计算几何与逼近论-介绍
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
三大思想之逼近
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借用上图说明一下（这里 g = ϕ ） 由微分思想可知，一个映射 ϕ 的作用在一点 x 0 邻域范围内可以近似看做是 一个局部线性映射 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) . 稍微精确一些描述，取定小立方体C 的中心点 x 0 ，那么当C 充分小时，线 性变换 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) 与变换 ϕ (x ) 相差高阶无穷小量。也就说处 理问题时， ϕ (x ) 局部上可由线性变换近似代替，微分的精华思想也在于此。 根据线性代数中的一个结论，对可逆线性变换 A ，有体积关系
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回想极限的定义、连续的定义、定积分的定义，都体现了数学中的逼近思 想。当然，极限和连续可以用拓扑的方法定义，但失去了直观性。学数学分析 还是尽量采用直观的方法为好，至少在水平达到一定程度之前如此。 逼近的常见技巧是放缩和夹逼，方法的框架很简单，但具体应用时需要与 具体问题相结合。本文重点介绍逼近的思想在数学分析中的体现，下面用两个 例子来说明。 第一个例子：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。 这是魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理， 学过数分的人都知道。 多数 教材对这个定理的证明采用伯恩斯坦多项式的构造方法。这里我们不去探讨证 明过程，重点说明一个有趣的数学证明思路，想法来自概率论。考虑独立重复 的伯努利实验，它有两个结果 A , B ，出现结果 A 的概率为 x ，出现结果 B 的概 率为 1− x . 则 n 次独立重复实验中，恰好出现 k 次的结果 A 的概率为
μ(A(C )) = | det A | μ(C )
这里用符号 μ 表示若尔当体积。 令线性变换 A = L ，则 det A = det ϕ ′(x 0 ) 或写成 det A = det Dϕ (x 0 ) . 由此得到体积近似关系： μ(ϕ (C )) ≈ | det ϕ ′(x 0 ) | μ(C ) x 2 )n , −1 ≤ x ≤ 1
ACM必须掌握的算法
ACM必须的算法1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写)3.大数（高精度）加减乘除4.二分查找. (代码可在五行以内)5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包.6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简)7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式.8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.9. 任意进制间的转换第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。
：1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖2. 网络流，最小费用流。
3. 线段树.4. 并查集。
5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp6.博弈类算法。
博弈树，二进制法等。
7.最大团，最大独立集。
8.判断点在多边形内。
9. 差分约束系统. 10. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先.相关的知识图论：路径问题 0/1边权最短路径 BFS 非负边权最短路径（Dijkstra）可以用Dijkstra解决问题的特征负边权最短路径Bellman-Ford Bellman-Ford的Yen-氏优化差分约束系统 Floyd 广义路径问题传递闭包极小极大距离 / 极大极小距离 EulerPath / Tour 圈套圈算法混合图的 Euler Path / TourHamilton Path / Tour 特殊图的Hamilton Path / Tour 构造生成树问题最小生成树第k小生成树最优比率生成树 0/1分数规划度限制生成树连通性问题强大的DFS算法无向图连通性割点割边二连通分支有向图连通性强连通分支 2-SAT最小点基有向无环图拓扑排序有向无环图与动态规划的关系二分图匹配问题一般图问题与二分图问题的转换思路最大匹配有向图的最小路径覆盖0 / 1矩阵的最小覆盖完备匹配最优匹配稳定婚姻网络流问题网络流模型的简单特征和与线性规划的关系最大流最小割定理最大流问题有上下界的最大流问题循环流最小费用最大流 / 最大费用最大流弦图的性质和判定组合数学解决组合数学问题时常用的思想逼近递推 / 动态规划概率问题Polya定理计算几何 / 解析几何计算几何的核心：叉积 / 面积解析几何的主力：复数基本形点直线，线段多边形凸多边形 / 凸包凸包算法的引进，卷包裹法Graham扫描法水平序的引进，共线凸包的补丁完美凸包算法相关判定两直线相交两线段相交点在任意多边形内的判定点在凸多边形内的判定经典问题最小外接圆近似O(n)的最小外接圆算法点集直径旋转卡壳，对踵点多边形的三角剖分数学 / 数论最大公约数Euclid算法扩展的Euclid算法同余方程 / 二元一次不定方程同余方程组线性方程组高斯消元法解mod 2域上的线性方程组整系数方程组的精确解法矩阵行列式的计算利用矩阵乘法快速计算递推关系分数分数树连分数逼近数论计算求N的约数个数求phi(N)求约数和快速数论变换……素数问题概率判素算法概率因子分解数据结构组织结构二叉堆左偏树二项树胜者树跳跃表样式图标斜堆reap统计结构树状数组虚二叉树线段树矩形面积并圆形面积并关系结构Hash表并查集路径压缩思想的应用 STL中的数据结构vectordequeset / map动态规划 / 记忆化搜索动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别最长子序列系列问题最长不下降子序列最长公共子序列最长公共不下降子序列一类NP问题的动态规划解法树型动态规划背包问题动态规划的优化四边形不等式函数的凸凹性状态设计规划方向线性规划常用思想二分最小表示法串KMPTrie结构后缀树/后缀数组 LCA/RMQ有限状态自动机理论排序选择/冒泡快速排序堆排序归并排序基数排序拓扑排序排序网络中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487,poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题.(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,po j2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)(poj3155,poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446(3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).(poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法.(poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划.(poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj333 6,poj3315,poj2148,poj1263)初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法. (4)递推.(5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,po j2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal)(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序 (poj1094)(5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串 (poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排)(poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,po j2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149):1.E[j]=opt{D+w(i,j)}(poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1 ]+zij} (最长公共子序列)(poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交)(poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)。
数值计算中的逼近理论-教案
数值计算中的逼近理论-教案一、引言1.1数值计算与逼近理论的关系1.1.1数值计算在科学研究和工程应用中的重要性1.1.2逼近理论在数值计算中的核心地位1.1.3数值计算与逼近理论的相互促进与发展1.2逼近理论的基本概念1.2.1逼近理论的定义及其数学表述1.2.2逼近理论的主要研究内容和方法1.2.3逼近理论在数值分析中的应用领域1.3教学目标和意义1.3.1培养学生理解和掌握逼近理论的基本概念和方法1.3.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.3.3提高学生对数值计算的兴趣和科学素养二、知识点讲解2.1函数逼近的基本概念2.1.1函数逼近的定义和分类2.1.2函数逼近的主要方法和技术2.1.3函数逼近在数值计算中的应用2.2最佳逼近理论2.2.1最佳逼近的定义和数学表述2.2.2最佳逼近的存在性和唯一性2.2.3最佳逼近的计算方法和应用2.3等价逼近和插值逼近2.3.1等价逼近的定义和性质2.3.2插值逼近的定义和性质2.3.3等价逼近和插值逼近的比较和应用三、教学内容3.1函数逼近的基本方法3.1.1代数多项式逼近3.1.2三角多项式逼近3.1.3有理函数逼近3.1.4小波逼近3.2最佳逼近理论的应用3.2.1数据拟合与回归分析3.2.2信号处理与图像重建3.2.3最优化问题与数值求解3.2.4工程问题中的应用案例3.3插值逼近与数值微分和积分3.3.1插值逼近的基本方法和原理3.3.2数值微分和积分的概念和方法3.3.3插值逼近在数值微分和积分中的应用3.3.4数值微分和积分的计算误差分析四、教学目标1.1知识与技能目标1.1.1使学生理解逼近理论的基本概念和方法1.1.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.1.3使学生掌握数值计算中的逼近算法和技巧1.1.4培养学生的数学思维和科学素养1.2过程与方法目标1.2.1通过实例分析，让学生体会逼近理论在实际中的应用1.2.2通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力1.2.3通过上机实践，提高学生的计算机操作能力和编程能力1.2.4通过课后练习，巩固学生对逼近理论知识的理解和应用1.3情感态度与价值观目标1.3.1培养学生对数值计算和逼近理论的兴趣和热情1.3.2培养学生的科学精神和创新意识1.3.3培养学生的团队合作精神和责任感1.3.4培养学生的批判性思维和自主学习能力五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1逼近理论的基本概念和方法的理解2.1.2最佳逼近的存在性和唯一性的证明2.1.3数值计算中逼近算法的实现和优化2.1.4逼近理论的数学表述和逻辑推理2.2教学重点2.2.1函数逼近的基本方法和原理2.2.2最佳逼近的计算方法和应用2.2.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.2.4逼近理论在实际问题中的应用案例2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战2.3.2教学重点是学生在学习过程中需要重点掌握的知识和技能2.3.3教学难点与重点相互关联，教学难点的突破有助于学生对教学重点的理解和应用2.3.4教学难点与重点的把握和处理好坏，直接影响到教学效果和学生的学习效果六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1多媒体设备（电脑、投影仪、音响等）3.1.2教学课件（PPT或PDF）3.1.3黑板和粉笔（或白板和白板笔）3.1.4教学视频和动画（可选）3.2学具准备3.2.1笔记本和笔3.2.2数值计算相关的教材和参考书3.2.3计算器和计算机（用于上机实践）3.2.4小组讨论材料（如问题案例、数据集等）3.3教具与学具的管理和使用3.3.1教师应提前检查和准备好教具3.3.2学生应提前准备好学具，并保持整洁3.3.3教具和学具的使用应结合教学内容和教学方法3.3.4教具和学具的使用应有助于提高教学效果和学生的学习效果七、教学过程4.1导入新课4.1.1通过实例引入逼近理论的概念和应用4.1.2提出问题，激发学生的兴趣和思考4.1.3引导学生回顾相关的知识和方法4.1.4明确教学目标和要求4.2讲解新课4.2.1讲解逼近理论的基本概念和方法4.2.2通过实例演示逼近算法的实现和应用4.2.3讲解最佳逼近的存在性和唯一性4.2.4讲解插值逼近与数值微分和积分的关系和应用4.3练习与应用4.3.1布置课后练习，巩固学生对知识的理解和应用4.3.2提供实际问题案例，让学生运用逼近理论解决4.3.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法4.3.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验4.4.2对教学效果进行反思和改进4.4.3收集学生的反馈意见和建议4.4.4为下一节课的教学做好准备八、板书设计1.1板书内容1.1.1逼近理论的基本概念和方法1.1.2最佳逼近的存在性和唯一性1.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用1.2板书结构1.2.1采用总分结构，先总体介绍逼近理论，再详细讲解各个部分1.2.2使用图表和公式，直观展示逼近算法的实现和应用1.2.3通过案例和实例，引导学生理解和掌握逼近理论1.3板书设计原则1.3.1突出教学重点和难点1.3.2逻辑清晰，条理分明1.3.3简洁明了，易于理解1.3.4与教学内容和教学方法相匹配九、作业设计2.1作业内容2.1.1基本概念和方法的理解和应用2.1.2最佳逼近的计算方法和应用2.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.1.4实际问题案例的解决2.2作业形式2.2.1选择题和填空题（用于巩固基本概念和方法）2.2.2计算题和应用题（用于提高计算能力和应用能力）2.2.3论述题和拓展题（用于培养学生的思维能力和创新能力）2.2.4小组讨论和报告（用于培养学生的合作能力和表达能力）2.3作业评价2.3.1作业的难易程度和量要适中2.3.2作业要能够反映学生的学习情况和掌握程度2.3.3教师要及时批改和反馈作业情况2.3.4学生要认真完成作业，及时改正错误十、课后反思及拓展延伸3.1课后反思3.1.2对学生的学习情况进行评价和分析3.1.3对教学效果进行评估和改进3.1.4对教学内容和方法进行反思和调整3.2拓展延伸3.2.1引导学生阅读相关的文献和资料3.2.2提供实际问题案例，让学生进行深入研究和探索3.2.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法3.2.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验重点关注环节的补充和说明：2.教具与学具准备：教具与学具的准备是教学过程中的重要环节，要结合教学内容和教学方法进行选择和使用。
数学专业文献综述范文
数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。
本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。
一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。
在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。
二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。
在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。
近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。
在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。
近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。
未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。
文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。
本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。
一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。
在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。
二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。
在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。
第二类q-Beta算子的逼近性质
文 章 编 号 ：１ ０ — ３ ３ ２ １ ） ３０ ０ — ４ ０ ４４ ５ （ ０ １ ０ — ２ ８０
第 二 类 ｑＢ ｔ 子 的 逼 近 性 质 － ｅａ算
蔡 清 波
（泉 州 师 范 学 院 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 ，福 建 泉 州 ３ ２ ０ ６０ ０）
摘 要 ： 于 ｑ积 分 的概 念 ， 究 了第 二 类 ｑＢ ｔ 算 子 的 逼 近 性 质 ． 过 计 算 得 到 了 算 子 的 各 阶矩 量 及 中 心 距 基 一 研 － ｅａ 通
－
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一
Ｌ ］［ ＋ １ 。 埘 煅 ］ ｑ一 ” 一 １ 故 （ ） 成立 ，引理 １得证 ． 。 ［ ］［ ］， ６ 式 （ｚ ￡； ）一
一
注
由引理 １ ，当 ｑ １ 时 ， （ ； ）一 １ Ｌ 一 Ｌ １ｚ ， （ ； ）一 和 Ｌ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ｒ ｌ － ｅ ａ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ａ ｅ ｏ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ；ｍｏ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｑ ｉ ｔ ｇ ａ ；ｑ Ｂ ｔ ｐ ｒ ｔ ｒ ；ｒ ｔ ｆｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｍ ｎｓ
０ 引 言
近 ， 禾 ， 一整 效 ＝ 牛 ｑ ｉ 近 论 甲 的 应 用 厩 为 该 钡 域 的一 个 王遇 热 点 ．目 １ ９ 牛 Ｐｈｌ ｐ 任 又 Ｌ Ｊ甲 促 出 ９ ７， ｉｌ ｓ ｉ １
Ｐｑ （ａｔ ＋ １ Ｐ￣ （ ） ｒ ） ｎ
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Ｆ （ｘ） ｑ ｑｎ ｒ（ １ ［ ＋ ） 二 ！ 靴 一 １ ［ ］ ！ ］！ 。
数学中的逼近方法
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间和形式的科学。
在数学的发展过程中，人们经常会遇到一些复杂的问题。
为了解决这些问题，数学家们发展出了各种各样的逼近方法。
逼近是将复杂的问题转化为简单的问题，并尽量接近所要求的精确解的方法。
数学中的逼近方法可以分为几何逼近和数值逼近两种类型。
几何逼近是通过向问题中添加额外的信息，使问题变得更容易解决。
例如，在计算圆周率的问题中，我们可以通过给定的直径和周长来近似计算。
当给定直径为1时，我们可以得到一个简化的问题，只需要通过计算圆的周长来求得π的近似值。
这种逼近方法旨在通过简化问题的结构，从而得到更容易计算的近似解。
数值逼近是通过使用数值计算方法，直接计算问题的近似解。
这种方法通常是通过将问题分解为一系列简单的计算步骤，然后使用数值计算技术来近似求解。
例如，在求解方程的根的问题中，我们可以使用二分法、牛顿迭代法等数值逼近方法来找到方程的近似解。
这种逼近方法的优点是可以得到较为精确的近似解，但在计算过程中需要消耗大量的计算资源。
在实际应用中，数学中的逼近方法发挥着重要的作用。
例如，在自然科学研究和工程实践中，往往需要通过数学建模来描述和解决实际问题。
而数学模型中的复杂方程往往难以直接求解，因此需要使用逼近方法来求得近似解。
除了在科学和工程领域，数学中的逼近方法也在金融、经济学等其他领域中得到广泛应用。
例如，在金融衍生品定价中，通过使用数值逼近方法，可以计算出衍生品的价格。
这些方法不仅可以提供实用的近似解，还可以帮助人们更好地理解问题的本质和特点。
总而言之，数学中的逼近方法是一种重要的工具，在解决复杂问题和求解近似解时起到关键的作用。
通过几何逼近和数值逼近方法，人们可以将问题简化为易于处理的形式，并得到相对精确的近似解。
这些方法不仅在科学研究领域有重要应用，还在其他领域中发挥着重要作用。
随着科学技术的不断发展，逼近方法将继续发展和创新，为解决更加复杂和实际的问题提供更好的途径。
计算机科学数学理论
计算机自从其诞生之日起，它的主要任务就是进行各种各样的科学计算。
文档处理，数据处理，图像处理，硬件设计，软件设计等等，都可以抽象为两大类：数值计算与非数值计算。
作为研究计算机科学技术的人员，我们大都对计算数学对整个计算机科学的重要性有一些了解。
但是数学对我们这些专业的研究和应用人员究竟有多大的用处呢？我们先来看一下下面的一个流程图：上图揭示了利用计算机解决科学计算的步骤，实际问题转换为程序，要经过一个对问题抽象的过程，建立起完善的数学模型，只有这样，我们才能建立一个设计良好的程序。
从中我们不难看出计算数学理论对用计算机解决问题的重要性。
下面我们将逐步展开对这个问题的讨论。
计算机科学的数学理论体系是相当庞杂的，笔者不敢随意划分，参考计算机科学理论的学科体系，我们谈及的问题主要涉及：数值计算，离散数学，数论，计算理论四大方向。
[一]数值计算（Numerical Computation）主要包括数值分析学、数学分析学、线性代数、计算几何学、概率论与数理统计学。
数值分析学又常被称为计算方法学，是计算理论数学非常重要的一个分支，主要研究数值型计算。
研究的内容中首先要谈谈数值计算的误差分析，误差是衡量我们的计算有效与否的标准，我们的算法解决问题如果在误差允许的范围内，则算法是有效的，否则就是一个无效的问题求解。
另外就是数值逼近，它研究关于如何使用容易数值计算的函数来近似地代替任意函数的方法与过程。
感觉应用比较广的不得不提切雪比夫逼近和平方逼近了。
笔者曾经尝试过的就是通过最佳平方逼近进行曲线的拟合，开发工具可以选择VC++或者Matlab。
插值函数是另外一个非常重要的方面，现代的计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点，加工时走刀方向及步数，就要通过插值函数计算零件外形曲线及其他点函数值。
至于方程求根、线性方程组求解，一般的计算性程序设计问题都会多多少少的涉及一些，我们这里就不赘述了。
国家自然科学基金 a0507 新型计算方法
国家自然科学基金A0507项目类别是新型计算方法。
新型计算方法（A0507）作为国家自然科学基金的项目类别之一，旨在支持和推动计算数学领域内的新理论、新模型和新算法的研究。
这一分类下可能包括：
1. 算法基础理论与构造方法：研究算法的基本原理和构建新算法的方法。
2. 数值代数：涉及线性代数方程组、矩阵计算等数值问题的解决方法。
3. 数值逼近与计算几何：研究函数逼近理论、几何形体的计算机表示和处理等。
4. 微分方程数值计算：针对微分方程的数值解法进行研究。
5. 反问题建模与计算：解决反问题，即从结果推测原因或条件的数学建模和计算方法。
6. 复杂问题的可计算建模与数值模拟：针对复杂系统或现象建立计算模型，并进行数值模拟的研究。
此外，新型计算方法的研究不仅限于传统的数值分析领域，还可能涉及如量子计算、量子通信等前沿科学领域的新算法研究，以及与信息技术、经济数学、生物科学等其他学科的交叉研究。
这些研究对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
函数的有理逼近
长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY毕业论文资料论文题目：有理函数逼近及其应用系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学生姓名：徐芬芬班级：二班学号2008031224指导教师姓名：张作政职称讲师最终评定成绩长沙学院教务处二○一二年二月制目录第一部分毕业论文一、毕业论文第二部分过程管理资料一、毕业设计（论文）课题任务书二、本科毕业设计（论文）开题报告三、本科毕业设计（论文）中期报告四、毕业设计（论文）指导教师评阅表五、毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、毕业设计（论文）答辩评审表（2012届）本科生毕业设计（论文）资料第一部分毕业论文（20 12 届）本科生毕业论文说明书有理函数的逼近及其应用系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学生姓名：徐芬芬班级：二班学号2008031224指导教师姓名：张作政职称讲师最终评定成绩2012年 4 月长沙学院本科生毕业论文有理函数逼近及其应用系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2008031224学生姓名：徐芬芬指导教师：张作政讲师2012年4 月摘要有理函数逼近理论及其应用是逼近问题研究中的重要组成部分。
本文介绍了有理函数逼近定义、构造及其相关知识，同时研究了有理函数插值的存在性与唯一性，介绍了几种常见的有理逼近。
最主要的是对有理函数逼近的应用进行了研究。
首先是利用倒插商和有理函数的唯一性求解数值优化问题，结果表明这种方法在求解数值优化问题时速度快，精度高。
其次是基于Thiele连分式逼近，重新推导了Halley迭代公式。
采用倒数可以被差商近似的办法，得到两个多初始点的迭代公式，从而避免了求导运算。
关键词：函数，有理逼近，倒插商，有理插值ABSTRACTT he rational function approximation theory and its application is approximation to the important component. This paper introduces the definition, a rational function approximation structure and its related knowledge, and of a rational function the existence and the uniqueness of the interpolation, introduces several common rational approximation. The main is a rational function approximation to the application of research. First is to use Inverted plug Manufacturers and the uniqueness of a rational function solving numerical optimization problem, and the result shows that the method in solving numerical optimization problem speed and precision. Second is based on Thiele even fraction approaching, and deduced the formula to Halley iteration. The bottom can be difference quotient approximation method, get more than two initial point iterative formula so as to avoid the derivation operations. Keywords: function, rational approximation, Inverted plug Manufacturers，rational interpolation目录第一章绪论 (1)1.1 有理逼近的研究背景 (1)1.2 有理逼近的研究目的及意义 (1)第二章有理逼近相关知识介绍 (4)2.1 有理逼近的定义 (4)2.2 逼近函数的构造 (5)2.3几种常见的有理逼近 (8)2.3.1 Padé逼近 (8)2.3.2 Müntz有理逼近 (8)2.3.3 最佳有理分式逼近 (8)第三章有理插值函数的存在性及唯一性 (9)3.1 有理插值问题的存在性 (10)3.2 有理插值函数的唯一性 (11)第四章有理函数逼近的应用................ 错误!未定义书签。
《数值分析》教学大纲
《数值代数》教学大纲(学时50+计算实习学时16) 一、课程简述数值代数课程在本科生阶段“数学分析”和“高等代数”的基础上，进一步深入学习和理解与实际应用密切相关的矩阵的理论知识与数值算法。
“数值线性代数”是信息与计算科学、数学与应用数学专业的必修课程，讲述矩阵计算的基础知识，求解线性方程组的直接方法和古典迭代法，最小二乘问题的数值解法，矩阵特征值问题的数值算法，同时做到理论与实践相结合，设计上机实验题目，依托学院的机房开展上机实验，培养学生的实际动手能力，能够利用C++语言或MATLAB语言编写程序。
二、本科相关课程数学分析、高等代数三、课程内容、基本要求与学时分配该课程的上课时间分为两部分：课堂教学及上机实验，在课堂教学方面，要求学习并掌握以下内容：1．范数、稳定性及敏度分析 6学时主要包括矩阵与向量的范数、矩阵三种分解（Jordan分解、Schur分解、奇异值分解）和对称阵的特征分解、两种正交变化（Householder变换、Givens变换）、浮点运算、问题的条件及算法的稳定性。
2．求解线性方程组的直接法 8学时介绍三角形方程组的数值解法、（带选主元策略）Gauss消去法、特殊矩阵的三角分解、Gauss消去法的误差分析及迭代改进.3．求解线性方程组的古典迭代法 8学时介绍迭代法的基础知识、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法及其收敛性定理以及各种迭代法的加速.4．Krylov子空间迭代法 6学时最速下降法、共轭梯度法、GMRES及其收敛性5．特征值问题的计算 12学时主要介绍幂法与反幂法，Rayleigh商迭代，同时迭代法，上Hessenberg化，QR算法与双重步位移的隐式QR算法，计算对称特征值问题的算法主要有：Jacobi迭代，二分法，分而治之法，对称QR算法等。
6．最小二乘问题 6学时Household变换、Givens变换、QR分解、正则化方法7. 奇异值分解 4学时奇异值分解算法、收敛性定理在上机实验方面，要求学习并掌握以下内容：1．MATLAB或C++基础 4学时介绍MATLAB或C++的一些基本知识，重点掌握一些基本的操作命令，为程序的编写打下一定的基础.2．主要算法的程序实现及数值实验 12学时通过实例讲述如何利用C++语言及MATLAB语言将数值算法具体实现.设计与课程内容相关的具体实际问题，指导学生利用上述两种编程语言实现。
第三章 1 逼近论
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
逼近论第一第二章
第一章 预 备 知 识§1 函数逼近论简介一、 函数逼近论（approximation of funcyions ）函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下面问题： 在选定的一类函数中寻找某个函数g ，使它是已知函数f 在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示 f 而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数f 的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作f 的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的；g 对f 的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
二、逼近函数类给定函数()f x ，用来逼近()f x 的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。
逼近函数类可以有多种选择。
n 次代数多项式，亦即一切形如公式0nk k k a x =∑（其中0,,n a a 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合；n 阶三角多项式，亦即一切形如公式01(cos sin )nk k k a a kx b kx =++∑(其中0,,n a a ,0,,n b b 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。
其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。
在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。
三、逼近方法给定f 并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的。
例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。
所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()g x ，使它在一些预先指定的点上和()f x 有相同的值，或者更一般地要求()g x 和()f x 在这些指定点上某阶导数都有相同的值。
计算机数学内容
计算机数学内容计算机数学是指运用数学方法和技巧解决计算机科学中的问题。
其内容涵盖了多个学科领域，包括离散数学、代数学、数值分析、计算几何、概率论和统计学等。
下面将对计算机数学的主要内容进行详细介绍。
1. 离散数学离散数学是计算机数学的重要组成部分，其中包括集合论、图论、逻辑学和结构数学等。
集合论是数学的基础，用于描述元素之间的属性和关系。
图论则是研究图形和网络的结构和性质，包括最短路径、连通性、哈密顿回路和欧拉回路等。
逻辑学用于推导和证明命题的真假，以及计算机程序中的逻辑思考。
结构数学则是对离散对象的结构和性质进行研究。
2. 代数学代数学是数学中的一门基础学科，也是计算机数学的重要内容。
主要涉及的内容包括线性代数、抽象代数、群论、环论和模论等。
线性代数是研究向量空间和线性方程组的理论，用于计算机图形学、机器学习和信号处理等领域。
抽象代数则是研究代数结构的抽象性质和性质，通常用于密码学和编码理论。
群论、环论和模论则是研究抽象代数结构的重要分支，用于计算机算法和数据结构的设计。
3. 数值分析数值分析是一种运用数学方法和计算机计算技术对数学问题进行求解的领域。
其内容包括数值逼近、数值微积分、线性代数和最优化等。
数值逼近是一种利用近似值来代替精确值的方法，主要用于解决运算复杂的问题。
数值微积分是研究对实函数的数值近似，包括求导数、积分和微分方程的数值解。
线性代数则是研究线性系统和矩阵的数值近似解法，用于计算机图形学和工程计算。
最优化则是通过数值方法求解优化问题的数学理论。
4. 计算几何计算几何是一种将数学的几何思想与计算机操作方法结合起来的领域。
它主要涉及的内容包括计算几何算法和计算几何建模等。
计算几何算法是用于解决计算机图形学中的任务，如求交点、求包含区域和判定点是否在多边形内等。
计算几何建模则是研究如何将现实世界物体的外壳以图形化的形式表示出来。
5. 概率论和统计学概率论和统计学是计算机数学中的重要分支领域。
计算数学研究生研究方向
计算数学研究生研究方向计算数学是一门交叉学科，它将数学、计算机科学和应用科学相结合，旨在解决实际问题。
计算数学研究生的研究方向主要包括数值计算、优化理论、计算几何、计算机辅助设计等方面。
本文将从这些方面进行探讨。
数值计算数值计算是计算数学的核心领域之一，它主要研究如何利用计算机进行数学计算。
数值计算的研究内容包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值微分方程等。
数值计算的应用非常广泛，例如在工程、物理、化学、生物等领域中都有着重要的应用。
数值计算的研究方向包括算法设计、误差分析、并行计算等方面。
优化理论优化理论是计算数学的另一个重要领域，它主要研究如何寻找最优解。
优化理论的研究内容包括线性规划、非线性规划、整数规划、凸优化等。
优化理论的应用非常广泛，例如在经济、管理、工程、物理等领域中都有着重要的应用。
优化理论的研究方向包括算法设计、复杂度分析、全局优化等方面。
计算几何计算几何是计算数学的另一个重要领域，它主要研究如何利用计算机进行几何计算。
计算几何的研究内容包括点、线、面、曲面等几何对象的表示、计算和处理。
计算几何的应用非常广泛，例如在计算机图形学、计算机辅助设计、机器人学等领域中都有着重要的应用。
计算几何的研究方向包括算法设计、数据结构、几何优化等方面。
计算机辅助设计计算机辅助设计是计算数学的另一个重要领域，它主要研究如何利用计算机进行设计和制造。
计算机辅助设计的研究内容包括几何建模、仿真分析、优化设计等。
计算机辅助设计的应用非常广泛，例如在航空航天、汽车制造、机械制造等领域中都有着重要的应用。
计算机辅助设计的研究方向包括算法设计、数据结构、优化设计等方面。
总结计算数学是一门非常重要的交叉学科，它将数学、计算机科学和应用科学相结合，旨在解决实际问题。
计算数学研究生的研究方向主要包括数值计算、优化理论、计算几何、计算机辅助设计等方面。
这些方向都有着广泛的应用，例如在工程、物理、化学、生物、经济、管理、计算机图形学、机器人学等领域中都有着重要的应用。
逼近理论
一致逼近问题及相关定义
一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）： X C[a,b] , Y X ，采用一致（无穷）范数。
设 X C[a,b] , t0 [a,b]，如果 x(t0) x ，则t0 称为x的一个极值点。
Haar条件：设Y是C[a,b]的有限维子空间， 对任意 y Y, y 0，它在[a,b]区间上至多有n-1 个零点，其中n=dimY。
函数逼近问题
函数逼近是数值分析的基础，同时在求取 微分方程数值解等方面有重要应用。
具体说来，函数逼近问题是指：在某一区 间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。
通常这些简单函数包括：(1)多项式函数； (2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。
赋范线性空间上最优逼近的定义
设X是赋范线性空间，Y X 是其子空间； x X ，如果 y0 Y 使得
yi(t)=ti，i=0,1, …,n-1；问题：选择 0 ,1,L ,n1 R ，
使得
n1
y(t) it i
是对x按Y的最优一致逼近。
i0
令t=cosθ,θ∈[0,π]，有下式成立，其中βnj为常数：
x -y 余项 n1
cos n 2n1 cosn nj cos j , n 0,1, 2,L
对固定的n∈N，是[-1,1]上所有n次实系数且tn系数为1 的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。
n
证明：对于任意y∈Y，则 y i yi ,i R i 1 若Y满足Haar条件则Y在[a,b]至多有n-1个零点如t1, t2, …, tn-1
y1(t1)
[ y(t1),
y(t2 ),L
,
y(tn )] [1,2,L
,n
数学中的逼近论
数学中的逼近论数学中的逼近论是一门研究数学对象在其定义域内的逼近性质的学科。
它涉及到函数逼近、级数逼近等方面的研究，具有广泛的应用和重要的理论价值。
本文将通过介绍逼近论的基本概念和主要内容，展示逼近论在数学领域中的重要性及其应用。
一、逼近论的基本概念逼近论中常用的概念包括逼近序列、收敛和一致收敛等。
下面将详细介绍这些概念及其应用。
1. 逼近序列在逼近论中，逼近序列是指一列数或函数，通过与某个数或函数的距离不断减小来逼近其极限值。
逼近序列的选取对于逼近结果的准确性起着重要的作用。
2. 收敛在逼近论中，收敛是指逼近序列逐渐趋于某个确定的值。
例如，当逼近序列中的数或函数的偏离程度逐渐变小，且最终无限接近某个数或函数时，我们称该逼近序列是收敛的。
3. 一致收敛一致收敛是逼近论中的重要概念之一。
当逼近序列在定义域内任意一个点上的逼近速度都相同，且当序列中的数或函数无限逼近时，我们称该逼近序列是一致收敛的。
一致收敛具有较强的收敛性质，其优点在于可以对逼近结果进行更准确的估计。
二、逼近论的主要内容逼近论的主要内容包括函数逼近、级数逼近等。
1. 函数逼近在逼近论中，函数逼近是指通过一系列逼近序列来逼近一个函数。
常见的函数逼近方法有泰勒展开、插值法等。
泰勒展开是利用函数在某一点附近的导数值来逼近函数的值，而插值法则是根据一组已知的函数值来逼近函数的值。
函数逼近在数学分析、数学物理等领域有着广泛的应用。
2. 级数逼近级数逼近是逼近论中的重要内容。
级数逼近是指通过逐渐累加部分和来逼近一个序列或函数。
常见的级数逼近方法有几何级数、幂级数等。
幂级数在解析函数、微分方程等领域起着重要作用，它可以用来逼近各种函数，揭示函数的性质。
三、逼近论的应用逼近论在数学领域中具有广泛的应用。
1. 数学分析逼近论是数学分析的重要基础，它为分析学中的极限理论、连续性理论等提供了理论支持。
逼近论的基本概念和方法还被广泛应用于函数的连续性、可微性等性质的研究中。
普适性和逼近性的定义和性质
普适性和逼近性的定义和性质普适性和逼近性是数学中的两个重要概念，它们在数学上具有广泛的应用，也是理解数学本质的关键。
下面就普适性和逼近性的定义和性质进行探究。
1. 普适性普适性是指某个概念、定义或者定理适用于所有的情况。
在数学中，普适性通常表现为某个定理在所有的数学领域都适用，不受所属领域的限制。
例如欧拉恒等式e^ix = cosx + i * sinx，它在数学分析、数学物理、几何学等多个领域都具有重要的应用价值，具有强烈的普适性。
另一个例子是黎曼猜想，它是数论中一个未解决的问题，但是它涉及到的数学领域非常广泛，包括拓扑学、分析学、代数学等等，因此表现出了很强的普适性。
普适性作为一个数学概念，同时也是一个哲学问题。
它涉及到数学的本质和存在方式。
普适性的存在表明，数学不仅仅是一种工具，而且具有独立的存在方式，它是人类理性领域中最重要的一部分。
2. 逼近性逼近性是指用简单的概念或者函数去逼近更加复杂的概念或者函数。
在数学中，逼近性通常表现为用有限的可计算的方法去逼近无限的和不可计算的数值。
例如，泰勒展开式就是一种逼近性的方法，它用多项式函数去逼近最初的函数，从而可以得到更加简洁明了的表达式。
逼近性也是数学中非常重要的一部分，它不仅可以用于求解数值的问题，同时也是数学初步的方法。
例如，用整数去逼近实数，用有理数去逼近无理数，这些都是数学初步中的基本概念。
在现代数学中，逼近性更加广泛地应用于数学分析、概率论等多个领域。
在这些领域中，逼近性被用于研究极限、收敛性、泛函、数值方法等多个问题。
3. 普适性和逼近性的关系和性质普适性和逼近性是数学中两个不同的概念，但是它们之间有着密切的联系。
逼近性是普适性的基础，只有用简单的方法去逼近更加复杂的方法，才能保证数学的普适性。
逼近性的优秀性质是可以保证误差在任意限度内，随着逼近次数的增加，误差呈指数级下降，保证了逼近结果的精确性。
而普适性则是保证了某种方法或者定理在所有情况下都是适用的，这说明了数学的研究具有长久的价值，具有超越时间和空间的普遍性和持久性。
逼近理论中的欧几里得范数与无穷范数
逼近理论中的欧几里得范数与无穷范数在数学中，逼近理论是研究如何利用有限的信息来近似无限维度的事物的一门学科。
其中，范数是逼近理论中一个非常重要的概念。
范数是定义在向量空间上的一种函数，用于将向量的长度或大小表示为一个实数的方法。
在逼近理论中，欧几里得范数与无穷范数是最常用的两种范数。
欧几里得范数，也称为L2范数，定义为向量每个元素的平方和的平方根，即∥x∥2 = (Σxi²)¹/²。
这个范数衡量了向量的大小，并且在空间中呈现出圆形。
在二维平面上，这个圆形是一个圆，在三维空间中，则是一个球体。
无穷范数，也称为L∞范数，定义为向量每个元素的绝对值中的最大值，即∥x∥∞= max|xi|。
这个范数衡量了向量元素的最大值，并且在空间中呈现出正方形。
在二维平面上，这个正方形是一个正方形，在三维空间中，则是一个立方体。
欧几里得范数与无穷范数在逼近理论中有着不同的应用。
对于欧几里得范数，一个很有用的性质是它对分布在球体的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，对于任意一点p和半径r，存在一个单位球体使得所有距离p不超过r的点都在这个球体中。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个单位球体中进行。
而对于无穷范数，它对分布在正方形的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，存在一个最小的矩形并，使得所有的向量都在这个矩形并内。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个矩形并中进行。
除此之外，在实际应用中，两个范数有时候也可以结合起来使用。
例如，在信号处理中，人们常用的是L1范数和L2范数的结合，即L1-L2混合范数。
这个范数定义为∥x∥1,2 = Σ|xi| +β(Σxi²)¹/²，其中β是一个参数，用来平衡L1和L2的贡献。
这个范数可以综合L1范数和L2范数的优点，用于处理带有稀疏性和平滑性的信号。
总之，在逼近理论中，欧几里得范数和无穷范数是最为常用的两种范数，在实际问题中它们也有着不同的应用。
§3.2最佳一致逼近多项式
5 5
第三章 函数逼近与计算
5、最佳逼近多项式
假定 f ( x ) C[a, b]，若存在 Pn* ( x ) H n使
( f , Pn* ) E n
则称Pn*(x)是f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式 或最小偏差逼近多项式。
定理3.3
f x 是区间 a, b 上的连续函数，Pn* x 是 设
* f x 的n次最佳一致逼近多项式， f x Pn x 必同时 则
存在正负偏差点。
y
y f x En
y Pn* ( x )
y f x En
O
a
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
y P x 1
M
D
Q
O
a
x2
b
x
© §2 2009, Henan Polytechnic University 最佳一致逼近多项式
1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.414 2 1 x2 2 2 1 x2 2 2 x2 ( 2 1) 即 得 2 2 1 x2
第二节 最佳一致逼近多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.2.1 最佳一致（Chebyshev）逼近多项式的存在性 H n span 1, x,, x n } { 令