2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限解答题2(数学)

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2009届全国百套名校高三数学模拟试题导数与极限

2009届全国百套名校高三数学模拟试题导数与极限一、选择题1、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)“函数f (x )在点x ＝x 0处有定义”是“函数在点x ＝x 0处连续”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件答案：B2、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)在等差数列{}n a 中，1351,14,na a a S =+=为{}n a 的前n 项和，若21lim 2n nan S →∞-=，则a ＝( ).A. 3B. 2C. 13D. 12答案：B3、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+,3,4,n =….若lim 2n n x →∞=,则1x =( ). A. 32B.3 Ｃ.４ D.５答案：B4、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)函数()321f x x x x =--+在x ∈[－1，1]上的最大值等于（）A ．427B ．827C ．1627D ．3227答案：D5、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)过曲线32y x x =+-上的点P O 的切线平行于直线y = 4x -1，则切点P O 的坐标为（）A ．(0，－1)或(1，0)B ．（1，0）或（-1，-4）C ．（－1，－4）或（0，－2）D ．（1，0）或（2，8）答案：B 设P O (x o , y o )，由y / = 3x 2 + 1得y / | x = x o = 32o x +1由题意得：32o x +1 = 4 ∴ x o =±1故P 点坐标为（1，0）或（－1，－4） 6、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)设f (x ) = x (ax 2 + bx + c ) (a ≠0)在x = 1和x =－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（） A ．（a , b ） B ．(a , c ) C ．(b , c ) D ．(a + b , c )答案：A f /(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ，由题意知1，－1是方程3ax 2 + 2bx + c = 0的两根。

2009考研数学(二)真题及参考答案

2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. （21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ，（拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=，故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=，当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.。

2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---导数及其应用(选择、填空题)

C．3
30.将函数 y = f ′( x ) sin x 的图象向左平移
f ( x ) 是（ A
）
π
4
D．4
（
C ）
个单位，得到函数 y = 1 − 2 sin 2 x 的图象，则
A． 2 sin x
B．cosx
C．sinx
31.函数 f ( x) 的定义域为（a,b），其导函数 y = f ′( x ) ( a, b) 内的
（A） ( −∞, a − 1 − a 2 + 1) （C） (0,2a ] 3．函数 y = 4 x 2 + （B） a − 1 − （D） (2a,+∞)
一、选择题
《导数及其应用》导数及其应用》
(
a 2 + 1, 0]
1 的单调递增区间是 B x 1 1 A． (0,+∞) B． ( ,+∞) D． (−∞,− ) C． (−∞,−1) 2 2 4．若函数 y = x 3 + x 2 + mx + 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是 1 1 1 1 B． (−∞, ] C． [ ,+∞) D． (−∞, ) A． ( ,+∞) 3 3 3 3
π 2π D． , 3
3
39.函数 y = f ( x) 的图象经过原点，且它的导函数 y = f '( x) 的图象是如图所示的一条直线，则 y = f ( x) 的图象不经过 A y A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
O
40.
x
π π 若 f ( x) = sin x + 2 xf ′( π ) , 则 f ( − ) 与 f ( ) 的大小关系是 ( 3 3 3

2009届全国名校真题模拟专题训练数列解答题2数学

1于是J 口 ——ki k 2 3k 11 1 1^f(^_f(_^^_^f(_^). 2009届全国名校真题模拟专题训练03数列与数学归纳法三、解答题（二）1）已知函数f （x ）在（-1,1）上有意义,fq ）二-1,且任意的x + yy(-1,1)都有 f(x) f(y r f r|巴卜：11 X nx 亠X）5后）"Xn ）恨）4曲■丄区』=2. {f(X n )}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f(X nH-2nJ f(X n )0 + 0(2)由题设，有 f (0)f(0) = f (- -)= f(0),故 f(0) = 01+0又 x (-1,1),有f(x) f(-x)二 f(^4)= f(0) =0, 1 -x得f(-X )二-f (x),故知f (x)在(-1,1)上为奇函数.由2k 3k 1 (k 1)(k2)-1 1(k+1)(k+2)11 1 1 得 f(k^3rn"f(芦)"c"f(厂51、（广东省四校联合体第一次联考 (1) 1若数列｛X n ｝满足X 1匕，X n.1寻(nN *),求f(x n).(2) 求 1 f （^） f （丄）• f （5 112 ) * f(^^)的值-n 3n 1 n 2解:(1^ 1 x ； _2|x n |(k 1)(k 2)=_k 1 k 21 —(k 1)(k52、（广东省五校2008年高三上期末联考）已知数列｛a .｝的前n 项和S n 满足：aS n(a n -1) (a 为常数，且a =0,a =1) • (I)求｛a n ｝的通项公式;a -12S（n ）设b n n 1，若数列｛b n ｝为等比数列，求a 的值;a n求证：T ； In-1 •3解：(I) S = — (a i -1),二 a<, = a, a-1 当 n _2 时，a n二旦a n -一^aa —1a —1出二a ，即｛a n ｝是等比数列.••• a . =aan 11故1 f (丄)f5（存f （七）"5）在满足条件（n ）的情形下，设「古数列｛c n ｝的前n 项和为T nnJ,2 旦(a n -1)(n)由(I)知，bn = a _1(3a -1)a n -2a则有 b ?2 = b 1 b 3,而 b| =3,b 2= ——2,b3a n(a-1)3a 2 2a 2，若｛b n ｝为等比数列,故（2）2=3.a1再将a 二1代入得b n 31 所以a =丄.33a 2 2a 22，a=3n 成立,解得 1a 一3，（ill ）证明：由（n ）知a n3n 1 -1 3 _ 3n 1- =2「才■ 由n3 1 3所以c n =2 -(n1 -1 13n1 -13n 1 -1) 13 -1 1 ____ 3n+1 3 =1 1 1 13n(3)"，所以 G 二 —' 1 —二盯131 (2)n 1 _(!)n 1 3 1 3 3 31 1一一 1 —1 ----------- 3n 1 3n1 -13n 1 -11 1 1 ..1 n 1 得 n n 1' n3 3 13 -13 3 、 c , 1 百)2一(了一， -1 3 12分1 1 1 1 1 1从而T n =C1 y + 卅+c n >[2 —(3一評]+[2 —(孑—亍)]+ 川[2 ——尹)]1 1 11^11=2n _[(<32)(厂33)川(3n _3n1)]1 1 1=2n -( nr) 2n -3 3 31即T n 2n . .................................. 14 分353、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列la n』中，印=2 , a n d-a n cn (C是常数，n =1,2,3,川)，且6, a2, a?成公比不为1的等比数列。

全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限解答题1(数学)

2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设函数()ln 1f x x px =-+（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n nn 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，xpxp x x f -=-='11)(当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点当p>0时，令x x f x f px x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='的变化情况如下表：从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点px 1=（Ⅱ）当p>0时在1x=p 处取得极大值11()ln f p p=，此极大值也是最大值，要使()0f x £恒成立，只需11()ln0f pp=?， ∴1p ³ ∴p 的取值范围为[1，+∞)（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ，∴1ln 22-≤n n ，∴22222111ln nn n n n -=-≤ ∴)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222n n +++--= ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n )11141313121()1(+-++-+---=n n n)1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n ∴结论成立2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根。

2009年高考理科数学(全国二卷)真题

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学一选择题： 1. 10i2-i=( )A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =( )A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A =( )A.1213B.513C.513- D. 1213-4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( )A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=5. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AAAB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为( )B. 15D. 356. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =( )C.5D. 257. 设323log ,log log a b c π===( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>8. 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为( )A ．16B.14 C. 13D.129. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A. 13B.3C . 23 D. 310. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。

则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65 B. 75C. 58D. 9512.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。

2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限选择题(数学)

答案：B
40、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)函数在点处连续，则的值是（）
A．2B． C.3D.
答案：C
41、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则（）
A．函数有1个极大值点，1个极小值点
B．函数有2个极大值点，2个极小值点
C．函数有3个极大值点，1个极小值点
答案：B
25、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
答案：C
26、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)若 ,则常数、的值为（）
A. ，B. ，C. ，D.
答案：C
27、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示.则平面区域所围成的面积是
A．[arctan3， ] B．[π－arctan3， ]
C．[ ，arctan3] D．[0，arctan3]∪[ ，π)
答案：D
33、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)设函数的图象上的点的切线的斜率为，若，则函数，的图象大致为（）
答案：A
34、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点p(1，1)处的切线互相垂直，则为
A. (0, ]B. [0, )∪[ ,π)C. [0, ]∪[ ,π)D. [ , ]
答案：B
38、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）
A． B． C．2D．0
答案：C
39、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟) ＝( )

2009届全国名校真题模拟专题训练2-函数解答题(数学)

解：（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f（x）=f[（ax）a]= = = = = =f（x），对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数------------------------------------------------------------------------------------（4分）
……3分
（2）解不等式
……6分
（3）（Ⅰ）
当且仅当时，即x=7时等号成立．
到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．……10分
（Ⅱ）
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元……11分
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0∴0<x<3
3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)求函数的定义域：
解：由题意得
4、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数
(1)判断函数的奇偶性。(2)判断函数的单调性。
解：（1）
=
∴ 为奇函数
（2）是R上的增函数，（证明略）
5、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数 = 的图像过点(-4，4)，且关于直线成轴对称图形，试确定的解析式.

2009高考数学模拟试题13套数学12

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷满分150分，考试时间120分钟.互斥，那么 P(A B) P(A) P(B).已知n 是正整数，则a n b n (a b)(a n 1a n 2b则平均产量较高与产量较稳定的分别是 ()A .棉农甲，棉农甲B .棉农甲，棉农乙C .棉农乙，棉农甲D .棉农乙，棉农乙x 24.若 y 2 ，则z x - 2y 的最大值是x y 2A . -4B . -2C . 2D . 45.已知函数f (x) 4sin 2x 4cosx 1 a ，若关于x 的方程f (x) 0在区间[,2 ]上有解，则a 的取值范围是()4 3A. [ 8,0]B.[ 3,5]C.[ 4,5]D.[ 3,2 .21]6.条件p:a 1，条件q: a 1，贝yp 是 q 的( )A •充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件1. 2. 、选择题：本大题共八小题，每小题目要求的. 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设复数已知等差数列 A.11 { a n }中，a 4B.12 C .1~2a 7a 1018,a 6*8 a® 27,右 a k 21，则 k=()C.13D.14(千克/亩)如下表: 参考公式：如果事件n 2 n 1 \ab b ).3. 甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量7.若函数y (2)11 x|m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是A. m<—1C. m> 1 D . 0v m W 1（一）必做题（9 —12题）199.下图给出的是计算1 2 4 2的值的一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 __________10•若函数 f(x)满足 f(a b) f(a) f(b)，且 f (1)2，则丄0 + 出 + •••+ f(2°°6)f (1) f (3) f(2005)211.函数y log °.7(x 3x 2)的单调递增区间是 ___________________（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）y ）（^ a） 9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 x y15. ______________________ 底面边长为2的正三棱锥P ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是FA 、AC 、BC 、PB 中点，则四边形的面积取值范围是8•设aR ，若函数y ax e 3x , x11A • a—B • a—33R 有大于零的极值点，则（ C • a 3D . a 37小题，考生作答 6小题，每小题5分，共30分.12.若 sin2 av 0, sin —cos > 0，贝U cos1 sin+ sin1 sin13.已知直线的极坐标方程是sin （ -），则极点到该直线的距离是4214.已知不等式（xEFGH、填空题：本大题共三、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤16. (本小题满分13分)设0<e <-，曲线x2sin e + y2cos e=1和xJ e-y罰e=1有4个不同的交点(1) 求e的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围17. (本小题满分13分)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货，如果在某一个小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7 •假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：(1) 只有丙柜面需要售货员照顾的概率；(2) 三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；(3) 三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率.18. (本小题满分14分)ABCD 是如图，四棱锥P ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ADC 60°的菱形，M为PB的中点.(1) 求PA与底面ABCD所成角的大小;(2) 求证：PA平面CDM ;(3) 求二面角D MC B的余弦值.19. (本小题满分14分)20. (本小题满分14分)2 2设函数 f (x) tx 2t x t 1(x R , t 0) • ⑴求f (x)的最小值h(t)； 2t m 对t (0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围.21. (本小题满分12分)5 2x已知函数f(x)=，设正项数列 a n 满足a 1 =l , a n1f a n .16 8x(1)写出a 2、a 3的值；5(2)试比较a n 与-的大小，并说明理由；已知点A (1, 1)是椭圆2x~2a2爲=1 (a >b >0)上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，且满足|b 2AF 1 | +AF 2 | =4.(1)求椭圆的两焦点坐标;(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果| AB |最大时，求证 A 、B 两点关于原点 0不对称; (3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值?⑵若h(t)45 n 1(3)设b n满足b n= —a n,记S n= b i•证明：当n 2 时,S n(2n 1).4 i 1 4一、选择题：DBBC CABD二、填空题：9、i 19 10、2006 11 、 x 1 12、 2 sin(—)213、21 a14、4 解析：(x y)() 1 a 丄 ax 1 a 21 a-、a 1 ，当y x ax 等号成立,x y xy1 a2所以(x y)()的最小值为a 1,.a 21 9, a 4三、解答题2 .x sin16、解：(1 )解方程组2x cos2y cos 2・ y sin1，得1 2 ・x sin 2y coscos sinsincos故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为,3分cos sin 0(0< 9 < — )0< 9 < — .6 分24(2)设四个交点的坐标为(X i , y i ) (i = 1 , 2, 3, 4), 则：X i 2+ y i 2 = 2cos 9 €( . 2 , 2) (i = 1 , 2, 3, 4) . 10 分故四个交点共圆，并且这个圆的半径r = 2 cos (4 2,2).13分17、解：设事件A 为“甲柜面不需要售货员照顾”，事件B 为“乙柜面不需要售货员照顾”，事件C 为“丙柜面不需要售货员照顾”则事件 A 、B 、C 相互独立，且 P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, P(C) = 0.7. 2 分(1)设事件D 表示“某一小时内只有丙柜面需要售货员照顾”，则D ABC ，且事件A 、B 、C 相互独15、解析：用特例法, 当P 点无限远离平面 ABC 时显然所求四边形的面积为无穷；而当 P 点无限接近平面ABC 时(如图所示) ，容易求得面积为••• P(D)= P(A B C ) = P(A) P(B) P( C ) = 0.9X 0.8 X 0.3= 0.216. 4 分(2) 设事件E 表示“某一小时内三个柜面最多有一个需要售货员照顾”，则 E ABC ABC ABC ABC6 分又ABC 、A B C 、ABC 、AB C 彼此互斥，且 A 、B 、C 、A 、"B 、相互独立 • P(E) P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)=0.9 X 0.8 X 0.7 + 0.1 X 0.8 X 0.7+ 0.9X 0.2 X 0.7+ 0.9 X 0.8X 0.3 = 0.902 9 分(3) 设事件F 表示“某一小时内三个柜面至少有一个需要售货员照顾”，则F ABC10分又A 、B 、C 相互独立P(F) = P(A) P(B) P(C) = 0.9X 0.8 X 0.7 = 0.504• P(F) 1 P(F) = 0.496.13 分18、解：（1）取DC 的中点 O ,由A PDC 是正三角形，有 PO 丄DC .则 NMB 为二面角D MC B 的平面角，在 Rt PAB 中，易得又平面PDC 丄底面 ABCD , • PO 丄平面 ABCD 于O .连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影.•/ PAO 就是PA 与底面所成角. / ADC=60 °由已知 A PCD 和A ACD 是全等的正三角形，从而求得 OA=OP= 3 . / PAO=45 ° • FA 与底面ABCD 可成角的大小为 45 °⑵ 由底面 ABCD 为菱形且/ ADC=60 ° DC=2, DO=1，有OA 丄DC . 建立空间直角坐标系如图，则 AC 3, 0,0), P(0,0, .3), D(0, 1,0), B( 3, 2, 0)由M 为PB 中点，•Q).(3, 0,ULLTDC (0, 2, 0).uuu LLLLT 3 -PA DM 3 22 LLU ULLT PA DC 0 .3 2 0 0 PA 丄 DM , PA 丄 DC . 3) • PA 丄平面DMC . ⑶ CM (f,0, f), CB (3,1,0).令平面 BMC 的法向量 n (x, y, z), 则n CMP 0，从而x+z=0 ； …由①、②，取x=- 1,则y *.；3, 由⑵知平面CDM 的法向量可取 T cunn PA 2乘 cos n, PA T LLfl- -------------------------- | n || PA | "5 J 6 ••①,z 1 . ILLT PA rn CB 0，从而 3x y 0 . •可取 n ( 1, .3,1). (•3,0, 3), |n||PA法二：（1）方法同上（2）取AP 的中点N 又 PO CD ，则 CD •所求二面角的余弦值为— ，连接MN 平面APO 1 MN // 丄 AB-2 在 APO 中，AO PO ，则 ON 则PA 平面MCD又在 PAB 中，中位线 6分10分. 14 分5由于 ADC 60°，贝U AO CD , 由(I)知，在菱形 ABCD 中，，即 CD PA , 1 CO// — AB ，则 MN //CO ,则四边形 OCMN 为 Y ，所以 MC //ON , 2 AP ，故 AP MC 而 MC I CD C , （3）由（n ）知 MC 平面PAB,6, PB . PA 2 AB 2、•、、6 22、、10 ,b 2 2.6 3（2）用反证法假设A 、B 两点关于原点则B 点坐标为（-1,-1）此时 |AB | =22取椭圆上一点 M (-2, 0),则|AM | =40| AM | >|AB |从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾所以命题成立(1+3k 2) x 2-6k (k-1) x+3k 2-6k-1=0 点A (1 , 1 )在椭圆上3k 2 6k 1 X c=—3k 1cos PBAAB PB .10 5cos NMB cos(PBA)故，所求二面角的余弦值为519、解：（1）由椭圆定义知：2ax 22 b-1.把（1, 1) 代入得1 b 2=1 b 2，则椭圆方程为2『1(3)设 AC 方程为:y k(x 1)1 y 联立 xk(x 1)2 3 2y4 411消去y 得PA故两焦点坐标为（ 2.6 30),O 对称直线AC、AD倾斜角互补同理x23k2 6k19分同理x D3k2又y c k(x c 1)1, y D k(X D1) 110分y c y D k( X c X D) 2k所以k CIy c y D1 D =X c X D3即直线CD的倾斜角为定值14分20、解: (1)Q f (x)2t(x t)t3t1(x R, t 0),当x t时，f (x)取最小值f(t)t3 t 1 ,即h(t)t3 t 1. 4分⑵令g(t) h(t)(2t m)t33t 1 m ,由g(t)3t2 30 得t 1, t1(不合题意，舍去). 6分当t变化时g (t) , g(t)的变化情况如下表:t(0, 1)1(1 , 2)g (t)0g(t)递增极大值1 m递减g(t)在(0,2)内有最大值g(1) 1 m . 10分h(t) 2t m在(0,2)内恒成立等价于g(t) 0在(0,2)内恒成立,即等价于1 m 0，所以m的取值范围为m 1.5 2a 721、解：(1)an1 石忒，因为a1 1,所以a2 汙(2)因为a n 0,a n 1 0,所以16 8a n 0,0a n 1 5 5 2a n4 16 8a n^n 7)32(2 a n)14分a n 2.1 2因为2 a n0,所以a n1与a n5 同号，4 4.5 15555因为a 10 , a ?0, a b -0, a n—0,即 a n4444445 31531(3 )当 n 2时, b na .------------- 1 (- a n 1)b,42 2 an 1 42 2 a n 11b n 1 2b n 1 ,所以 b n 2 b n 1 22 b n 2 L 2n 1b 1 2n所以S n b 1 b 2L S j ㊁4(1 2n )__2_1 n4(21).12分。

2009—数二真题标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题： 1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X — X(1)函数f X的可去间断点的个数为()sin nxA 1.B 2.C 3.D 无穷多个.(2)当 xr 0时，f x 二 x-sinax 与 g x = x 21n 1-bx 是等价无穷小，则()-. B a=1,b 二丄. C a = —1,b = —】.D a = —1,b=〕 6 6 6 6C 是f x,y 的极大值点.D 是f x,y 的极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()24—24亠A , dx 1f x,y dy . B M dx x f x, y dy .24-y22C J dy 1f x,ydx.D . 1 dy y f x,y dx(5)若「x 不变号，且曲线y = f x 在点1,1上的曲率圆为x 2y^2，则f x 在区间1,2内()A 有极值点，无零点.B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点.D 无极值点，无零点(6)设函数y 二f x 在区间〔-1,3 1上的图形为(3)设函数z = f x, y 的全微分为 dz = xdx ydy ，则点 0,0 ( A 不是f x, y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点.则函数)x(7)设A , B均为2阶矩阵, B*分别为A , 的伴随矩阵为( )O* <2 A*3BO *QAO* <2B*3AO 3BXB的伴随矩阵若A =2, B = 3，则分块矩阵*2BO*2AOO<BAo」h 0 O '(8)设A, P 均为3阶矩阵，p T 为p 的转置矩阵，且 P T AP= 0 1 0，若 <0 0 2>P =(耳，a 2, a 3), Q =(□ 1+^2,^2, a 3),则 Q T AQ 为( ‘210、■q 1 0A(A ). 1 1 0 (B ). 1 2 0 0 2」 <0 0 2」'2 0 0 ^广 1 0 0、 (C ) 0 1 0 (D ). 0 2 0 1° 0 2」1° 0 2>9-14小题，每小题、填空题: 4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 x= 1_t e -u2du (9)曲线 • 0 在(0, 0)处的切线方程为 __________________ 2 2y =t ln(2 -t ) (10) 已知+=1,则 k = _________________ . —oO (11) lim e^ sin nxdx = _______________ .n ^C ^0 (12)设y 二y(x)是由方程xy e^x 1确定的隐函数，则 —y 二 ________________ x =0(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ____________ . ‘2 0 (14)设％ B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵T 相似于0 0.0 0三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上演算步骤. 亠心、卄八八亠丄"口 (1—cosx )〔x T n(1+ta nx)】(15)(本题满分9分)求极限lim 4.X T sin x.解答应写出文字说明、证明过程或(16)(本题满分10分) 计算不定积分ln(1 (x 0).(17)(本题满分10分) 设Z — 其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与二(18)(本题满分10 分)设非负函数y = y x ][X _ 0满足微分方程xy ^-^y 2=0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.- 2 2(19) (本题满分 10 分)计算二重积分 JJ(x —y)dxdy ，其中 D ={(x, y |(x —1) +(y —1)兰 2,D(20) (本题满分12分)原点，当0岂x ：：：-：时，函数y(x)满足目目x = 0求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f x 在La, b 1上连续，在 a,b 可导，则存在匚三\ a,b ，使得f b -f a 二f b-a ；，Z1 -1 -1 '(22)(本题满分11分设A =-11 1,_1 _1<0 -4 -2 丿1一2」(【)求满足A 2二1, A 23二1的所有向量2, 3 ；(n)对(I)中的任一向量 2, 3，证明：\, 2, 3线性无关(23)(本题满分 11 分)设二次型 f x 1, x 2, x 3 =axf ax |a-1 x ； 2^x^ 2x ?x 3(I)求二次型f 的矩阵的所有特征值；2 2(n)若二次型f 的规范形为y 1 y 2，求a 的值.设y = y(x)是区间(-二,"：)内过点(-Tt JI2，2)的光滑曲线, 当-二：::x 0时，曲线上任一点处的法线都过(n)证明：若函数f x 在x 二0处连续，在0,「〔心＞ 0内可导，且lim 「x = A ，则f. 0存在,2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X — x(1)函数f X 的可去间断点的个数为( )sin nxA 1.B 2.C 3. D无穷多个.【答案】C【解析】3X —Xf x :s i nx则当x取任何整数时，f x均无意义故f (x )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x -x3=0的解々2,3 = 0,±1..x —x .. 1 —3x 1lim limx ]0sin 二x x r°二cos二x 二..x —x3广 1 —3x2 2lim limx 1sin 二x x_4 二cos二x ■:..x -x3 1 -3x2 2lim limx-；1sin 二x x_；1二cos二x 二故可去间断点为3个，即0, _1(2)当X—；0时，f x 二x-sinax与g x = x21n 1-bx 是等价无穷小，则( )【答案】A【解析】f(x)二x-sinax,g(x) =x2ln(1-bx)为等价无穷小，则lim 3 x 10g(x)x -sin ax= lim —x 0x2ln(1 -bx)字皿洛讪匕竺^洛limx2(-bx) x io -3bx2x e2 . a sinax-6bxA a=1,b—l6, 1B a",b「.1 1C a 一-1,b.Da- -1,b.6 6另外xm 号空存在，蕴含了 50SaXT°(XTO )故"1.排除D .所以本题选A.A 不是f x,y 的连续点•B 不是f x,y 的极值点•C 是f x, y 的极大值点.D 是f x, y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz = xdx ydy 可得三二x,—Z = y&dy2 2 2A :： Z …；：z ；：Z c c A 2 = 1, B0, CJ"L.、 L 、 "L.、 L 、x :xy：y ：xAC -B 2 =1 0故(0，0)为函数z 二f (x,y)的一个极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()2 4亠B M dx x f x, y dy .2 2D . 1 dy y f x,ydx【解析】1 dx f(x, y)dy 亠i dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：D =「(x,y) 1 Ex 空2,x 空 y 空2l ，D 2 =「(x, y) 1 空 y 乞 2, y 乞 x 空 4 一 yl将其写成一块 D 」(x, y) 1 y 乞2,1乞x 乞4 一 “24刁故二重积分可以表示为1 dy 十f (x, y)dx ，故答案为C.6ba 2sin ax=1 ax6b.a 3二-6b 故排除 B,C .(3)设函数z = f x, y 的全微分为dz =xdx ydy ，则点 0,0(又在(0，0)处,=024 —A d dx 1 f x,y dy .2 4今C J dy 1f x,y dx.【答案】C2 2(5)若f x 不变号，且曲线y =f x 在点1,1上的曲率圆为【答案】 B而 f'(1) =「1，由此可得，f () = —2在［1,2］上，f'(x)乞f'(1) =「1 ：：：0,即f (x)单调减少，没有极值点对于f (2) - f(1) =f '「)：：： -1 . - - (1,2)，(拉格朗日中值定理)f(2) <0而 f(1)=1 0由零点定理知，在［1,2］上，f (x)有零点. 故应选(B )A 有极值点，无零点B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点D 无极值点，无零点2 2x y =2，则f x 在区间1,2内(【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数，即f ''(x) ： 0 ,且在点(1,1)处的曲率二|yj 1则函数F x = f t dt 的图形为( )x【答案】形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:1-1,01时，F(x)乞0为线性函数，单调递增【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f(x)的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x =x 0所围的图1-0,11时, F(x) <0，且单调递减. 1,2 时, F(x)单调递增. 12,3 时, F(x)为常函数.x的伴随矩阵为( )* 、 O 3B* \O 2B*(B ). *<2A O 丿<3A O 丿F(x)为连续函数 ⑤由于结合这些特点，可见正确选项为 D .(7)设A ，B 均为2阶矩阵,A ，B 分别为A ，B 的伴随矩阵若A =2, B =3，则分块矩阵IB O 丿x【答案】BJAZ2 0 0 'G 0 0'(C > 0 1 0(D ). 0 2 0<0 0 2」<0 0 2」【答案】 A'O 3A* ''0 2A* ') *(D ). *<2B0 丿3 0 /C P (% 口2,«3)Q = ：（隅+岷, «2,a ; 3），21 0、1 0X(A ). 1 1 0(B ).1 2 0e 0 2<0 0 2>则Q TAQ 为（【解析】Q = (-：1 2, “2,「3 ) = (-“1,鼻2,鼻3 )2, 'I1 010 =（%叫,叫）巳2（1）,即:1【解析】根据 CC^=C E 若 C*=CC ，,C 」1. ■分块矩阵（0的行列式=(- 12*A|B=2 3=6即分块矩阵可逆'"0 IB-6AB1B 32BB J1BBB(8) 设A, P 均为3阶矩阵，p T 为P 的转置矩阵，且 P TAP 二，若Q = P%(1)Q TAQ =[PE i2(1)]TA[PE i2(1)] = E^(1)[P TAP]E i2(1)1 0 0= E ；i (1) 0 1 0 E i2(1)0 0 2^所以切线方程为y=2x .(10)已知 +「e kx dx =1，则 k 二 ___________________—od【答案】-2因为极限存在所以k ::: 0k = -2(11) lime^ sin nxdx 二 ________________ .n ^C L 0【答案】0【解析】令 l n 二 e^sinnxdx 二-e^sinnx n ecosnxdx•x . .x 2.--e sinnx —ne cosnx —nl n110 10 0 10 0 1 0 0 10 00 1 0 12丄0 2 1 0 0 = 11010 0 2、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线 x 「°e du在(0, 0)y =t 2ln(2 -t 2)处的切线方程为【答案】y=2x【解析】齐2tln(H2t 2-t 2所以dx —=edt(-D t = _1矽=2 dx【解析】1 kx1--kxedx =2bim ：k即 lim ]e 」sinnxdx = lim(-^^0警空更 e 」n _ -■ 0 n 厂【答案】- 3对 y xy y e y=1 再次求导可得 2y xyy e y(y )2e y= 0，x e y(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ___________ .2【答案】e^1【解析】因为 y = x 2x 2ln x • 2，令、二0得驻点为x . e又 y"=x 2x (2ln x+2 f +x 2x 2，得 y' 1 ]=2e >0，x \e )1故x 为y = x 2x的极小值点，此时ey x ・0,故y 在I 0,1上递减，在1,1上递增.I e 丿 l e 丿而 y 1 =1， y 」0 = lim x 2x二 lim eI D 十 x T 0十所以i nn cosnx sin nx x 小e — +Cn 21二lim(n —■■=■.：ncosn s叫n 21(12 )设y = y(x)是由方程xy• e ，= x 1确定的隐函数，则r 2y；x 2n 2 1)【解析】对方程 xy ■ e y = x 1两边关于x 求导有 y xy - ye y =11-y x e y2y ' (y)2e y(*)=o 时,(0)二耳=1，代入(*)得e(0)二2y '(0)(y(0))2e 0(0 e 0)3二-(2 1) = -32ln x2l 巴T2xln xe2lim车21x 0 ■ --2lim -2x=e「=1又当x -y x ：：o ； x 丄1 时, 2」21 rx x -In(1 tan x)h 叫222x 0sin x sin x(16)(本题满分10分)【解析】所以y =x 2x 在区间0,1 ］上的最小值为y 2i'2 0 0A (14)设a , B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵aB T相似于 0 0 0 ，则0 ■二卫0 0』【答案】2 ‘2 【解析】因为aB T 相似于0 1° 0 0 0 0 ，根据相似矩阵有相同的特征值, 0 0 J 得到：上T 得特征值是2,0,0而］T ：是一个常数，是矩阵：上T 的对角元素之和，贝y =2 0 ^2 三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上演算步骤. 亠心、卄八八亠丄"口 (1 一 cosx)【x_l n(1+ta nx)］ (15)(本题满分9分)求极限lim 4 . X —0 sin x .解答应写出文字说明、证明过程或1「cosx R 「In(1 tanx) I 4sin x-x 2 [x -ln(1 tanx) 1 sin 4x计算不定积分 "n (1+耳(x 0).1,dx = -2tdt (t 2-1)2Jin (1+£^)dx二 ln(1 t)d 1ln(1 t) t 2-1二 Lt 2-1t 1dt JlimXfJtnx) 2 x ：0sin xT 1 Ldt 」( £dtt -1 t 1 4 t -1 t 1 (t 1) 1 1 1 1n(t -1) In(t 1)2 C 4 4 t 1所以cz czdz dx dyexcy= (f i f 2 yf 3)dx (f i 7 Xf 3)dy（18）（本题满分10分）设非负函数y = y x Mx _ 0满足微分方程xy“ - y* 2 = 0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y = 0围成平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程肖-讨 2=。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题汇编导函数篇

1、已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是（A ）12-=x y （B ）x y = （C ）23-=x y （D ）32+-=x y 2、已知函数.)(.0),ln 2(2)(的单调性讨论x f a x a xx x f >-+-= 1、由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A2、()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.① 当280a ∆=-<，即022a <<时，对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。

② 当280a ∆=-=,即22a =时，仅对2x =有()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。

③ 当280a ∆=->，即22a >时，方程()0g x =有两个不同的实根218a a x --=,228a a x +-=,120x x <<.+ 0 _ 0 +单调递增极大单调递减极小单调递增此时()f x 在28a a --上单调递增, 在2288a a a a --+-是上单调递减, 在28)a a +-+∞上单调递增. 3、设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.【答案】1- 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.取()2f x x =，如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-.故应填1-.4、设函数()(0)kxf x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()()()()''1,01,00kx fx kx e f f =+==,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.（Ⅱ）由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k=-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增，若0k <，则当且仅当11k-≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-5、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【答案】：(,0)-∞解析：由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞。

2009年高考数学压轴题及解析详解-2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u =43∈[–1，1]，v = 21∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]，则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1.即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1）求f (x)的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3）若+213),(N )23n n n n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()0,0,⎭或()0,0,.⎛ ⎝⎭…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅ （1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+x x P 4),2,2(2121-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk)1(2)11)(1(42222kk k k +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1）求正实数a 的取值范围；（2）设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b b a 即ba b b a +>+1ln ……………………………………8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln 综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+………………………………………………14分 8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x轴上是否存在定x点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b =∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=，得120y y λ+=．即12yy λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-， ∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-．即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10xx分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k =．当1t m=时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m ，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n np S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ；(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）．解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．（4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--．12121C C C n n n n n a a a ++++1221C C C (1)(1)n nn n n n n p p p p p =++++=+=+．∴12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)nn n p p p p -+=⋅-，（5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-．而1()2p f n p +1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．（8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（10分）（当且仅当1n =时取等号）．另一方面，当2n …，1,2,,21k n =-时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦1p p -⋅…1p p -=1p p -=∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分） ∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，2121111(21)()()112nnkp pn f n f kp p--=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n∈N）．（14分）。

2009年新课标地区高考数学试题汇编导数部分

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学汇编导数部分1.(安徽理6)设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是[解析]：/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a bx +=时y 取极小值且极小值为负。

故选C 。

或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C2.(安徽理9)已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A3.(辽宁理7)曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为答案： D 解析： 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--，∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+。

4. (福建理4)22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 答案：D解析：∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D 5.(天津理4)设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。

2009届全国名校真题模拟专题训练1导数与极限填空题数学

2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限二、填空题1、（安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考）若lim -F J n（J n +a —J n）则常数a的值答案：22、（安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考）设函数讪」亠火。

）.a +x2（x K 0），要使f（x）在（-g, +8）内连续，贝U a =1答案：x2-13、（四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考）已知函数f （x）=x a （X⑴在x=1（X叮）处连续，则实数a的值为答案：14、（四川省乐山市2008届第一次调研考试）曲线C: y = 2X（0乞X乞2）两端分别为M、N,且NA_x轴于点A。

把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使与X轴平行的边一个端点在C上，另一端点在C的下方（如右图），设这n个矩形的面积之和为s n,则”皿2n -3 n16 l S n二答案：243 2 2 5、（四川省成都市新都一中高2008级12月月考）已知函数f（x）二x 3mx nx m在x=—1时有极值0，贝H m = _________ ; n= _____________ :本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质解析：f '(x) =3x2+ 6mx+ n由题意，f '(—1) = 3 —6m + n= 02f( —1) = —1 + 3m —n + m = 0M= 1或阡2n= 3 n= 9但m= 1, n = 3 时，f '(x)= 3x2+ 6x+ 3 = 3(x + 1)2> 0 恒成立即x=—1时不是f(x)的极值点，应舍去答案：m= 2, n = 9.解得x x — 36、 (北京市东城区2008年高三综合练习一)lim( 2)=.J 1 X —1 x -1答案：27、 (北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点P 2,2在曲线y 二ax 3・bx 上，如果该3x 可—一,3]的值域为 ____________ .2答案：—3; [ — 2,18]& (北京市学校2008届高三数学练习题)如图为函数f (x)二ax 3 bx 2 cx d 的图象，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x ・f'(x)<0的解集为 ________________________ .答案：3)一(0,、3)32x — 2x 9、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)limT X —2答案：410、(东北区三省四市 2008年第一次联合考试)已知函数f x l=3x 2 2xf' 2，贝U f ' 5 戶 __________ 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

⎝e ⎠
e
−2
2 −
最小值为 y = e e 。【答案】 e e 。
⎜⎛ 2 0 0⎟⎞ （14）设α , β 为 3 维列向量，β T 为 β 的转置向量，若αβ T 相似于 ⎜ 0 0 0⎟ ，则 β Tα ＝
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数，则（） sin πx
（A）1
（B）2
（C） 3
（5）若 f ′′(x) 不变号，且曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 x2 + y 2 ＝2，则 f (x) 在区
间（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点
【解析与点评】在点（1，1）处的领域内 f (x) 凸性不变（上凸），即 f ′′( x) < 0 ，由曲率圆
z = 1 ( x 2 + y 2 ) ，有最小值 0，立即有结果 D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。 2
（方法 2）由 dz = xdx + ydy 可得 ∂z = x, ∂z = y
∂x
∂y
A = ∂ 2 z = 1, B = ∂ 2 z = ∂ 2 z = 0, C = ∂ 2 z = 1
e −1
+
n
n2
) +1
=
0
（12）设 y = y(x) 是方程 xy + e y = x + 1 确定的隐函数，则 d 2 y

2009届全国名校高三模拟试题汇编——导数与极限填空题

2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编导数与极限二、填空题1、（河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考）曲线y = 4x-x3在点-1,-3处的切线方程是____________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：x—y—2= 02 （江苏运河中学2009年高三第一次质量检测）已知直线y=kx是y Jnx的切线，贝y k的值为_____________________1答案：丄e‘X2+2x—3（3、（北京市东城区2009届高三部分学校月考）已知函数f（x）=* x-1 （X>）在点X = 1处连续，则a的值严+1 （X"）是。

答案：314、（北京市东城区2009届高三部分学校月考）已知数列｛a n｝中,a1二?，S n为数列的前n项和，且S n与一的一个等比中项为n（n三N ），则lim S n = ________ .a n n Y答案：1f / x \ — ax _ 3x +15、（大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试）函数对于x€ [ —1,1]总有f（x）> 0成立，则a =答案：46、（哈尔滨市第九中学2008 —2009学年度高三第三次月考）若常数b满足b 1 ,则1 b b2b nJ答案：一b -17、（江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习）f（x） =x3- ax2bx c图象过A（2,1）,则点A处的切线方程2x—y+a=0，贝U a+b+c = ________________ .答案：08、（揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试）设f o（x） = sin x, f 1（x） = f0/（x）, f2（x）=f11（x），…,fn+（x） = f（（x）, n € N,则f 2008（x）=—.答案：sin x9、（揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试）点P是曲线y = x2—Inx上任意一点，则P到直线y = x—2的距离的最小值是___________ .1 1答案：护y/= 2x——，由y/=1得2x—_ =1得x = 1,切点（1,1）,它到y = x—2的距离为Q2.x x4 110、（辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟）lim（2）= .7 4 —x2 2 + x1答案：1411、（重庆一中2008学年高三年级上期半期考试）曲线y=x3在点P（1,1）处的切线方程为______________ .答案：3x—y— 2 = 0JIcos' + 2x）sin x o12、（重庆一中2008学年高三年级上期半期考试）已知lim 1.则lim 2.7 x T 3x答案：nx * 2x - 3（ 1）13、（北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考）已知函数f（X）= * —可—以> ）在点x二1处邱+1 （X"）连续，则a的值是________ 。

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2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第二部分)51、已知函数)0(1)1ln()(≥-+-=x x e x f x ，（1）求函数)(x f 的最小值；（2）若x y <≤0，求证：)1ln()1ln(1+-+>--y x e y x ．解：（1）)(x f '=11+-x e x ，………………2分当0≥x 时，111,1≤+≥x e x，所以当0≥x 时，)(x f '0≥，则函数)(x f 在[)∞+,0上单调递增，所以函数)(x f 的最小值0)0(=f ；…………………………5分（2）由（1）知，当0>x 时，0)(>x f ，∵y x >，∴01)1ln()(>-+--=--y x e y x f y x ，)1ln(1+->--y x e y x ①……7分 ∵011)(ln)]1ln()1[ln()1ln(≥+++-=+-+-+-x x y x y y x y x ，∴)1ln()1ln()1ln(+-+≥+-y x y x ②………………………10分由①②得 )1ln()1ln(1+-+>--y x eyx …………………………12分52、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知函数f (x)＝x 2＋2ax ，g(x)＝3a 2lnx ＋b,其中a>0．设两曲线y ＝f (x)，y ＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同． (Ⅰ)用a 表示b ；(Ⅱ)求证：f (x)≥g(x)，(x>0)．53、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值，（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间]2,0[上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解：①11)(.)ln()(2--+='∴--+=x ax x f x x a x x f又1.011,0)0(=∴=-='a af 即…………4分由023)ln(25)(2=-+-++-=b x x a x b x x f 得设23211)(,23)1ln()(2+-+='-+-+=x x x g b x x x x g 则即)1(2)1)(54()(+-+-='x x x x g(](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤-+-+=+<>-+-+=≥≤-=∴=+-=<'∈∴>'∈13ln 034)21ln()2(212ln 0231)21ln()1(00)0(2,00)(2,025)(8.)2,1()(,0)()2,1()1,0()(0)()1,0(b b g b b g b b g x g b x x f x g x g x x g x g x 恰有两个不同实数根在得于恰有两个不同实数根等在分上单调递减在当上单调递增在当212ln 13ln +<≤-b …………12分54、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知函数22),1(log 2,2)(232=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=-x x x x a ex f x 在处连续。

（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式.2)(≥x f 答案：（1）1-=a （2）),10[+∞55、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)设函数.3331)(23a x x x x f ---=（1）如果a=1，求曲线)4,31()(-=过点x f y 的切线方程；（2）当0)(,)0](3,[≥>∈x f a a a x 若时恒成立，求a 的取值范围。

答案：（1）03308312=++=++y x y x 或（2）a≥656、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --= （1）若)(,0)1(x f f 求=-'在[—4，4]上的最大值和最小值；（2）若(][)+∞-∞-,22,)(和在x f 上都是递增的，求a 的取值范围。

解：（1）)1)(43()(,21012)1(,423)(2+-='∴=∴=-=-'--='x x x f a a f ax x x fx (—∞,－1) —1 )34,1(-34)4,34( )(x f '+—+)(x f增极大减极小增42)4()(,54)4()(42)4(,54)4(,2750)34()(,29)1()(max min ==-=-==-=--===-=f x f f x f f f f x f f x f 极小极大（2）(][)+∞-∞-∈≥',22,0)(及对一切x x f 均成立，22002320)2(0)2(≤≤-≤∆⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆≤≤-≥'≥-'a af f 即或57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式11ln 1ln 21x x x x⎛⎫+---≤- ⎪⎪⎝⎭．解：（1）()1a a b ax f x ax bax b--'=-=++. 0,0,0x a b >> ≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b≤.当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>-- ≥≤, 即()0f x '≤.()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a≥. ………（4分）（2）由（1）知，当b a≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；当b a<时，()a b ax f x ax b--'=+，∴当0a b x a-<≤时，()0f x '>，当a b x a->时()0f x '<，即在[0,)a b a-上()f x 是增函数，在[,)a b a-+∞上()f x 是减函数，a b xa-=时()f x 取最大值，最大值为max ()()ln a b a b f x f a aa--==-，即m ax ln (),()ln ().b b a f x a ba b a a ⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥ ……（13分）（3）在（1）中取1ab ==，即()ln(1)f x x x =+-,由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.11ln(1)ln 21x x xx+---- ≤，即1()(1)f x f x-≤，11x x∴-≥，解得152x -<≤或152x +≥.故所求不等式的解集为[1515,0)[,)22-++∞ ……………（8分）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。

如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c+=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。

（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n nS f a = ，求证：1111lnn nn a na ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<。

（1）设22(1)0(1)x a x b x cx a b bx c+=⇒-++=≠-201201c ba b ⎧+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ∴2()(1)2x f x cx c =+- 由21(2)1312f c c --=<-⇒-<<+又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b ==∴2()(1)2(1)xf x x x =≠- …… 3分于是222222(1)22()4(1)2(1)x x x x xf x x x ---'==--由()0f x '>得0x <或2x >；由()0f x '<得01x <<或12x <<故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分（2）由已知可得22n n n S a a =-，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=-两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=∴1n n a a -=-或11n n a a --=-当1n =时，2111121a a a a =-⇒=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾∴11n n a a --=- ∴n a n =- ……6分于是，待证不等式即为111ln 1n n n n +<<+。

为此，我们考虑证明不等式111ln ,01x x x xx +<<>+令11,0,t x x+=>则1t >，11x t =-再令()1ln g t t t =--，1()1g t t'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是1ln t t ->即11ln,0x x xx+>> ① 令1()ln 1h t t t=-+，22111()t h t t tt-'=-=由(1,)t ∈+∞知()0h t '>∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1ln 1t t>- 即11ln,01x x xx +>>+ ② 由①、②可知111ln,01x x x x x+<<>+ ……10分所以，111ln1n n nn+<<+，即1111lnn nn a n a +-<<-……11分（3）由（2）可知1n b n= 则111123n T n=++++在111ln1n n n n+<<+中令1,2,3,,2007n = ，并将各式相加得111232008111l nl n l n1232008122007232007+++<+++<++++即200820071ln 2008T T -<< ……14分59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)若函数xx x g x x f 2)(,ln )(-==（Ⅰ）求函数))(()()(R k x kf x g x ∈+=ϕ的单调区间（Ⅱ）若对所有的a ax x xf x -≥+∞∈)(),3[都有成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)(x ϕ的定义域为),0(+∞…………12分222221)(xkx x xk xx ++=++='ϕ …………2分82-=∆k①当0)(,2222,082≥'≤≤-≤-=∆x k k ϕ时即时…………3分②2222,082-<>>-=∆k k k 或即时时28,280222212-+-=---==++kk x kk x kx x 有两个不等实根方程0)(,0,2221>'<<>x x x k ϕ故则若…………4分;0)(,;0)(,00,2221121<'<<>'<<<<-<x x x x x x x x x k ϕϕ时当时当则若0)(,2>'<x x x ϕ时当…………5分综上：),28()28,0()(,2222+∞-+-----<kk kk x k 及的单调递增区间为时当ϕ单调递减区间为]28,28[22-+----k k kk)(,22x k ϕ时当-≥的单调递增区间（0，+∞） …………6分（2）1ln ln -≤⇔-≥∴≥x x x a a ax x x e x…………7分),[,1ln )(+∞∈-=e x x x x x h 令…………8分则2)1(1ln )(---='x x x x h…………9分21ln 1ln 011)1ln (,>-=--≥--∴>-=--≥e e e x x xx x e x 时当0)(>'∴x h …………10分1)()(min -==∴e e e h x h…………11分 1-≤∴e e a…………12分另解：0ln )(≥+-⇔-≥a ax x x a ax x xf0)(,),[,ln )(min ≥+∞∈+-=x h e x a ax x x x h 时则当令…………7分10)(,1ln )(-=='-+='a e x x h a x x h 得由 …………8分0)(,0)(011>'><'<<--x h ex x h ex a a 时当时且当),(,),0()(11+∞∴--a a eex h 在单减在单增 …………9分①当e e a a ≤≤-1,2时 0)()(),()(min ≥+-==∴+∞∴a ae e e h x h e x h 单增在1-≤∴e e a …………11分②当ae a e e h a ≥+⇒≥>0)(,2由时,2,,2,2ae a a e e a ae e a e e a <≤+≥<<+<<则若则若2>a 故不成立…………12分综上所述1-≤e e a60、(湖北省荆门市2008届上期末)已知函数21()ln 2f x x x =+.（1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方；（3）求证：[()]()n n f x f x ''-≥22(n n -∈N *）. 解：（1）∵f ' (x )=1x x+∴当x ∈[1,e]时，f ' (x )>0， ∴()f x 在[1,e]上是增函数故m in 1()(1)2f x f ==，2m ax 1()(e)e 12f x f ==+. ……………………4分（2）设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x xx-++'=+-=，∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.又1(1)06F =-<，故在[1,)+∞上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，∴函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方. ……………………8分（3）∵x >0，∴11[()]()nnnn n f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫''-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，不等式显然成立；当n ≥2时，有1122121111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C xC x x x x----''-=⋅+⋅++⋅ 1224121224122421101111[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n n C x C x C xC x C x C x x x x -----------=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++++ 分≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n-=∴[()]()n n f x f x ''-≥22(n n -∈N *） 61、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数011233)(23=-++-=y x bx ax x x f 的图像与直线相切于点（1，－11）。