例谈二阶导数在高考题中的应用

例谈二阶导数在求解高考函数压轴题中的优越性

例谈二阶导数在求解高考函数压轴题中的优越性作者：刘兴福来源：《课程教育研究·上》2015年第08期【摘要】“函数与导数”是历年高考的常考题型，也是压轴题，其主要考查考生利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立等问题。

而在部分高考试题中，对函数进行求导后，并不能较清晰、快速的判断导函数的符号，进而难以判断函数的单调性，而若继续对导函数再求导，利用二阶导数研究一阶导数，进而解决问题则较为容易。

本研究以几道高考函数压轴题为例，展现二阶导数在解决此类问题中的优越性。

【关键词】二阶导数 ;高考 ;函数压轴题【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0098-01一、例1.（2015年新课标全国卷Ⅱ理数，21题）设函数f（x）=emx+x2-mx.（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增;（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围。

解：（Ⅰ）解法一：f'（x）=m（emx-1）+2x。

（1）若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，f'（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1>0，f'（x）>0.（2）若m<0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，f'（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1<0，f'（x）>0.所以，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

解法二：由解法一，f''（x）=m2emx+2.∵f''（x）>0恒成立，∴f'（x）在R上为增函数。

又∵f'（0）=0，∴当x∈（-∞，0）时，f'（x<0）;当x∈（0，+∞）时，f'（x）>0。

即f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

从高考题谈二阶导数的地位和作用

从高考题谈二阶导数的地位和作用
汤洁
【期刊名称】《试题与研究(教学论坛)》
【年(卷),期】2011(000)005
【摘要】@@ <数学分析>中,二阶导数在判断极值、拐点等内容中有比较多的应用.而在高中数学中,不论是以前的<大纲>还是<新课程标准>,对它都没有提出任何要求,教学中更不必将其以概念的形式给出.
【总页数】1页(P46)
【作者】汤洁
【作者单位】河南省开封市二十五中
【正文语种】中文
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高考数学热点必会题型第7讲导数之二阶导数的应用(解析版)

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >，由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1，故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切，记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=，所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+，有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦，当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减；当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增，所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减；当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增；所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增，又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ，则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈，当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞，即得202a a -≤⇒≤，故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数，即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ，的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=，在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-；令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈，则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='，令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭，设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->，于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增，因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤，所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+，所以()11132314e e >+>，即a b c >>，故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0，则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（）∴()sin cos f x x x =+，∴()e x f x x -=-，∴()ln 2f x x x =-，∴3()21f x x x =-+-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是否是负数即可.【详解】∴()sin cos f x x x =+,则()sin cos f x x x ''=--，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，则()sin cos 0f x x x ''=--<，选项∴满足；∴()e x f x x -=-，则()(2)x f x x e -''=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x ->，即()0f x ''>，∴不符题意； ∴()ln 2f x x x =-，则21()0f x x ''=-<，选项∴满足； ∴3()21f x x x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()60f x x ''=-<，选项∴满足.综上有3个函数符合题意. 故选：B例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(-∞【分析】对函数()f x 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.【详解】由()21ln f x m x x x=++，得()212m f x x x x '=-+，令()212m h x xx x =-+，则()2322m h x x x'=-++，令23220m x x-++>恒成立，即222m x x <+恒成立，令()()2220g x x x x =+>，则()()32214224x g x x x x-'=-+=，当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，g （x ）单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0g x '>，g （x ）单调递增，所以()2221g x g ≥=+=所以m <故答案为：(-∞.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立．对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立，符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立，符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.。

高考数学中的导数概念及其应用实例

高考数学中的导数概念及其应用实例数学是一门理性、逻辑思维和抽象化的学科，而数学高考则是在实现这些特点的同时，注重考查数学知识的应用。

在所有的数学知识点中，导数概念是一个至关重要的知识点。

接下来，我们将深入探讨导数概念及其应用实例。

一、导数概念导数概念最早由连续函数概念发展而来，主要用于刻画函数在某一点的变化率。

假设函数$f(x)$在$x_0$处存在，那么$f(x)$在$x_0$处的导数可以表示为：$lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$当这个极限存在时，称为函数$f(x)$在$x_0$处可导，并表示$f'(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。

导数概念实际上是一个极限概念，它刻画了函数在某一点附近的局部变化情况。

具体来说，函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$表示的是，在极小的变化量$\Delta x$内，函数在$x_0$处的相应变化量$\Delta f(x)$与$\Delta x$之比的极限。

从这个定义出发，我们可以理解导数之间的几何意义。

在平面直角坐标系中，将函数$y=f(x)$上一点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率定义为该点处的导数$f'(x_0)$。

这意味着，导数是函数值在某一点处的切线斜率。

通过图像，我们还可以理解导数的符号：当函数上升，导数为正；当函数下降，导数为负；对于水平位置，导数为零。

二、导数概念的应用实例在高考数学中，导数概念被广泛应用在各种数学问题中。

这里简要列举几个典型的实例。

1. 最值问题当我们研究一个函数的极值时，导数概念可以为我们提供强有力的工具。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$区间内连续，在$(a,b)$内可导。

如果在$x_0\in(a,b)$处$f'(x_0)=0$并且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$是函数$f(x)$在$[a,b]$中的极小（或极大）值。

二阶导数意义范文

二阶导数意义范文二阶导数是函数的导数的导数，在微积分中有重要的意义。

它描述了函数曲线的凹凸性、曲率以及变化率的变化情况。

本文将详细介绍二阶导数的意义及其在物理学、经济学和工程学等领域的应用。

一、二阶导数的定义及意义函数f(x)的一阶导数表示了函数在特定点上的切线的斜率。

而二阶导数则表示一阶导数的变化率。

具体而言，如果函数f(x)的二阶导数大于零，那么函数曲线在该点上是凹向上的；如果二阶导数小于零，则函数曲线在该点上是凹向下的；如果二阶导数等于零，则函数在该点上可能是拐点。

凹凸性是函数的重要特征之一，它告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。

例如，在经济学中，二阶导数可以用来分析消费者对商品价格的弹性需求。

如果二阶导数大于零，说明需求弹性随价格变化而变高，即价格上涨，消费者对商品需求变得更不敏感；反之，如果二阶导数小于零，说明需求弹性随价格变化而变低，即价格上涨，消费者对商品需求变得更加敏感。

其次，二阶导数还可以用来描述函数曲线的曲率。

曲率是函数曲线在其中一点处的弯曲程度。

根据二阶导数的符号，我们可以判断曲线的曲率变化情况。

当二阶导数大于零时，表示曲线的曲率向上增加，即曲线呈现出越来越陡峭的弯曲形态；反之，当二阶导数小于零时，表示曲线的曲率向下递减，即曲线呈现出越来越平缓的弯曲形态。

二阶导数在物理学中也有广泛的应用。

在力学中，速度是位移的一阶导数，而加速度则是速度的一阶导数。

如果物体的加速度是恒定的，那么它的速度将是线性增加的，而位移将是速度的二阶导数。

因此，根据位移的二阶导数可以得出物体的加速度是恒定的。

同样地，在光学研究中，二阶导数可以用来描述光的弯曲程度。

光线在经过一些介质时会发生折射，折射的程度可以通过二阶导数来分析。

利用二阶导数，我们可以计算出由不同折射率的介质组成的光学器件的镜面或透镜的曲率。

二、二阶导数的应用领域除了上述物理学领域外，二阶导数在经济学、工程学、生物学以及计算机图形学等领域也有广泛的应用。

二阶导数在解高考函数题中的应用

浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。

这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。

解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。

而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。

本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .（1）若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；（2）证明：0)()1(≥-x f x .原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xx x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。

例谈二阶导数在高中数学中的应用

例谈二阶导数在高中数学中的应用作者：王耀民来源：《新校园·中旬刊》2014年第07期摘要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。

导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。

关键词：高中数学；二阶导数；例题分析导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。

主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。

近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。

导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。

一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f"（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。

有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。

请你根据这一发现判断下列命题：（1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；（2）存在三次函数，f"（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054.其中正确命题的序号为。

【2020年高考必备】二阶导数的用法及零点尝试法

二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。

例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。

2020届高三数学之函数与导数（文理通用）二次求导函数处理（二阶..

韩哥智慧之窗-精品文档精品文档韩哥智慧之窗-精品文档精品文档 1专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

此时解题受阻。

需要利用需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为：、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表；的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法方法二次求导二次求导使用情景使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m你还可以在算出3,4，选择题排除法。

二阶导函数的用法及零点法 8

二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。

例1.2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =-当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=>所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x xx+=+-=+ 无法求根也无法判断正负''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。

高考数学二阶导数的用法及零点尝试法

二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。

例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。

例谈二阶导数在求解高考函数压轴题中的优越性

【摘要】 ‘ ‘ 函数与导数 ” 是历年高考的常考题型，也是压轴题，其主要考查考生利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立等问题。而在部分高考试题中，对函数进行求导后．并不能较清晰、快速的判断导函数的符号，进而难以判断函数的单调性．而若继续对导函数再求导，利用二阶导数研究一阶导数，进而解决问题则较为容易。本研究以几道高考函数压轴题为例。展现二阶导数在解决此类问题中的优越性。【关键词】．Ｕ－阶导数高考函数压轴题
、
例１．（２０１５年新课标全国卷 ¨理数，２１题）设函数ｆ（ × ）＝
ｅｒ％ｘＬｍｘ．
（Ｉ）证明：在（一 ∞，Ｏ）单调递减，Ａ（ｏ，＋）单调递增；（ Ⅱ）若对于任意ＸｂＸ２ ∈卜１，１］，都有Ｊｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ２）｝ ≤ｅ一１，求ｍ
的取值范围。
１时，ｆ（ｌＸ）＝Ｉｎｘ＋（ｘｌｎｘ — ｘ＋１）＝ｌｎｘ＋ｘ（１ｎｘ＋＊－－一１） ≥Ｏ。所以（ｘ一１）ｆ（ｘ） ≥０。＋ｌｎｘ，ｆ（Ｘ）一＋１方法２：ｆ（Ｘ）
【中图分类号】Ｇ６３３．６
一
【文献标识码】Ａ
【文章编号】２０９５ — ３Ｏ８９（２０１５）０８－００９８－０１

试谈二阶导数在解题中的应用

故
（～１），（）＞０．
小结
从本质上来讲，本题还是用导函
数的正负判断原函数的增减性，只不过本题
而判断原函数的增减性，从而给解题带来很大的方便．下面我们通过一些例子来加以说
明．
，（叠）的导函数的正负不易判断，而利用二阶
数来解决一些问题，我们往往对函数进行一次求导运算，进而应用函数和导数的综合知识，解决一些证明或求参数的取值范围的题
ｇ（）一ｌｎｘ４－￣
～
，
则ｇｌ（）一专一去＜０，
故ｇ（）在（０，１）上递减，所以ｇ）＞ｇ（１）一１，所以厂（）在（０，１）上递增．所以
导数却容易判断厂（童）的导函数的正负，收到
了很好的效果．，例２（２０１０年海南宁夏卷）设函数，（）
例１（２０１０年全国卷Ｉ）函数，（ｚ）一
（ｚ＋１）１ｎ — ＋１．证明：（ｚ一１）厂（ｚ）＞０．分析要证（一１）．厂（ｚ）＞０，只需证明
，（ｚ）＜，（１）－－－０，
目，基本上可以得到解决，但也有一些题目，进行完一次求导运算后，很难判断一阶导数的正负，也就很难对原函数的增减性作出判断，这将使我们很难继续进行下去．如果我们
对一阶导数继续求导，即求原函数的二阶导数，往往可以收到很好的效果，使得我们能通过二阶导数的正负，判断一阶导数的正负，进

二阶导在函数问题中的应用

二阶导在函数问题中的应用摘要：函数单调性是学生在高中阶段的函数学习中最早接触的一个问题，在高考数学的题目中关于函数单调性类的问题也是非常常见，为更好攻克单调性类题目的解题难关，提升高中生的数学解题效率，本文中我将以二阶导在函数中的应用为例，以两个例题讲解利用二阶导求函数单调性的具体方法及训练策略。

关键词：二阶导数；函数问题；高中数学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-041-01引言：函数f(x)的一阶导函数f’(x)在x的导数即原函数的二阶导数，在数学中，我们将其表示为f’’(x)。

在高中数学中的函数单调性类问题考察中，有很多题目我们可以通过一次求导的方式进行解决，但是也有很多题目在我们一次求导完成后并不能直接判断原函数的单调性质，这时我们就必须对原函数进行二阶求导，因而二阶导数方法在数学题目解决中具有着一定的探究意义，那么在实际解题中我们应该如何利用二阶导函数求证函数的单调性呢？一、第一道例题——根据单调性求大小函数的单调性问题是学生函数学习的基础，其在学生今后的函数学习方面具有着重要的价值，但是很多学生并没有掌握科学的求解方法，尤其是对于那些需要进行二阶求导的问题，总有学生错了又错[1]。

为提升学生在单调性类问题上的解题效率，本部分中我将借助题目分析的方法帮助学生梳理利用二阶导求函数单调性的方法。

例题：已知函数f(x)=sinx/x，且0＜x1＜x2＜1，假如a=sinx1/x1，b=sinx2/x2，求a、b之间的大小关系。

解析：在看到这一题目时我们应该想到要想解决问题，我们就必须先通过分析函数在x∈（0,1）上的单调性，然后再结合题目思考a、b之间的大小关系，其中在分析单调性方面，我们就需要用到二阶求导。

在此题中，已知函数为f(x)=sinx/x，根据这一函数我们可以得到f’(x)=xcosx－sinx/x2，继而根据二阶求导的思想我们又能得到g(x)=xcosx－sinx，g’(x)=﹣xsinx＋cosx－cosx=﹣xsinx。

数学(心得)之浅析应用二阶导数求函数的单调性

数学论文之浅析应用二阶导数求函数的单调性浅析应用二阶导数求函数的单调性◎蔡圣兵徐春桃●定义：函数f（x）的（一阶）导函数f′（x）在x的导数，称为函数f（x）在x的二阶导数，表示为f″（x），即f″（x）=limΔx →0f′(x+Δx)－f′(x)Δx．笔者对应用二阶导数来研究函数的单调性作了小许尝试，下面就以部分地区的调研试题为例作说明：例1：（2007年东北三校）若函数f（x）=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1，b=sinx2x2，则a、b的大小关系是（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．a、b的大小不能确定【解析】此题很容易想到去研究函数y=sinxx在x∈（0，1）的单调性．由f（x）=sinxx得f′（x）=xcosx－sinxx2，再记g（x）=xcosx －sinx，∴g′（x）=－xsinx+cosx－cosx=－xsinx，∵0＜x＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，1）上是减函数，∴g（x）＜g（0）=0，因此f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，1）是减函数，∴f（x1）＞f （x2），即a＞b，故选A．【点评】本题用二阶导数的思想研究y=g（x）的单调性，从而达到求y=f（x）单调性的目的．当然，本题也可以如下处理：由f′（x）=xcosx－sinxx2=cosx(x－tanx)x2，又x∈（0，1）（0，π2），我们易证x＜tanx，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，因此选A．例2：（2008黄冈模拟）已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）．（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最小值．【解析】第（1）问可直接求导得f′（x）=－1x2［1x+1+ln（x+1）］，易知f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．第（2）问：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立．即h（x）=(x+1)［1+ln(x+1)］x＞k对任意x＞0恒成立．也即h（x）（x＞0）的最小值大于k．又h′（x）=x－1－ln(x+1)x2又记φ（x）=x－1－ln（x+1）（x＞0）则φ′（x）=1x+1＞0∴φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又φ（2）=1－ln3＜0，φ（3）=2－2ln2＞0即φ（2）φ（3）＜0 ∴φ（x）=0存在唯一根x=m，且m∈（2，3）即φ（m）=0，也即m－1－ln（m+1）=0∴x（0，m）m（m，+∞）φ（x）－0+h′（x）－0+h（x）↘极小值↗∴h（x）min=h（m）=(m+1)［1+ln(m+1)］m=（m+1）mm=m+1 ∴k＜m+1又m+1∈（3，4）故正整数k的最大值为3．【评注】此题也是通过研究φ（x）的单调性进而来确定f（x）的单调性．另外，我们也可以按以下思路处理：先取x=1，计算得k＜2（1+ln2）＜4，并由此猜想k的最大值为3，然后再进行论证（请同学们自己尝试）．例3：（武汉市2009届高中毕业生二月调研考试）已知函数f（x）=sinx3cosx－x．（0＜x＜π2）．（1）求f（x）的导数f′（x）；（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，π2］上恒成立；（3）求g（x）=1sin2x－1x2（0＜x≤π2）的最大值．【解析】（1）直接用公式求解得f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x －1.（2）记G（x）=f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1，则G′（x）=23cos-13x(－sinx)+13［2sinxcosxcos－43x+sin2x(－43)cos－73x(－sinx)］=49sin3xcos－73x＞0.即G′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．∴G（x）在x∈（0，π2）为增函数．∴G（x）＞G（0）=0，也即f′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．∴f（x）在x∈（0，π2）也为增函数．∴f（x）＞f（0）=0，即sinx3cosx＞x sin3x＞x3cosx．又当x=π2时，经计算sin3x＞x3cosx成立．于是sin3x－x3cosx＞0在x∈（0，π2］上恒成立．（3）由（2）知g′（x）=2(sin3x－x3cosx)x3sin3x＞0在x∈（0，π2］恒成立．∴g（x）在（0，π2］上单调递增．∴g（x）≤g（π2）=1－4π2．∴g（x）的最大值为1－4π2．【点评】此题是2009年武汉市二月调考的压轴题，从学生的答卷来看，第（2）问得分不够理想，假若同学们熟知二阶导数的思想，那问题就可迎刃而解了．导数的应用已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最（极）值问题已成为炙手可热的热点．导数应用在高考中经历了2004年的“课本变式”期，2005年、2006年的“基本应用”期，2007年、2008年的“灵活运用”期，我认为现在我们要特别关注导数应用的创新，而高等数学知识的下放又是创新的一个重要方面，因此，二阶导数的合理使用应是我们复习关注的重点．（原载2009年6月《语数外学习》）。

例谈二阶导数在高考题中的应用

例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学高岚龙随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。

尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。

作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。

本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。

一．二阶导数与凸性定义1. 设()f x 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点1x 与2x ，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++<，那么称()f x 在 I 上的图形是凹的；如果恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，那么称()f x 在 I 上的图形是凸的；定理1 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么：（1）若在(,)a b 内()f x '单调增加，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()f x '单调减少，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的；定理 2设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么：（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。

例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）分析：我们知道，把汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。

【高考数学冲刺解题技巧】二阶导数的用法及零点尝试法

二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。

例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。

二阶导在极值问题中的应用

二阶导在极值问题中的应用我们知道0x 是)(x f 的极值点0)('/0=⇐⇒x f .那么0x 是)(x f 的极值点，在0x x =处的二阶导)(''0x f 有怎样的性质？实际上，若0x 是)(x f 的极大值点时，在0x x =左右附近区间，有0)(''<x f ，由导数的几何意义知，)(''0x f 表示曲线)('x f 在0x x =处的切线斜率.如图，结合)('x f 在0x x =左右附近区间的简图，可知0)(''0<x f .特别地，若)('x f 的图象是中心对称图形，且对称中心的横坐标恰好是极大值点，那么有0)(''0=x f ，因此对于0)(''0=x f 的情形需单独验证是否满足（为什么？如图可知）.同理，若0x 是)(x f 的极小值点时，在0x x =左右附近区间，有0)(''>x f ，此时有0)(''0>x f .同样对于0)(''0=x f 的情形也需单独验证是否满足.下面举例说明二阶导在极值问题中的简单应用.（2023年福州质检题，出自课本选择性必修②104也第9题）已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极小值，则c 的值为（）62.6.4.B 2.或D C A 易得c x x f 46)(''-=，由0412)2(''>-=c f ，得3<c ，故选A.这样就省去了解方程，和后续验证.下面以两道高考真题继续说明.的为函数若设题年全国乙卷第)()()(,01012022b x a x a x f a x a --==≠极大）值点，则（22....A a ab D a ab C ba Bb a ><><易得)(2)2(2)(''a x a b a x a x f -+--=，进而有0)(2)(''<-=b a a a f ，得ab a <2.故选D.因此对于此类问题，只要求导准确，利用二阶导的这一性质，0x 成立存在0)(''0=x f 0)(''0<x f 0x 0x 0)(''0<x f 0x很容易解答，能较好地避开复杂的运算和后续检验，比数形结合，以及单纯的分类讨论求解来得快.又如若已知函数）题（年全国Ⅱ卷第),1ln(cos )(22220232x ax x f --=是0=x .)(的取值范围的极大值点，则a x f 分析先求出二阶导2222)1()1(2cos )(''x x ax a x f -++-=，进而由0)0(''<f 得022<+-a ，解得2,2>-<a a 或.因为212sin )('xxax a x f -+-=是奇函数，图象关于)0,0(对称，对称中心的横坐标恰好是极值点，故需验证0)0(''=f 的情形，此时2±=a ，代入得222)1()1(22cos 2)(''x x x x f -++-=，因为，22cos 22≤-≤-x 2)1()1(2222≥-+x x ，可知在0=x 的左右附近区间，0)(''≥x f ，故在0=x 的左右附近区间)('x f 单调递增，此时0=x 是)(x f 的极小值点，不符合题意.综上，2,2>-<a a 或.。

例谈二阶导数在高考题中的应用

例谈二阶导数在求解高考函数压轴题中的优越性

从高考题谈二阶导数的地位和作用

高考数学热点必会题型第7讲 导数之二阶导数的应用(解析版)

高考数学中的导数概念及其应用实例

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二阶导数在解高考函数题中的应用

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