高中物理 第十一章 机械振动 第4节 单摆(含解析)4

单摆 单摆、单摆的回复力

1．单摆 用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。

2．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l x 。

(3)单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)

2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。(×)

3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。(×)

[释疑难·对点练]

1．单摆

(1)单摆是实际摆的理想化模型。

(2)实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多；

②悬线的质量与摆球质量相比小得多；

③摆球的直径与摆线长度相比小得多。

2．单摆的回复力

如图所示，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝mg sin θ是沿摆球运

动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F ＝G 1＝mg sin θ。

3．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sin θ≈x l ，又回复力F ＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－mg l

x (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向

相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

[试身手]

1．(多选)制作一个单摆，合理的做法是( )

A．摆线细而长B．摆球小而不太重

C．摆球外表面光滑且密度大 D．端点固定且不松动

解析：选ACD 根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。

单摆的周期

1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论：

①单摆振动的周期与摆球质量无关；

②振幅较小时周期与振幅无关；

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式

荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速

度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2πl g 。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。(×) 2．单摆在振幅较小时周期较大。(×)

3．单摆的周期公式都可以用T＝2πl

g

求解。(×)

[释疑难·对点练] 1．对周期T的理解

(1)单摆的周期T＝2πl

g

为单摆的固有周期，相应地f＝

1

2π

g

l

为单摆的固有频率。

(2)单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。

(3)周期为2 s的单摆叫秒摆。

2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解

(1)l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球

重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而且OO ′＝13l ，求各摆的周期。 甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2π l sin αg

。 乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2π

l sin α＋1g 。 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变为O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另

半个周期摆长为(l －l 3)，即为23

l ，则单摆丙的周期为T 丙＝π l g ＋π 2l 3g

。 (2)等效重力加速度g 不一定等于9.8 m/s 2 g 由单摆所在的空间位置决定。由g ＝G M R

2知，g 随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g 的值就越小，另外，在不同星球上g 也不同。

g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a ，若升降机加速下降，则g ′＝g －a 。单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g ′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。

[试身手]

2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )

A ．甲先到达平衡位置

B ．乙先到达平衡位置

C ．甲、乙同时到达平衡位置

D ．无法判断 解析：选C 由单摆的周期公式T ＝2πl g

，可知周期T 只与l 、g 有关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C 正确。

探究单摆周期与摆长的关系

1．实验原理图

2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论 ①单摆振动的周期与摆球的质量无关；

②振幅较小时，周期与振幅无关；

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。 3．定量探究单摆的周期与摆长的关系 (1)周期的测量：用停表测出单摆做N (30～50)次全振动所用的时间t ，利用T ＝t N 计算它的周期。

(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D 2求出摆长。 (3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T l 、T

l 2或T l 图象，得出结论。 4．周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T ＝2π

l g

，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。

(3)应用——测重力加速度：由T ＝2π

l g 得g ＝4π2l T 2，即只要测出单摆的摆长l 和周期T ，就可以求出当地的重力加速度。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．测量单摆周期时，应在摆球摆到最高处开始计时，并数准全振动的次数。(×)

2．用毫米刻度尺量出放在桌面的细线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r 。(×)

3．小球应该选择体积小、密度大的金属球。(√)

[释疑难·对点练]

1．实验所需器材

带孔小钢球一个、细线一条(约1 m 长)、铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺等。

2．实验步骤

(1)做单摆：