高中数学(人教版必修5)配套课件：第一章 解三角形 1-2(三)共24页文档
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高中数学(人教版必修5)配套课件：第一章 解三角形 1-2(三)
明目标、知重点
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又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°，
∴b＝ c2－a2＝ 22－12＝ 3.
1 3 ∴S△ABC＝2×1× 3＝ 2 .
明目标、知重点
解析答案
知识点二 多边形的面积
对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化
为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决.
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当堂检测
1
2
3
4
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝
4，C＝120°，则△ABC的面积为( C )
3 A. 3 2 3 B. 2 C. 3 D.2 3
解析 将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，
1 解得 ab＝4，∴S△ABC＝2absin C＝ 3.
π ∵A 为△ABC 中最小内角，∴A∈(0，3)，
π π 7 π 2 ∴A＋4∈(4，12π)，∴sin(A＋4)∈( 2 ，1]，
∴sin A＋cos A∈(1， 2 ].
明目标、知重点
解析答案
1
2
3Hale Waihona Puke 4明目标、知重点解析答案
课堂小结
1.三角形面积计算的解题思路 1 对于此类问题，一般要用公式 S＝2absin C 1 1 ＝2bcsin A＝2acsin B 进行求解，可分为以下两种情况：
第一章 解三角形
§1.2 应用举例(三)
明目标、知重点
学习 目标
1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.
2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用.
(人教版)高中数学必修5课件：第1章解三角形1.1.2
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当c＝
6－ 2
2时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
6－ 2
2×
62－2－23＝－12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.
故c＝
6＋ 2
2 时，A＝60°，C＝75°或c＝
6－ 2
2 时，A＝
120°，C＝15°.
∴A＝45°.由正弦定理sina A＝sinb B知si2n 435°＝sin6B，
得 sin B＝ 6·2sin345°＝12. 因 a>b 知 A>B，∴B＝30°.
故 C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.
• 事项
已知三边解三角形的方法及注意
• (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值， 确定角的大小．
解析： 方法一：根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以32＝a2＋(3 3)2－2a·3 3·cos 30°， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6.
方法二：根据正弦定理得
sin C＝csibn B＝3
3sin 3
30°＝
3 2.
因为c>b，所以C>B，所以C＝60°或C＝120°.
解析： 由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝
2Rsin C. 设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos B＝252＋×654×－849＝12，∴B＝π3.
答案：
π 3
人教版(B版)高中数学必修五第一章解三角形1.1.2 余弦定理教学课件 (共18张PPT)
b
a
提炼：设a是最长的边，则
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b2c2a20
三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中，若 a2 b2 c2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2b2c2呢?
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
思考：
已知两边及一边的对角时， 想一想如何来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
小结:
余弦定理：
推论:
a2b2c22 b cco sA
b2 c2 a2 cos A
b
a
解析 co： Csa2b2c2
2ab
Ac
B
a2c2b2abcoCs ab1C60
2ab 2
请同学们总结一下利用余弦定理可以解 决哪些三角形问题？ （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边。
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
C
推论： cosAb2 c2 a2 2bc
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形(依次求解A、B、C).
解：由余弦定理得
cosAb2c2a222( 31)2( 6)21
2bc
22(31) 2
A60
coBs a2c2b2 ( 6)2( 31)222
2ac
2 6( 31)
2 2
B45
C 1 8 0 A B 1 8 0 6 0 4 5 7 5
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
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sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
人教版必修五第一单元解三角形复习课课件
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
(9)sin sin 或 若、是 三角 形 的内 角 则有
正余弦推论的应用
sinA
sinA sinB
b
2
2
又b a, B A, A 60或120
当A 60时 ，C 75 c b sinC s i nB
2 sin75 sin45
6 2
2
当A 120时 ，C 15 c b sinC s i nB
2 sin15 sin45
6 2
2
方 法 二用 余 弦 定 理
k k 1 2k
与 第 三 边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小 于 第 三 边 解 得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2,则 最 大 边c的 取 值 范围是 5 c3
解：由余弦定理得cosC a2 b2 c2 5 c2
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
a b c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
高效测评 知能提升
当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
数学必修5课件第一章解三角形1.1第2课时
思考 在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
答案 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为 △ABC外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－ cos Asin B＝0. 梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本 质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理 主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．
2 ∴sin C＝1，∴C＝90°.
解析 答案
类型三 用正弦定理解决简单实际问题 例4 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两 地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为 5( 3＋1) m.
解析 答案
反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出 实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．
12345
解析 答案
规律与方法
1.用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注 意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解.然后分析解三角形已 有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达 到目标. 2.当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接 圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化. 3.三角形面积公式要根据条件灵活选择.
知识点三 三角形面积公式 思考 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝30°.BC边上的高AD是多 少？△ABC的面积是多少？ 答案 AD＝bsin C＝2·sin 30°＝1. S△ABC＝12a·AD＝12absin C＝12×1×1＝12. 梳理 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，则△ABC 的面积 S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
答案 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为 △ABC外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－ cos Asin B＝0. 梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本 质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理 主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．
2 ∴sin C＝1，∴C＝90°.
解析 答案
类型三 用正弦定理解决简单实际问题 例4 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两 地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为 5( 3＋1) m.
解析 答案
反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出 实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．
12345
解析 答案
规律与方法
1.用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注 意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解.然后分析解三角形已 有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达 到目标. 2.当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接 圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化. 3.三角形面积公式要根据条件灵活选择.
知识点三 三角形面积公式 思考 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝30°.BC边上的高AD是多 少？△ABC的面积是多少？ 答案 AD＝bsin C＝2·sin 30°＝1. S△ABC＝12a·AD＝12absin C＝12×1×1＝12. 梳理 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，则△ABC 的面积 S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
人教A版数学必修五同步配套课件：第一章解三角形1.2第2课时
[错解] 如图所示，
由题意知AB＝3 km，AC＝2 km，∠ACB＝120°．
由正弦定理，得
sin∠ACABC＝sin∠ABACB，∴sin∠ABC＝AC·siAn∠B ACB＝2×3
3 2
＝ 33．
∵∠ACB＝120°，∴∠ABC为锐角，∴cos∠ABC＝ 36． 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， ∴4＝9＋BC2－2 6BC，∴BC2－2 6BC＋5＝0.∴BC＝ 6±1．
• 4．在点A处视察一物体的视角为50°，请画出示意图． • [解析] 如图所示．
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用仰角测量高度
例题 1 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30 m，测得 塔顶的仰角为2θ，再向塔走10 3 m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
• [分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30 、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋
81t2－2×10×9t×(－
1 2
)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝
2 3
或t＝－
5 12
(舍去)．所
以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h．
此时AB＝14，BC＝6．
在△ABC中，根据正弦定理，得sin∠BCCAB＝sin∠ABACB， 所以sin∠CAB＝BCsinA∠B ACB＝6×1423＝3143，即∠CAB≈21.8°． 故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行， 需23 h才能靠近渔轮．
∴8＝4h2＋2h2－4h2＝2h2， ∴h＝2(km)．
由题意知AB＝3 km，AC＝2 km，∠ACB＝120°．
由正弦定理，得
sin∠ACABC＝sin∠ABACB，∴sin∠ABC＝AC·siAn∠B ACB＝2×3
3 2
＝ 33．
∵∠ACB＝120°，∴∠ABC为锐角，∴cos∠ABC＝ 36． 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， ∴4＝9＋BC2－2 6BC，∴BC2－2 6BC＋5＝0.∴BC＝ 6±1．
• 4．在点A处视察一物体的视角为50°，请画出示意图． • [解析] 如图所示．
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用仰角测量高度
例题 1 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30 m，测得 塔顶的仰角为2θ，再向塔走10 3 m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
• [分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30 、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋
81t2－2×10×9t×(－
1 2
)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝
2 3
或t＝－
5 12
(舍去)．所
以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h．
此时AB＝14，BC＝6．
在△ABC中，根据正弦定理，得sin∠BCCAB＝sin∠ABACB， 所以sin∠CAB＝BCsinA∠B ACB＝6×1423＝3143，即∠CAB≈21.8°． 故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行， 需23 h才能靠近渔轮．
∴8＝4h2＋2h2－4h2＝2h2， ∴h＝2(km)．
高二数学人教A版必修5课件：第1章 解三角形1-1-1-2
b＜a， 方法二：要使三角形有两解，则 b＞asinB， 2＜x 即 2＞xsin45°
，
∴2＜x＜2 2.
4．在△ABC 中，已知∠A＝150° ，a＝3，则其外接圆半径 R 的 值为( ) A．3 B. 3 C．2 D．不确定
答案：A 3 a 解析：在△ABC 中，sinA＝sin150° ＝6＝2R， ∴R＝3.
课时目标 1.掌握正弦定理及其变形的灵活运用． 2．能初步运用正弦定理解斜三角形及三角形解的个数的判断．
识记强化 1．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b， c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做解三角形． 2．如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定 理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另 两边；如果已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定 理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形 其他的边和角．(这一类问题中要注意可能出现多解的情况)
)
答案：D 解析：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， ∴tanA＝tanB＝tanC. ∴A＝B＝C.
二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) a＋b－c 7．在△ABC 中，已知 ＝4，则其外接圆的直 sinA＋sinB－sinC 径为________．
11．(13 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 10 已知 sin C＝ 4 ，当 a＝2，且 2sin A＝sin C 时，求 b 的长．
10 解：∵a＝2，sin C＝ 4 ，2sin A＝sin C， 10 ∴sin A＝ 8 ， ∵sin C＞sin A，∴C＞A， 3 6 6 ∴cos A＝ 8 ，cos C＝± 4 ， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C 10 6 3 6 10 3 15± 15 ＝ 8 ×(± 4 )＋ 8 × 4 ＝ 16 ， 15 15 ∴sin B＝ 4 或 sin B＝ 8 ， a b 由正弦定理sin A＝sin B ，∴b＝2 6或 6.
，
∴2＜x＜2 2.
4．在△ABC 中，已知∠A＝150° ，a＝3，则其外接圆半径 R 的 值为( ) A．3 B. 3 C．2 D．不确定
答案：A 3 a 解析：在△ABC 中，sinA＝sin150° ＝6＝2R， ∴R＝3.
课时目标 1.掌握正弦定理及其变形的灵活运用． 2．能初步运用正弦定理解斜三角形及三角形解的个数的判断．
识记强化 1．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b， c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做解三角形． 2．如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定 理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另 两边；如果已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定 理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形 其他的边和角．(这一类问题中要注意可能出现多解的情况)
)
答案：D 解析：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， ∴tanA＝tanB＝tanC. ∴A＝B＝C.
二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) a＋b－c 7．在△ABC 中，已知 ＝4，则其外接圆的直 sinA＋sinB－sinC 径为________．
11．(13 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 10 已知 sin C＝ 4 ，当 a＝2，且 2sin A＝sin C 时，求 b 的长．
10 解：∵a＝2，sin C＝ 4 ，2sin A＝sin C， 10 ∴sin A＝ 8 ， ∵sin C＞sin A，∴C＞A， 3 6 6 ∴cos A＝ 8 ，cos C＝± 4 ， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C 10 6 3 6 10 3 15± 15 ＝ 8 ×(± 4 )＋ 8 × 4 ＝ 16 ， 15 15 ∴sin B＝ 4 或 sin B＝ 8 ， a b 由正弦定理sin A＝sin B ，∴b＝2 6或 6.
高二数学人教A必修5课件第一章解三角形
内容 索引 Contents Page
01
理网络 明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
探题型·提能力
题型一 利用正、余弦定理解三角形
解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C， 由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦 定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B＋C＝π，求另一角．
sin Acos B＋cos Asin B＝54×153＋35×1123＝5665. 56
由正弦定理sinc C＝sinb B，得 c＝b×ssiinn CB＝3×1625＝154.
13
题型三 正、余弦定理在实际中的应用
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理 解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、 方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
解 因为 cos B＝2cos2 B2－1＝53， 故 B 为锐角，所以 sin B＝45. 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B
＝sin
3π 4 cos
B－cos
3π 4 sin
B＝7102.
由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170，
所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
A.0，π6
B.π6，π
C.0，3π
解析 在△ABC中，由正弦定理得
D.π3，π
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR，(其中 R 为△ABC 外接
圆的半径)
01
理网络 明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
探题型·提能力
题型一 利用正、余弦定理解三角形
解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C， 由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦 定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B＋C＝π，求另一角．
sin Acos B＋cos Asin B＝54×153＋35×1123＝5665. 56
由正弦定理sinc C＝sinb B，得 c＝b×ssiinn CB＝3×1625＝154.
13
题型三 正、余弦定理在实际中的应用
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理 解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、 方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
解 因为 cos B＝2cos2 B2－1＝53， 故 B 为锐角，所以 sin B＝45. 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B
＝sin
3π 4 cos
B－cos
3π 4 sin
B＝7102.
由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170，
所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
A.0，π6
B.π6，π
C.0，3π
解析 在△ABC中，由正弦定理得
D.π3，π
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR，(其中 R 为△ABC 外接
圆的半径)