第4讲 直接证明与间接证明

第4讲直接证明与间接证明◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．直接证明[知识感悟]1．辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．证题的三种思路 (1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A ，或者是非A ，即在同一讨论过程中，A 和非A 有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．[知识自测]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[解析] 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. [答案] D3．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是______．[解析]∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.[答案]a≥0，b≥0且a≠b题型一综合法的应用(高频考点题、多角突破)考向一与立体几何有关的证明1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：EC∥平面P AD；(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.[证明](1)作线段AB的中点F，连接EF，CF(图略)，则AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，∴平面CFE∥平面P AD.又EC⊂平面CEF，∴EC∥平面P AD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝2，BC＝ 2.∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.考向二 与数列有关的证明2．(2016·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n(－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k <12d 2. [证明] (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1， c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n (a 2＋a 2n )2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝1n1T k ＝12d 2∑k ＝1n 1k (k ＋1)＝12d 2∑k ＝1n ⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<12d 2.考向三 与三角解三角形有关的证明3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列． (2)若C ＝2π3，求证5a ＝3b .[证明] (1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即5ab －3b 2＝0， 所以a b ＝35，即5a ＝3b .考向四 与函数、方程、不等式结合的证明题4．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．[解] (1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋3.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．方法感悟综合法证题的思路【针对补偿】1．(上饶调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数． ∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . [答案] A2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解] A ，B ，C 成等差数列，下面用综合法给出证明： ∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3， ∴c a ＋b ＋ab ＋c＝1，∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°，∴A ＋C ＝120°＝2B ， ∴A ，B ，C 成等差数列．题型二 分析法的应用(重点保分题、共同突破)已知函数f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. [证明] 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0，由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．方法感悟(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[注意] 注意书写格式的规范性． 【针对补偿】 3．已知a >0，证明 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[证明] 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)＞0， 所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a ≥2. 因为a ＞0，a ＋1a ≥2显然成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立． 题型三 反证法的应用(重点保分题、共同突破)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p 、q 、r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．方法感悟应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．【针对补偿】4．(2018·济南模拟)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a ＜b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a ＞－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得a ＝1或b ＝3.因为b ＞1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a ＞－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(五十八)[A 基础巩固练]1．(2018·太原模拟)命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关[解析] 因为S n ＝2n 2－3n ，所以n ＝1时a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －2(n －1)2＋3(n －1)＝4n －5，n ＝1时适合a n ，且a n －a n －1＝4，故{a n }为等差数列，即命题成立．[答案] B2．(2018·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[解析]b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2，⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0 ⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. [答案] C3．(2018·上饶月考)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2[解析] 因为⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C. [答案] C4．(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义：∏k ＝1na k ＝a 1×a 2×…×a n ，则下列命题中的真命题是( )A.∏k ＝11 0072k 不能被10100整除B.∏k ＝12 015 (4k －2)∏k ＝12 014 (2k －1)＝22 015C.∏k ＝11 008(2k －1)不能被5100整除D.∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝∏k ＝12 015k[解析] 因为∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝∏k ＝12 015k ，故选D.[答案] D5．(2016·浙江卷)已知实数a ，b ，c ( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 [解析] 举反例排除法：A ．令a ＝b ＝10，c ＝－110，排除此选项，B ．令a ＝10，b ＝－100，c ＝0，排除此选项，C ．令a ＝100，b ＝－100，c ＝0，排除此选项．故选D. [答案] D6．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2； ⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.[答案] C7．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是______．[解析] 取a ＝2，b ＝1，得m <n .再用分析法证明：a －b <a －b ⇐a <b ＋a －b⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．[答案] m <n8．凸函数的性质定理为如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为______．[解析] ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. [答案] 3329．(2018·湖南省郴州市三模)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝__________.[解析] 通过等差数列的结论类比推理可得：若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝n －m d nc m. 证明如下：设等比数列的首项为b 1，公比为q ≠0.则b m ＝c ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1， 化为d n c m ＝b n －m 1·q (n －m )(n ＋m －1)，∴n －m d n cm ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . [答案] n －m d nc m10．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. [证明] a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．[B 能力提升练]1．(2018·福州模拟)设0<x <1，a >0，b >0，a ，b 为常数，a 2x ＋b 21－x的最小值是( ) A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )2[解析] ⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 21－x (x ＋1－x ) ＝a 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝a a ＋b 时，等号成立． [答案] C2．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[解析] 取两个球共有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a ，其中红球x 个，黑球y 个，x ＋y ＝a .则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k ＋j ＝x ；丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i ＋l ＝y ；黑球总数a ＝y ＋i ＋j ，又x ＋y ＝a ，故x ＝i ＋j ，由于x ＝k ＋j ，所以可得i ＝k ，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B.[答案] B3．(2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________.[解析] 设三张卡片分别为A (1,2)，B (1,3)，C (2,3)，由丙得数字和不是5，则丙的卡片可能为A 或B .若丙为A (1,2)，则乙为C (2,3)，甲为B (1,3)合题，若丙为B (1,3)，则甲、乙为相同数字2，不合题．[答案] 1和34．(2018·广东实验中学段考)已知点A (x 1，ax 1)、B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)、B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x [x ∈(0，π)]图象上的不同两点，则类似地有______成立．[解析] 由题意知，点A 、B 是函数y ＝a x (a ＞1)的图象上任意不同两点，函数y ＝a x (a＞1)图象下凸，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22<a x 1＋x 22成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上凸，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，因此可类比得到结论sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22. [答案] sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 225．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[证明] (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∵a ＞1，∴ax 2－x 1＞1且ax 1＞0，∴ax 2－ax 1＝ax 1·ax 2－x 1－1＞0.又∵x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a ＞1，∴0＜ax 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．[C 尖子生专练]已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.[解] (1)证明：∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0， 知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。