第一章 函数

则称函数f(x)在 区间 I上是单调增加 的。
O
f ( x1 )
x1
x2
x
I
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有 f(x1) > f(x2)， 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。
y f(x1 ) y=f ( x) f(x2 )
O
x1
x2
x
I 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1
y=x3
y=x1 O
1
y=x
1
x
y= x
O
1
x
3．指数函数
函数 y=ax (a是常数，且a>0，a 1)叫做指数函数．
指数函数的定义域：D=（ ，+ ）。
单调性：若a>1，则指数函数单调增加； 若0<a<1，则指数函数单调减少． y 常用的指数函数为 y=ex.
x y=( 1 ) a
定义1.2
且 f 是从 D 到 M 的单调函数,则 yM. 都 有唯一确定的 x 与之对应. 因此, x 是 y 的 函数, 称它为 y = f (x) 的反函数. 记作 x = f –1 (y).
由于习惯上用 x 表自变量, y 表因变量.
所以, 反函数也记为 y =f –1 (x).
注1. y =f –1 (x)的定义域为M, 值域为D. 注2. y =f –1 (x) 与 y =f (x) 的图象关于 y = x 对称. 注3. 求反函数的一般步骤为: (1)从y =f (x)解出x ; (2) 将x与y互换.
（2）要使函数有意义需满足：
3 x 0 2 x 4 0
即
x 3 x 2或x 2
2， 3] 求得定义域为 （ , 2）（
3.分段函数 例2 国家对居民收入实行下列税率方案；根据
2012年工资缴税标准及算法，现在的个人所得税起 征点为3500元/月，也就是说月工资超过3500元就 要缴税，但是，工资超过3500元/月还是会分不同 等级进行计税的，相关的计算如下：
y
2
y x3
1 -2
0
1
x
奇偶函数举例： yx3， ysin x 都是奇函数。
3. 函数的周期性
设函数 f(x) 的定义域为 D。如果存在一个不为零 的数 l ，使得对于任一 xD 有（xl） D，且
f(x+l) f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点：
y
1
-1 O
y=sin x x
余弦函数： y=cos x
y 1 -1 O y=cos x x
正切函数： y=tan x
y y=tan x
余切函数： y=cot x
y y=cot x

2
O
2

x

2
O
2

x
正割函数：
1 y sec x 。 cos x 余割函数： 1 y csc x 。 sin x 正割、余割函数的性质：是以2为周期的函数， 在区间(0, )内是无界函数． 2
y M
o a M b x
例如
y=sinx 在 (,) 内有界。由于 |sinx| 1。 所以, 1 和1 分别是 sinx 的上界和下界.
y
1 3
5 2
2

3 2



2
o
1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
1.1.3 反函数
定义: 设函数 y = f (x) 的定义域为 D, 值域为 M.
《经济数学》
主编 周宗谷 谭和平
第1章
本章内容 1.1 函数 1.2 初等函数
函数
1.3 常用的经济函数
1.1 函数 本节内容 1.1.1 函数的概念
1.1.2 函数的基本性质
1.1.3 反函数
1.1.1 函数的概念 1. 函数的定义
常量： 在自然现象中，有些量在某个过程中 不起变化始终只取同一数值，这种量叫做 常量。常用字母为 a，b，c 表示。
变量：有些量在某个过程中是变化着的，也就 是可以取不同的数值，这种量叫做变量。
常用字母为 x，y，z，s，t 表示.
1. 函数的定义
定义1.1 设 x , y 是两个变量，当变量 x 在非空数集
D 内取某一数值时，变量 y 按照某种对应规则 f ，有唯一确定的数值与之对应，则称变量 y 为 变量 x 的函数 记作
y f ( x), x D
其中 x为自变量，y 为因变量 或 函数值， D为定义域。
2.函的定义域 对于用解析式表达的函数定义域就是使 式子有意义的一切实数组成的集合。 函数的定义域应根据问题的实际意义确定。
一般要考虑以下几个方面： (1)分式：分母必须不等于0； (2)偶次根式：根号里的式子必须大于等于0； (3)对数：真数必须大于0（底数必须大于0且不等于1）； (4)反正弦 、反余弦下的式子的绝对值必须小于等于1； 若表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们 的交集.
a>1 y=ax
1
O
x
4．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数， 记为 y=logax (a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )． 自然对数函数：y=ln x=loge x. 1
y y=ax
y=logax
O a>1
x
5．三角函数
常用的三角函数有：
正弦函数： y=sin x
都是初等函数．
1、常数函数
函数 y = C（C 是常数）叫做常数函数。是平行 于 x 轴的一条直线，偶函数、有界函数。 常数函数的定义域：（ ，）。
2、幂函数
函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数。 幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数 在（0，）内总有定义。最常见的幂函数： y y y=x2
y y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
4. 函数的有界性
设f (x)在(a, b)有定义,若存在常数 M>0，
使x(a, b), 有| f (x) |M. 则称 f (x)在(a, b)内有界
否则， 称f (x)在(a, b)内无界。
几何意义 ： 由于 | f (x)|M 等
价于 M f (x) M。 因此, f (x) 在(a, b) 内有界。就表示了 f (x) 的图形夹在两平行直线 y = M 之间。
O x
y=Arctan x
y 反余切函数： y=Arccot x， 定义域为(- ， ). y=Arccot x
反余切函数的主值：
y=arccot x， 其值域规定为(0， O
y=arccot x
x
1.2.2 复合函数
例 函数 y= 1 x 2 表示 y是 x的函数，它的定义域为 [1，1]． 的值可以按如下方法计算：
于是得 f 1 1 2 1 因为 x 0 在区间 [0, 1) f x x 2 来确定，
2 内，所以函数值 f 0 由式子 f x x 来确定，于是得 f 0 0．
同理
1 1 1 f 4 2 2
2
y
．
2
类似可得 （3）函数
25
30 35 45
1245
7745 13745 22495
试表示应缴税款 y 和月收入额 x（扣除三险一金后）之间的关系.
分析：由于每段税率不同，应缴税款的计算式子也不一样.
0, ( x 3500) 3%, ( x 5000) 10% 45, ( x 8000) 20% 345, y ( x 12500) 25% 1245, ( x 38500) 30% 7745, ( x 58500) 35% 13745, ( x 83500) 30% 221 (1) y 4 x 2； x
(2) y 3 x ln( x 2 4)
解 (1)要使函数有意义需要满足：
x 0, 2 4 x 0,
x 0, 即 2 x 2,
求得定义域为 [2,0) (0, 2].
1 2
，
（2）求
f 1 ， f 0 ， f
f 1 f 2
，
；
（3）作出 f x 的图形．
解 （1）函数 f x 的定义域是 [2, ) ，分段点是 x
0
和
x 1
（2）因为 x 1 在区间 [2, 0) 内，所以函数值 f 1 由式子
0 x 3500, 3500 x 5000, 5000 x 8000, 8000 x 12500, 12500 x 38500, 38500 x 58500, 58500 x 83500, x 83500,
若某公司职员在扣除三险一金后的月收入为10260元，那应纳个人所得税为：
例1:求函数 y 2 x 1的反函数
解
由于y 2 x 1是单调函数，所以一定有反函数.
y 1 从中解出x , 再交换x、y 得 y x 1 . 2 2
x 1 即y 是y 2 x 1的反函数. 2
1.2 初等函数 本节内容 1.2.1 基本初等函数
1.2.2 复合函数
设 u=1x2，则函数 y= 1 x 2
对于任一 x [1，1]，先计算 u=1x2，然后再计算 y= u ，
这就是说函数 y= 1 x 2
所决定的，我们称函数 y=
的对应法则是由函数u=1x2和y= u