2011届高考数学文科类单元专项复习9

考点演练
10 .
若α=m·360°+θ，β=n·360°-θ(m,n∈Z)，求α，β的终边的位置关系. 解析:
∵α=m·360°+θ,β=n·360°-θ(m,n∈Z),
∴α+β=(m+n)·360°(m,n∈Z), ∴α=-β+(m+n)·360°(m,n∈Z),
即α=-β+k·360°(k=m+n,k∈Z),
根据三角函数的定义，角α的三角函数值也都是确定的.
举一反三
3. 已知角α的终边上有一点M（5m,-12m）(m≠0)，求13(sin α+cos α)的值.
解析：当m>0时，点M在第四象限，OM=13m，
则
5m - 12m OM= 当m<0 时，点 M 在第二象限， -13m, 13(sin cos ) 13 -7; 13m 13m
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础梳理
1. 同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α+cos2α=1; (2)商数关系：
sin tan cos sin cos
即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
2. 商数关系 tan
3 4
x (2k 即 x ( k -

3
,2k

3
) (2k
2 4 ， 2k )(k Z ) 3 3

3
, k

3
)(k Z )
学后反思
求定义域的问题，其实质是解不等式，当不等式中含有三角函数时，可 以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.
举一反三
方法二：由已知得2r+l=C,∴ r
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
C-l (l＜C), 2 1 1 C-l 1 1 C 2 C2 2 S rl l (Cl - l ) - (l - ) , 2 2 2 4 4 2 16 C 2 C C l 当l 时，Smax , 此时 r 2 2, C 2 16 r C2 2
综上所述，
2
是第一象限角或第三象限角.
题型二 扇形弧长、面积公式应用 【例2】 一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇 形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解 决最值问题. 解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积为 1 S (20 - 2r)r -(r - 5) 2 25, 2 当r=5时，l=10，α=2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是 25 cm2.
-
cos
+
+ tan a
-
a
4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.
sin α= MP ,cos α= OM ,tan α= AT.
典例分析
题型一 象限角问题
【例1】若α是第二象限的角，则 是第几象限的角？ 是第几象限 2 2
的角?
分析 由于α是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示
出α的范围，进而求得 解 由α是第二象限的角,得
,2α的范围，判定其所在的象限. 2
k· 360°+90°＜α＜k· 360°+180°（k∈Z).
(1)k· 180°+45°＜ ＜k· 180°+90°(k∈Z). 2
是第一象限角;
①当k=2n(n∈Z)时，n· 360°+45°＜ ＜n· 360°+90°(n∈Z),则 2 2
分析 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出 角x满足条件的终边范围.
解 (1)如图1, 2cos x - 1 0,
1 cos x , 2 x （2k -

,2k ） (k Z). 3 3

(2)如图2，∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜ ∴3 3 ＜sin x＜ 2 2
（1）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及
解题的需要对参数进行分类讨论.
（2）熟记几组常用的勾股数，如 (3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，这会给我们的解题带
来很多方便.
（3）若角α已经给定，不论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角 函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上一点坐标已经确定，那么
在标有数字1的区域
2
举一反三
1.
如果α与80°角终边相同，那么 是第几象限角？ 2
解析: ∵α与80°角终边相同,∴α=80°+k· 360°(k∈Z),
∴ =40°+k· 180°(k∈Z). 2
(1)当k=2n(n∈Z)时， =40°+n· 360°(n∈Z),
2 此时 是第一象限角. 2 (2)当k=2n+1(n∈Z)时, =220°+n· 360°(n∈Z), 2 此时 是第α-β＜ 3 3
错解分析 上述解题过程分别求出α、β的范围，所采用的做法是不等价 的，扩大了范围. 正解 设2α-β=A(α+β)+B(α-β)(A,B为待定系数)， 则2α-β=(A+B)α+(A-B)β.
A B 2 ,解得A 1 , B 3 比较两边系数,得 2 2 A - B -1 3 1 所以2α-β= (α+β)+ (α-β). 2 2 1 2 3 3 又 ( ) , ( ) 2 2 3 2 2 2 所以 - 2 6
3. 任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距 离为 r(r x y 0),
2 2
y x y 那么 sin , cos , tan (x 0). r r x
5. 三角函数值在各象限的符号
+
+
-
+
-
+
sin a
(2)设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成的角为α（α为任意角，单位
为弧度），旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧，设
弧长为l，则有 |α|≤2π，则有圆心角为α的扇形的面积为 .
l l=|α|r.特别地，若取r=1，则有l=|α|，若 ，即 r
S
| | 1 r 2 lr 2 2
(3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在 第几象限，就说这个角是 第几象限角.
(4)一般地，与角α终边相同的角的集合为 {β|β=k·360°+α,k∈Z}.
2. 弧度制 (1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角;用弧度作为角的
单位来度量角的单位制叫做 弧度制 .在弧度制下1弧度记作1 rad. 180 2π rad=360°, 1 rad ( ) 57.30
则13(sin . cos ) 13
- 12m 5m 7 - 13m - 13m
综上，13(sin α+cos α)=〒7. 题型四 求函数的定义域 【例4】求下列函数的定义域.
(1)y 2cos x -1; (2)y lg(3 - 4sin2 x).
sin x cos x 4. 当x取什么值时， 有意义？ tan x
解析：由题意知,tan x≠0,∴x≠kπ(k∈Z). 又x≠kπ+ (k∈Z),∴x≠
x ∴当x∈{x|x≠ 1kπ,k∈Z}时， sin x cos 有意义 . 2 tan x
2
1 ∈Z), kπ(k 2
易错警示
【例】已知
∴α，β的终边关于x轴对称.
11. 已知α是第二象限角，试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.
解析: ∵α在第二象限，∴-1＜cos α＜0,0＜sin α＜1, ∴cos α作为角在第四象限，sin α作为角在第一象限， ∴sin(cos α)＜0,cos(sin α)＞0, ∴sin(cos α)·cos(sin α)＜0. 12.如图，α=30°,β=300°,OM、ON分别是α、β的终边. （1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合； （2）求始边在OM位置，终边在ON位置上的所有角的集合. 解析：(1)∵300°=-60°+360°, ∴{θ|-60°+k· 360°≤θ≤30°+k· 360°,k∈Z}. （2）∵β-α=300°-30°=270°, ∴{θ|θ=270°+k· 360°,k∈Z}.
解析： （1）设弧长为l，弓形面积为S弓.
60 l

3
, r 10,
10 (cm), 3 1 10 1 3 2 S弓 S扇 - S 10 - 10 sin 50 （ ） (cm 2 ). 2 3 2 3 3 2
C (2)方法一：∵扇形周长C=2r+l=2r+αr,∴ r 2 2 1 1 C 2 C 1 ∴S r 2 ( ) 扇 2 2 2 2 4 4 2 C2 1 C2 , 4 2 4 16 4 ∴当且仅当α= ,即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.
知道α所在的象限， 面以
分，……，从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2， 3，4，1，2，3，4，若α是第一象限角，则 内，若α是第二象限角，则 则很容易确定 所在的象限.