四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=(1+i)(1−2i)，则z的虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i【答案】C【解析】解：∵z=(1+i)(1−2i)=3−i，∴z的虚部为−1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={x|x>−2}，B={x∈Z|x<3}，则A∩B=()A. {x|−2<x<3}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {−1,0，1，2}【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x>−2}，B={x∈Z|x<3}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 13【答案】B【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，∴这2个球中有白球的概率是p=mn =915=35．故选：B．从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，由此能求出这2个球中有白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则该双曲线的离心率是()A. √6B. √5C. 2D. √3【答案】B【解析】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)可得双曲线的渐近线方程是y=±bax结合题意双曲线的渐近线方程是y=±2x，得ba=2∴b=2a，可得c=√a2+b2=√5a因此，此双曲线的离心率e=ca=√5．故选：B．设双曲线的方程为设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，可得它的渐近线方程是y=±bax，结合题意解出b=2a，再利用平方关系算出c=√5a，根据离心率公式即可得出此双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.若函数f(x)=2×a x+m−n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(−1,4)，则m+n=()A. 3B. 1C. −1D. −2【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=2×a x+m−n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(−1,4)，∴m−1= 0，且2⋅a m−1−n=4，解得m=1，n=−2，∴m+n=−1，故选：C．根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得m−1=0，且2⋅a m−1−n=4，求得m 和n的值，可得m+n的值．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．6.已知棱长都为2的正三棱柱ABC−A1B1C1的直观图如图，若正三棱柱ABC−A1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：四个选项高都是2，若侧视图为A ，中间应该有一条竖直的实线或虚线． 若为C ，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线． 若为D ，则长应为√3，而不是1． 故选：B ．根据所给视图，用排除法可得本题考查三视图，主要是考查空间想象能力，为基础题．7. 在平行四边形ABCD 中，M 是DC 的中点，向量DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16a⃗ −23b ⃗ B. −16a⃗ +13b ⃗ C. 16a⃗ +76b ⃗ D. 16a⃗ −13b ⃗ 【答案】A【解析】解：根据题意画图如下：则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ， DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −23b ⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DN ⃗⃗⃗⃗⃗ −DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −23b ⃗ −12a ⃗ =16a ⃗ −23b ⃗ ， 故选：A ．本题主要是根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．本题主要考查向量的减法和数乘运用，本题要画图更易于理解，属基础题．8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0,a 1=12，S n <2，则{a n }的公比的取值范围是( )A. (0,34]B. (0,23]C. (0,34)D. (0,23)【答案】A【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠1． ∵a n >0,a 1=12，S n <2， ∴12×qn−1>0，12(1−q n )1−q<2，∴1>q >0．∴1≤4−4q ，解得q ≤34．综上可得：{a n }的公比的取值范围是：(0,34]． 故选：A ．设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠1．a n >0,a 1=12，S n<2，可得12×q n−1>0，12(1−q n )1−q<2，1>q >0.1≤4−4q ，解得q 范围．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在半径为2的球面上，AB =BC =CA =2√2，PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P −ABC 的体积为( )A. √6B. 2√2C. 94D. 83【答案】D【解析】解：如图，取BC 中点D ，连接AD ，则AD =√(2√2)2−(√2)2=√6， 设三角形ABC 的中心为G ，则AG =2√63， 又球O 得半径为2，则OG =(2√63)=2√33，则PA =4√33． ∴三棱锥P −ABC 的体积为V =13×12×2√2×√6×4√33=83．故选：D ．由题意画出图形，求出三棱锥的高，则体积可求．本题考查球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．10. 要得到函数y =sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =cos(π6−2x)的图象( )A. 向右平移π24个单位 B. 向左平移π24个单位 C. 向右平移π12个单位D. 向左平移π12个单位【答案】A【解析】解：函数y =cos(π6−2x)=cos(2x −π6)的图象， 转换为：y =sin(π2+2x −π6)=sin(2x +π3)， 将函数的图象向右平移π24个单位， 得到y =sin(2x +π4)的图象．故选：A ．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11. 过直线3x −4y −14=0上一点P ，作圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的切线，切点分别为A 、B ，则当四边形PACB 面积最小时直线AB 的方程是( )A. 4x −3y +2=0B. 3x −4y +2=0C. 3x −4y −2=0D. 4x −3y −2=0【答案】B 【解析】解：根据题意，圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的圆心C 为(−1,2)，半径r =3；P 为直线3x −4y −14=0上一点，PA 、PB 为圆C 的切线，则PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，则有|PA|=|PB|=√|PC|2−r 2=√|PC|2−9， 则S 四边形PACB =2S △PCA =2×12×|CA|×|PA|=3√|PC|2−9，则当|PC|取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线3x −4y −14=0垂直， 且|CP|=|3×(−1)−4×2−14|√32+(−4)2=5，则C 到AB 的距离d =95，又由CP ⊥AB ，则直线AB 与直线3x −4y −14=0平行，且设AB 的直线方程为3x −4y −m =0， 则有d =|3×(−1)−4×2−m|√32+(−4)2=95，解可得：m =−2或−20(舍)，则直线AB 的方程为3x −4y +2=0； 故选：B ．根据题意，分析圆C 的圆心与半径，由切线长公式可得|PA|=|PB|=√|PC|2−r 2=√|PC|2−9，进而可得S 四边形PACB =2S △PCA =2×12×|CA|×|PA|=3√|PC|2−9，分析可得当|PC|取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线3x −4y −14=0垂直，则有直线AB 与直线3x −4y −14=0平行，设AB 的直线方程为3x −4y −m =0，由相似三角形的性质求出C 到AB 的距离d ，由点到直线的距离公式可得d =|3×(−1)−4×2−m|√32+(−4)2=95，解可得m 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆方程的应用，关键是分析“四边形PACB 面积最小”的条件．12. 若关于x 的不等式ln2x+1x≤ax +b 成立，则ba 的最小值是( )A. −12eB. −1eC. 1eD. 12e【答案】A【解析】解：令f(x)=ln2x+1x,f ′(x)=1x⋅x−ln2x x 2=1−ln2x x 2，x ∈(0,12),f ′(x)>0，函数单调递增，x ∈(12,+∞),f ′(x)<0，函数单调递减，且x >0时，f(x)>0，绘制函数f(x)的图象如图所示，满足题意时，直线y =ax +b 恒不在函数f(x)图象的下方， 很明显a <0时不合题意，当a >0时，令ax +b =0可得：ba =−x ， 故ba 取到最小值时，直线在x 轴的截距最大， 令f(x)=0可得：x =12e ,−x =−12e ， 据此可得：ba 的最小值是−12e ． 故选：A ． 构造函数f(x)=ln2x+1x，利用函数图象的性质数形结合确定ba 最小值即可．本题主要考查导函数研究函数图象的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }中，若a n+1=a n +3，a 2+a 8=26，则a 12=______． 【答案】34【解析】解：∵a n+1=a n +3，∴数列{a n }为等差数列，其公差d =3， ∵a 2+a 8=26， ∴2a 1+8d =26， ∴a 1=1，∴a 12=1+11×3=34， 故答案为：34先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案． 本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．14. 二项式(x −12√x )9的展开式中常数项是______． 【答案】2116【解析】解：二项式(x −12√x )9的展开式的通项公式为T r+1=C 9r ⋅(−12)r x 9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =6，可得展开式中常数项是C 96⋅(−12)6=2116， 故答案为：2116．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15. 已知奇函数f(x)是定义在R 上的单调函数，若函数g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)恰有4个零点，则a 的取值范围是______． 【答案】(0,1)【解析】解：∵g(−x)=f(x 2)+f(a −2|x|)=g(x)， ∴g(x)是偶函数，若g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)恰有4个零点， 等价为当x >0时，g(x)有两个不同的零点， ∵f(x)是奇函数，∴由g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)=0， 得f(x 2)=−f(a −2|x|)=f(2|x|−a)， ∵f(x)是单调函数， ∴x 2=2|x|−a ， 即−a =x 2−2|x|，当x >0时，−a =x 2−2|x|有两个根即可， 当x ≥0时，等价为，−a =x 2−2x ， 设ℎ(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，要使当x >0时，−a =x 2−2|x|有两个根， 则−1<−a <0，即0<a <1， 即实数a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1)利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．16. 已知直线kx −y −k =0(k >0)与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ，O 为坐标原点，若S △OBM ：S △OBA =1：2，则k =______．【答案】2√2【解析】解：联立{y 2=4x y=k(x−1)消去x 得y 2−4k y −4=0， 设A(x 1,y 1)(y 1>0)，B(x 2,y 2)，则M(−1,y 2)， 则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4，∵k OM =y 2−1=−y 2=4y 1，k OA =y 1x 1=4y 1，∴A ，O ，M 三点共线，∴S △OBM ：S △OAB =|OM|：|OA|=1：2， ∴|OA|2=4|OM|2， x 12+y 12=4(1+y 22)，x 12+4x 1=4(1+16y 12)，x 12+4x 1=4(1+164x 1)，(x 12−4)(1+4x 1)=0，∵x 1>0，∴x 1=2，∴A(8,2√2)，∴k =2√2−02−1=2√2，故答案为：2√2．先证明A ，O ，M 三点共线，再将面积比为1：2转化为|OM|：|OA|=1：2，由此求出A 的坐标，再用斜率公式求出斜率．本题考查准线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用.属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =45∘，∠BAD =105∘，AD =√62，BC =2，AC =3．(1)求边AB 的长及cos∠ABC 的值； (2)若记∠ABC =α，求sin(2α−π3)的值． 【答案】解：(1)∵∠ADB =45∘，∠BAD =105∘， ∴∠ABD =30∘， ∵AD =√62，BC =2，△ABD 中，由正弦定理可得，ABsin45∘=√62sin30∘，∴AB =√3， ∵AC =3．△ABC 中由余弦定理可得，cos∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=3+4−92×2√3=−√36(2)由(1)可得cosα=−√36∴sinα=√336∴sin2α=2sinαcosα=−√116，cos2α=2cos 2α−1=−56∴sin(2α−π3)=12sin2α−√32cos2α=5√3−√1112． 【解析】(1)由已知可求∠ABD ，△ABD 中，由正弦定理可求AB ，△ABC 中由余弦定理，cos∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC可求(2)由(1)可得cosα，进而可求sinα，进而根据二倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α−1可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及两角差的正弦公式的综合应用．18. 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x12 3 4 5 6 78感染者人数y(单位：万人)34.338.343.353.857.765.471.8 85(1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；(2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(3)建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：√42≈6.48；∑i =18y i =449.6，∑i =18x i y i =2319.5，√∑i =18(y i −y −)2=46.2， 参考公式：相关系数r =i −i −√∑i=1n(x i −x −)2∑i=1n(y i −y −)2，回归方程y ^=b ^x +a ^中，b ̂=∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)∑i=1n(x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．【答案】解：(1)我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示(2)∵x −=92,y −=56.2，∴∑i =18(x i −x −)(y i −y −)=∑i =18x i y i −8x −y −=296.3，√∑i =18(x i −x −)2∑i =18(y i −y −)2=√42×46.2=299.376， ∴r =∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)√∑i=1n(x i −x −)2∑i=1n(y i −y −)2≈0.99．故具有强线性相关关系．(3)∵b ̂=∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)∑i=1n(x i −x −)2=296.342≈7.05，a ̂=y −−b ̂x −=56.2−7.05×4.5≈24.48，∴y ̂=7.05x +24.48．当x =9时，y =7.05×9+24.48=87.93．故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为87.93万人． 【解析】(1)由所给的数据绘制折线图即可；(2)由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即可；(3)首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19. 如图，四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，EF//AC ，CF//平面BDE ，G 是AB 中点． (1)求证：EG//平面BCF ； (2)若AE =AB ，∠BAD =60∘，求二面角A −BE −D 的余弦值．【答案】证明：(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，∵四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，EF//AC ，CF//平面BDE ， ∴OE//CF ，∴EF =AO =CO ，∴OF ⊥平面ABCD ， 设OA =a ，OB =b ，AE =c ，以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则E(a,0，c)，G(a 2,b2,0)，B(0,b ，0)，C(−a,0，0)，F(0,0，c)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ，−c)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，−c)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,−b2,−c)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =by −cz =0n ⃗ ⋅FC⃗⃗⃗⃗⃗ =−ax −cz =0，取z =b ，得n⃗ =(−bc a ,c ，b)， ∵n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2)⋅(−bc a )+b2⋅c +(−c)⋅b =0，EG ⊄平面BCF ，∴EG//平面BCF ．解：(2)设AE =AB =2，∵∠BAD =60∘，∴OB =1，OA =√3， ∴A(√3,0,0)，B(0,1，0)，E(√3,0,2)，D(0,−1,0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设平面ABE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y +2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,0)， 设平面BDE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y =0，取x =2，得m⃗⃗⃗ =(2,0，−√3)， 设二面角A −BE −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4⋅√7=√77． ∴二面角A −BE −D 的余弦值为√77．【解析】(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，推导出OE//CF ，OF ⊥平面ABCD ，以O为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EG//平面BCF ．(2)求出平面ABE 的法向量和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角A −BE −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知点M 到定点F(4,0)的距离和它到直线l ：x =254的距离的比是常数45．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于A 、B 两点，求证：△FAB 的周长为定值． 【答案】解：(1)设M(x,y)由题意得√(x−4)2+y 2|x−254|=45， ∴x 225+y 29=1为轨迹C 的方程；证明：(2)法一：设A(x 1,y 1)，A 到l 的距设为d ，|AF|d=45，∴|AF|=45d =45|254−x 1|，∵x 1∈[−5,5]， ∴|AF|=5−45x 1，∵x 1225+y 129=1，∴|AN|=√(x 12+y 12)−9=45x 1，∴|FA|+|AN|=5−45x 1+45x 1=5，同理|FB|+|BN|=5，∴|FA|+|FB|+|AB|=10， ∴△FAB 的周长为定值10．法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题知k >0，m <0， ∵直线l ：y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切∴|m|√k 2+1=3，即m 2=9(k 2+1)=1，把y =kx +m 代入x 225+y 29=1得(25k 2+9)x 2+50kmx +25m 2−225=0 显然△>0,x 1+x 2=−50km 25k 2+9,x 1x 2=25m 2−22525k 2+9，∴|AB|=√k 2+1|x 1−x 2|=√k 2+1√(−50km25k 2+9)2−4×25m 2−22525k 2+9=120k√k 2+125k 2+9，|FA|+|FB|=5−45x 1+5−45x 2=10−45(x 1+x 2)=10+40km25k 2+9=10−120k√k 2+125k 2+9∴|FA|+|FB|+|AB|=10， ∴△FAB 的周长为定值10．【解析】(1)由椭圆的定义可知：M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的椭圆，然后即可求得其方程．(2)法一：设A(x 1,y 1)，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，法二，联立直线和圆的方程，可得m 与k 的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理，弦长公式，求出△ABD 的三条边，即可求△ABD 的周长．本题考查椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．21. 已知函数f(x)=axlnx x−1．(1)当a =1时，判断f(x)有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；(2)若f(x)<x +1，求a 的取值范围． 【答案】解：函数f(x)=axlnx x−1，则x >0且x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞)；……………………(1分) (1)当a =1时，f(x)=xlnxx−1，则f′(x)=x−lnx−1(x−1)2，………………………(2分)令g(x)=x −lnx −1，则g′(x)=1−1x =x−1x，①当x ∈(0,1)时，，g(x)为减函数，g(x)>g(1)=0， 0'/>，f(x)无极值点；②当x ∈(1,+∞)时，0'/>，g(x)为增函数，g(x)>g(1)=0， 0'/>，f(x)无极值点；综上，当a =1时，f(x)没有极值点； ………………………(4分)(2)由f(x)<x+1，得axlnxx−1<x+1，即xx−1(alnx−x+1x)<0；令ℎ(x)=alnx−x+1x ，则ℎ′(x)=ax−1−1x2=−(x2−ax+1)x；………………………(5分)①当a≤0时，x∈(0,1)时{x−1<0lnx<0；x∈(1,+∞)时{x−1>0lnx>0，∴axlnxx−1<x+1成立，即a≤0符合题意；………………………(7分)②当0<a≤2时，x2−ax+1≥2x−ax≥0，；当x∈(0,1)时，ℎ(x)为减函数，ℎ(x)>ℎ(1)=0，∴xx−1(alnx−x+1x)<0成立；当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)为减函数，ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴xx−1(alnx−x+1x)<0成立；即0<a≤2符合题意；………………………(9分)③当a>2时，由，得x2−ax+1=0，且△=a2−4>0；设x2−ax+1=0两根为x1，x2(x1<x2)，∴x1+x2=a>0，x1x2=1，∴0<x1<1< x2；由0'/>，得x2−ax+1<0，解集为(x1,1)∪(1,x2)，∴ℎ(x)在(x1,1)上为增函数，ℎ(x1)<ℎ(1)=0，∴x1x1−1(alnx1−x1+1x1)>0，∴a>2不合题意；………………………(11分)综上，a的取值范围是(−∞,2].………………………(12分)【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，计算a=1时函数的导数，利用导数等于0判断函数f(x)是否有极值点；(2)由f(x)<x+1得axlnxx−1<x+1，转化为xx−1(alnx−x+1x)<0，设ℎ(x)=alnx−x+1x，利用导数讨论ℎ(x)的单调性和极值，从而求出不等式成立时a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是难题．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ−π3)=√3，l与x轴交于点M．(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|、|AB|、|MB|成等比数列，求p的值．【答案】解：(1)由2ρsin(θ−π3)=√3，得，ρsinθ−√3ρcosθ=√3,y=√3x+√3，∴l的直角坐标方程y=√3x+√3．令y=0得点M的直角坐标为(−1,0)，∴点M的极坐标为(1,π)．(2)由(1)知l的倾斜角为π3，参数方程为{x =−1+12ty =√32t，(t 为参数)代入y 2=2px ， 得3t 2−4pt +8p =0， ∴t 1+t 2=4p 3,t 1t 2=8p 3．∵|AB|2=|MB|⋅|MA|， ∴(t 1−t 2)2=t 1t 2， ∴(t 1+t 2)2=5t 1t 2． ∴(4p3)2=5×8p 3，∴p =152．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 设函数f(x)=|x −a|．(1)若关于x 的不等式f(x)+b <0的解集为(−1,3)，求a ，b 的值； (2)若g(x)=2f(x)+2f(x+1)，求g(x)的最小值． 【答案】(1)解：由f(x)+b >0得，|x −a|<−b ， 当b ≥0时，不合题意；当b <0时，a +b <x <a −b ，………………………………(3分) 由已知得{a −b =3a+b=−1，∴{b =−2a=1，综上，a =1，b =−2………………………………(5分)(2)g(x)=2|x−a|+2|x+1−a|≥2√2|x−a|×2|x+1−a|=2√2|x−a|+|x +1−a| ≥2√2|(x−a)−(x+1−a)|=2√2………………………(4分) ∴当{(x −a)(x +1−a)≤0|x−a|=|x+1−a|，即x =a −12时，g(x)有最小值，最小值是2√2……………(5分)【解析】(1)通过讨论b 的范围，得到关于a ，b 的方程组，解出即可； (2)根据基本不等式的性质求出g(x)的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。