四川省成都市重点名校联盟2009年高考数学冲刺预测试卷(二)

四川省成都市重点名校联盟2009年高考数学冲刺预测试卷（二）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．两个非零向量e 1，e 2不共线，若（ke 1＋e 2）∥（e 1＋ke 2），则实数k 的值为A ．1B ．-1C ．±1D ．0 2．有以下四个命题，其中真命题为A ．原点与点（2，3）在直线2x ＋y-3＝0的同侧B ．点（2，3）与点（3，1）在直线x-y ＝0的同侧C ．原点与点（2，1）在直线2y-6x ＋1＝0的异侧D ．原点与点（2，1）在直线2y-6x ＋1＝0的同侧 3．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验． I ．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法． 上述两问题和两方法配对正确的是A ．①配Ⅰ，②配ⅡB ．①配Ⅱ，②配ⅠC ．①配Ⅰ，②配ⅠD ．①配Ⅱ，②配Ⅱ 4．已知函数x x f )21()(=，其反函数为)(x g ，则2)(x g 是A ．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B ．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C ．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D ．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 5．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 6．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为 A ．181B ．3781C ．4321D ．7561 7．已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为A ．30B ．12C ．32D ．108．已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为 A ．6或5 B ．-1或4C ．6或-1D ．4或59．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是 A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）10．（文）函数12cos2-=xy 的最小正周期是 A ．π4B ．π2C ．πD ．π21 （理）函数)4π(cos )4π(cos 22--+=x x y 是 A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数 11．（文）如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° （理）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为A ．22 B ．515 C ．46 D ．36 12．（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为 A ．0 B ．23C ．2D ．3（理）已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是 A ．2230<<aB ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或282>a D ．282223<<a 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上 13．已知a ＝（3，4），|a-b|＝1，则|b|的范围是________．14．已知直线y ＝x ＋1与椭圆122=+ny mx （m ＞n ＞0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-ny m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．某县农民均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布，则此县农民年均收入在500元到520元间人数的百分比为________．16．1lim 21--+++→x nx x x n x ＝________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分） 已知a ＝（αco s ，αsin ），b ＝（βc o s ，βsin ），a 与b 之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|，其中k ＞0．（1）用k 表示a 、b ；（2）求a·b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小．18．（12分）已知a 、b 、m 、+∈N n ，}{n a 是首项为a ，公差为b 的等差数列；}{n b 是首项为b ，公比为a 的等比数列，且满足32211a b a b a <<<<． （1）求a 的值；（2）数列}1{m a +与数列}{n b 的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列}{n c ，求}{n c 的前n 项之和n S ．19．（12分）已知：)lg()(x x b a x f -=（a ＞1＞b ＞0）． （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 在其定义域内的单调性；（3）若)(x f 在（1，＋∞）内恒为正，试比较a-b 与1的大小．20．（12分）如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD ，边长为1，∠BAD ＝60°，再在α的上侧，分别以△ABD 与△CBD 为底面安装上相同的正棱锥P-ABD 与Q-CBD ，∠APB ＝90°．（1）求证：PQ ⊥BD ；（2）求二面角P-BD-Q 的余弦值； （3）求点P 到平面QBD 的距离；21．（12分）在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持||||PB PA +的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）直线l ：t x y +=与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．22．（14分）（理）已知函数255)(x x x f -=，记函数)()(1x f x f =，)]([)(12x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，…，)]([)(1x f f x f n n -=，…，考察区间A ＝（-∞，0），对任意实数A x ∈，有0)()(1<==a x f x f ，0)()]([)(12<==a f x f f x f ，且n≥2时，0)(<x f n ，问：是否还有其它区间，对于该区间的任意实数x ，只要n≥2，都有0)(<x f n ？（文）已知二次函数)(x f 的二次项系数为负，对任意实数x 都有)2()2(x f x f +=-，问当)21(2x f -四川省成都市重点名校联盟2009年高考数学冲刺预测试卷（二）参考答案：1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．C 9．D 10．（文）B （理）B 11．（文）C （理）C 12．（文）B （理）B 13．[4，6] 14．34 15．34.15％ 16．2)1(+n n 17．由已知1||||==b a ． ∵ ||3||b a b a k k -=+，∴ 222||3||b a b a k k -=+．∴ )1(41kk +=⋅b a ． ∵ k ＞0， ∴ 211241==⋅⋅⋅k k b a ． 此时21=⋅b a ∴21||||21cos ==⋅b a θ． ∴ θ＝60°． 18．（1）∵ b m a a m )1(-+=，1-⋅=n n a b b ，由已知a ＜b ＜a ＋b ＜ab ＜a ＋2b ， ∴ 由a ＋2b ＜ab ，a 、+∈N b 得baa +>1． ∵ 10<<b a， ∴ a≥2． 又得a b b +>1，而1>ab， ∴ b≥3．再由ab ＜a ＋2b ，b≥3，得3)111(212≤-+=-<b b b a ． ∴ 2≤a ＜3 ∴ a ＝2．（2）设n m b a =+1，即1)1(1-⋅=-++n a b b m a ． ∴ 12)1(3-⋅=-+n b b m ，+-∈--=N )1(231m b n ． ∵ b≥3， ∴ 1)1(21=---m n ．∴ m n =-12．∴ 123-⋅==n n n b c ． 故)12(3)221(31-=+++=-nn n S ．19．（1）由0>-x x b a ， ∴ 1)(>xb a，1>ba． ∴ x ＞0．∴ 定义域为（0，＋∞）． （2）设012>>x x ， a ＞1＞b ＞0, ∴ 12x x a a > 21x x b b > 12x x b b ->- ∴ 01122>->-x x x x b a aa∴ 11122>--x x x x ba b a ． ∴ 0)()(12>-x f x f ． ∴ )(x f 在（0，＋∞）是增函数．（3）当1(∈x ，＋∞)时，)1()(f x f >，要使0)(>x f ，须0)1(≥f ，∴ a-b≥1．20．（1）由P-ABD ，Q-CBD 是相同正三棱锥，可知△PBD 与△QBD 是全等等腰△．取BD 中点E ，连结PE 、QE ，则BD ⊥PE ，BD ⊥QE ．故BD ⊥平面PQE ，从而BD ⊥PQ ．（2）由（1）知∠PEQ 是二面角P-BD-Q 的平面角，作PM ⊥平面α，垂足为M ，作QN ⊥平面α，垂足为N ，则PM ∥QN ，M 、N 分别是正△ABD 与正△BCD 的中心，从而点A 、M 、E 、N 、C 共线，PM 与QN 确定平面PACQ ，且PMNQ 为矩形．可得ME ＝NE ＝63，PE ＝QE ＝21，PQ ＝MN ＝33，∴cos ∠PEQ ＝312222=-+⋅QE PE PQ QE PE ，即二面角平面角为31arccos ． （3）由（1）知BD ⊥平面PEQ ．设点P 到平面QBD 的距离为h ，则 h h S V Q B DQBDP 12131==⋅⋅∆- ∴ 362)31(1241sin 241312=-=∠==∆-PEQ BD S V PED QBD P ． ∴362121=h ．∴ 32=h ． 21．（1）以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系． ∵ 22)22(222||||||||22=++=+=+CB CA PB PA ， ∴ 动点轨迹为椭圆，且2=a ，c ＝1，从而b ＝1．∴ 方程为 1222=+y x ．（2）将y ＝x ＋t 代入1222=+y x ，得0224322=-++t tx x ．设M （1x ，1y ）、N （2x ，2y ），∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>--=∆⋅⋅③②①322340)22(34162212122t x x t x x t t ，， 由①得2t ＜3． ∴ 22121212632||||||||21t x x y y y y AB S MANB -=-=-=-=．∴ t ＝0时，362=大S ．22．（理）0)(<x f ，即0552>-x x ，故x ＜0或x ＞1．∴ 0)(0)]([0)(11<⇔<⇔<--x f x f f x f n n n 或1)(1>-x f n ．要使一切+∈N n ，n≥2，都有0)(<x f n ，必须使0)(1<x f 或1)(1>x f ， ∴ 0)(<x f 或1)(>x f ，即0552<-x x 或1552>-x x ． 解得x ＜0或x ＞1或1055-1055+<<x ． ∴ 还有区间（1055-，1055+）和（1，＋∞）使得对于这些区间内的任意实数x ，只要n≥2，都有0)(<x f n ．（文）由已知h x a y +--=2)2(，)0(>a ．∴ )(x f 在（-∞，]2上单增，在（2，＋∞）上单调． 又∵ 1212≤-x ，22)1(2122≤+--=-+x x x ． ∴ 需讨论221x -与221x x -+的大小． 由)2()21(2122+=---+x x x x x 知当0)2(<+x x ，即02<<-x 时，222121x x x -<-+． 故)21()21(22x f x x f -<-+时，应有02<<-x ．。