任跃霞二项式定理
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(省级一等奖)
课题：§1.3.1二项式定理（人教A 版高中课标教材数学选修2-3）《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．五、教学过程引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？ 4()+=a b ？那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．（二）体验感知 探究归纳1．归纳特点总结规律．【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．2．项的结构特点．（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，()na b +的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项． 【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．3．项的系数特点．本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．（三）知识建构 形成定理)()(*110N n b Cb a C b a C a C b a n n n k kn k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．二项式定理的公式特征：①展开式中每一项的次数都是n ；②展开式共1n +项；③按照字母a 降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 升幂排列，次数由0递增到n ；④k n k k n C a b -是展开式的第1k +项； k n k k n C a b -叫二项展开式的通项，用1k T +表示．⑤各项的系数(0,1,)k n C k n = 叫二项式系数．【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．（四）巩固新知 提升能力【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．（五）回顾反思 归纳总结知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．（六）课下作业 思维延伸一、P 36: 1~3二、1.求12(3的展开式的中间一项； 2.求x -101(1)2展开式中含x51的项的系数． 思维延伸： 探究()5a b c ++的展开式中22a b c 的系数．【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．六、板书设计教学设计说明高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神．数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用．新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系．本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段．努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题．例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n 较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n 较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准备了2()+a b ，3()+a b ，4()+a b 三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知．问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中．本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升．在探究的环节，教师的作用是“激活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来．教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果．本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力．学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果．点评《二项式定理》作为一节命题课，更应该重视学生数学素养的培养，良好思维品质的生成．何磊老师深读课标和教材，清晰制定了具体可测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点，设计了层层递进数学问题；以学生为主体，给学生足够的思考空间和辨析研讨的机会，激发了学生深层次的思考；何老师数学功底扎实，教学功底雄厚，教学有张有弛，当学生需要帮助时，给学生隐性的帮助，在关键时刻又有恰当和明确的概括提升．其教学特色主要体现在：1.突出核心内容，深挖数学本质作为计数原理的应用，提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源．但在大量的课堂观察中发现，很多老师规避这一教学难点，仅从外在形式上分析和记忆．导致学生在用二项式定理解决问题时，难以有效的迁移．何老师则是充分理解教材和学生的基础上，充分地运用计数原理分步、分类的教学思想，有效的化解了这一重点和难点．2.目标明确具体，问题层层递进高效率的课堂，必须有具体可测的教学目标和具体可操作的数学问题．何老师的这节课主要围绕a b展开式中项的形式和项的系数，展开问题驱动，使学生始终围绕这一核心展开思考，使学生的()n思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中，认知结构和解决问题的能力在潜移默化中得以提升．3.关注学生主体，激发深层思考学生探究意识强烈，学习积极性高．何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛，通过让学生口述、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人，激发了学生深层次的思考，从而深化对知识的理解．4.高效驾驭课堂，适时概括引领作为课堂的设计者和组织者，既要重视学生的主体，也不能忽视教师的概括引领．何老师的教学设计高观点，教学展开低起点，教学概括明确适时．尤其是数学思想方法渗透到位．何老师十分重视数学思想方法的渗透，以问题为载体，通过观察、归纳、类比、猜想、证明，教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略，使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系．思维的升华从有价值的思考开始，学生良好的思维品质的培养，需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成．我觉得何老师很好的诠释了二项式定理，并带学生较好的领悟了二项式定理的本质，是一节好课．。
2020-2021学年新教材人教B版选择性必修第二册 3.3 二项式定理与杨辉三角 学案
3．3二项式定理与杨辉三角1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于____________________．即____________________.2．每一行中，与首末两端“________〞的两个数相等．即C m n ＝C n －m n .3．如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项____的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．4．二项展开式的二项式系数的和等于________．知识点三杨辉三角的特点1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即C m n ＝C n －m n. 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的________，即________________．[根底自测]1．以下判断正确的()A ．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．B ．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．C ．C k n an －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项． D ．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．2．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是()A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 4103．(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么n 等于________．4．(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，那么n 等于________．题型一二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .状元随笔(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．方法归纳1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n . 题型二二项式系数与项的系数问题例2(1)求二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求⎝⎛⎭⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数． 状元随笔利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．方法归纳1．二项式系数都是组合数C k n (k ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数〞与二项式展开式中“项的系数〞这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280. 跟踪训练2(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．题型三求展开式中的特定项 状元随笔1.如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？ [提示]利用二项展开式的通项C k 4x 4－k ·1x k＝C k 4x 4－2k 求解，令4－2k ＝0，那么k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b)(c ＋d)展开式中的每一项为哪一项如何得到的？[提示](a ＋b)(c ＋d)展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？ [提示]⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x·C 33＋1x·C 13(2x)2＝x ＋12x ＝13x.即⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x.例3在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项． 状元随笔写出通项T k ＋1→令k ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数→考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项方法归纳1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)假设⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________． 题型四求展开式的系数和先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．例4设(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021·x 2021(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2021|的值．方法归纳1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法〞是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．跟踪训练4假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.题型五二项式系数性质的应用状元随笔1.根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示]对称性，因为C m n ＝C n －m n. 2．计算C k n C k －1n，并说明你得到的结论． [提示]C k n C k －1n＝n －k ＋1k . 当k<n ＋12时，C k n C k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>n ＋12时，二项式系数逐渐减小． 3．二项式系数何时取得最大值？[提示]当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．例5f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项． 状元随笔求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋〞“－〞号．方法归纳求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练5(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3教材反思3．3二项式定理与杨辉三角新知初探·自主学习知识点一C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N ＋)k ＋1 知识点二1．1它“肩上〞两个数的和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n2．等距离3．12n T +12n T +112n T ++4．2n知识点三(1)1相等(2)和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n [根底自测]1．解析：A 错误，因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．B 错误，因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．C 错误，因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．D 正确，因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C k n .答案：D2．解析：含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.答案：D3．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n 2＋1＝5，所以n ＝8. 答案：84．解析：二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.答案：5课堂探究·素养提升例1【解析】(1)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝⎛⎭⎫－32x 2＋…＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x－135x 4＋4058x 7－24332x 10. (2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .跟踪训练1解析：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n .例2【解析】(1)由得二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 6·26－k ·332k x -，∴T 6＝－12·92x -.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T k ＋1＝C k 9x 9－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 9·x 9－2k ， ∴9－2k ＝3，∴k ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.跟踪训练2解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8.∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1120x 4.例3【解析】通项公式为：T k ＋1＝C k n 3n k x - (－3)k 3k x -＝C k n (－3)k 23n k x -. (1)∵第6项为常数项，∴k ＝5时，有n －2k 3＝0，即n ＝10. (2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈Z .令10－2k 3＝m (m ∈Z )， 那么10－2k ＝3m ，即k ＝5－32m . ∵k ∈Z ，∴m 应为偶数，m ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61236,295245x －2.跟踪训练3解析：(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎫x －a x 26的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据得C 26a ＝60，解得a ＝4.答案：(1)207(2)4例4【解析】(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021＝(－1)2021＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2021＝32021.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2021)＝－1－32021，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－1－320212. (3)∵T k ＋1＝C k 2021(－2x )k ＝(－1)k ·C k 2021·(2x )k ，∴a 2m －1＜0(m ∈N ＋)，a 2m ＞0(m ∈N )．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2021|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2021＝32021.跟踪训练4解析：(1)令x ＝0，那么a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，②由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8128.例5【解析】令x ＝1，那么二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x . 跟踪训练5解析：该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．答案：C。
人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计
⼈教版⾼中数学《⼆项式定理》全国⼀等奖教学设计《⼆项式定理（⼀）》教学设计⼀、教学内容解析《1.3.1⼆项式定理》是《普通⾼中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第⼀章第三部分第⼀节的内容，这节课内容上只有⼀个⼆项式定理但它却是前⾯内容的继续，也是后⾯内容的开始。
在计数原理之后学习⼆项式定理，⼀⽅⾯是因为它的证明要⽤到计数原理，可以把它看做为计数原理的⼀个应⽤。
另⼀⽅⾯也是为后⾯学习随机变量及分布做准备。
⼆项式定理具有较⾼应⽤价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的⼀种⽅法，并能解释集合的⼦集个数问题；再者，⼆项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它⼜是学⽣进⼀步学习数学分析中函数级数展开式的⼀个特例，在组合理论、开⾼次⽅、⾼阶等差数列求和中有⼴泛的应⽤，因此这节课在⾼中数学中有着⼗分重要的作⽤。
通过本课的教学，进⼀步提⾼学⽣的归纳演绎能⼒，让学⽣感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的⼆项式定理主要包括：定理本⾝，通项公式，⼆项式系数的性质等．通过⼆项式定理的学习应该让学⽣掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等⽅⾯形成技能或技巧；进⼀步体会过程分析与特殊化⽅法等等的运⽤；重视学⽣正确情感、态度和世界观的培养和形成。
⼆项式定理本⾝是教学重点，因为它是后⾯各种应⽤的基础．通项公式，⼆项式系数的性质，特殊化⽅法等意义重⼤⽽深远，所以也应该是重点。
⼆项式定理的证明是⼀个教学难点．这是因为证明中符号⽐较抽象、需要恰当地运⽤组合数的性质。
⼆、学情分析学⽣已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了⼀定的归纳演绎和分析事件⽅法种数的能⼒。
但是学⽣对数学严谨性的把握还不够，研究问题的⽅法和能⼒有待提⾼，有些学⽣容易粗⼼，对细节知识的把握还不够好。
本节课⼆项式定理的推导运⽤了先猜想后证明，由特殊到⼀般的研究问题的思想⽅法。
因此本堂课采⽤⼩组讨论学习，让学⽣在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产⽣、发展和演变过程，提⾼学⽣分析解决问题的能⼒。
任跃霞一元二次不等式含参的
[活学活用] 1 3．已知方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2.(1)求 a、b 的值； 2
2
(2)解不等式 ax2＋bx－1＞0.
1 解：(1)∵方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2， 2
2
b 1 －2＋2＝－a， 由根与系数的关系，得 2 (2)由(1)知，ax ＋bx－ 1＞1 0 可变为－ 2 2x2＋3x－1＞0， － ×2＝ . a 2 1 2 即 2x －3x＋1＜0，解得 ＜x＜1. 2 解得 a＝－2，b＝3. 1 2 ∴不等式 ax ＋bx－1＞0 的解集为{x| ＜x＜1}． 2
方程x 2 ax 2a 2 0.的判别式 a 2 8a 2 9a 2 0
得方程的两根为 x1 2a, x2 a. (1)若a 0, 则 a x 2a
(2)若a 0, 则原不等式为 x2 0, 此时解为
(3)若a 0, 则2a x a.
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
小结：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集.
例3、已知关于x的不等式
2
ax bx c 0
2
吉林省长春市田家炳实验中学高中选修2-3数学导学案：1
展开式中：
（1）(a+b)4展开后各项形式：
（2）各项前的系数代表着什么？
（3）你能分析说明各项前的系数吗？
（二）、合作探究问题3：类比、猜想（a+b）n的展开式又是什么呢？
（三）、“二项式定理” =_________________________________
（4）通项:Tk+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；
（四）、合作探究问题4：
把 用 代替?
（五）典型例题
例1、求 的展开式？ 第4项的系数？ 第4项的二项式系数？
跟踪训练：1.求 的展开式中含 的系数。
2.求展开 的展开式位于中间的两项及常数项？
四、高考链接
“主体性优效课堂”导学案设计（高二数学）
课题
二项式定理（一）
序号
1
课型
新授课
上课时间
月日
班级
一、学习目标：用计数原理和组合数公式分析 的展开式，得出二项式定理；掌握二项展开式的通项公式，并它们解决有关的计算问题。
学习重点：二项式定理及通项公式
二、温故而知新
1.写出 的展开式：
2.写出 的展开式：
三、学习过程：
7.求 的展开式
五、学后思考笔记:
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
分步计数原理任跃霞
甲
汽车1 汽车 汽车2 汽车
乙
完成一件事， 有两类不同的办法 完成一件事， 类办法有m种不同的方法 第1类办法有 种不同的方法， 类办法有 种不同的方法， 类办法有n种不同的方法 第2类办法有 种不同的方法， 类办法有 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。 种不同的方法。
汽车2 汽车 火车1 火车
甲
汽车1 汽车 汽车2 汽车
乙
从甲地到乙地， 类办法， 从甲地到乙地，需要分成2个步骤 个步骤， 从甲地到乙地， 有2类办法， 从甲地到乙地，需要分成 个步骤， 类办法 类办法乘火车， 第1类办法乘火车，有3种不同 第1步从甲地到丙地有 种不同的走 类办法乘火车 种不同 步从甲地到丙地有3种不同的走 步从甲地到丙地有 的走法， 类办法乘汽车， 的走法，第2类办法乘汽车，有 法，第2步从丙地到乙地有 种不同 类办法乘汽车 步从丙地到乙地有2种不同 步从丙地到乙地有 2种不同的走法，那么从甲地 的走法，那么从甲地到乙地共有 种不同的走法， 种不同的走法 的走法， 到乙地共有 3+2 = 5 3×2 = 6 × 种不同的走法。 种不同的走法。 种不同的走法。 种不同的走法。
N＝4×3+4×2+3×2＝26 ＝ × × × ＝
共同点：都是有关“完成一件事情” 共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。 种数问题。 主要不同点： 主要不同点： 分类加法计数原理 分类加法计数原理
分步乘法计数原理 分步乘法计数原理
直
相
分
相
①完成一件事有n类不同 完成一件事有 类 互 达 的方案； 的方案； 独 目 相互独立； 各类方案相互独立 ②各类方案相互独立； 的 立 每一类方案都能直接完 ③每一类方案都能直接完 该事件。 成该事件。
吉林省长春市实验中学高二数学选修23“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
【学习目标】通过对“杨辉三角”中的规律的探索，理解、掌握二项式系数的3条性质；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重点难点】重点：二项式系数的性质的理解.难点：二项式系数性质的证明.知识链接：1. n b a )(+展开式的通项公是共有________项;2.组合数的两个性质是 ， .模块一：自主学习，明确目标自学教材第32页-----33页,并回答下列问题：问题1. 请写出n 从1到6时的“杨辉三角”;问题2. 观察“杨辉三角”,发现什么规律？模块二：问题探究探究1 ： nn k n n n C C C C ,...,,...,,10中, 证明:n 为奇数时,中间两项最大,n 为偶数时,中间一项最大?探究2:试证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和模块三：巩固训练，整理提高练习:1.已知nx )1(+的展开式第4项与第8项的二项式系数相等,求这两项.2．求值(1)1111211111C C C +++(2) 1111511311111C C C C +++ (3) 11211101210+++++++++++++n n n n n n nn n n C C C C C C C C3. .⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是 ( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第5、6项 D ．第6、7项 ⎝⎛⎭⎫x －1x 11展开式中系数最大的项是哪一项? （实验班）三． 课堂总结：1．知识：2．思想方法：【作业】1．教材37页习题1.3 B 组第2题2．已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1） 求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3.3二项式定理与杨辉三角课件
3、二项式系数先递增后递减 ，变化过程是对称的，两边的 数都是1
4、n是奇数，展开式有偶数个项，最中间两项的二项式系数
是最大的
5、n是偶数，展开式有奇数个项，最中间一项的二项式系数
是最大的
n0 n 1 n2 n3
杨辉三角
题型一：求特定项的系数
(1) a1 a2 a7 ；
(2) a1 a3 a5 a7 ;
(3) a0 a2 a4 a6 ；
Tk1 C7k (2)k xk
解：令 f (x) (1 2x)7 函数方程思想的体现
(4) | a0 |
a0 a1 a2 a7 f (1) a0 f (0) a0 a1 a2 a6 a7 f (1)
b，7 (求1 x)7
b0 b1 的b2值。 b6
令 1 x 原t 式变为 (3 2t)7 b0 b1t b2t 2 b7t 7 于是 b7 C77 (2)7 128
换元法 转化与化归思想
题型二：赋值法的应用
变式2-1： (1 2x)7 b0 b1(1 x) b2 (1 x)2 b，7 (求1 x)的7 值。b6 解： 令 1 x 原t 式变为
(2)求展开式中系数最大的项。
解:(1) f (1) 2n 992 即 4n 2n 992 n 5
n 是奇数，因此二项式系数最大的项是第3，4项，分别是
2
2
22
T3 C52 (x 3 )3(3x2 )2 90x6 T4 C53 (x 3 )2 (3x2 )3 270x 3
题型三：最大系数问题
二项式定理与杨辉三角
主讲人： 时间：202X年1月5日
学习目标
《1.5.1 二项式定理》教案
《1.5.1 二项式定理》教案教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感､态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法｡教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课 教具:多媒体､实物投影仪教学过程:一､复习引入:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项:4a ,3a b ,22a b ,3ab ,4b ,展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况有14C 种,3a b 的系数是14C ,恰有2个取b 的情况有24C 种,22a b 的系数是24C ,恰有3个取b 的情况有34C 种,3ab 的系数是34C ,有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C ,∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++.二､讲解新课:二项式定理:01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项:n a ,n a b ,…,n r r a b -,…,n b ,⑵展开式各项的系数:每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,n a 的系数是0n C ; 恰有1个取b 的情况有1n C 种,n a b 的系数是1n C ,……, 恰有r 个取b 的情况有r n C 种,n r r a b -的系数是rn C ,……, 有n 都取b 的情况有n n C 种,n b 的系数是nn C ,∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫()na b +的二项展开式,⑶它有1n +项,各项的系数(0,1,)rn C r n =L 叫二项式系数,⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r r r nT C a b -+=. ⑸二项式定理中,设1,a b x ==,则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++L L三､讲解范例: 例1.展开41(1)x+.解一: 411233444411111(1)1()()()()C C C xxxxx+=++++23446411x x x x =++++. 解二:4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x ⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++.例2.展开6.解:6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+. 例3.求12()x a +的展开式中的倒数第4项解:12()x a +的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220T C x a C x a x a -+===.例4.求(1)6(23)a b +,(2)6(32)b a +的展开式中的第3项. 解:(1)24242216(2)(3)2160T C a b a b +==,(2)24242216(3)(2)4860T C b a b a +==.点评:6(23)a b +,6(32)b a +的展开后结果相同,但展开式中的第r 项不相同例5.(1)求9(3x +的展开式常数项; (2)求9(3x +的展开式的中间两项 解:∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅, ∴(1)当390,62r r -==时展开式是常数项,即常数项为637932268T C =⋅=; (2)9(3x +的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项､第6项, 489912593423T C xx --=⋅=,15951092693T C x --=⋅= 例6.(1)求7(12)x +的展开式的第4项的系数;(2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =.例7.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅,显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C(法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=. 例8.已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含2x 项的系数最小值分析:展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式,由展开式中含x 项的系数为36,可得3642=+n m ,从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解:()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=,即218m n +=,()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-, ∵218m n +=, ∴182m n =-,∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+,∴当378n =时,t 取最小值,但*n N ∈, ∴ 5n =时,t 即2x 项的系数最小,最小值为272,此时5,8n m ==.例9.已知n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项 解:由题意:1221121()22n n C C ⋅=+⋅,即0892=+-n n ,∴8(1n n ==舍去)∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr rC x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项,则04316=-r,即0316=-r , ∵r Z ∈,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若1+r T 是有理项,当且仅当4316r-为整数, ∴08,r r Z ≤≤∈,∴ 0,4,8r =,即 展开式中有三项有理项,分别是:41x T =,x T 8355=,292561-=x T 例10.求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-L ,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=,一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四､课堂练习:1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1)5(a;(2)5(2. 6.化简:(1)55)x 1()x 1(-++;(2)4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7.()5lg xx x +展开式中的第3项为610,求x .8.求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案:1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3. 2311(2rn r r n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =,第4项的系数3372280C =5. (1)552(510105a a a a a b =++(2)515328x =+-.6. (1)552(1(122010x x +=++;(2)1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C - 五､小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六､课后作业: 课后习题 七､板书设计(略)。
江西乐安一中高二数学 34二项式定理培优教案
二项式定理[基础知识] 二项展开式 二项式定理 二项式系数的性质[学习指导]1.如何掌握二项式定理？二项式定理是同学们在初中学习过的和的平方、和的立方公式的推广,要掌握二项展开式的几个特点:(1)项数:共1+n 项;(2)系数:第1+r 项的二项式系数是),1,0(n r C rn ⋅⋅⋅=;(3)指数:a 的指数由b n ,01−−→−逐项减的指数由n −−→−10逐项加,各项a 和b 的指数的和都等于n.特别对二项展开式的通项公式要注意:(1)它表示的是nb a )(+展开式的第1+r 项,而不是第r 项. (2)公式中a 和b 的位置不能颠倒,它们的指数和为n. (3)对于n b a )(-的二项展开式的通项公式应是r rn r n r r b a C T -+-=)1(1.2.二项式系数和项的系数有什么不同?二项式系数仅指nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅,,,,321,1+n 个组合数,与a, b 无关,而项的系数却与a, b 的取值密切相关.例如,n n n r n r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a )2()2()2()2()2(011100+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+---, 这个二项展开式中，二项式系数是nn r n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅210,,,项的系数是n n n r n r n n n C C C C 22,2,10⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,两者显然不同.3.在二项式定理的应用中,如何运用取特例的方法解决问题?书中给出二项展开式的特例,nrr n n n n x x C x C x C x +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+2211)1(1==b a 时,可得.210n nn r n n n C C C C =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++1,1-==b a 令时,可设0)1(3210=-⋅⋅⋅+-+-nn n n n n nC C C C C 即 ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++2120n n n n C C C C .令2,1-==b a 时,得到n n n n n n C C C )1()2(42121-=-+⋅⋅⋅-+-.4.“杨辉三角”是什么含义?“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它可直观地看出二项式系数的性质,当二项式的次数不是很大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.5.二项式定理有哪些应用? (1)求二项展开式中的某项; (2)证明整除问题; (3)求组合数的和;(4)证明组合恒等式(或不等式)[例题精析]例1.(89年某某)在202)1(x -展开式中,如24+r r 项和项的二项式系数相等, (1)求r 的值;(2)写出展开式的24+r r 项和项.[分析]由题目所给的条件,24+r r 项和项的二项式系数相等,列方程,求出r 值并不困难,但是展开式中某项的系数和二项式系数是一个不能混淆的概念性问题.[解] (1)∵r 4项的二项式系数是2,1420+-r C r 项的二项式系数是120+r C ,∴1201420+-=r r C C由组合数性质20)1()14(114=++-+=-r r r r 或 ∴解得32=r (舍) r=4 (2)∵r=4∴30152152016415504)(x x C T T r -=-== 10525206215504)(x x C T T r -=-==+[解题后的点拨]求二项展开式中的某项，是二项式定理常见的题型.次数已知,则直接应用通项公式求得,若次数或有其它量未知,则需先根据题意求出参数的值,再求二项展开式中的某项.解题时注意概念的区分和公式的正确使用,以及组合数公式和性质的应用.例2.当n 为自然数时,求证:87233--+n n 能被49整除.[分析]要证明87233--+n n 能被49整除,要将被除式根据除数(式)的特点进行适当变形,得87233--+n n =87)17(1--++n n ,再利用二项式定理进行证明.[解]87233--+n n=87)17(1--++n n]77[7777871)1(777787777711211101221111112111110111112111101-+-+-+-++++-+++++++-+++++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=--++++⋅⋅⋅++=--++⋅⋅⋅+++=n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C CCCn n C C C n C C C C C∵112111177-+-+-++⋅⋅⋅++n n n n n n C C C 为整数.∴87233--+n n 能被49整除。
人教B版高二数学选修 二项式定理(2)-3学习任务单牛老师
《二项式定理（2）》学习任务单知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》李度一中陈海思【学习目标】灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》◆教学目标：1．进一步熟悉二项式定理及其简单应用；2．培养归纳猜想的意识，并与原有知识建立相关联系；3．体会从感性认识到理性认识的过程，体验数学文化和数学思想．教学重点、难点：二项展开式的二项式系数、系数及其应用．【课上任务】1．通过杨辉三角，可以发现二项式系数有什么规律？2．二项式系数规律可以用什么组合公式进行表示？3．二项展开式中的二项式系数最大是哪一个？4．二项展开式中的二项式系数最大的项是哪一项？5．如何证明二项展开式中的中间项的二项式系数最大？6．二项展开式的二项式系数和是多少？如何证明？7．二项展开式中的奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数有什么关系？各是多少？8．你会求二项展开式的系数和吗？9．你会求二项展开式的奇数次幂项系数和吗？偶数次幂项的系数和呢？10．你会求二项展开式的系数的绝对值的和吗？11．通过思考题，你学会设特殊值求二项展开式的系数求和的相关问题吗？12.本节课你学到了什么？你是如何获得这些知识的？可以谈谈自己的体会吗？【学习疑问】13．哪个推导过程没看明白？14．哪个环节没弄清楚？15．有什么困惑？16．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？【课后作业】17．求9(2的展开式中二项式系数最大的项．18．已知331()n x x+的展开式中只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项．19．求13(1)x -的展开式中的含x 奇次项系数的和．【课后作业参考答案】17．解：因为29是奇数，所以9(2的展开式中间两项，即第5项和第6项二项式系数最大，分别为4542592(4032T C x ==和55452692(2016T C x ==-18．解：因为展开式中只有第6项的系数最大，所以162n +=，得10n =． 因为331()n x x +的展开式通项公式为3103061101031()()r r r r r r T C x C x x --+==， 令3060r -=，得5r =，所以展开式中的常数项是5610252T C ==． 19．解：设1321301213(1)x a a x a x a x -=++++， 令1x =，则012130a a a a ++++= ①，令1x =-，则130********a a a a a a -+-++-= ②， ① - ②，则有 12131324096a a a +++=-=-，所以13(1)x -的展开式中的x 奇次项系数的和是4096-．【素材积累】1、冬天是纯洁的。
湖北省丹江口市第一中学数学人教A版选修2-3导学案：1.3.1二项式定理含答案
1.3.1二项式定理【学习目标】1掌握二项式定理和二项式系数的性质2。
能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题3.培养观察、比较和变形能力，形成应用意识.4.通过实际问题的解决,进一步培养学习数学的兴趣.【重点难点】重点:二项展开式、通项公式、二项式系数。
难点：如何灵活运用展开式、通项公式解题。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P29.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究,答疑解惑.【问题导学】1。
(a＋b)3和（a＋b)4展开后分别等于什么？2.二项式定理及其特例：(a＋b）n＝？(a－b）n＝?3。
二项展开式的通项公式;4.二项展开式中项的系数与二项式系数有何不同？5. 二项展开式中的通项是展开式的第几项？如何表示？6. 二项展开式的结构特征：①(多少项）②(项的次数）③(升降幂)④(各项二项式系数)【合作探究】问题1:二项式(a＋b)n与(b＋a）n的展开式的第n＋1项相同吗?问题2：（1＋2x)7的二项展开式的第4项的二项式系数与项的系数相同吗？问题3：（1) 用二项式定理展开（2x－错误!)5.(2) 化简:C0，n(x＋1）n－C错误!（x＋1)n——1＋C错误!（x＋1)n-2－…＋(－1)r C r n（x＋1)n-r＋…＋（－1)n C错误!.【深化提高】1 求92C错误!＋93C错误!＋94C错误!＋95C错误!＋96C错误!的值．2. 求C错误!＋9C错误!＋92C错误!＋93C错误!＋94C错误!的值.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为( ）。
A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测（3选2填或2选2填1解答)A组（你一定行）：1.（2012·天津高考)在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为（ D ) A．10 B．－10C．40 D．－402。
(1＋3x)n（其中n∈N且n≥6）的展开式中，若x5与x6的系数相等,则n＝（ B ）A．6 B．7C．8 D．9B组（你坚信你能行）：3。
人教B版高二数学选修 二项式定理(1)-3学习任务单牛老师
《二项式定理（1）》学习任务单祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》师院附中 李忠海【学习目标】举世不师，故道益离。
柳宗元◆教学目标：1．掌握二项式定理及其简单应用；2．发展观察、归纳、类比、猜想的意识，提高发现问题、探求问题和逻辑推理能力，养成科学的思维方式；3．培养勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美．教学重点、难点：二项式定理及其应用．【课上任务】1．()()a b c d ++的展开式是什么样的？取出1枚五角硬币和1枚一元硬币，两枚硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？设五角硬币的正面为a ，反面为b ；一元硬币的正面为c ，反面为d ．2．()2a b +的展开式是什么样的？取出2枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？ 设五角硬币的正面为a ，反面为b （下同）．3．()3a b +的展开式是什么样的？取出3枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？4．()4a b +展开式是什么样的？取出4枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？5．()na b +的展开式是什么样的？取出n 枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？6．二项展开式是什么样的？有什么特点？7．什么是二项式系数？什么是项的系数？8．你会写出二项展开式的通项公式吗？9．如果遇到根号，你会化成分数指数幂进行运算吗？10．如果给出二项展开式的某一项指数，你会利用通项公式求这一项的系数吗？11．如果给出三项展开式的某一项指数，你会利用类似的方法求这一项的系数吗？12．本节课你学到了什么？你是如何获得这些知识的？可谈谈自己的体会吗？【学习疑问】13．哪个推导过没看明白？14．哪个环节没弄清楚？15．有什么困惑？16．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序是什么？【课后作业】17．求37(2)x x +展开式的第4项，以及第4项的二项式系数和系数．18．求10展开式中含4x 的项．19．求81()x x-开式中的常数项．【课后作业参考答案】17．解：33431547()(2)280T C x x x ==，所以第4项的二项式系数是3735C =，系数是280．18．解：10105221101010((3)(3)r r rr r r r r r r r T C C x x C x ----+==-=-， 令54r -=，得1r =，所以144210(3)30T C x x =-=- 19．解：8821881()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令得4r =， 44418(1)70T C +=-=，所以81()x x-展开式中的常数项是70． 【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
吉林省长春市田家炳实验中学人教版高中选修2-3数学教案：1.3 二项式定理
田长家春炳市实第验五中中学学
教学设计
作课教师 李吉生 作课班级 高二、13班 学科 数学
作课时间 2017.3.29
课题
《二项式定理》
教 学 目 标 知识与技能目标： 用计数原理分析（a+b ）3的展开式，进而探究（a+b ）4的展开式，从而猜想二
项式定理。
过程与方法目标：
熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。
情感态度和价值观目标：
培养学生观察、分析、概括的能力。
核心素养培养目标：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
重 点 难 点
【重点】：二项式定理的内容及应用
【难点】：二项式定理的推导过程及内涵
学 情 分 析
本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．。
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)
二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。
由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、学情分析这一堂课是面对高二学生。
学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。
能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。
但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。
三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。
（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。
四、设计思想：本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．五、教学重点与难点：重点： (1) 使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
浅述高中数学三角函数教学方法优化
浅述高中数学三角函数教学方法优化
任跃霞
【期刊名称】《数学大世界（小学五六年级版）》
【年(卷),期】2017(000)006
【摘要】三角函数这一知识点对于高中数学来说十分重要,教师只有帮助学生打好三角函数的基础,学生以后的学习才不会吃力,在高考中也不会吃亏.因此,教师应该重视三角函数的教学方法,尽量根据学生的实际情况进行优化,为学生创造更好的学习条件.
【总页数】1页(P55)
【作者】任跃霞
【作者单位】山东省聊城市莘县第一中学
【正文语种】中文
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令 27rZ即 43rZ(r0,1 9)
6
6
r3或 r9
r 32 7 6 r 4T 4 ( 1 ) 3 C 9 3 x 4 8 4 x 4
r 92 7 6 r 3T 1 0 ( 1 ) 9 C 9 9 x 3 x 3
原式的有理项为: T4 84x4 T10 x3
对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算
例7: 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
变式: 若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
（3）22001=（7+1）667
C 6 0 6 7 7 6 6 7 C 6 1 6 7 7 6 6 6 C 6 2 6 7 7 6 6 5 C 6 6 6 6 7 6 7 C 6 6 6 6 7 7
例2：请问 ( x 1 )8的展开式中有常数项 2 3x
吗？为什么？
T r 1
二项式系数
，
Cnranrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
r1
n
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6
C 6 0 C 6 1 0 . 0 0 2 C 6 2 ( 0 . 0 0 2 ) 2 C 6 3 ( 0 . 0 0 2 ) 3
（2） (0.997)3=(1-0.003)3
C 3 0 C 3 1 ( 0 . 0 3 ) C 3 2 ( 0 . 0 3 ) 2 C 3 3 ( 0 . 0 3 ) 3
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
(nN)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中
C
r n
（r=0,1,2,……,n）叫做
3
n
由题C n 意 424 得 1,0 化 ：简 n2 得 5n2 ： 40 C222 1
n
解n得 8或 n（ 3 舍） 112x
例5 计算并求值
( 1 )1 2 C n 1 4 C n 2 2 n C n n
解(1):将原式变形
原 式 C n 0 1 n C n 1 1 n 1 2 C n 2 1 n 2 2 2 C n n 2 n (12)n3n
特别地: 1、把b用-b代替
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+ … +(-1)rCnran-rbr + … +(-1)nCnnbn
2、令a=1，b=x
( 1 x ) n 1 C n 1 x C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
3 、 (1 1 )n C n 0 C n 1 C n r C n n ;
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n 例1.求近似值（精确到0.001） （1） (1.002)6 ；（2）(0.997)3 （3）今天星期3，再过22001天是星期几？
(nN)
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
Cn0、 Cn 1、 Cn2、 、 Cnn
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
[(x1)1]51
x5 1
例6:求 ( x1)6(2x1)5的展开式中x 6 项的系数.
解 ( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2x 1)5 的通项是 C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
C C ra n rb r n b n
n
n
T C (ab)n 的展开 式 ran 通 rbr的 项于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
由题意知
16r2s 2
6
r 2 s 4 ( r 0 6 , s 0 5 )
解得
r 0
s
2
r 2
s
1
r 4
s
0
C52C60(1)223 C51C62(1)24 C50C64(1)025 640
例5 计算并求值
( 2 )( x 1 ) 5 5 ( x 1 ) 4 1 0 ( x 1 ) 3 1 0 ( x 1 ) 2
5(x1)
解:(2)原式 C50(x1)5C51(x1)4 C52(x1)3
C53(x1)2C54(x1)
C
5 5
C
5 5
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( A )
A．1
B．－1 C．0
D．2
思考题： 求(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少？
课堂小结
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
(ab)n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2
例 4、 已 知 x2 xn展 开 式 中 第 五 项 的 系 数 与 第 三 项 的 系 数 比 是 10:1， 求 展 开 式 中 含 x的 项
分 析 ： T 5 C n 4 ( x )n 4 (2 x )4 2 4 C n 4 x n 2 1 2
n6
T 22C2x 2
C
r 8
(
x 2
)
8
r
(
1 3x
)r
C
r 8
(1)r ( 1 2
)8r
x
8
r
x
r 3
C
r 8
(1)r ( 1 2
)8r
8 4r
x3
(r
0,1, 2,....8)
要
使
T
r
为
1
常
数
r
6.
9
例3 求 x 3 x 展开式中的有理项
解: Tr1C 9 r(x1 2)9r(x1 3)r(1)rC9rx276r