问题情景_用因式分解法接一元二次方程-优质公开课-鲁教8下精品
初中数学鲁教版八年级下册《用分解因式法解一元二次方程》学案
§7.4用分解因式法解一元二次方程（学案）
学案导学2——我探究
解方程：x²=4x
学案导学3——我思考
什么样的一元二次方程可以用分解因式法来解？
1.
2. 用式子表示为：
学案导学4——我应用
例1用分解因式法解方程:
(1) 5x2=4x; (2) x-2=x(x-2).
◆感悟：分解因式法解一元二次方程的步骤是:
学案导学5——我类比
例2：你能用分解因式法解下列方程吗？
（1）x2-4=0; （2）(x+1)2-25=0.
◆你是否还有其它方法来解?
学案导学6——我活用
◆请观察下列方程，说出你认为合适的解法.
（1）x 2=16 （2）(x -1)2-9=0
（3）x 2+3x =0 （4）x 2-4x+3=0
学案导学7——我收获
我的数学笔记
学案导学8——我能行
解下列方程：
（1） （2）
（3）
)4)(2(=-+x x 01642=-x )
12(3)12(+=+x x x
学案导学9——我巩固
A层: 课本P61 习题7.11 1、2 B层: 课本P61 习题7.11 1.。
数学74用分解因式法解一元二次方程(鲁教版八年级下)PPT课件
21
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
22
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18
解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6
由 x 5 3，得 x 8;
( )
由 x 2 6，得 x 4.
原方程的解为 x1 8或 x2 4. 23
小 结：
1.用分解因式法解一元二次方程的步骤：
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘
(4)x2 x
12
( 1 ) 3 x (x 2 ) 5 (x 2 )
解：移项，得
3x(x2)5(x2)0
(x2)(3x5)0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
13
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5 )=0
3x+1+ 5 =0或3x+1－ 5 =0
5x0或 3x60, x10,x22.
25
(2)x2(32)x60
解：原方程变形为 (x 3)(x 2) 0 x30或 x20,
x1 3,x22.
26
解关x于 的方程 x22axa2b2 0 1 (a b )
1 (a b)
解 [x (a ： b )x ] ( [a b ) ]0
鲁教版(五四制)数学八年级下册8.6一元二次方程的应用优秀教学案例
3.创设多样化的问题情境，让学生在解决实际问题的过程中，自然地引入一元二次方程的学习。
（二）问题导向
1.引导学生发现并提出实际问题，激发学生的问题意识。
2.。
3.教师提出引导性问题，帮助学生建立一元二次方程的模型，引导学生逐步解决问题。
（五）作业小结
1.教师布置课后作业，要求学生运用一元二次方程解决实际问题，巩固所学知识。
2.学生完成作业，教师批改并给予反馈，及时了解学生学习情况。
3.教师根据作业情况，针对性地进行辅导，提高学生的解题能力。
本节课通过导入实际问题，引导学生学习一元二次方程的应用。在讲授新知过程中，注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与、主动探索。通过小组讨论，培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通与协作能力。总结归纳环节，使学生对一元二次方程解决实际问题的步骤有了清晰的认识。作业小结环节，巩固所学知识，提高学生的解题能力。整节课注重知识的传授与实践操作，培养学生的数学素养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.引导学生总结一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生总结归纳的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学知识的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.通过解决实际问题，让学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
3.培养学生团队合作、交流分享的良好学习习惯，增强学生的团队合作能力。
2.掌握一元二次方程的求解方法，并能灵活运用到解决问题中。
3.学会运用一元二次方程解决购物优惠、投资收益等实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过生活实例，引导学生发现并提出一元二次方程的实际问题，培养学生的问题意识。
2022年初中数学精品教案《用因式分解法求解一元二次方程3》公开课专用
2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学过程设计第2课时 二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质（1）； （2）； （3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。
3．注意与的运用。
【新授】一、二次根式的乘法 一、复习引入1．填空 （14949⨯=______； （21625=_______1625⨯． （31003610036⨯． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4949⨯16251625⨯1003610036⨯ 一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来:ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空=________；（2=________；（1（3=________；（4=________．一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2（3（4（1（2（3（4=，且x为偶数，求（1+x例3．三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
鲁教版(五四制)八年级下册数学8.4用因式分解法解一元二次方程教案
8.4节 用因式分解法解一元二次方程教学目标知识技能:用因式分解法解一些一元二次方程.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.数学思考:体会“降次”化归的数学思想.解决问题:能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.情感态度:使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度.教学重点:利用因式分解法解一元二次方程.教学难点:灵活应用各种因式分解的方法解一元二次方程.教学过程设计活动一 知识链接，温习旧知1、因式分解：把一个 化成几个 的形式，这种变形叫做因式分解；2、若0=*b a ，则 或 。
文字表述为：如果两个因式的积等于零，那么 。
3、把下列式子因式分解)1=-x x 452 ； 5）=++1272x x ；2）=---)2(2x x x ； 6）=+-862x x ； 3）=-42x ； 7）=-+1832x x ；4）=+-442x x ； 8）=--1522x x 。
活动二 创设情境,引入新课问题情境：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？ 解：设这个数为x,根据题意得x x 32=判断对错:谁做得对？通过观察最后一个同学的做法，认知得到提升。
总结：当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解方程.归纳定义:利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫作因式分解法.教学内容:课本第68至69页.活动三 巩固新知，熟能生巧1、快速回答：下列各方程的根分别是多少？2、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.3、解方程：第1题请学生抢答，第2、3题请三位学生板书解题过程,其余的同学独立解决,然后针对黑板上的情况加以讲评。
第三题（2）小题方程右边整体移项后，化为右边等于0的方程，等号左边把(2x －1)看作一个整体提公因式分解即可。
初中数学鲁教版八年级下册《用分解因式法解一元二次方程》教案
《用分解因式法解一元二次方程》
教学设计
单位：济宁市第九中学
教案编写者: 刘宁
五、教学策略选择与设计
改变学生的学习方式，以自主探索、合作交流、动手实践为主要学习方式，促进学生的自主学习.
六、教学环境及资源准备
供教师使用的资源：自制ppt课件.
供学生使用的资源：课本，印好的学案.
七、教学过程
教学过程教学内容双边活动设计意图
创设情境
在今年的手拉手献爱心活动中，小明同
学做了一个长方体的礼物盒，其中底面是一
个正方形，高是1分米，若下底面积与侧面
积相同，你能求出底面的边长吗？
师：教师播放视
频，创设情境，让
学生列方程.
学生活动：直接
说出结果，或找
到相等关系列方
程.
师:关注学生的
做法，同时加以
适当的评价.
【通过创设情境，让学生
体会数学建模思想，渗透
情感教育】
探
索交流解方程：x²=4x
师：对于x²=4x，
还有其他方法来
解吗？
学生活动：利用
公式法、直接开
平方法、配方法
来解决，在学案
上完成，合作教
流，分组展示.
师：对比这几种
解法，哪一种方
法较为简单.
学生活动：用分
解因式法.
师：点题，板书课
题.
【通过学生类比解一元二
次方程的方法，体会用分
解因式法解一元二次方程
的简洁，激发学生学习此
法的欲望.】
x
x
1。
鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程单元教学设计
4.作业批改与反馈：
-教师应及时批改作业，对学生的解题过程和答案给予评价，指出错误和不足之处，并提出改进建议。
-对学生在作业中表现出的创新思维和解决问题的策略给予肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，涵盖不同解题方法，让学生独立完成。
- \(x^2 - 5x + 6 = 0\)（因式分解法）
- \(x^2 + 8x + 16 = 0\)（直接开平方法）
- \(x^2 - 3x - 10 = 0\)（配方法）
- \(x^2 - 4x + 3 = 0\)（求根公式）
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的一般形式及其解法，包括直接开平方法、配方法、求根公式和因式分解法。
2.难点：
-判别式的理解及其与方程根的关系，特别是判别式小于0时方程无实数根的概念。
-将实际问题抽象为一元二次方程的过程，以及选择合适的方法求解方程。
-对一元二次方程解的性质的理解，如解的个数、解的取值范围等。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程的理解和应用，以及检验课堂教学效果，特布置以下作业：
1.必做题：
-从课本习题中选取3道直接开平方法求解的一元二次方程，要求学生独立完成，并写出解题步骤。
-从课本习题中选取2道需要配方法求解的一元二次方程，要求学生展示完整的配方法过程。
-选取1道需要运用求根公式解决的稍复杂的一元二次方程，要求学生不仅给出答案，还要阐述选择求根公式的原因。
2.直接开平方法：通过实例\(x^2 = 9\)，引导学生理解直接开平方法的原理和步骤。
鲁教版(五四制)数学八年级下册第八章一元二次方程单元备课优秀教学案例
一、案例背景
鲁教版（五四制）数学八年级下册第八章“一元二次方程”单元，是学生继七年级学习了“一元一次方程”和“不等式”之后，对方程思想方法的进一步深化。这一章节内容涉及代数知识的复杂性和抽象性，对于学生而言，是理解从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程的重要环节。
4.教学内容的整合与拓展：教师在教学过程中，不仅注重对一元二次方程知识的传授，还注重引导学生运用数学思维方法，分析问题、解决问题，提高学生的思维品质。同时，教师还引导学生探索一元二次方程的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
5.教学策略的灵活运用：教师根据学生的实际情况，灵活运用情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等教学策略，使学生在互动交流、合作探究的过程中，全面掌握一元二次方程的知识和技能，提高学生的数学应用能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够体验到数学学习的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。
2.学生在探究过程中，培养自主学习、合作学习的意识，树立积极的学习态度。
3.学生能够认识到数学在生活中的重要性，增强学习数学的自信心。
4.教师关注学生的个体差异，尊重学生的个性，培养学生的自尊心和自信心。
三、教学策略
（一）情景创设
（二）过程与方法
1.通过情境教学，引导学生主动探究一元二次方程的解法和应用，培养学生的问题解决能力。
2.采用小组合作学习，培养学生的团队合作能力和交流表达能力。
3.引导学生运用数学思维方法，分析问题、解决问题，提高学生的思维品质。
4.教师给予学生个性化的指导，满足不同学生的学习需求，促进学生的全面发展。
3.学生通过小组合作学习，共同探讨一元二次方程的解法，提高学生的团队合作能力和交流表达能力。
鲁教版初中数学八年级下册《用因式分解法解一元二次方程》导学案
用因式分解法解一元二次方程（导学案）目标：1、学会用分解因式法解一些简单的一元二次方程；2、能根据具体的一元二次方程的特征灵活选择适当的解法，体会解决问题方法的多样性和选择性。
重点：分解因式法解一元二次方程。
难点：根据具体的方程灵活的选择适当的解法。
学法指导1、预习（1）阅读并理解教材P68—P69，知道什么是分解因式法，注意分解因式法解一元二次方程的基本步骤。
把存在的疑惑标注出来。
（2）在阅读理解课本内容的基础上，逐步完成导学案，并把存在的问题标注出来。
2、展示（1）小展示:小组内对学群学，解决独学所存在的问题。
（2）大展示:小组派代表在全班展示（没有展示的同学观察和思考其他组展示的内容）。
3、反馈：（目标检测）一、学前准备1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。
3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0二、探究活动【合作·沟通】1、自主探究·解决问题一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。
“且”是“二者同时成立”的意思。
★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
2、师生探究·合作交流例：解下列方程 ：(1). 5x 2=4 x (2). x -2= x (x -2) (3).( x +1)2-25=0三、拓展提高1、选择适当的方法解一元二次方程（1） x x x 22)1(3-=- （2）2422+=+y y y2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？四、学习收获：（师生互相交流总结）1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。
鲁教版(五四制)八年级下册数学用公式法解一元二次方程课件
C、a=-2，b=3， c=-1 D、a=-1，b=3，c=-2
应用新知 解决问题
1.用公式法解一元二次方程
3x2 - 2x = 1
2.根据例题自己总结一下用公式法 解一元二次方程的一般步骤：
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.变形:化已知方程为一般情势; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入求根公式计算;
变形为： (x
b 2a
)2
b2 4ac 4a2
❖∵a≠0 ∴4a2＞0完成下列填空：
❖（1） 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
根的情况取决于
的值的符
号。
迁移应用 拓展能力
❖ （2）某同学判断方程：x2+2（k-2） +k2+4=0的根的情况解答如下：
❖ 解：b2-4ac=4（k-2）2-4（k2+4）=-16k ❖ ∵-16k＜0 ❖ ∴b2-4ac＜0 ❖ ∴原方程无实数根，若有错，请指出并
说明理由。
迁移应用 拓展能力
2、等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的 两根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A、8 B、10 C、8或10 D、不能确定
课堂小结 自主评价
1、通过本节课的学习，同学们有哪些收获 呢？ 2、 你认为在应用求根公式解一元二次方 程时还应注意些什么问题？
课堂检测 收获知识
方; ❖ 4、变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; ❖ 5、开方:根据平方根意义,方程两边开平方; ❖ 6、定解:写出原方程的解.
自主学习
你能用配方法解方程 ： ax2+bx+c=0(a≠0)
鲁教版数学八下7.4用分解因式法解一元二次方程word教案
7.4用因式分解法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识教学点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．（二）能力训练点：通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．（三）德育渗透点：通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：熟练掌握用公式法解一元二次方程．2．教学难点：用配方法解一元二次方程．3．教学疑点：对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解三、教学步骤（一）明确目标解一元二次方程有四种方法，四种方法各有千秋，究竟选择什么方法最适当是本节课的目标．在熟练掌握各种方法的前提下，以针对一元二次方程的特点选择恰当的方法或者说是用简单的方法解一元二次方程是本节课的目的．（二）整体感知一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法．在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，符合形如（ax＋b）2＝c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的方程均适合用直接开平方法．直接开平方法为配方法奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．（1）3x2＝x＋4；（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；（3）（x＋3）（x-4）＝-6；（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．此组练习尽量让学生眼看、心算、口答，使学生练习眼、心、口的配合．（2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点．直接开平方法：适合于解形如（ax＋b）2＝c（a、b、c为常数，a≠0 c≥0）的方程，是配方法的基础．配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法．公式法：是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法．2．练习1．用直接开平方法解方程．（1）（x-5）2＝36；（2）（x-a）2＝（a＋b）2；此组练习，学生板演、笔答、评价．切忌不要犯如下错误①不是x-a=a+b而是x-a=±（a+b）；练习2．用配方法解方程．（1）x2-10x-11=0；（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方法是解决代数问题的一大方法，用此法解方程尽管有点麻烦，但由此法推导出的求根公式，则是解一元二次方程最通用也是最常用的方法．此练习的第2题注意以下两点：（1）求解过程的严密性和严谨性．（2）需分b2-4ac≥0及b2-4ac＜0的两种情况的讨论．此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透．练习3．用公式法解一元二次方程练习4．用因式分解法解一元二次方程（1）x2-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2；解（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，∵（x-1）（3x＋2）＝0，∴ x-1=0或3x+2=0．如果将括号展开，重新整理，再用因式分解法则比较麻烦．练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．解：由题意得3x2＋6x-8＝2x2-1．变形为x2＋6x-7=0．∴（x＋7）（x-1）＝0．∴ x＋7＝0或x-1＝0．即 x1＝-7，x2＝1．∴当x＝-7，x＝1时，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等．学生笔答、板演、评价，教师引导，强调书写步骤．练习6．选择恰当的方法解下列方程（1）选择直接开平方法比较简单，但也可以选用因式分解法．（2）选择因式分解法较简单．学生笔答、板演、老师渗透，点拨．（四）总结、扩展（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．四、布置作业1．伴你学的相应部分2．解关于x的方程．（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．4．（1）解方程①（3x＋2）2＝3（x＋2）；（2）方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程．五、板书设计7.4 用因式分解法解一元二次方程四种方法练习1……练习2……1．直接开平方法…………2．配方法3．公式法4．因式分解法课后反思：如果是单独使用每种方法，学生也许还运用的比较熟练，但是如果综合在一起，学生一开始不太习惯，不太熟练，但经过练习，大部分学生还是能掌握住解法的。
鲁教版(五四制)八年级下册数学用公式法解一元二次方程课件(2)
△与根的个数之间互为逆定理
b2 4ac 0 方程有两个不相等实数根 b2 4ac 0 方程有两个相等的实数
思 想
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
思考：一元二次方程的根的情况是 如何由“△”来判定的？
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根； 2.当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根； 3.当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根。
根
b2 4ac 0 方程没有实数根 b2 4ac 0 方程有两个实数根
探究一：不解方程判断方程根的情况
例1：不解方程,判别下列方程的根的情况
(1)x2 2x 3 0
(2)x2 2x 1 (3)x2 2x 3 0
思考：判断一元二次方程根的情况的步 骤是什么？
第一步：把原方程变为一般式正确找出a、b、c
判别式 情况
根 的 情 况
定理与逆定理
△＞0 △＝0
x
b 2a
( x1
x2 )
x
b 2a
0
(x1
x2
)
0 0
有两个不等实数
有两个实数根 根
0
有两个相等实数根
△＜0 无意义，x1, x2不存在 0 无实数根
1、判断下列方程的根的情况：
（1）x2 4x 7, _4_4_>_0,方程 两__个_不__相_等_的_的实数根； （2） 2x2 3x 4 0, 9__1_2_2___0_,方程无___ 实数根
鲁教版(五四制)八年级数学下册5用公式法解一元二次方程优秀教学案例
在学生小组讨论环节，我组织学生进行小组合作，让他们共同探讨一元二次方程的解法。我提出了几个具有层次性的问题，引导学生进行思考和讨论。例如，我让他们探讨如何将实际问题转化为一元二次方程，并运用求根公式解决实际问题。学生们在小组讨论中积极发表自己的观点和思路，通过互相讨论和交流，他们能够更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
（三）小组合作
小组合作是一种培养学生的团队合作能力和交流能力的重要教学策略。在本节课中，我组织学生进行小组合作，让他们共同探讨一元二次方程的解法。每个小组成员都有机会发表自己的观点和思路，通过互相讨论和交流，学生们能够更好地理解和掌握一元二次方程的解法。同时，小组合作也能够培养学生的团队合作意识和沟通能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课时，我设计了一个有趣的数学故事，讲述了古代数学家解一元二次方程的智慧和创造力。这个故事引起了学生们的极大兴趣，使他们主动投入到学习一元二次方程的探索中。我通过讲述这个故事，引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，为新课的学习打下了良好的基础。
（二）讲授新知
五、案例亮点
1.情景创设法：通过设计一个有趣的数学故事，激发学生的学习兴趣和动机，使学生能够主动投入到学习一元二次方程的探索中。情景创设不仅能够引发学生的学习兴趣，还能够帮助学生更好地理解一元二次方程在实际生活中的应用。
2.问题导向：通过提出一系列递进式的问题，引导学生独立思考和探究问题。问题导向教学策略能够培养学生的批判性思维和解决问题的能力，使学生在解决问题的过程中逐步深入理解和掌握一元二次方程的解法。
在讲授新知环节，我首先介绍了什么是一元二次方程，让学生回顾已学的知识。然后，我逐步引导学生思考一元二次方程如何解，引入公式法解一元二次方程的概念。我详细解释了一元二次方程的求根公式，并通过示例演示了如何运用求根公式解一元二次方程。在这个环节中，我注重让学生理解和掌握一元二次方程的解法，并能够灵活运用求根公式解决实际问题。
新鲁教版八年级下册数学 《用因式分解法解一元二次方程》教案
第八章一元二次方程４．用因式分解法解一元二次方程一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级上册学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于用因式分解法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《因式分解法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：知识与技能目标1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3.通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
鲁教版数学八年级下册8.4《用分解因式法解一元二次方程》教学设计
鲁教版数学八年级下册8.4《用分解因式法解一元二次方程》教学设计一. 教材分析《用分解因式法解一元二次方程》是鲁教版数学八年级下册8.4节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握用分解因式法解一元二次方程的方法，并能够灵活运用。
在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上，通过本节课的学习，使学生能够进一步理解和掌握一元二次方程的解法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了配方法、公式法解一元二次方程的方法，对一元二次方程的基本概念和性质有一定的了解。
但部分学生在解题过程中，对于如何选择合适的解法还有一定的困惑，对于分解因式法解一元二次方程的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生对比各种解法，体会分解因式法解一元二次方程的优势，并通过大量的练习，提高学生运用分解因式法解一元二次方程的能力。
三. 教学目标1.理解分解因式法解一元二次方程的基本思路。
2.学会运用分解因式法解一元二次方程。
3.能够灵活选择合适的解法解一元二次方程。
4.提高解题能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解分解因式法解一元二次方程的基本思路，学会运用分解因式法解一元二次方程。
2.教学难点：如何引导学生发现和运用方程的因式结构，以及如何引导学生对比各种解法，体会分解因式法解一元二次方程的优势。
五. 教学方法1.讲授法：讲解分解因式法解一元二次方程的基本思路和步骤。
2.案例分析法：分析具体的一元二次方程，引导学生发现和运用方程的因式结构。
3.讨论法：学生分组讨论，对比各种解法，体会分解因式法解一元二次方程的优势。
4.练习法：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，展示分解因式法解一元二次方程的基本思路和步骤。
2.练习题：挑选适量的练习题，包括不同类型的题目，以便让学生巩固所学知识。
3.分组讨论材料：准备分组讨论的材料，以便学生进行讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一元二次方程的图像，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和性质。
鲁教版八年级数学下册课件4用因式分解法解一元二次方程
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果 相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意，可得 方程x2=3x.但他们的解法各不相同。
如果a·b=0,那么a=0或b=0.
为什么用“或”而不用“且”？
“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包 括两种情况：二者同时成立；二者不能同时成立。 如ab=0时，a=0和b=0可同时成立，但x（x-3）=0时， x=0和x=3就不能同时成立。“且”是“二者同时 成立”的意思。
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
4 x1 0; x2 5 .
原来的一元二次方 程转化成了两个一
元一次方程。
（2）原方程可变形为
x（x 2） x 2 0, x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
x2 7 (x 7)(x 7). 3y2 y 14 3( y 2)( y 7).
3
1.用因式分解法解下列方程： 参考答案：
(1).4x 1(5x 7) 0; (2).3x x 1 2 2x;
(3).(2x 3)2 4(2x 3);
而x2 2x 3 (x 3)(x 1);
解方程
:
4x2
12x
9
0得x1
3 2
,
x2
3 2
;
而4x2 12x 9 4(x 3)(x 3);
22
解方程 : 3x2 而3x2 7x
7x4 4 3(x
0得x1 4
)(x
4 3
,
2022春八年级数学下册第八章用因式分解法解一元二次方程习题课件鲁教版五四制ppt
12 已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方 程的一个根． (1)求a的值及方程的另一个根； 解：将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0， 得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2. 将a＝2代入原方程， 得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0， ∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.
【点拨】 本题运用了换元法和整体思想，先设x＋x2 1＝y，原
方程可以变为 y－2y＝1，解方程求出 y 的值，再代入 x＋x21＝y 就可以求出 x 的值．
13 【中考·湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋ (a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十 字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab ＝(x＋a)(x＋b)． 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3 ＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式x2＋6x＋8＝(x＋___2_)(x＋__4_)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
第八章 一元二次方程
8.4
用因式分解法解 一元二次方程
鲁教版 八年级
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1A 2A 3C 4C 5A
6 12 7 8D 9 10
答案呈现
11 12 13 14
习题链接
1 【中考·山西】我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可 以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而 得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程 的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( A ) A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【点拨】 x2－8x＋12＝0，(x－2)(x－6)＝0，解得x＝6或x＝2. 当等腰三角形的三边长为2，2，6时，不符合三角形