＝________. 解析：设幂函数为y ＝x α，则2α＝16，∴α＝4. 即f (x )＝x 4.∴f (－3)＝(－3)4＝81. 答案：81题型一 幂函数的概念【例1】 (1)已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)x m2－m －1是幂函数，则m ＝________.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2,22)，则f (9)＝________. [解析] (1)由题意知，若f (x )为幂函数，则m2＋2m－2＝1.即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3.(2)设f(x)＝xα，则2α＝22，所以α＝32，所以f(x)＝x32.所以f(9)＝932＝33＝27.[答案](1)1或－3(2)27| 方法总结 |判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝3x2；④y＝(x－1)2；⑤y＝2x；⑥y＝1x2.其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B符合幂函数解析式特征的函数只有①⑥，其余都不是幂函数．2．若幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A ．2B ．32 C ．1D ．12解析：选D依题意有⎩⎨⎧k ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴⎩⎨⎧k ＝1，α＝－12.∴k ＋α＝1－12＝12.题型二 幂函数的定义域、值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝x 52；(2)y ＝x －53；(3)y ＝x －23.[解] (1)要使y ＝x 52＝x 5有意义，只需x ≥0，即定义域为[0，＋∞)，此时值域为[0，＋∞)；(2)要使y ＝x－53＝13x 5有意义，只需x ≠0，即定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，此时值域为{y |y ∈R ，且y ≠0}；(3)要使y ＝x－23＝13x 2有意义，只需x ≠0，即定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，此时值域为{y |y >0}．| 方 法 总 结 |求幂函数的定义域、值域时，要分清幂函数不同的指数，根据指数情况求解，一般是将指数幂化成根式，再利用式子有意义求解.3．函数y ＝x－34，y ＝x 23的定义域分别记为A ，B ，则∁B A ＝________.解析：∵y ＝x－34＝14x 3，∴A＝{x|x>0}．∵y＝x 23＝3x2，∴B＝R.∴∁B A＝{x|x≤0}．答案：{x|x≤0}题型三幂函数的图象【例3】幂函数y＝x m，y＝x n，y＝x p，y＝x q的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．[解析]∵y＝x p，y＝x m，y＝x q过原点，而y＝x n不过原点，∴p>0，m>0，q>0，n<0，又x>1时，x p>x m>x q，∴p>m>q，∴n<q<m<p.[答案]n<q<m<p| 方法总结 |解决幂函数图象问题应把握的两个原则依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).4．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1解析：选B 由幂函数的图象特征可知n <－1,0<m <1.5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．解：因为f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以f (2)＝14，即2α＝14.得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．题型四 幂函数性质的应用 角度一：比较大小【例4】 比较下列各组数的大小． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2334与⎝ ⎛⎭⎪⎫3423. [解] (1)因为幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5.(2)因为幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)因为函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 为R 上的减函数，又34>23， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.又因为函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.角度二：幂函数性质的综合应用【例5】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．[解] 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *， 所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为(a ＋1)－13<(3－2a )－13. 因为y ＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1. 故a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32.| 方法总结 |1.两个数比较大小时，若幂指数相同底不同时，利用幂函数的单调性比较大小，若底相同，幂指数不同时，利用指数函数的单调性比较大小；若底不同，幂指数也不同，往往加入中间量比较大小.2.利用幂函数y＝xα的性质是解决此类问题的关键.当α>0时，y＝xα其图象过点(0，0)，(1，1)，在(0，＋∞)上为增函数；当α<0时，y＝xα的图象过点(1，1)，在(0，＋∞)上为减函数，在第一象限内其图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.6．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝⎛⎭⎪⎫1978；(3)4.125，3.8－23和(－1.9)35.解：(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－5 2.(2)－8－78＝－⎝⎛⎭⎪⎫1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎪⎫1878>⎝⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<4.125.7．已知幂函数f(x)＝x m－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．解：因为f(x)＝x m－3在(0，＋∞)上是减函数，所以m－3<0.所以m<3.又因为m ∈N *， 所以m ＝1,2.又因为f (x )＝x m －3是偶函数， 所以m －3是偶数，所以m ＝1. 所以f (x )＝x －2.1．明析两个函数——指数函数与幂函数 函数名称 解析式解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0且a ≠1)底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．牢记三个性质——幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．「自测检评」1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1答案：B2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16B ．116C ．12 D ．2 答案：C3．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x B ．y ＝x 2 C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3答案：D 4．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时有最小值，y min ＝(－2)－3＝1(－2)3＝－18. 答案：－185．已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－1＋2n －3是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．解：由题意得 ⎩⎨⎧ m 2＋2m －2＝1，m 2－1>0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.。
幂函数导学案(1)
§2。
3 幂函数1。
通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。
（预习教材P 77～ P 79，找出疑惑之处)复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数。
复习2：1992年底世界人口达到54。
8亿,若人口年平均增长率为x ％，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； (2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．任务二、新课导学探究任务一:幂函数的概念问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；(2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ,则他骑车的平均速度1/v t km s -=,这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数。
新知1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.试一试：判断下列函数哪些是幂函数.① 1y x=;②22y x =；③3y x x =-；④1y =。
探究任务二:幂函数的图象与性质问题:作出下列函数的图象：（1)y x =；（2)12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．说明：② 除函数12y x=外，其余四个幂函数具有奇偶性②在第一象限内，函数1y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质（1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1)（2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数（3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数从图象分析出幂函数所具有的性质。
高中数学 23幂函数导学案 新人教A版必修1 学案
课题：2.3幂函数一、三维目标： 知识与技能：(1)理解幂函数概念，会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y = 的图象；(2)结合常见的幂函数图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法：(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力； (2)使学生进一步体会数形结合的思想方法。
情感态度与价值观：(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；(2)了解幂函数图象的变化规律使学生认识到数学美，从而激发学生的学习欲望。
二、学习重、难点：重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
三、学法指导：认真阅读教材，体会幂函数与指数函数的不同，在比较过程中进一步掌握指数函数，学习幂函数，认识和掌握五个具体幂函数的图像和性质。
四、知识链接：1.指数函数定义：2.对数函数定义： 五、学习过程： （一）、问题：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，则她需要付款 p (元)与 w (千克)的函数关系式为 ；(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积s 与a 的函数关系式为 ； (3)如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积v 与a 的函数关系式为 ；(4)如果正方形场地的面积为s ，那么这个正方形的边长a 与s 的函数关系式为 ； (5)如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v (km/s)与t(s)的函数关系式为 。
思考：若这些函数的自变量用x 来表示,函数值用y 来表示,则函数关系式是怎样的？它们有怎样的特点？（二）、幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。
例1：判断下列函数是否为幂函数？42321(1)(2)2(3)(4)(5) 2.3xy x y x y x y y x===-== 探究1：怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数？（三）、请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象。
幂函数学案(上课用)
2.3幂函数一、学习目标1、通过具体实例理解幂函数的概念。
2、结合函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象.了解它们的变化情况。
二、知识点自主学习活动一：阅读教材P 77的具体实例（1）~（5），思考下列问题：以上问题中的函数解析式有什么共同特征？与指数函数比较，形式上有什么不同?_________________________________________________ 。
一般地，______________称为幂函数，其中____是自变量，____是常数.练习：判断下列函数哪些是幂函数.①4y x =； ②22y x =；③2y x =-； ④2x y =；⑤2y x -=； ⑥32y x =+.活动二：探究幂函数的图像和性质.y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -=（5）3y x =1．在同一平面直角坐标系中画出这五个函数的图象，从中你能得出什么结论？2.函数x y =； 2x y =；3x y =； 21x y =； 1-=x y 的性质１.所有的幂函数在----------------都有定义,并且函数图象都通过点( );2.指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数；xo y3.α>0时,图象都经过点（ ）和（ ）图象在第一象限是------函数.4.α<0时,（1）.图象都经过点（ ）（2）.图象在第一象限是 -------函数;（3）.在第一象限内,图象向上与Y 轴无限地接近,向右与X 轴无限地接近.三．典型例题例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m 的集合。
练习：已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式.例2：利用单调性判断下列各值的大小。
练习：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09-- 3） 1.5(1)a + 1.5(0)a a >； （4）223(2)a -+ 232-；例3讨论()f x 在[0,)+∞的单调性.小结作业:课后作业本)2,2( 2.5-25与2.7-2532221----=m m x m m x f )()(（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3。
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当α≠0，1 时，幂函数 y＝xα在第一象限的图象特征
α取值
α＞1
0＜α＜1
图象
特殊点 单调性
过(0，0)，(1，1) 递增
过(0，0)，(1，1) 递增
α＜0
过(1，1) 递减
2、在第一象限，在直线 x=1 的右侧，幂函数的 自下而上越来越大 在直线 x=1 的左侧，幂函数的 自下而上越来越小
3、α是奇数时，y＝xα为奇函数；α是偶数时，y＝xα是偶函数
若
g(x)＝loga[f(x)－2x](a＞0，且
a≠1)，求当
a＝1时，g(x)在(2，3]上的最小值． 3
课堂检测
1、（2018 年上海第 7 题）已知 2, 1, 1 , 1 ,1, 2, 3 ，若幂函数 f (x)= x 为奇函数，
22
且在(0，＋∞)上是减函数，则
-1
-1
2．若 (a+1) 3 <(3-2a) 3 ，则实数 a 的取值范围是____________．
考点二 幂函数的图象与性质的应用
例 2、比较下列各组数的大小
11ຫໍສະໝຸດ （1）1.22 、1.42 与1.42
（2）
3 5
1 2
、
2 3
3
与
3 2
3
(3)当 0 x 1 时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝ x2 的大小关系是
．
3、已知幂函数 f(x)＝ (m2 m 1)x 2m2 m3 (m∈Z)为偶函数，且 f(3)＜f(5)．
58 级数学组
命题人：冯雪婷 审核人：邵翠华
幂函数复习学案
〖学习目标〗 1、熟练掌握常见 5 个幂函数的图象和性质； 2、能利用幂函数的图象和性质比较大小、解不等式. 〖重、难点〗 重点：5 个幂函数的图象与性质、应用 难点：幂函数性质的应用 〖考情分析〗 2018 年上海第 7 题 幂函数的性质应用
考点一 幂函数的图象与性质
例 1、已知幂函数 f (x) k x 的图象经过点(2， 1 )， 4
（1）求 k 的值； （2）求 f (x) 的单增区间； （3）幂函数 y xm2 2m3 (m∈Z)的图象如图所示，求 m 的值；
（4）若 f (a) f (1) ，求 a 的取值范围
58 级数学组 命题人：冯雪婷 审核人：邵翠华
一、幂函数的概念
形如
(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数．
二、常见幂函数的图象与性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝ x
图象
定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点
y1 x
【重要结论】
1．对幂函数 y＝xα，当α>0 时，其图象经过(0，0)点和(1，1)点，且在第一象限内单调
；
当α<0 时，其图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，且在第一象限内单调