大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系 张晚云
T
2.简谐振动的动力学问题举例（两种类型）
类型Ⅰ 证明或判断振动物体是否作简谐运动
动力学方法
判断简谐运动的依据：
能量法 动力学方法的步骤： ①确定振动系统，以平衡位置处为原点建立坐标； ②分析处于任意位置处系统各物体的受力情况； ③列出各物体的动力学方程，与上述微分方程比较。 能量法的步骤： ①确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒； ②以平衡位置为原点建立坐标,写出任意位置机械能； ③把上述结果对时间求一阶导数，并将所得结果与简谐振动 的动力学判据进行比较。 类型Ⅱ 物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动
b、确定相位差或时间差
同一振动： t
t
A
0

t x

x0
t =0 x
同频率不同振动：
2 1
c、解决振动合成问题
理学院物理系
x A cos( t )
张晚云
四、简谐振动的能量
1 2 1 1 2 1 2 E k m E P kx E E P E K kA m 2 A2 2 2 2 2
理学院物理系 张晚云
例1. 某液体的密度随深度的增加而线性增大，且已 2 ρ0。现有 知其表面处及深度为D处的密度分别为ρ0 、 一密度为 2 ρ0 的小球于深度为D/2处由静止开始下落。 若忽略液体阻力，试求该物体的运动方程。
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张晚云
例2. 如图所示，在倾角为 θ 的斜面上有一倔强系数 为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心 圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略 轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。
张晚云
三、简谐振动的三种表示方法
1、 解析表达法
A
2、 振动曲线法
x x t 图
T 2
T
o
A
t
3、 旋转矢量法
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三、简谐振动的三种表示方法
1、 解析表达法
A
2、 振动曲线法
x x t 图
T 2
T
o
A
t
3、 旋转矢量法
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Байду номын сангаас
张晚云
注意：熟练掌握旋转矢量法！ a、确定初相位
1
01
o
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三、阻尼振动与受迫振动问题举例 1. 固有频率为 0的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下， 受到频率为 2 0 的余弦策动力作用，作受迫振动并达到 稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策 动力，此后作振幅A′的自由振动，则A′与A的关系 为 。 提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。 振子受稳态受迫振动时， 在平衡位置处的速率为：
2R 小球1作自由下落： t1 g
T 小球2作简谐振动： t 2 4 2
R g
A
t1 2 2 t2
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例2. 一摆钟在g=9.800(SI)处走时准确，如移至另一 地点后，每天慢10s，求该地的重力加速度值。
l 两边同时微分，得： g T T g 2g T g T 2g 86400 T 1s 标准钟的秒摆周期T=1s,移地后的周期：
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机械振动知识小结
一、简谐振动的定义（判据）
1、弹性回复力
2、动力学方程
3、运动学方程 其速度、加速度也有简谐振动的特征
2
T
AA cos( t sin( t ) )
2
2 AA cos( t t a cos( ))
k
x0
自然位置 平衡位置
θ
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例2. 如图所示，在倾角为 θ 的斜面上有一倔强系数 为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心 圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略 轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。
k
fk
自然位置 平衡位置
x0 x
R mg
mg sinθ
fr θ
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二、简谐振动的三个特征量
1、振幅
A
υ0 2 x0 2 ω
2
注意弹簧的串、并联 及弹簧自身质量的影响
2、角频率 3、初相位
ω弹
k m
ω单
g ω复 l
mglc I
υ0 tanφ ω x0
或由旋转矢量法确定
同一振动中位相差 与时间差的关系：
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Δφ Δt ω
1、 由能量求振幅 2、 由能量求角频率
E ( x, υ) 常数
2 E0 A k
d x m 2 kx 0 dt
2
两边求导
2
k ω m
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五、 简谐振动的合成
1、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
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六、阻尼振动
七、受迫振动
1、稳态解
2、共振
x=Acos( t+)
驱动力频率
1）速度共振： 2）位移共振： 若 <<
0
则
r

0
，称尖锐共振
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机械振动典型问题及示例
一、简谐振动三类问题
1.简谐振动的运动学问题
运动状况 振动曲线
三个特征量 运动学方程
2.简谐振动的动力学问题
解：由单摆的周期公式 T 2
86400 10 T T T T 86400 10 1 1 T T T 86400 10 86390
10 g 2 g 2 9.800 0.0023m / s 2 T 86390 g g g 9.800 0.0023 9.7977m / s 2
A
振子自由振动时， A 在平衡位置处的速率为：
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A 2 A
2. 一摆在空中振动，某时刻振幅为A0= 0.03m，经过 t1=10s后，振幅变为 A1=0.01m，问:由振幅为A0时起 经多长时间，其振幅减为A2=0.003m ？
解：
A =A0 e βt
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例3. 弹簧振子中的小球质量为M，弹簧的一倔强系 数为k，弹簧的质量为m，且该质量是均匀分布的。试 求无阻尼振动的周期。
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例4. 一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω 绕其竖 直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω 2>g的 情形下：(1) 小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心 的连线同竖直直径之间的夹角q0表示); (2) 小珠在平 衡位置附近作小振动的角频率。 解：(1)在平衡位置时
A1 sin1 A2 sin 2 tg A1 cos1 A2 cos 2
x x1 x2 A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
(1)若Δφ φ2 φ1 2kπ, 则A Amax A1 A2 ;
受力分析 牛顿定律
动力学方程
初始条件
3.简谐振动的合成
（通常与波的相干叠加相结合）
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1.简谐振动的运动学问题举例
例1. 有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心处，小球 2在碗壁离碗底部中心A很近的地方，如图所示，现同 时释放两球，所有阻力均不计，则小球1与小球2到达碗 底A所需时间之比为 。
(2)若Δφ φ2 φ1 2k 1π, 则A Amin A1 A2 .
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2、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值 的简谐振动的合成
x1 (t ) A0 cost x2 (t ) A0 cos( t ) x3 (t ) A0 cos( t 2 )
lnA = lnA0 βt
1 ln 0.03 1 ln A 0 β= t =0.110 = 0.01 1 A1 10 1 1 A 0.03 0 ln t2 = ln =20.9(s) = β A 2 0.11 0.003
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五、补充练习题 1. 设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度 ρ =5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证: (1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动； (2)物体由地球表面落至地心的时间为 式中G是引力常量。
x2 (t ) A cos(2t )
2- 1 2+ 1
形成“拍”
x x1 x2
2 A cos( 2
随ｔ缓变
2 1
t ) cos(
1 2
2
t )
ω2 ω1 合振动的振幅： A合 2 A cos( t) 2 2 拍 2 1 T拍 2 1
2
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d ( q ) g 2 2 [ (1 2 cos q 0 ) cosq 0 ]q 2 R dt
2
g cosq0 = R ω
2 2
2
d ( q ) R g q 0 2 2 2 dt R
4 2
Rω g ω= 2 2 Rω
2 4
2
理学院物理系
(提示:物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀 带电球体内受力的计算类似)
理学院物理系
Mg kx
(m M ) g k( x x0 )
(1) 由动量守恒
mg x0 k
x
M
x0
01
m01 (m M )0