2019_2019学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的.ppt
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直
2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(2)
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
tan60 3 当α是锐角时， tan( a 135 k tan135 180 135 ) tan( 180 ) tan
tan45 1
180 150 ) a 150 k tan150 tan(
A
y
a
C D
x x o
x
o
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;
_新教材高中数学第二章平面解析几何2
1．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方 向向量吗？ 提示：(1，1).
2．如果a ＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ 提示：(2，1).
已知直线l经过点A(－1，3)与B(2，0)，则直线l的一个方向向量为________，斜 率k＝________，倾斜角θ＝________． 解析：―A→B ＝(3，－3)＝3(1，－1)，
知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴 相交 ，
将x轴绕着它们的交点按 逆时针 方向旋转到与直线重合时所转的 最小正角 记为 θ，则称θ为这条直线的倾斜角；
(2)范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合 的直线的倾斜角为0°.
2．2 直线及其方程
2．2.1 直线的倾斜角与斜率
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置 数学抽象
的几何要素
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直 直观想象
线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量 数学运算
求直线的方向向量或法向量
[例4] 已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向
量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解]
―→ AB
＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方
向向量垂直，法向量可以为(－1，1).因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
高中数学 第二章 解析几何初步2.1.2.1 直线方程的点斜式
一般式推导
01 已知直线上一点$P_1(x_1, y_1)$和斜率k，则直线 的点斜式为$y - y_1 = k(x - x_1)$。
02 将点斜式展开，得到$y = kx - kx_1 + y_1$。
02 整理后可得一般式：$kx - y + (y_1 - kx_1) = 0$ ，其中A=k，B=-1，C=$y_1 - kx_1$。
已知直线上一点和斜率，可以直接套用点斜式求 出直线方程。
02 判断两直线是否平行
若两直线斜率相等且不重合，则两直线平行。利 用点斜式可以方便地求出两直线的斜率并进行比 较。
03 解决与直线相关的问题
如求点到直线的距离、判断点是否在直线上等， 都可以通过点斜式进行求解。
03
两点式直线方程
两点式定义
直线方程形式
点斜式
已知直线上一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$，则直线方程可 表示为 $y - y_1 = m(x - x_1)$。
斜截式
已知直线斜率 $m$ 和在 $y$ 轴上的截距 $b$，则直线方程可 表示为 $y = mx + b$。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直线 方程可表示为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
直线方程在几何中的应用
平行与垂直判断
平行直线
两条直线的斜率相等且不重合， 则这两条直线平行。
垂直直线
两条直线的斜率互为相反数的倒 数，则这两条直线垂直。
距离计算
点到直线距离
利用点到直线距离公式，可以求出点 到直线的垂直距离。
高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程第2课时直线的两点式方程与一般式方程
提示由
7-2
=
-3
,整理得
4-3
5x-y-13=0.
.
)
3.两点式表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过
两点的直线了?
提示两点式除了不适用于斜率为0与斜率不存在的直线,其他情况均可表
-1
-1
示;只需将 - = - 变形为(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能适用
x
并化简为
a
+
y
=1 的形式,这一方程形式通常称为直线的截距式方程,其中 a 是
b
直线在 x 轴上的截距,b 是直线在 y 轴上的截距.
(2)若直线 l
x
的方程为a
+
y
=1,则
b
①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ a2 + b 2 ;
②直线与坐标轴围成的三角形的面积为
1
S=2|ab|;
-5-0
所以得5x-3y-25=0.
=
-5
,
2-5
)
2.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为(
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
x-y=0或x+y-3=0
x-y=0或x-y+1=0
)
答案 D
解析 当直线过原点时,可得斜率为
2-0
k= =2,
1-0
所以直线方程为 y=2x,即 2x-y=0;
用两点式方程求直线方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式方程求直线方程时常会将字母或数字
的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应
【数学】2.1.2 直线的方程 课件(北师大必修2)
思考4:若直线l在两坐标轴上的截距 相等，且都等m，则直线l的方程 如何？ x+y=m
知识探究（四）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式方程都是关于x，y的 方程，这些方程所属的类型是什么？ 思考2:二元一次方程的一般形式是 什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一 条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的 形式吗？ 思考4:关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）， 当B=0时，方程表示的图形是什么？ 当B≠0时，方程表示的图形是什么？
第二章 解析几何初步
2.1.2 直线的方程
问题提出
1 5730 p 2
t
1.若两条不同直线的斜率都存在， 如何判定这两条直线互相平行、垂 直？
l1 // l2 k1 k2
l1 l2 k1 k2 1
2.在直角坐标系中，直线上的点 的坐标具有一定的内在联系，如何 通过代数关系反映这种内在联系， 有待我们进行分析和探究.
A1A2+B1B2=0
思考3:当A，B，C分别为何值时，直 线Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？ 与x轴重合？与y轴重合？过原点？
思考4:过点P(x0，y0)，且与直线l： Ax+By+C=0平行的直线方程如何？
思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在什么条件下有l1⊥l2？
知识探究（三）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0， b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方 程如何？ 思考2:直线l的方程可化为 其中a，b的几何意义如何？
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
高中数学 第二章 平面解析几何初步 第18课时 2.2.2 直线方程的几种形式——点斜式、斜截式课时
第18课时直线方程的几种形式——点斜式、斜截式
课时目标
1.掌握由直线上一点和斜率导出直线方程的方法．
2．掌握直线方程的点斜式、斜截式．
3．掌握待定系数法求直线方程．
识记强化
1．直线方程的点斜式：过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.
2．直线方程的斜截式：直线过点(0，b)且斜率为k，则直线的方程为y＝kx＋b，
其中b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距．
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案：C
解析：直线y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
2．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝－x－1
C．y＝x＋1 D．y＝x－1。
2019版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 第1课时 两条直线相交
第一课时两条直线相交、平行与重合的条件1.下列说法正确的是( C )(A)若两条直线平行,则它们斜率相等(B)若两直线斜率相等,则它们互相平行(C)若两条直线一条直线斜率不存在,另一条斜率存在,则它们一定不平行(D)若两条直线的斜率都不存在,则它们互相平行解析:由两直线位置关系:平行,重合,相交可知,B,D都不正确.而A中可能斜率不存在,故A不正确,故选C.2.直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( D )(A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合解析:当mn≠0时,l1与l2重合;当m=n=0时,l1与l2可能相交,也可能重合,故选D.3.l1经过点A(m,1)、B(-3,4),l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,则m的值为( A )(A)3 (B)-1 (C)-3 (D)1解析:显然m≠-3,k AB==,k CD==-.又因为l1∥l2,所以=-,即m=3.故选A.4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( D )(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0(C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0解析:由中心对称知识可知:所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可设所求直线为2x+3y+c=0.在2x+3y-6=0上任取一点(3,0),则(3,0)关于点(1,-1)的对称点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(-1)+3× (-2)+c=0,即c=8,故选D.5.满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是( D )①l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8);②l1经过点P(3,3), Q(-5,3), l2平行于x轴,但不经过P点;③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③解析:①由l1斜率k1=2,l2斜率k2==2,则l1∥l2;②由k1==0,k2=0,则l1∥l2;③k1==,k2==,则l1∥l2.故选D.6.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0.求:(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.解:(1)设与l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0,将A(-2,1)代入,得-4-3+c=0,解得c=7,故所求直线方程是2x-3y+7=0.(2)因为A(-2,1),B(4,3),所以线段AB的中点是M(1,2),设两直线的交点为N,联立解得交点N(2,1),则k MN==-1,故所求直线的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.7.已知集合A={(x,y)|x+a2y+6=0},集合B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若A∩B=∅,则a的值是( D )(A)3 (B)0 (C)-1 (D)0或-1解析:A∩B=∅,即直线l1:x+a2y+6=0与l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行,令1×3a=a2(a-2),解得a=0或a=-1或a=3.a=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2.a=-1时,l1:x+y+6=0,l2:-3x-3y-2=0.l1∥l2.a=3时,l1:x+9y+6=0,l2:x+9y+6=0,l1与l2重合,不合题意.所以a=0或a=-1.8.如果直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0相交于第一象限,则实数a的取值范围是( A )(A)-1<a<2 (B)a>-1(C)a<2 (D)a<-1或a>2解析:法一将直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的方程联立解得(a+1)x=6,要使交点在第一象限,则应使a+1>0,所以a>-1,再由(a+1)y+2a-4=0,y=>0,解得-1<a<2,所以-1<a<2.法二如图由y-4=-ax可知:直线ax+y-4=0表示经过定点(0,4),且斜率k=-a的直线,当直线ax+y-4=0与x-y-2=0在第一象限相交时,即过点(0,4)的直线,从直线l1的位置(过点(2,0)),沿逆时针旋转到直线l2的位置.(平行于x-y-2=0)此时直线的斜率k的取值范围是-2<k<1,又k=-a,所以-2<-a<1,即-1<a<2,故选A.9.P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线与l的关系是( B )(A)重合(B)平行(C)垂直(D)位置关系不定解析:因为P1点在直线l上,所以f(x1,y1)=0,又因为P2点不在直线l上,所以f(x2,y2)≠0,所以f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0,即f(x,y)+f(x2,y2)=0,所以直线l与方程表示的直线平行.10.已知两直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),则过两点P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程是.解析:因为直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),所以故过P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程为2x+3y+3=0.答案:2x+3y+3=011.若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能构成三角形,求m的值.解:显然l1与l3不平行,当l1∥l2或l2∥l3时不能构成三角形,此时对应m的值分别为m=4,m=-1;当直线l1,l2,l3经过同一点时,也不能构成三角形.由得代入l2的方程得-m+1=0,即m=1.综上可知,m=4或m=-1或m=1.12.已知直线l1:(m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+3=0,当m为何值时,满足下列条件(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.解:(1)A1B2-A2B1=(m-2)(m-2)-2×2=(m-2)2-4≠0,得m≠4且m≠0,所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交.(2)由A1B2-A2B1=0得m=0或m=4,当m=0时,两直线方程分别为-2x+2y-2=0,2x-2y+3=0,此时l1∥l2;当m=4时,两直线方程为2x+2y+2=0,2x+2y+3=0,此时l1∥l2,故m=0或m=4,两直线l1∥l2.(3)由(2)知:直线l1与l2不可能重合.。
高中数学 2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
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栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
1．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为
30°，求直线l的方程．
分析：求出直线l的倾斜角及相应的斜率，再利用点斜式方
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程求解．
栏
目 链
预习
接
典例
解析：∵直线 y＝ 3(x－1)的斜率为 3， ∴其倾斜角为 60°，且过点(1，0)． 又直线 l 与直线 y＝ 3(x－1)的夹角为 30°，且过点(1，0)，由 右图可知，直线 l 的倾斜角为 30°或 90°. ∴直线 l 的方程为 y＝ 33(x－1)或 x＝1.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
的两点式方程得2y－－00＝－x－2－33.
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整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程． 直线AB经过A(－2，2)，B(3，2)，由于其纵坐标相等， 可知其方程为y＝2.
栏
目 链
预习
接
典例
直线BC经过B(3，2)，C(3，0)，由于其横坐标相等，可
知其方程为x＝3.
规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的 横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式 方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求 解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
直线的方向向量与法向量课件-2024-2025学年高二数学课件(湘教版2019选择性必修第一册)
由此得到直线l的方程： A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
当P，Q不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线l的全体方向向量， 所以向量(A，B)垂直于直线的全体方向向量．
3x＋4y－12=0． ②
②－①得 3(x－x0)＋4(y－y0) = 0． ③
将③式的左边写出数量积的形式，得 (3，4)∙(x－x0，y－y0) = 0． ④
当PQ不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线的全体方向向量，
由④可知，PQ与向量(3，4)垂直，因此这条直线与向量(3，4)垂直．
这说明过定点P及任意点Q的线段垂直于n = ON ， 动点Q组成的图形就是过定点P且与ON垂直的直线l ．
反之，作与直线l垂直的非零有向线段ON我们取向量n = ON =(A，B)． 已知直线l上一个定点P(x0， y0)，则平面上任一点Q(x，y)在直线上的充分必 要条件为ON⊥PQ．
用向量运算叙述出来就是：
直线的一般式方程 Ax＋By＋C=0的一次项系数组成的向量(A，B)是直 线的法向量．
反过来，已知直线的法向量(A，B)，就知道了一般式方程 Ax＋By＋ C=0的一次项系数．将直线上任一已知点(x0， y0)的坐标代入该方程，就可 由Ax0＋B y0＋C=0得到待定常数C=－Ax0－B y0，进而得到直线方程 Ax＋By－Ax0－B y0=0．
适用范围 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴 和经过原点的直线
一般式
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）