2014-2015学年吉林省长春市东北师大附中高三(上)第二次摸底数学试卷(理科)

2014-2015学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第二次摸底数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．函数f（x）=+的定义域为（）A．B．（﹣1，0）∪（0，1]C．D．（﹣1，1] 3．命题p：“∀x∈R，2x﹣1＞0”，命题q：“函数f（x）=x﹣是奇函数”，则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（￢p）∧q”是真命题C．命题“p∧（￢q）”是真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0），|φ|≤）的图象的一部分如图所示，则函数解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin （4x+）D．f（x）=sin（4x﹣）5．曲线f（x）=在点（3，f（3））处的切线方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣7=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．2x+y﹣8=0 6．（﹣﹣1）dx=（）A．πB．﹣πC．π+2 D．﹣π﹣2 7．所示四个图中，函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．8．若tan﹣=3，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．9．“a=1”是“f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴是x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，△ABC的面积，则△ABC的周长为（）A．6 B．5 C．4 D．11．已知函数f（x）=x3+x，若不等式f（4x﹣m•2x+1）﹣f（4﹣x﹣m•2﹣x+1）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤B．m≥C．m≤1 D．m≥112．设f（x）=|xe x|，若关于x的方程（1﹣t）f2（x）﹣f（x）+t=0有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α为锐角，化简+2sinα=．14．已知△ABC中，sinA+cosA=，则tanA=．15．已知函数f（x）=sinx，g（x）=x2+ax+2，如果对于任意的x1∈，都存在x2∈R，得f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是．16．关于函数f（x）=（x≠0），下列说法正确的是．①函数f（x）有两个极值点x=±；②函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣2+a]∪上的值域．18．某厂生产一种内径为105mm的零件，为了检查该生产流水线的质量情况，随机抽取该流水线上50个零件作为样本测出它们的内径长度（单位：mm），长度的分组区间为B．（﹣1，0）∪（0，1]C．D．（﹣1，1]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于联立不等式组得答案．解答：解：由，解得：﹣1＜x≤1且x≠0．∴原函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．故选：B．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．3．命题p：“∀x∈R，2x﹣1＞0”，命题q：“函数f（x）=x﹣是奇函数”，则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（￢p）∧q”是真命题C．命题“p∧（￢q）”是真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据指数函数的值域，奇函数的定义能够判断出命题p，q的真假，然后根据p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系即可找出正确的选项．解答：解：命题p为假命题，比如x=0时，便有20﹣1=0；根据奇函数的定义知命题q为真命题；∴（￢p）∧q是真命题，即B正确．故选B．点评：考查指数函数的值域，奇函数的定义，以及p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0），|φ|≤）的图象的一部分如图所示，则函数解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（4x+）D．f（x）=sin（4x﹣）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=1，=•=+=，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，求得φ=，故函数的解析式为f（x）=sin（2x+），故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5．曲线f（x）=在点（3，f（3））处的切线方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣7=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．2x+y﹣8=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由f′（x）==（x≠1）．可得f′（3）．利用点斜式即可得出切线的方程．解答：解：f′（x）==（x≠1）．∴f′（3）=﹣．而f（3）=2．∴曲线f（x）=在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），化为x+2y﹣7=0．故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义、切线方程，属于基础题．6．（﹣﹣1）dx=（）A．πB．﹣πC．π+2 D．﹣π﹣2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义求出dx，再根据原式可以化为（﹣﹣1）dx=﹣dx﹣1dx，根据定积分计算即可解答：解：根据定积分的几何意义，dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的4分之一，故dx==π，（﹣﹣1）dx=﹣dx﹣1dx=﹣﹣dx﹣x=﹣π﹣2，故选：D点评：本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题7．所示四个图中，函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：求出x+1＞0和x+1＜0的函数的导数，求出单调区间，判断增减情况，对照选项加以判断，即可得到．解答：解：若x+1＞0，即x＞﹣1，则y=的导数y′=，则y′＞0，y在﹣1＜x＜e﹣1递增，y′＜0，y在x＞e﹣1递减，若x+1＜0，即x＜﹣1，则y=的导数y′=，则y′＞0，y在﹣1﹣e＜x＜﹣1递增，y′＜0，y在x＜﹣e﹣1递减，对照选项，x＜﹣1先减后增，C显然不对，x＞﹣1，先增后减，B，D都错，A对．故选A．点评：本题考查函数的图象的画法，考查运用导数判断函数的单调性，属于基础题．8．若tan﹣=3，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的正切；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：令m=tan，有m﹣=3，则m2﹣1=3m，则tanθ===﹣，从而由万能公式可求sin2θ的值．解答：解：令m=tan，有m﹣=3，则m2﹣1=3m则tanθ===﹣所以sin2θ===﹣．故选：A．点评：本题主要考察了二倍角的正切公式、二倍角的正弦公式、万能公式的应用，属于基础题．9．“a=1”是“f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴是x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义，分别进行判断，从而得到答案．解答：解：若a=1，则f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴2x+=kπ+，∴对称轴是：x=π+，故一条对称轴是x=，是充分条件，若f（x）=sin2x+acos2x=sin（2x+α），其中cosα=，∴﹣=，∴α=，∴a=1，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角函数的图象及性质，是一道基础题．10．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，△ABC的面积，则△ABC的周长为（）A．6 B．5 C．4 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据△ABC的面积求得ab=4，再由余弦定理求得a2+b2=8，由此求得a+b的值，再由c的值，即可得到△ABC的周长．解答：解：在△ABC中，∵△ABC的面积==，∴ab=4．再由余弦定理c2=4=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2﹣4，∴a2+b2=8，∴a+b===4，故△ABC的周长为a+b+c=4+2=6，故选A．点评：本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题．11．已知函数f（x）=x3+x，若不等式f（4x﹣m•2x+1）﹣f（4﹣x﹣m•2﹣x+1）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤B．m≥C．m≤1 D．m≥1考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：通过求f′（x）判断出f（x）在R上是增函数，所以由原不等式可得4x﹣m•2x+1≥4﹣x﹣m•2﹣x+1，该不等式又可变成4x﹣4﹣x≥m（2x+1﹣2﹣x+1），所以要求m的取值范围需讨论2x+1﹣2﹣x+1是否为0：x=0时，上面不等式成立；x≠0时，上面不等式变成m，而，所以m≤1，这样即求出了m的范围．解答：解：f′（x）=3；∴f（x）在R上是增函数；由原不等式得f（4x﹣m•2x+1）≥f（4﹣x﹣m•2﹣x+1）；∴4x﹣m•2x+1≥4﹣x﹣m•2﹣x+1；∴4x﹣4﹣x≥m（2x+1﹣2﹣x+1），①x=0时对任意m∈R上面不等式都成立；②x≠0时上面不等式变成m；2x+2﹣x≥2，∴；∴m≤1；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C．点评：考查根据导数符号判断函数的单调性的方法，对增函数定义的运用，平方差公式以及基本不等式．12．设f（x）=|xe x|，若关于x的方程（1﹣t）f2（x）﹣f（x）+t=0有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；导数的综合应用．分析：函数f（x）=|xe x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，由（1﹣t）f2（x）﹣f（x）+t=0，可得f（x）=1或f（x）=，要使方程（1﹣t）f2（x）﹣f（x）+t=0有四个实数根，可得0＜＜，即可求出实数t的取值范围．解答：解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在，都存在x2∈R，得f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是a或a．考点：正弦函数的单调性；二次函数的性质．专题：常规题型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：对于任意的x1∈，都存在x2∈R，得f（x1）=g（x2）成立，只须让函数f（x）在x1∈的值域是函数g（x）值域的子集即可．解答：解：函数f（x）=sinx在x1∈的值域为，对于任意的x1∈，都存在x2∈R，得f（x1）=g（x2）成立，须让函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集∴函数g（x）的最小值要小于等于﹣1，∴，解得a或a．故答案为：a或a．点评：解决本题的关键是把任意性和存在性问题转化成求两个函数的值域问题解决．16．关于函数f（x）=（x≠0），下列说法正确的是③④．①函数f（x）有两个极值点x=±；②函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣2+a]∪上的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先将解析式三角恒等变形为y=Asin（ωx+φ）的形式然后解得相关问题解答：解：因为f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2xcos+sin2xsin+2sin（x﹣）cos（﹣x﹣）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x=）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），所以（1）函数f（x）的最小正周期为T=；因为y=sinx的单调递增区间为，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，所以函数的递增区间为．（2）因为x∈，所以2x﹣∈，所以sin（2x﹣）∈，所以函数f（x）在区间上的值域是．点评：本题考查了三角函数的恒等变形以及三角函数的性质运用；关键是正确化简三角函数式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用简单三角函数性质解答．18．某厂生产一种内径为105mm的零件，为了检查该生产流水线的质量情况，随机抽取该流水线上50个零件作为样本测出它们的内径长度（单位：mm），长度的分组区间为点评：本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；（2）+=+=1++≥1+2=1+．利用基本不等式．解答：解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，如图：则x在上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．点评：本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．。