函数的图像应用20111128
函数的图象课件
通过对称性，我们可以快速判断出函数在不同自变量取值下的函数值变化情况，从而更好地掌握函数的性质和变化规律。
总结词：函数图象的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现。详细描述：函数图象的周期性是函数的另一个重要特性，它反映了函数值在自变量按一定周期取值时保持不变的规律。例如，正弦函数的图像是按照一定的周期重复出现的。总结词：理解函数图象的周期性有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律。详细描述：通过对周期性的理解，我们可以掌握函数在不同自变量取值下的变化规律，从而更好地掌握函数的性质和变化规律。同时，周期性也是解决一些实际问题的重要工具，例如在物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
渐近线、极限状态
总结词
当x趋于无穷大或无穷小时，对数函数趋近于一条水平渐近线。对于底数大于1的对数函数，渐近线为y轴；对于底数在0到1之间的对数函数，渐近线为x轴。
详细描述
总结词
参数变化、图象平移
详细描述
对数函数的图象可以通过参数的变化进行左右平移。当底数大于1时，向右平移表示增加参数；当底数在0到1之间时，向左平移表示增加参数。
总结词
详细描述
总结词
复合函数、图象变换
要点一
要点二
详细描述
通过将指数函数与其他基本初等函数进行复合运算，可以得到更复杂的函数图象。例如，指数函数与三角函数的复合可以得到正切、余切等函数的图象。
总结词
增长趋势、对数增长
详细描述
对数函数图象具有对数增长的趋势，当底数大于1时，图像呈现上升趋势；当底数在0到1之间时，图像呈现下降趋势。
函图象的特性
总结词
详细描述
总结词
详细描述
第12讲函数的图像
第12讲函数的图像一次函数，二次函数基本函数的图像反比例函数指数，对数函数 确定函数的定义域 化简函数解析式画函数的图像 平移变换图像的变换对称变换伸缩变换重点：1.基本函数的图像；2.函数图像的初等变换； 3.识图与用图。
难点：1.复杂的图像变换；2.数形结合综合讨论题。
考纲要求注意紧扣！1•掌握基本函数的图像； 2•从函数的图像特征去讨论函数的主要性质; 的思想方法解题。
命题预测仅供参考！1•主要考查初等函数的图像特征和函数图像的初等变换（平移，对称，伸缩） 2 •考查的主要题型有：由式选图，由图选式，图像变换，自觉地应用图像解题。
点热丿| 一定掌握！1.作函数的图像⑴利用描点法作图步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性，单调性, 周期性，最值）；④画出函数图像。
⑵利用利用基本初等函数的变换作图 平移变换：y f （x ）h 0,左移；h 0,右移y f(x h) （可记为“左加右减”） y f(x)k 0,上移；k 0,下移y f(x)k（可记为“上加下减”）（第课时）神经网络准确记忆!图像的应用识图用图（数形结合）重点难点好好把握!函数的图像描点法作图（步骤）讨论函数的性质值域 单调性 奇偶性与周期性3 •运用数形结合伸缩变换：y f(x) 0 1,伸；〉，缩y f( x)y f (x) 0 A 1缩;A 〉1,伸 y Af(x) 对称变换：y f(x) x 轴对称 y f(x) y f (x)y 轴对称yf( x)y f (x)直线x a 对称y f(2a x)y f (x)直线y x 对称 y f 1(x)f (x) 原点对称f( x)y yy f (x) 保留y 轴右边图像，作其关于y 轴对称的图像，去掉保留X 轴上方图像，将x 轴下方图像翻折到上方 。
y f (x)护由左边图像。
例•作出下列函数的大致图像:y f (x)y f(x)2 x x 1y log 2 x ( x 0 )的图像，再作出其关于y 轴的对称图像即可，如图1-1 ；log 2 x 的图像，再将其右移一个单位得到 y log 2 (x 1)的图像，最后把x 轴 ⑴ y log 2 x ；(2) y log 2(x 1):⑶:⑷ y 2 .3 x 。
数学函数图像的理解与应用
数学函数图像的理解与应用在我们学习数学的过程中，函数图像是一个极其重要的概念。
它不仅能够直观地展示函数的性质和特点，还在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨数学函数图像的理解与应用。
首先，我们要明白函数图像究竟是什么。
简单来说，函数图像就是将函数关系以图形的形式表现出来。
比如，当我们有一个函数 y ＝ 2x ＋ 1 时，通过给 x 赋予不同的值，计算出对应的 y 值，然后将这些点（x, y) 在坐标系中描绘出来，连接起来所形成的线就是这个函数的图像。
那么，为什么要研究函数图像呢？因为它能帮助我们更直观地理解函数的性质。
比如，通过观察一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像，我们可以很容易地看出它的斜率 k 决定了函数的增减性。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
而 b 则决定了函数图像与 y 轴的交点。
再来看二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的图像。
它是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 x ＝ b ／ 2a ，顶点坐标为（b ／ 2a, （4ac b²) ／ 4a) 。
通过观察图像，我们可以清晰地了解函数的最值、零点等重要信息。
函数图像在实际生活中也有着广泛的应用。
比如，在经济学中，成本和收益可以用函数来表示，通过绘制函数图像，企业可以分析在不同产量下的利润情况，从而做出最优的生产决策。
在物理学中，运动学中的位移、速度和时间的关系，电学中的电流、电压和电阻的关系等，都可以用函数图像来描述。
例如，在研究自由落体运动时，物体下落的高度 h 与时间 t 的关系可以表示为 h ＝ 1/2gt²，通过绘制这个函数图像，我们能够直观地看到物体下落高度随时间的变化规律。
在工程学中，函数图像也经常被用到。
比如，在建筑设计中，需要考虑结构的受力情况，力与变形之间的关系可以用函数图像来表示，帮助工程师设计出更安全、合理的结构。
函数图像与应用题解法
函数图像与应用题解法函数图像是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质。
在本文中，我们将探讨函数图像的意义以及如何应用函数图像进行问题解答的方法。
函数图像是指将函数的输入值和输出值绘制成一条曲线或者点的集合。
通过观察函数图像，我们可以获得关于函数的很多有用信息。
例如，函数图像的斜率可以告诉我们函数的变化趋势，曲线的凹凸性可以告诉我们函数的曲率，和交点的位置可以提供函数的零点等等。
因此，函数图像是分析函数性质的一个重要工具。
在应用题中，函数图像的使用尤为重要。
当我们遇到一个与函数有关的实际问题时，我们可以通过绘制函数图像来帮助我们更好地理解和解决问题。
例如，假设我们遇到一个求解方程的问题，我们可以通过函数图像的绘制来找到方程的解。
首先，我们可以将方程转化为函数的形式，然后绘制函数图像。
通过观察函数图像的交点和曲线的特征，我们可以找到方程的解。
另外，函数图像还可以帮助我们分析函数的最大值和最小值。
当我们需要求解一个函数的极值问题时，我们可以观察函数图像的走势，并找到函数的最大值和最小值所对应的输入值。
此外，函数图像还可以帮助我们分析函数的周期性。
当我们遇到一个周期性问题时，我们可以通过绘制函数图像来确定函数的周期和周期内的特征。
通过应用题解决方法中使用函数图像，我们可以更直观地理解问题，并且能够更清楚地看到问题的关键点。
这样，我们就能够更快速地找到问题的解决方法，并且可以更准确地回答问题。
在具体的问题解答过程中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要选择合适的函数绘制工具，如图形计算器或者数学软件。
这些工具可以帮助我们绘制函数图像，并提供一些附加的功能，如求解函数的零点、最大值和最小值等等。
其次，我们需要注意函数图像的缩放和坐标轴的设置。
合适的缩放和坐标轴设置可以让我们更清晰地观察函数图像，并帮助我们更好地分析问题。
总之，函数图像是解决数学问题的重要工具。
我们可以通过函数图像来直观地理解和分析问题，并且可以更快速地找到问题的解决方法。
函数图像在初中物理中的应用
例如 ， 在 学 习 苏 科 版 九 年级 物理 第 十 四 章 《 欧姆 定律》 时，
课 后 练 习 的一 个 变 形 题 ：
Ｒ ， Ｒ ｚ为 两个 阻 值 不 同 的 电阻 ， 它 们 的 Ｊ — Ｕ 图 像 如 图 ３所 示 ． 设Ｒ 为 两 电 阻 串 联
函数 图 像 在 初 中物 理 中 的 应 用
■朱 晓 明
函 数 图 像 由于 其 自身 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 观 、 具体 、 形 象 等特点 ， 非 常 适 宜
用来 表 达 复 杂 而 抽 象 的 物 理 规 律 和 原 理 ． 函数 图 像 是 反 应 两 这 种 函数 图像 表 达 后 ， 同样 可 以应 用 到 速 度 和 路 程 的 关 系 、 同
四、 用 函 数 图 像 来 推 导 规 律
海波在 吸热熔 化， 在 Ｂ Ｃ
段海 波 不 断 吸 热 ， 但 温 度 却维持 在 ５ Ｏ℃ ， 说 明 海 波
／ 日
／
／
年 学 生 数
璎
／
／ Ｃ
丫 匕
是 晶体 ， 其熔点是 ５ Ｏ℃ ． 经
过 ４ ｍｉ ｎ熔 化 后 ， 海 波 变 成
图 ３
成 长期 记忆 ， 避 免 了 死 记 硬 背． 同时 ， 阅读 函数 图像 的 过 程 ， 也 是 考 查学 生 提取 信息 的 能力 的过 程 ， 有 利 于学 生观 察能 力 的发 展． 例如 ， 在 学 习苏 科 版 初 中 物理 八 年 级 第 二 章 《 物态变化 》 ， 关于海波熔化 的过程图像 ， 如 图 １所示 ．
函数图像的应用归纳总结
函数图像的应用归纳总结在数学中，函数图像是一种重要的工具，它在各个领域具有广泛的应用。
通过观察和分析函数图像，我们可以得出许多有用的结论和推论。
本文将对函数图像的应用进行归纳总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、函数图像的形态通过观察函数图像的形态，我们可以了解函数的性质和变化趋势。
比如，当函数图像呈现上升趋势时，我们可以判断该函数是递增的；当函数图像呈现下降趋势时，我们可以判断该函数是递减的。
另外，函数图像的凹凸性也是我们关注的重点。
当函数图像呈现向上的凹状时，我们可以判断函数具有凹性；当函数图像呈现向下的凸状时，我们可以判断函数具有凸性。
这些凹凸性的特点对于优化问题的求解和最值点的确定具有重要的指导作用。
二、函数图像的交点和零点观察函数图像的交点和零点可以帮助我们解决方程和不等式问题。
当两个函数图像相交时，我们可以通过寻找交点的横坐标和纵坐标来求解方程。
当函数图像与x轴相交时，我们可以通过寻找零点的横坐标来求解方程或不等式。
例如，当我们需要求解方程“f(x) = g(x)”时，我们可以将两个函数图像绘制在同一坐标系上，通过观察交点的横坐标来得到方程的解。
同样地，当我们需要求解不等式“f(x) > g(x)”时，我们可以观察函数图像与x轴的交点和函数图像的上升或下降趋势，从而确定不等式的解集。
三、函数图像的极值点和最值点函数图像的极值点和最值点对于优化问题的求解非常重要。
当函数图像在某一点具有极值时，该点的横坐标和纵坐标可以帮助我们确定极值点的位置和值。
当函数图像在某一段区间上具有最值时，该区间的两个端点和函数图像的变化趋势可以帮助我们确定最值点的位置和值。
例如，当我们需要求解函数的极值问题时，我们可以通过观察函数图像的变化趋势和拐点的位置来确定极值点的值和位置。
同样地，当我们需要求解函数在一段区间上的最值问题时，我们可以观察函数图像在该区间上的变化趋势和端点的值，从而确定最值点的位置和值。
十八课时：函数图像的应用
如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关 l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系， 系， 根据图意填空： （1）当销售量为2吨时，销售收入＝ 2000 元， 销售成本＝ 3000 元；
y/元
6000
l1
销售收入
5000
4000
l2
销售成本
3000
2000
● ●
1000
O
1
2
3
4
5
6
x/ 吨
s
5 4 3 2 1 0
(米)
乙 甲
2秒后乙先甲后。
t(秒)
1 2 3 4
例2 :小聪上午8:00从家里出发，骑车去一家超市购，然 后从这家超市返回家中。小聪离家的路程s（km）和所 经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，请根据图
象回答下列问题：
s(km)
（1）小聪去超市途
2 中的速度是多少？ 12km/时
什么是函数图像？ 函数的图象：一般来说,函数的图 象是由平面直角坐标系中的一系 列点组成.把一个函数的自变量x 与对应的因变量y的值分别作为点 的横坐标和纵坐标，在直角坐标 系内描出它的对应点，所有这些 点组成的图形叫做该函数的图象.
1、 利用一次函数的图象 解二元一次方程组
x+2y=4
1 解：由x+2y=4，得 y x 2 2
回家途中的速度是 多少km/时？ 6km/时
1
0
10 20 30 40 50 60 70 t(分)
（2）小聪在超市逗留了多少时间？ 30分
2 1 s(km)
0
1பைடு நூலகம் 20 30 40 50 60 70 t(分)
例2 :小聪上午8:00从家里出发，骑车去一家超市购，然 后从这家超市返回家中。小聪离家的路程s（km）和所 经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，请根据图
函数图像解决实际问题课件
02
函数图像的基本概念
函数图像的定义
01
函数图像：将函数的每一个自变 量x的值，通过几何图形上的点(x, y)来表示，这些点的集合就是函 数的图像。
02
函数图像是数形结合的产物，是 函数关系的一种直观表达形式。
函数图像的绘制方法
描点法
根据函数解析式，选取自变量x的若干个值，计算对应的y值，并标出对应的点 ，然后通过平滑的曲线或直线将这些点连接起来，即可得到函数的图像。
函数图像解决实际问题PPT课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 函数图像的基本概念 • 函数图像在解决实际问题中的应用案例 • 如何利用函数图像解决实际问题 • 总结与展望
01
引言
主题介绍
01
02
03
函Hale Waihona Puke 图像展示数学函数在坐标系中 的表现形式，通过图像观 察函数的性质和变化规律 。
实际问题
指生活中遇到的各类问题 ，需要运用数学知识和方 法进行解决。
对函数图像的理论和应用进行更深入 的研究，推动相关领域的发展和进步 。
技术创新
未来将有更多创新的技术和方法应用 于函数图像的绘制和解读，提高解决 问题的能力和效率。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
精确度问题
函数图像的精度受限于绘 图工具和观察者的分辨能 力，可能会影响问题的解 决。
复杂度问题
对于复杂的问题，可能需 要绘制多个图像才能全面 理解，增加了工作量。
主观性
观察者对图像的理解可能 存在差异，导致对问题的 解读出现偏差。
未来研究方向与展望
要点一
智能化绘图
研究如何利用计算机技术自动绘制函数图像，提高图像的 准确性和效率。
《函数的图像》课件
一次函数பைடு நூலகம்
具有形如y = kx + b的定义式，图像为一条直线， 斜率决定了线的倾斜方向和斜率大小。
二次函数
具有形如y = ax²+ bx + c的定义式，图像为一 个抛物线，开口方向由a的正负决定。
正弦函数
具有形如y = A*sin(kx)的定义式，图像为一条波 浪线，幅度A和周期2π/k决定了图像的特征。
余弦函数
具有形如y = A*cos(kx)的定义式，图像为一条波 浪线，幅度A和周期2π/k决定了图像的特征。
一次函数和二次函数的图像特征
一次函数
斜率决定了线的倾斜方向和斜率大小，截距决定 了线与y轴的交点。
二次函数
开口方向由a的正负决定，顶点坐标由b和c确定。
正弦函数和余弦函数的图像特征
正弦函数
特殊函数的图像特征
特殊函数如双曲函数和阶乘函数，具有独特的图像特征和性质。通过观察函数的定义式和图像，我们可 以了解这些特殊函数的行为。
应用题：解析一个函数的图像 以及其物理意义
通过绘制函数的图像，我们可以解析出该函数的特征，理解函数在特定场景 中的物理意义。
应用题：为特定函数画出一个 图像，并做出分析
通过为特定函数画出图像，并分析其特征和性质，我们可以深入理解函数的 行为和规律。
应用题：如何利用已知函数画出复合函 数的图像？
通过已知的基本函数对函数进行组合，我们可以画出复合函数的图像，并理解函数组合的效果。
函数的极值、最大值和最小值
函数的极值是指函数的最大值和最小值，可以通过求导数和检查导数的零点 来找到函数的极值点。
平移、放和反转函数的图像
通过对函数的定义式进行变换，我们可以实现函数图像的平移、放大、缩小 和反转。
函数的图象及应用
函数的图象及应用函数的图象是描述函数关系的一种可视化方式。
通过绘制函数的图象，我们可以更直观地了解函数的性质和变化趋势。
对于一元函数来说，它的图象是二维平面上的一条曲线。
横轴表示自变量，纵轴表示函数值。
通过在坐标系上绘制各个点，再用平滑曲线连接这些点，就可以得到函数的图象。
函数的图象可以帮助我们分析函数的性质和行为。
首先，我们可以通过观察图象来确定函数的定义域和值域。
定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
其次，我们可以通过观察图象来判断函数的增减性和凸凹性。
如果函数的图象在某一区间上递增，则函数在该区间上是递增的；如果函数的图象在某一区间上凹，即图象呈现出向上凸起的形状，则函数在该区间上是凸的。
此外，函数的图象还可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
极值点是函数在某一区间内取得最大或最小值的点，拐点是函数图象由凹变凸或由凸变凹的点。
函数的图象也有许多应用。
首先，在数学中，函数的图象可以用来解决各种问题，例如求函数的零点、求函数的最大最小值等。
其次，在物理学中，函数的图象可以用来描述物理现象的规律。
例如，通过绘制速度-时间的图象，我们可以分析物体的运动情况。
再次，在经济学中，函数的图象可以用来分析经济关系。
例如，通过绘制需求曲线和供给曲线的图象，我们可以分析市场的均衡和消费者的消费行为。
此外，在计算机科学中，函数的图象可以用来可视化数据和算法的运行过程。
例如，在数据分析中，我们可以通过绘制数据的分布图来分析数据的特点和规律。
总之，函数的图象是一种直观、形象化的表达函数关系的方式。
通过观察函数的图象，我们可以更好地理解函数的性质和变化趋势，并应用函数的图象解决各种问题。
无论在数学、物理、经济还是计算机科学中，函数的图象都有着广泛的应用。
一次函数的图像的应用
一次函数图象的应用一、教材分析《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准冀教2011课标版教科书八年级下册第21章第4节《一次函数应用》的第三课时。
我在函数的应用的教学中发现学生对图像的理解运用极为困难，因此安排了这节课,目的是让学生注重从函数图象中准确获取信息，提高学生识图能力，培养数形结合的意识，从而利用一次函数的图象解决实际问题，发展形象思维能力，提高数学的应用能力。
为后面学习其它函数图像解决问题奠定良好的基础．二、教学目标1. 进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2. 在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；3．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识。
4．在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点：一次函数图象的应用教学难点：根据图象获取准确的信息，即良好的审题能力和读图能力以及处理和转化条件的能力。
三、教法学法在实际教学中我通过情境教学，使学生主动参与到教学过程当中，经历观察、分析、类比联想、自主探索、合作交流、启发引导、总结概括、拓展运用的教学过程，使学生在具体的情境中辨认、区分和应用，提高了学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新能力，从而形成了探索性的教学过程。
四、教学过程：第一环节：联系实际，自然导入请同学们观察生活中函数图像的图片,让学生思考身边函数图像应用的实例,发现函数图像和我们的生活息息相关,从而引入课题.设计意图: 从学生熟悉的生活实例入手，可激起学生的学习热情，加强数学与生活的联系，让学生体会生活离不开数学,函数图像和生活息息相关.从而使学生利用自己的生活经验主动建构知识。
第二环节：回顾反思加深理解1，知识回顾1）若实数a,b满足ab<0,且a<b,则函数y=ax+b的图像可能是（）2）已知一次函数y=kx-1,若y随x的增大而增大，则它的图像经过（）A 第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限2．归纳概括一次函数的图像和性质设计意图:通过简单问题的解决和一次函数知识的概括,加深学生对一次函数图像和性质的理解, 从而形成知识网络,使学生系统掌握一次函数的图象和性质,为后面灵活运用图像奠定基础.第三环节: 实践探索 合作交流1. 某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
函数图像解决实际问题课件
2 学会应用函数图像解决实际问题
函数图像能帮助我们理解和解决各种实际 问题。
通过学习和实践，我们可以掌握函数图像 解决实际问题的方法。
结语
- 谢问题
明确实际问题的需求和要解决的关键
选择合适的函数模型
2
点。
根据问题的特性和要求，选择适合的
函数模型进行建模。
3
绘制函数图像
使用数学工具或计算机软件绘制函数
解决实际问题
4
图像。
通过分析函数图像，得出对应实际问 题的结论和解决方案。
总结
1 函数图像在实际问题中的重要性
函数图像在实际问题中的应用
1 例1：用函数图像表示温度变化规律
通过绘制温度随时间变化的函数图像，可以清晰地观察和预测天气变化。
2 例2：用函数图像表示人口增长趋势
通过绘制人口随年份变化的函数图像，可以分析和预测人口增长的趋势。
3 例3：用函数图像表示财务变化规律
通过绘制财务指标随时间变化的函数图像，可以帮助企业分析和优化财务决策。
函数图像解决实际问题ppt课件
# 函数图像解决实际问题 ## 一、引言 - 函数图像在解决实际问题中发挥重要作用 - 本课程将介绍如何利用函数图像解决实际问题
函数图像的基本概念
定义
函数图像是通过将自变量和因变量的值呈现 为平面上的点而形成的图像。
常见函数图像的特征
常见函数图像的特征包括单调性、奇偶性、 极值、拐点等。
专题四函数的图象函数的应用
1．(2021·课标Ⅱ，10，中)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，那么y ＝f(x)的图象大致为( )【答案】 B 当0≤x ＜π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ；当π4≤x ≤3π4时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2；当3π4≤x ＜π时，f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ，由此可知当x ＝π4和x ＝3π4时函数有最大值，排除C ，D ；由函数解析式知，函数的图象每段应是曲线，故应选B.2．(2021·北京，7，中)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，那么不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}【答案】 C 如图，线段BC 的解析式为x ＋y ＝2，∴当x ＝1时，f (x )＝log 2(x ＋1)．∴f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1<x ≤1}．3．(2021·北京，8，中)汽车的“燃油效率〞是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．以下表达中正确的选项是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D 由题图可知，消耗1升汽油，乙车最多可行驶的里程大于5千米，故A 错误；消耗1升汽油甲走最远，那么反过来路程相同，甲最省油，故B 错误；甲车此时行驶了80千米，消耗8升汽油，故C 错误；80千米/小时以下丙“燃油效率〞更高，更省油．4．(2021·安徽，9，难)函数f (x )＝ax ＋b 〔x ＋c 〕2的图象如下图，那么以下结论成立的是( ) A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0【答案】 C 由图可知，①当x ＝0时，y ＝b c 2＞0，∴b ＞0；②当y ＝0时，即ax ＋b ＝0.又根据选项知a ≠0，∴x ＝－b a ＞0，∴a ＜0；③根据函数定义域可得c ＜0.综上选C.1．(2021·陕西，3，易)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，那么y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B (排除法)由f (－x )＝f (x )知，f (x )为偶函数，排除A ，C ；由f (x ＋2)＝f (x )知，f (x )的周期为2，排除D.应选B.2．(2021·课标全国，10，中)函数f (x )＝1ln 〔x ＋1〕－x，那么y ＝f (x )的图象大致为( ) 【答案】 B 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，那么g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，∴当－1<x <0时，g ′(x )>0； 当x >0时，g ′(x )<0，∴g (x )max ＝g (0)＝0.∴f (x )<0，排除A ，C.又由f (x )的定义域为{x |x ≠0}，可排除D ，应选B.3．(2021·安徽，8，中)函数y ＝f (x )的图象如下图，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f 〔x 1〕x 1＝f 〔x 2〕x 2＝…＝f 〔x n 〕x n ，那么n 的取值范围是( )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}【答案】 B f 〔x 1〕x 1＝f 〔x 2〕x 2＝…＝f 〔x n 〕x n ，即y ＝f (x )的图象与y ＝kx 的交点的坐标满足上述等式．又交点至少要有两个，至多有四个，故n 可取2，3，4.4．(2021·江西，10，难)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG ︵的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，假设l 从l 1平行移动到l 2，那么函数y ＝f (x )的图象大致是( )【答案】 D 当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大，故y 随x 的增大而增大，故排除B.下面定量分析：当x ＝π2时，弧长所对的圆心角为∠FOG ＝π2.可求得l 向上移动的距离为1－1×cos π4＝1－22，故此时BE ＝1－22sin 60°＝23－63.又易知BC ＝1sin 60°＝233，故y ＝BE ＋BC ＋CD ＝2BE ＋BC ＝2×23－63＋233＝63－263.因为63－263<233＋232＝433，所以函数f (x )的图象是下凹型．应选D.5．(2021·湖南，10，难)函数f (x )＝x 2＋e x－12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，那么a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【答案】 B 由题意知，设x 0∈(－∞，0)，使得f (x 0)＝g (－x 0)，即x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，∴e x 0－ln(－x 0＋a )－12＝0.令y 1＝e x－12，y 2＝ln(－x ＋a )，要使得函数图象的交点A 在y 轴左侧，如图，那么ln a <12＝ln e 12，∴a <e 12.6．(2021·山东，12，难)设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．假设y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么以下判断正确的选项是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0【答案】 B 方法一：由题意知满足条件的两函数图象只有图(1)与图(2)两种情况，图(1)中，作B 关于原点的对称点B ′，据图可知：当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故B 正确． 图(2)中，作A 关于原点的对称点A ′，据图可知：当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，C ，D 均错．方法二：1x ＝ax 2＋bx ⇔1x 2＝ax ＋b ，分别作出y ＝1x 2和y ＝ax ＋b 的图象，如下：不妨设x 1<0，x 2>0，当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0. 当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.应选B. 7．(2021·福建，10，难)函数f (x )在[a ，b ]上有定义，假设对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，那么称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1，3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1，3]上的图象是连续不断的；②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③假设f (x )在x ＝2处取得最大值1，那么f (x )＝1，x ∈[1，3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]． 其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】 D 令f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈[1，3〕，3，x ＝3，如图，f (x )在x ∈[1，3]上具有性质P ，可在x ＝3处不连续，①错；令f (x )＝－x ，x ∈[1，3]，经检验可知f (x )＝－x 在x ∈[1，3]上具有性质P .而f (x 2)＝－x 2，x ∈[1，3]，令g (x )＝－x 2，其图象如下图．由图象可知，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22为点S 的纵坐标，12[g (x 1)＋g (x 2)]为点F 的纵坐标(其中EF 为梯形ABCD 的中位线)，∴由图可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[g (x 1)＋g (x 2)]， ∴②错．设x ∈[1，3]，那么4－x ∈[1，3]，∴f (x )＋f (4－x )≥2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 2 ＝2f (2)＝2.而f (x )＋f (4－x )≤1＋1＝2，f (x )≤1，f (4－x )≤1，∴f (x )＝f (4－x )＝1，故③正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕]＋12[f 〔x 3〕＋f 〔x 4〕] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，∴④正确．故真命题为③④.考向1 函数图象的辨识1．图象的变换(1)平移变换①y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(＋a )或向右(－a )平移 a 个单位得到； ②y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(＋b )或向下(－b )平移 b 个单位得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称；③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y ＝kf (x )(k >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每一个点的纵坐标伸长(k >1)或缩短(0<k <1)为原来的k 倍而得到；②y ＝f (kx )(k >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每一个点的横坐标伸长(0<k <1)或缩短(k >1)为原来的1k 而得到．(4)翻折变换①要得到y ＝|f (x )|的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“上不动，下翻上〞即可得到；②由于y ＝f (|x |)是偶函数，要得到y ＝f (|x |)的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左〞即可得到．进行图象变换时，要合理选择变换的顺序，并进行适当的转化变形．例如，要得到y ＝2－|x －1|的图象，由于y ＝2－|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，可将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象先通过对称翻折得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，再通过平移得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象． 2．利用函数的性质确定函数图象的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊点线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用根本函数的图象确定所给函数的图象．(1)(2021·四川，7)函数y＝x33x－1的图象大致是()(2)(2021·课标Ⅰ，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，那么y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()【解析】(1)(排除法)由得，3x－1≠0⇒x≠0，排除A；又∵x<0时，3x－1<0，x3<0，∴y＝x33x－1>0，故排除B；又y′＝x2[3x〔3－x ln 3〕－3]〔3x－1〕2，当3－x ln 3<0时，x>3ln 3>0，y′<0，所以D不符合．(2)(排除法)由题图可知：当x＝π2时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，那么dOM＝sin x，即d＝OM sin x＝sin x·cos x，∴f(x)＝sin x cos x＝12sin 2x≤12，排除B，应选C.【答案】(1)C(2)C【点拨】解答此类问题时注意函数的奇偶性、单调性、极值、特殊点处的函数值．辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．(2021·山东，8)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )【答案】 D 方法一：令f (x )＝x cos x ＋sin x ，∵f (－x )＝－x ·cos x －sin x ＝－f (x )，∴函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，可排除B.令x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x 和y ＝－x 的图象如图，由图可知函数y ＝x cos x ＋sin x 的零点有一个介于π2到π之间，可排除A ，C ，应选D. 方法二：令f (x )＝x cos x ＋sin x ，那么有f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B 中图象不关于原点对称，∴排除B ；当x ＝π2时，y ＝1，而由C 中图象知当x ＝π2时，y ≠1，∴排除C ；当x ＝π时，y ＝－π，而A 中，当x ＝π时，y >0，∴排除A ，应选D.考向2 函数图象的应用利用函数图象研究的几个方面(1)利用函数的图象研究函数的性质：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等．(1)(2021·课标全国，12)函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个(2)(2021·山东，8)函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .假设方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞)【解析】 (1)在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2.如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2，1)，那么k OA ＝12. 要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，那么函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k <1.【答案】 (1)A (2)B【点拨】 解题(1)的关键是准确作出两函数的图象；解题(2)的关键是将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，数形结合加以判断．函数图象在方程、不等式中的应用策略(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；(2)确定方程根的个数：当方程与根本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．利用函数的图象解决以上问题时的总原那么是数形结合，因此作出的函数图象一定要准确．(2021·天津，14)函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．【解析】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y ＝kx －2恒过定点M (0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x >1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0，1)∪(1，4)时，两函数图象恰有两个交点．【答案】 (0，1)∪(1，4) 1．(2021·湖南株洲一模，6)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )【答案】 A 函数y ＝x sin x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，排除D ；由x ＝π时，y ＝0，排除C ；由x ＝π2时，y ＝π2，排除B ，应选A.2．(2021·福建三明调研，3)函数y ＝ax 2＋bx 与函数y ＝x a ＋b (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】 C y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a .对A ，由二次函数图象可知，a <0，－b 2a <0，所以b <0，函数y ＝x a ＋b 不符合要求，同理B 不符合要求；对于C ，D ，由二次函数图象可知，a <0，－b 2a >0，所以b >0，比拟选项C ，D 可知C 符合要求．3．(2021·山西晋城二模，5)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，那么不等式f 〔x 〕－f 〔－x 〕x<0的解集为( ) A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)【答案】 D f (x )为奇函数，所以不等式f 〔x 〕－f 〔－x 〕x <0化为f 〔x 〕x <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如下图．所以xf (x )<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．4．(2021·江西南昌二模，5)现有四个函数：①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的图象(局部)如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③【答案】 D 由于函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 为奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.5．(2021·陕西汉中模拟，6)函数y ＝f (x )的大致图象如下图，那么函数y ＝f (x )的解析式应为( )A ．f (x )＝e x ln xB ．f (x )＝e －x ln|x |C ．f (x )＝e x ln|x |D ．f (x )＝e |x |ln|x |【答案】 C 由题图知，函数的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，排除选项A ；当x →－∞时，f (x )→0，排除选项B ，D.因此选C.6．(2021·湖北武汉三模，7)对实数a 和b ，定义运算“□〞：a □b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)□(x －1)，x ∈R .假设函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．[－2，－1]【答案】 B 令(x 2－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.假设函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，画出函数f (x )的图象知，实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1，2]．7．(2021·河南洛阳模拟，9)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 015x ，x >1.假设a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，那么a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1，2 015)B ．(1，2 016)C ．[2，2 016]D ．(2，2 016)【答案】 D 作出函数的图象，直线y ＝m 交函数图象如图，不妨设a <b <c ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 015x ＝1，解得x＝2 015.假设满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 015，因此可得2<a ＋b ＋c <2 016，即a ＋b ＋c ∈(2，2 016)．应选D.8．(2021·广东深圳质检，10)设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下： ①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；②任意两点的连线都不平行于y 轴；③关于直线y ＝x 对称；④关于原点中心对称．其中正确的选项是________．【解析】 y ＝2x －1x －2＝2〔x －2〕＋3x －2＝2＋3x －2，图象如下图．可知②③正确． 【答案】 ②③9．(2021·河北秦皇岛模拟，12)假设关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如下图．假设a ≤0，那么其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；假设a ＞0，那么其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，21．(2021·湖北，12，易)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．【解析】 令4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －||ln 〔x ＋1〕＝0.∴2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝||ln 〔x ＋1〕，即sin 2x ＝||ln 〔x ＋1〕. 令y 1＝sin 2x ，y 2＝||ln 〔x ＋1〕. 如图画出y 1，y 2的图象，结合图象可得y 1与y 2有两个交点， ∴方程有2个根． ∴函数f (x )有2个零点． 【答案】 2①a ＝－3，b ＝－3； ②a ＝－3，b ＝2； ③a ＝－3，b ＞2； ④a ＝0，b ＝2； ⑤a ＝1，b ＝2. 【解析】 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ， 那么f ′(x )＝3x 2＋a . (1)当a ≥0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴y ＝f (x )在R 上有一个零点． ∴x 3＋ax ＋b ＝0有一个实根．∴④⑤正确；(2)当a ＜0时，令3x 2＋a ＝0. 当a ＝－3代入得x ＝－1或x ＝1. ∴f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2， f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2. 又∵x 3＋ax ＋b ＝0仅有一实根， ∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，∴b ＜－2或b ＞2，∴①③正确，②不正确． ∴综上可知符合的为①③④⑤. 【答案】 ①③④⑤3．(2021·湖南，15，难)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .假设存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，那么a 的取值范围是________．【解析】 令g (x )＝f (x )－b ＝0， ∴f (x )＝b .在同一坐标系下，作出y ＝f (x )，y ＝b 的图象． 当a >1时，如图(1)．由图象可知，存在实数b ，使g (x )＝f (x )－b 有两个零点． 当a <0时，如图(2)．由图象可知，存在实数b ，使g (x )＝f (x )－b 有两个零点． 当0≤a ≤1时，如图(3)．由图象可知，g (x )＝f (x )－b 最多有一个零点． 综上可得a 的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)4．(2021·江苏，13，难)函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0， 0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，那么方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．【解析】 ∵|f (x )＋g (x )|＝1， ∴g (x )＝－f (x )＋1或g (x )＝－f (x )－1， ①当g (x )＝－f (x )＋1时，由图可知，此时y ＝g (x )与y ＝－f (x )＋1的图象有两个交点， 即g (x )＝－f (x )＋1有2个实根． ②当g (x )＝－f (x )－1时，由图可知，此时y ＝g (x )与y ＝－f (x )－1的图象有两个交点． 即g (x )＝－f (x )－1有2个实数． 综合①②，可知方程有4个实根． 【答案】 45．(2021·北京，14，难)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ， x <1，4〔x －a 〕〔x －2a 〕，x ≥1.(1)假设a ＝1，那么f (x )的最小值为________；(2)假设f (x )恰有2个零点，那么实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)假设a ＝1，那么f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4〔x －1〕〔x －2〕，x ≥1，当x <1时，f (x )＝2x －1， f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )＝4(x －1)(x －2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－1，∴当x ＝32时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1.∴f (x )的最小值为－1.(2)①假设f (x )在x <1时恰有1个零点，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，2－a ＞0.∴0<a <2.f (x )在x ≥1时恰有1个零点， ∴2a ≥1且a <1，即12≤a <1.综上所述，12≤a <1.②假设f (x )在x <1时无零点，那么a ≤0或2－a ≤0，即a ≤0或a ≥2. f (x )在x ≥1时恰有2个零点．当a ≤0时，f (x )在x ≥1时无零点，不符合题意． 当a ≥2时，f (x )在x ≥1时有2个零点． ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．【答案】 －1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)1．(2021·湖北，9，易)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C ∵x ∈[0，4]，∴x 2∈[0，16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2都是f (x )的零点． ∴f (x )的零点个数为6，应选C.2．(2021·陕西，6，易)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 【答案】 B 先研究f (x )在区间[0，1]内的零点． ∵f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在[0，1]上单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－cos 1＞0，所以f (x )在[0，1]内有唯一零点．当x ＞1时，f (x )＝x －cos x ＞0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，应选B.3．(2021·辽宁，11，中)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，那么函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】 B ∵f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，∴f (－x )＝f (2－x )，∴f (x )的周期为2.如图画出f (x )与g (x )的图象，它们共有6个交点，故h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为6.应选B.4．(2021·山东，10，中)f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1(舍去)．又f (x )的最小正周期为2，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，∴y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7，应选B.5．(2021·天津，14，难)函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .假设方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，那么实数a 的取值范围为________．【解析】 在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如下图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 〔1－x 〕有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.【答案】(0，1)∪(9，＋∞)6．(2021·山东，16，难)函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，那么n＝________.【解析】方法一：∵2＜a＜3，∴f(x)＝log a x＋x－b为定义域上的增函数，f(2)＝log a2＋2－b，f(3)＝log a3＋3－b.∵2＜a，lg 2＜lg a，∴log a2＝lg 2＜1.lg a又∵b＞3，∴－b＜－3，∴2－b＜－1，∴log a2＋2－b＜0，即f(2)＜0.∵a＜3，∴lg a＜lg 3，∴1＜lg 3＝log a3.lg a又∵3＜b＜4，∴－1＜3－b＜0，∴log a3＋3－b＞0，∴f(3)＞0，即f(2)·f(3)＜0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*，可知n＝2.方法二：(数形结合法)由f(x)＝0，得log a x＋x－b＝0，log a x＝－x＋b.令g(x)＝log a x，φ(x)＝－x＋b.在同一坐标系下画出g(x)，φ(x)的图象，由图象可以看出两图象交点的横坐标x0∈(2，3)，∴n＝2.【答案】 2考向1函数零点的判断与求解1．函数零点的等价关系2．零点存在性定理条件—y＝f〔x〕在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线—端点值满足f〔a〕·f〔b〕<0结论存在x 0∈〔a ，b 〕，使得f 〔x 0〕＝0零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，那么该函数在区间上至多有一个零点．(1)(2021·重庆，6)假设a <b <c ，那么函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 (2)(2021·天津，7)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 (1)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a <b <c ，那么f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b )和(b ，c )内．(2)方法一：f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5x －1，0<x ≤1，－2x log 0.5x －1，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2x －1，0<x ≤1，2x log 2x －1，x >1.∵f (x )＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f (x )接近于正无穷大，f (1)＝－1<0，∴f (x )在(0，1]上有1个零点．又∵f (x )＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝22×log 22－1＝3>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上有1个零点， 故f (x )共有2个零点．方法二：易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如下图，由图可知两个函数图象有2个交点．【答案】 (1)A (2)B【点拨】 解题(1)的依据是零点存在性定理；解题(2)方法一的依据是零点存在性定理，方法二的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解．1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 2．判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点；(2)图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数； (3)将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，那么函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．(1)(2021·山东威海一模，4)函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)(2)(2021·安徽黄山质检，8)假设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，那么方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6(1)【答案】 B ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，∴f (1)·f (2)<0.又函数f (x )在定义域上单调递增，∴由零点存在性定理得f (x )的零点所在区间为(1，2)． (2)【答案】 C 画出周期函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象，如下图，由图知方程f (x )＝log 3|x |的解的个数为4.考向2 函数零点的应用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)零点的分布根的分布(m <n <p为常数)图象满足条件x 1<x 2<m⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <m ，f 〔m 〕>0 m <x 1<x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >m ，f 〔m 〕>0 x 1<m <x 2f (m )<0m <x 1<x 2<n⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，m <－b 2a <n ，f 〔m 〕>0，f 〔n 〕>0m <x 1<n <x 2<p⎩⎨⎧f 〔m 〕>0，f 〔n 〕<0，f 〔p 〕>0只有一根在(m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b 2a <n 或f (m )·f (n )<0在解决有关问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各区间上函数值的符号，使问题得以解决．(2021·江苏，13)f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.假设函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪〔x －1〕2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3，4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【点拨】 解题的关键是转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解．函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2021·广东中山模拟，10)定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2，3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.假设函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 【答案】 A 在方程f (x ＋2)＝f (x )－f (1)中，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)－f (1)，再根据函数f (x )是偶函数可得f (1)＝0，由此得f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x ＝1对称．又当x ∈[0，1]时，x ＋2∈[2，3]，所以当x ∈[0，1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝－2(x ＋2)2＋12(x ＋2)－18＝－2x 2＋4x －2＝－2(x －1)2，根据对称性可知函数f (x )在[1，2]上的解析式也是f (x )＝－2(x －1)2，故函数f (x )在[0，2]上的解析式是f (x )＝－2(x －1)2，根据其周期性画出函数f (x )在[0，＋∞)上的局部图象(如图)．结合函数图象，只要实数a 满足0＜a ＜1且－2＜log a (2＋1)＜0即可满足题意，故0＜a ＜1且log 3a ＜－12＝log 333，即0＜a ＜33.1．(2021·山东莱芜一模，5)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，那么函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0 C.12 D ．0【答案】 D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12.又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.2．(2021·安徽芜湖模拟，6)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(1，2)与(2，3)【答案】 B f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1，2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝22≈2.828>e ，∴8>e 2，即ln 8>2，即f (3)<0.又f (4)＝12－ln 3<0，∴f (x )在(2，3)内存在一个零点．3．(2021·山东临沂一模，6)假设函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，那么m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 【答案】 C依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎨⎧m ≠2，f 〔－1〕·f 〔0〕<0，f 〔1〕·f 〔2〕<0，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋〔2m ＋1〕]〔2m ＋1〕<0，[m －2＋m ＋〔2m ＋1〕][4〔m －2〕＋2m ＋〔2m ＋1〕]<0，解得14<m <12.4．(2021·河南开封模拟，8)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，那么关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】 C 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如下图)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.5．(2021·广东东莞三模，8)函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，那么以下关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的选项是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点【答案】 B 当k >0时，令f (f (x ))＝－1，结合图(1)分析，那么f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时存在4个零点；当k <0时，令f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，那么f (x )＝t ∈(0，1)，此时仅有1个零点x 0.6．(2021·云南昆明模拟，14)函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，那么n ＝________．【解析】 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如下图，由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1.【答案】 －17．(2021·河北唐山模拟，15)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12＋x 2＋2x ，x <0，f 〔x －1〕，x ≥0，且函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2－12，把函数f (x )在[－1，0)上的图象向右平移一个单位，即得函数y ＝f (x )在[0，1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在[0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－ax 的图象有三个不同的公共点，实数a 应满足－a <－12，即a >12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．(2021·江西南昌质检，13)函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，那么x 1，x 2，x 3的大小关系是________．【解析】 令x ＋2x ＝0，得2x ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x ；在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x 的图象．如图可知x 1＜0＜x 2＜1. 令h (x )＝x －x －1＝0，那么(x )2－x －1＝0，所以x ＝1＋52，即x 3＝3＋52＞1. 所以x 1＜x 2＜x 3. 【答案】 x 1＜x 2＜x 3思路点拨：解题关键是构造函数画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x 的图象，观察图象，可得x 1，x 2的大小关系．(2021·江苏，17，14分，中)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，方案修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，方案修建的公路为l .如下图，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝a x 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，那么点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，那么l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，那么g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2. 当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300， 此时f (t )min ＝15 3.1．(2021·湖南，8，易)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，那么该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－12C.pqD.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－1【答案】 D 设这两年的平均增长率为m ， 那么有(1＋p )(1＋q )＝(1＋m )2， ∴m ＝〔1＋p 〕〔1＋q 〕－1.2．(2021·北京，6，易)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16【答案】 D 由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即c 2＝30，解得c ＝60.组装第A 件产品用时15分钟，那么60A＝15，A ＝16，应选D.3．(2021·江苏，17，14分，中)请你设计一个包装盒．如下图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此包装盒的高与底面边长的比值． 解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)(0<x <30)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′>0；当x ∈(20，30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时a ＝202，h ＝102，h a ＝12， 即包装盒的高与底面的边长的比值为12.4．(2021·湖南，20，13分，中)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两局部：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少． 解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12， 故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12。
函数的图像和应用
函数图象的变换及应用 一 、规律总结 1、平移变换（a>0）： （1）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x+a)的图象；（2）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x-a)的图象；（3）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x)+a 的图象；（4）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x)-a 的图象；【学以致用1】①若函数y=f(x)恒过定点(1,1),则函数y=f(x-4)-2恒过定点 ；②y=lg(2x+6)的图象可看成是由y=lg(2x)的图象向 平行移动 个单位而得到.2、对称变换：（1）函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于 对称；（2）函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于 对称；（3）函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于 对称；（4）函数y=f(x)的图象与函数)(1x fy -=的图象关于 对称；【学以致用2】①函数x y 2log =与函数x y 21log =的图像关于___ _对称；②函数)1(log 21--=x y 的图象是( )3、翻折变换：（1）函数y=f(|x|)的图象可由函数y=f(x)的图象保留 图像，并将这部分图像沿向 翻折；（2）函数y=|f(x)|的图象可由函数y=f(x)的图象保留 图像，并将 图像沿向 翻折；【学以致用3】已知函数y =f (x )的图象如图所,分别选出与下列函数相对应的图象：① y = f (-x )；②y = - f (x )；③ y = f (|x|)；④y = |f (x )|.二、合作探究【探究1】分别作出下列函数的图像：（1）x y -=12；（2）|)1(|log 2+=x y . 思考：①它们都涉及哪些图象变换？②如何安排变换顺序？③顺序的改变会对图象的变换有怎样的影响？ （1）顺序1：xy 2=顺序2：x y 2=（2）顺序1：x y 2log =顺序2：x y 2log = 结论：【探究2】求关于x 的方程a x x =-+|32|2的不同实根的个数.【探究3】设函数f (x )＝|x ＋a |,g (x )＝x －1,对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是________．【方法总结】利用函数的图象：1.将函数的零点、方程的根的问题转化为；2.将不等式的解集、恒成立问题转化为；三、感悟提升感谢您的阅读，祝您生活愉快。
函数图象的意义及应用
19.1.2函数的图象第一课时函数图象的意义及应用学校：富顺县童寺初级中学校授课人：王娜四、教学方法：讲练结合法，启发法，演示法，小组讨论法。
五、教学设计：教学活动设计意图1、提问复习，引入课题（板书课题）问题：下列关于变量x、y的关系式：其中表示y是x的函数的是：2、创设情境，导入课题下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？温故知新，复习旧知。
设计知识“最近发展区”——为函数的图象和性质，为探索函数图象及性质做出铺垫。
一、教学目标知识与技能1、了解函数图象的意义；2、理解函数图象上的点的横坐标与纵坐标的意义；3、会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律；过程与方法1、通过研究图象，经历知识的归纳、探究过程；培养学生观察、比较、概括、推理的能力；2、探究函数图象的形成过程，分析观察函数图象，体会函数的变化过程。
由函数图象建立数形联系。
体验数形结合法的应用，培养推理及抽象思维能力。
情感态度价值观1、通过函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受图象的简洁美；2、体会图象直观表示，培养选择简便方案的意识。
二、教学重点理解函数图象的意义。
从函数图象上获取信息。
三、教学难点从函数的图象上读取信息。
可以认为，气温T 是时间t 的函数，由图象可知：（1）这一天中何时气温最低？最低气温为多少度？（2）这一天中何时气温最高？最高气温为多少度？（3）当天温度随时间增长变化趋势是什么样？（4）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗？在实际生活中，如图中的平滑曲线可以如实记录当天每时刻的温度变化，揭示气温T 与时间t 之间的函数关系，由图我们可以更直观的了解一系列信息。
那么我们应该怎样得到函数解析式的函数图象呢？函数图象有什么样的意义呢？应该怎么从函数图象中获取信息呢？3、探究新知例1、正方形的边长为x ，面积为S 。
函数的图像及其应用
高考对函数图像的考查形式多样，命题形式主要有由函数的性质及解析式、选图；由函数的图像来研究函数的性质、图像的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现.1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法． 2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的．函数的图像及其应用考纲下载：一、基本初等函数的图像和性质 1、指数函数和对数函数：x y a =log a y x =1a >01a <<1a >01a <<定义域 定义域 值域值域图像 图像函数图象都过定点___________ 函数图象都过定点___________ 函数在____上 单调递____函数在____上 单调递____函数在____上 单调递____函数在____上 单调递____01x x a >>时 001x x a ><<时1log 0a x x >>时 01log 0a x x <<>时 001x x a <<<时01x x a <>时01log 0a x x <<<时1log 0a x x ><时(2)对称变换y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称；y ＝|f (x )|的图像可将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分，其余部分不变而得到；y ＝f (|x |)的图像可先作出y ＝f (x )当x ≥0时的图像，再作关于y 轴的对称．2、幂函数：n y x=n=1 n=2 n=3 n=1-n=12图像注：当n>0时，函数在()0,+∞上单调递________；当n<0时，函数在()0,+∞上单调递________。
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函数的图像应用20111128
1. 函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是（ ）
A ．)31(log 13≥+=x x y
B ．)31(log 13≥+-=x x y
C ．)131(log 13≤<+=x x y
D ．)131(log 13≤<+-=x x y
2.下列函数的定义域： (1)
； (2) ； (3) ； (4) .
3.已知函数y=(31)522++x x ，求其单调区间及值域。
4.已知x ∈[-3,2]，求f(x)=12
141+-x x 的最小值与最大值。
常规函数图像主要有：
指数函数： 对数函数： 幂函数：
图像相关的类型题：
1.比较大小: (1)
和 ；(2) 和 ； (3) 和 ；(4) 和 , .
2.(1)指数函数① ② 满足不等式
,则它们的图象是 （ ）
3.曲线
分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是
（ ).
4.右图是指数函数①y=a x ；②y=b x ；③y=c x ；④y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )
A.a ＜b ＜1＜c ＜d
B.b ＜a ＜1＜d ＜c
C.1＜a ＜b ＜c ＜d
D.a ＜b ＜1＜d ＜c
5.函数y=a x-3+3（a>0且a ≠1）恒过定点_________. (2)函数 的图象一定过定点 ,则 点的坐标是_________.
6.若函数y=a x +b-1（a>0且a ≠1）的图象经过一、三、四象限，则一定有( )
A.a>1且b<1
B.0<a<1且b<0
C.0<a<1且b>0
D.a>1且b<0
7.已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像必定不经过（ ）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限
8.若a 23<a 2,则a 的取值范围是 。
9、求函数2
25,y x x x R =-+∈的单调性和值
域 。
10. 求函数3y x =+的单调性和值域 复合函数图像相关的题目：（同增异减）
11.如果函数y=（a 2-4）x
在定义域内是减函数，则a 的取值范围是( )A.|a|>2 B.|a|>5 C.|a|<5 D.2<|a|<5 12.函数y=2|x|的值域是( )A.（0，1] B.［1，+∞) C.（0，1） D.（0，+∞）
13.若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是 ( )A .)1,0( B .)2,0( C .)2,1( D .),2(+∞
14．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）（A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a
15．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（5
1）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（2
1）31 16．函数y=3232x -的单调递减区间是 。
14.若21a b a >>>，则log b b a
，log b a ，log a b 从小到大依次为 ；15．已知函数()|lg |f x x =，若11a b c
>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ：
（注：1()()f f c c
=） 17.在同一坐标系中，函数y =2-x
与y =log 2x 的图象是（ ）
18..求函数y=2x -6x+1712⎛⎫ ⎪⎝⎭
的最大值。
19. 设0<a<1,解关于x 的不等式a 1322+-x x >a 522-+x x .
19、求下列函数的单调区间。
（1） （2） （3）
20、求函数的递减区间。
3、求函数的递增区间。