2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教案+习题
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________． 解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)题型一 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23． 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13． 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学案
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一．教学任务分析:（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标进行向量的运算. 二.教学情境设计:1．创设情景，揭示课题.（1）复习引入：平面向量基本定理：（注意4点 ） 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做向量的正交分解.(2)思考:在直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数表示,那么对于直角坐标平面内的每个向量,如何表示呢?2．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内任一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += …………○1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.。
结论．．1．：．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．． .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =则点A的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.结论2:在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.例1 :已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 结论3例2.如图,分别用基底i,j 表示a,b,c ，d,3．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=证明略结论4.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 特别的：AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1) （2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.证明略结论5.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例3: 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例4 .已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 新课标第一网例5已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.课堂练习成才之路53页巩固练习。
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点 解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使 当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0） 例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做 等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式 呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略） 七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。
2022年【学案】2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（学案）
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示〔学案〕一、学习目的:1深入了解平面向量根本定理；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示二、复习：平面向量根本定理：如果是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有,使练习．向量,求作向量=-2.5+3.三、预习讨论：阅读教材填空：1、平面向量的正交分解：叫做把向量正交分解．2、平面向量坐标表示：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得=，这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把叫做向量的坐标，记作其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,.显然,3、向量相等的坐标表示：那么三、典型例题例1：如图,分别用基底表示向量,并求出它们的坐标．解:例2:在同一直角坐标系内画出以下向量.例3：例4：下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③四、课堂检测：1.在平面直角坐标系中，点A时坐标为〔2，3〕，点B的坐标为〔6，5〕，那么=_______________，=__________________。
2.向量a=(x+3,x2-3x-4)与=〔2,0〕相等,求x.3.向量那么与的关系是〔〕A．不共线B．相等C．同向D．反向4.点A〔2，2〕B〔-2，2〕C〔4，6〕D〔-5，6〕E〔-2，-2〕F〔-5，-6〕在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。
5．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3) ，求证：四边形ABCD是梯形.。
高中数学2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示)教案新必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》优质课教案_0
平面向量的正交分解及坐标表示一、教材分析本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。
二、学情分析对于学生来说，向量是个新内容。
前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。
学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。
因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。
三、教学目标1．知识与技能（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)=；=，0(0,0)=，j(0,1)（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。
2．过程与方法学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
3．情感态度与价值观在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。
四、教学重点平面向量的坐标表示。
五、教学难点对平面向量坐标表示生成过程的理解。
突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。
六、教学方法启发式教学法七、教学过程（一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 师：倾斜角为30o 的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？【设计意图】引出课题。
人教版高中数学必修4学案 2.3.2平面向量的正交分解、 坐标表示
第二章平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算1．理解向量的坐标表示．2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．基础梳理一、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解．2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj．这样平面内的任一向量a都可由x、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．3．几个特殊向量的坐标表示． i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)．4．以原点O 为起点作向量OA→，设OA →＝x i ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )，就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA →的坐标．思考应用1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．二、向量的坐标运算1．两个向量和差的坐标运算．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．2．数乘向量的坐标运算． 若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )． 3．向量AB→的坐标表示． 若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．思考应用2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量AB→经过平移以后得到向量CD →，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．自测自评1．若O (0，0)，A (－1，3)且OB→＝3 OA →，则点B 的坐标为(B ) A ．(3，9) B ．(－3，9) C ．(－3，3) D ．(3，－3)解析：OB →＝3 OA →＝3(－1，3)＝(－3，9)，所以点B 的坐标为(－3，9)．故选B.2．已知MA →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，MB →＝⎝⎛⎭⎫2，6，则12AB →＝(D ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)3．已知A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，C ⎝⎛⎭⎪⎫－12，23，则(D )A.AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，13B.BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13C.CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，23D.AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13解析：AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，BC →＝(－1，1)，CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－23，AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13.故选D4．若点A ⎝⎛⎭⎫－2，1，B (1，3)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫－3，－2．基础提升1．若AB→＝()2，3，且点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(C ) A ．(1，1) B.()－1，1 C.()3，5 D.()4，42．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC 等于(A )A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC→＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A.3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于(B ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 4.设a ＝(4，－3)，b ＝(x ，5)，c ＝(－1，y )，若a ＋b ＝c ，则(x ，y )＝________．解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4＋x ，2)＝(－1，y )，∴⎩⎨⎧4＋x ＝－1，2＝y ，即⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝2，∴(x ，y )＝ (－5，2)． 答案：(－5，2)5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(－1，3)6．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC →等于(A)A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC →＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A. 巩固提高7．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F 3＝________．答案：()－3，－58．已知A ()2，3，B ()4，－3，点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，求点P 的坐标． 解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，得⎝⎛⎭⎫x －2，y －3＝32⎝⎛⎭⎫x －4，y ＋3， 即⎩⎨⎧2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫8，－15.9．已知A (－2，1)，B (1，7)，求线段AB 的三等分点P ，Q 的坐标(其中P 距点A 近)．解析：设P (x ，y )，∵P 为AB 的三等分点， ∴AP→＝13AB →，即(x ＋2，y －1)＝13(3，6)． ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2，⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3.∴P (－1，3)同理可求Q (0，5)．10．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF [已知若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2)]．证明：建立如下图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0， a )．设|DP →|＝λ(0＜λ＜2a )，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ，因为|EF→|2＝λ2－2a λ＋a 2， |PA→|2＝λ2－2a λ＋a 2， 所以|EF→|＝|PA →|，即EF ＝PA . 11．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试求t 为何值时：(1)点P 在x 轴？ (2)点P 在y 轴？ (3)点P 在第一象限？解析：∵OP→＝(1＋3t ，3t ＋2)，∴P (1＋3t ，3t ＋2)． (1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；(2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；(3)若点P 在第一象限上，则⎩⎨⎧1＋3t >0，2＋3t >0，t >－13.1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．。
高中数学 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学
第二章 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示【学习目标】掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握向量的坐标运算.【学习重点】向量的坐标运算【知识链接】平面向量的基本定理【基础知识】1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y 轴作一个向方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=……○1 我们把),(y x 叫做 ，记作),(y x a =……○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相等的向量的坐．．．．．．．标也为．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，（1）设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a += ，同理可得b a -= .结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即=a λ .结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= .结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.【例题讲解】例1已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ， 3a +4b 的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例3已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.【达标检测】1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.4.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则OA =_______________，OB =__________________。
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示学案
第 1 页 共 1 页§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一.学习目标:. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 二.探究（一）复习：平面向量基本定理1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。
（二）新知：问题1：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=,a =b ，则 叫做向量a与b 的夹角。
如果,θ=∠A O B 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a与b 同向；当时，表示a 与b 反向；当 时，表示a与b 垂直。
记作：a b ⊥ .在不共线的两个向量中，90θ= ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题2：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
几个特殊向量的坐标表示===___________,_________,___________i j o三、典型例题分析：1、已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），O 为原点，则OA =________，OB =_______。
2、已知向量 a 的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，且=||4a ，则 a 的坐标为__________。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算(学生学案)
SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章《平面向量》） 班级 姓名 座号2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示、2.3.3平面向量的坐标运算（学生学案）例1（课本P96例2） 如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.变式训练1：用基底i 、j 分别表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.。
例2：如图，已知),(11y x A ，),(22y x B ，求AB 的坐标。
变式训练2：已知点A （-1，-5）和a =(2,3)，若A B 3a =，则点B 的坐标为_____________ 例3课本P97例4） 已知a =(2,1)，b =(-3,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.变式训练3：已知a =(-1,2),b =(3,-5)，求a +b ，a-b ,3a ,2a +3b 的坐标.例4 （课本P97例5）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标.【课时作业】 一、选择题1.给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(－2,2)D.(2，－2)3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A.－2,1B.1，－2C.2，－1D.－1,24.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫－12，－5C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D .⎝⎛⎭⎫12，5 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( ) A.(1，－1) B.(－1,1) C.(－4,6) D.(4，－6)6.已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )A.B (5，－5)，M (0,0)B.B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4C.B (1,1)，M (0,0)D.B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 7.已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.8.已知A (－1,2)，B (2,8).若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD→的坐标为________.9.已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.10.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________.11.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________.(用a ，b 表示)12.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值.（提示：先建坐标系）13.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋t AB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由.【课本作业课外完成】 A 组： 1、（课本P101习题2.3 A 组 NO ：1） 2、（课本P101习题2.3 A 组 NO ：2） 3、（课本P101习题2.3 A 组 NO ：3） 4、（课本P101习题2.3 A 组 NO ：4） 5、（课本P101习题2.3 A 组 NO ：7） B 组： 1、（课本P101习题2.3 B 组 NO ：1）。
高中数学学案3：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示_2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算学习目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算.学习重点：平面向量的坐标运算.学习难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.学习过程知识梳理一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.练习.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC .规律方法利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a.由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x，y)，使得a=x i+y j.由于向量a与有序实数对(x，y)是一一对应的，因此，我们就把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y),其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定.设OA=x i+y j，则向量OA的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA=a，OB=b，以a、b为邻边作平行四边形，则OC=a+b.作BB′⊥x轴，垂足为B′，AA′⊥x轴，垂足为A′，CD⊥x轴，垂足为D，AC′⊥CD，垂足为C′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A .所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D =x 1+x 2，y C =C ′D +C ′C =y 1+y 2， 即OC =(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知=a ，=λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A =y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B =λy ， 即OB =(λx ，λy )，即λa =(λx ，λy ).同理可证当λ＜0时，结论也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.规律方法当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.例1.在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.方法归纳求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.例2.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP =OA +AB t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.巧解提示向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法. 课堂检测1.已知A (0，0)，B (21，31-)，C (21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量AB 的坐标为(21-，31) B.向量BC 的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+AB 的坐标为(0，31)2.在直角坐标系xOy 中，已知点A (3，2)、B (-2，4)，求向量+的方向和长度.参考答案学习过程知识梳理一、平面向量的正交分解1.练习.证明：设AB =a ，AC =b ，则BC =b -a . 又∵AD =21AB =21a ，AE =21AC =21b ， ∴=-=21b 21-a =21 (b -a ). ∴BC =2DE ，即△ABC 中，DE 21BC . 例1.解：设=a ，OQ =b ，=c ，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，||=2，所以a ==P P O '+'=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，|OQ |=3，所以b =OQ =Q O '+Q Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 例2.解：(1)=+t =(1+3t ，2+3t ).若P 在x 轴上，只需2+3t =0，即t =32-；若P 在y 轴上，只需1+3t =0，即t =31-； 若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)=(1，2)，=(3-3t ，3-3t ).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.课堂检测1.D 【解析】AB =(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +=(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 2.解：如图2-3-17,可知OA =(3，2)，OB =(-2，4).图2-3-17 设=+，则=+=(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设OC 相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量OA +OB 的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案新人教A版必修
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),则解得即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴解得(3)∵=3c,∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又=-2b,∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴=(9,-18).精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算导学案新必修_
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练 2 已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.
解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
( ) 即 b＝－2，3 2 3 3
－2， 2 ，
－，
( ) (2)→BA＝－2→AB＝2 23，. －323
(3)→OB＝→OA＋→AB＝(2 2，2 .2)＋(－32，323)
( ) ＝ 2
2－3，2 2
33 2＋
2
.
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以
∴C(1，
3)，D(12，
3 2 )，
∴→AB＝(2，0)，→AC＝(1， 3)，
→ BC＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)，
→ BD＝(1－2， 2
23－0)＝(－32，
23).
类型二 平面向量的坐标运算
例 2 已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设→AB＝a，→BC＝b，→CA＝c，且→CM＝3c，→CN＝－
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
＝(－21，1)
(2 1
3，3
)
(－7，2).
63 类型三 平－面向量坐＝标运算的应用
例 3 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若→AP＝→AB＋λ→AC(λ∈R)，试求 λ 为何值时：
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2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
一．教学任务分析:
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标进行向量的运算. 二.教学情境设计:
1．创设情景，揭示课题.
（1）复习引入：平面向量基本定理：（注意4点 ） 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做向量的正交分解.
(2)思考:在直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数表示,那么对于直角坐标平面内的每个向量,如何表示呢?
2．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、
y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内任一个向
量
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
yj xi a += …………○1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，
记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○
2式叫做向量的坐标表示.。
结论．．1．：．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．． .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =则点A
的位置由a 唯一确定.
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.
结论2:在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
例1 :已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 结论3例2.如图,分别用基底i,j 表示a,b,c ，d,
3．平面向量的坐标运算
（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，
b a -),(2121y y x x --=证明略
结论4.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 特别的：AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1) （2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.证明略
结论5.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例3: 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.
例4 .已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 新课标第一网
例5已知三个力
1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.
课堂练习成才之路53页巩固练习。