05第5章 定积分的应用(专插本)

根据库伦定律知道： 解 根据库伦定律知道： 一单位正电荷放在电场中距离 q 的点处， 原点为 r 的点处，电场对它作用力的大小为 F = k 2 （ k 为 r 常数） 方向指向原点. ，方向指向原点 常数） 方向指向原点. ， 因此，在单位正电荷移动过程中， 因此，在单位正电荷移动过程中，电场对它的作用力 是变力， 为积分变量， 是变力，取 r 为积分变量，变化区间为[a,b],在[a, b]中任 电场力可近似看作不变， 取微小区间[r, r + dr]上, 电场力可近似看作不变，并用在
(1)总成本为固定成本和可变成本之和 总成本为固定成本和可变成本之和, 解 (1)总成本为固定成本和可变成本之和, 即
1 2 C(x) = C(0) + ∫ C'(x)dx =1+ 3x + x ， 0 6
x

则总收入函数为
1 R(x) = R(0) + ∫ R'(x)dx = 7x − x2 ， 0 2 没有收入, （因为产量为 0时,没有收入, R(0) = 0） 总利润为总收入与总成本之差， 总利润为总收入与总成本之差，故总利润 L为 2 2 L(x) = R(x) −C(x) = −1+ 4x − x . 3 4 (2)由 根据题意知, (2) 由 L'(x) = 4 − x = 0 , 得驻点 x = 3, 根据题意知 , 当 3 x =3 百 台 时 , 有 最 大 值 ， 即 最 大 利 润 为 2 2 L(3) = −1+ 4×3− ×3 = 5（万元）. 万元） 3
[x, x + dx]， 然后写出这个小区间上的部分量 ∆A的近似
值，记为 dA = f (x)dx，称为 A的微元； 的微元；
第二步： 上积分（ 第二步：将微元 dA = f (x)dx在[a, b]上积分（无限累 ，即得 加） 即得 A= ∫ f (x)dx. ，
a b
上述解决问题的方法称为微元法. 上述解决问题的方法称为微元法.
A = ∫ (cos x −sin x)dx + ∫ (sin x − cos x)dx
π 4 0
π 2 π 4
= ( sin x + cos x) + ( −cos x −sin x) = 2( 2 −1).
π 4 0
π 2 π 4
图8.1.5
综合题： 综合题：
所围成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积 （1） 求由曲线 y2 = 2x +1, y2 = −2x +1所围成的平面图形的面积.
5.1.2 用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下的面积计算
（1）曲线 y = f (x)( f (x) > 0)，x = a，x = b及 x轴所 围图形（如图 8.1.1 所示）的面积的微元 dA = f (x)dx， 围图形（ .1.1 所示） 则面积 A= ∫ f (x)dx. A=
a b
y = x2 , y = 4x − x2所围成的平面图形的面积. 计算由曲线 所围成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积 （2） 计算由曲线
抛物线 所围成 （3） 求由抛物线 y =1− x2及其在点 (1,0)处的切线和 y轴所围成 的平面图形的面积. 的平面图形的面积. 图形的面积
综合题： 综合题：
R R
5.2 定积分其它应用举例
5.2.1 定积分物理应用 5.2.2 定积分经济应用问题举例 5.2.3 定积分在工程上的应用 5.2.4 内容小结
5.2.1 定积分物理应用
1.引力 1.引力
的均匀细杆， 例 1 设有一长为 L，质量为 M 的均匀细杆，另有一 的质点与杆在一条直线上， 质量为 m的质点与杆在一条直线上，它到杆的近端距离 计算细杆对质点的引力. 为 a，计算细杆对质点的引力. 所示的坐标系， 解 建立如图 8.2.1 所示的坐标系，以 x为积分变 量，变化区间为[0, L]，在杆上取微小区间[x, x + dx]，
因此， 因此，压力微元为 则闸门受到的水压力为
x dP = 9.8x ⋅ 2(− + 3)dx， 6
2 x3 6 x P = ∫ 9.8x ⋅ 2(− + 3)dx = 9.83x − 0 6 90
6
= 9.8×84 ≈ 8.23×105 (N)
图8.2.2
5.2.2
定积分经济应用问题举例
第5章
定积分的应用
5.1 定积分的几何应用
5.1.1 定积分应用的微元法 5.1.2 用定积分求平面图形的面积 5.1.3 用定积分求平行截面面积为 已知的立体的体积 5.1.4 用定积分求平面曲线的弧长 5.1.5 内容小结
5.1.1 定积分应用的微元法
微元法分为两步： 微元法分为两步：
第一步： 第一步：选积分变量 x∈[a,b]，任取一个微小区间
此段杆长 dx，质量为
kmM 1 kmM = − (x + a) = a(L + a) . L 0
L
2.做功 2.做功
的点电荷， 例 2 在原点有一个带电量为 +q的点电荷， 周围形成一个 电场， 电场，求单位正电荷在该电场中从距原点 a处沿射线方向移 处时， 所做的功. 至距原点 b(a < b)处时，电场力 F(x)所做的功.
x2 + y2 = R2.过 x轴上的点 x作垂直于 x轴的平面，截立体所 轴的平面，
得截面是直角三角形，该直角三角形的两条直角边的长度分别 得截面是直角三角形，该直角三角形的两条直角边的长度分别 为 y及 y tanα ,因此截面面积为
1 1 1 A(x) = y ⋅ y tanα = y tanα = (R2 − x2 ) y tanα ， 2 2 2
b
b
3.液体的压力 3.液体的压力
一闸门呈倒置的等腰梯形垂直位于水中， 例 3 一闸门呈倒置的等腰梯形垂直位于水中， 两底 长度分别为 4m和 6m， 高为 6m， 当闸门上底正好位于水 面时，求闸门一侧受到的水压力.（水密度为
p =103 kg/m3）
解 建立如图 8.2.2 所示的坐标系，则 AB方程为 所示的坐标系， x y = − + 3， 6 为积分变量， 取 x为积分变量，在变化区间 [0,6]上任取微小区 间 [x, x + dx]，在水下深 xm处的压强为 9.8xkN/m2 ,
替， 点 r 处单 正 荷 到的 场 来 替， 是 到 移 位 电 受 电 力 代 于 得 它 q 所作功的近似值， 动dr所作功的近似值，即功的微元为 dW = k 2 dr . r 所以， [ 所以， 电场 力对 单位 正电 荷在 a,b]上移 动所 作的 功 为 q 1 1 1 W = ∫ k 2 dr = −kq = kq( − ). a a b r ra 若移至无穷远处， 若移至无穷远处，则做功为 +∞ q 1 +∞ kq = . W = ∫ k 2 dr = −kq a r r a a 时， 此 ， 时 电场 做 称为 场 该 的电 力 功 电 中 点 位 V， 是 于 kq 知电场在a处的电位为V = . a
a
dA = [ f (x) − g(x)]dx，则面积 A = ∫ [ f (x) − g(x)]dx.
b
dA = [Φ( y) −ψ ( y)]dy,，则面积 A= ∫ [ϕ( y) −ψ ( y)]dy.
c
d
图8.1.3
图8.1.4
π 所围图形的面积. 例 1. 求 y = sin x ， y = cos x ， x = 0， x = 所围图形的面积. 2 作出简图（ 所示） ，利用微元法求面积 解 作出简图（如图 8.1.5 所示） 利用微元法求面积 A ，
有正有负） （2）曲线 y = f (x)（有正有负） x = a， x = b及 x ， 轴 所 围 图 形 （ 如 图 8.1.2 所 示 ） 的 面 积 的 微 元
dA = f (x) dx,则面积 A= ∫ f (x) dx.
a b
图8.1.1
图8.1.2
（3）由上下两条曲线 y = f (x)， y = g(x)( f (x) > g(x))， x = a， x = b所围图形 （ 如图 8.1.3 所示 ） 的面积的微元 所围图形（ 所示） （4）由左右两条曲线 x = ϕ( y)，x =ψ ( y)及 y = c，y = d 所 围 图 形 （ 如 图 8.1.4 所 示 ） 的 面 积 的 微 元
x
5.2.3
定积分在工程上的应用
在纯电阻电路中， 例 1 在纯电阻电路中， 有一正弦电流 i(t) = Im sinω t 经过电阻 R， i(t)在一个周期上的平均功率 其中 Im, 求 （
ω均为常数）. 均为常数） 解 由电路知识得电路中的电压 u和功率 p分别为 u = iR = RIm sinω t ，和 p = i2R = R(Im sinω t)2， 2π 因此， 上的平均功率（功率的平均值） 因此，功率 p在 [0, ]上的平均功率（功率的平均值）为 ω 2π ωRIm2 2π 1− cos2ω t 1 ω RI 2 sin2 ω tdt = ω p= dt ∫0 m ∫0 2π 2π 2 −0
[ [ x 为积分变量， 上取代表性 取 为积分变量，积分区间为 a, b] ,在a, b] 上取代表性 [ A 底面积为 小区间 x, x + dx],相应薄片的体 积近似等于 面积为 (x) 、 底
d 高为dx 的柱体体积，即体积微元 V = A( x) dx ,从而，所求 的柱体体积， 从而，
3
5.1.3
用定积分求平行截面面积为已知的立 体的体积
x 设有一物体（ （ 所示） ，它被垂直于 设有一物体 如图 8.1.8 所示） 它被垂直于 轴的平 ， x 面所截， 截 函数， 面所截， 面面积A(x) 为 的已知的连续 函数， 这种 物体的