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角平分线和垂直平分线作图专训

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第20课时 垂直平分线、角平分线及尺规作图 中考数学总复习 课件

第20课时 垂直平分线、角平分线及尺规作图 中考数学总复习 课件

考 点
2.[2017·荆州]如图20-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点
知
D,则∠CBD的度数为 ( B )
识
梳
A.30°
B.45°
理
C.50°
D.75°
高
频 考 向
探
究
图20-3
课 时 分 层 训 练
考 点
3.[2018·包头一模]已知:在△ABC中,BC>AB>AC.根据图20-4中的作图痕迹及作
高
到 AB 的距离等于 ( )
∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2.
频
考
A.4
B.3
∵BD 平分∠ABC,∴DE=DC=2,
向 探
C.2
D.1
即点 D 到 AB 的距离等于 2.
究
课
时
图20-5
分
层
训
练
考 点
| 考向精练 |
知
识
[2019·湖州]如图20-6,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,
定 角平分线上的点到角的两边的距离③ 相等 ,
理
即∠���������1���
= ⊥
∠2 ������������,������������
⊥
������������
⇒PE④
=
PF
向 探
逆 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,即
究 课
定 理
������������ ������������
知
法,下列结论一定成立的是 ( B )
识
梳
A.AP⊥BC
理

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【答案】72°/72度【分析】先根据垂线平分线的定义得到AD=CD，ED⊥AC，进而证明△ADE≌△CDE得到∠DCE =∠A=36°，则由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=72°．【详解】解：∵AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，∴AD=CD，ED⊥AC，∴∠ADE=∠CDE=90°，又∵ED=ED，∴△ADE≌△CDE SAS，∴∠DCE=∠A=36°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出∠DCE=∠A=36°是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得EA=EB，GA=GC，进而即可求解．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，∴△AGE的周长=EA+GA+GE=EB+GC+GE=BC=8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，则△CMN的周长=CM+CN+MN= AM+MN+BN=AB；(2)根据等边对等角可得∠A=∠MAC，∠B=∠NCB，根据三角形内角和定理，列式求出∠FMN+∠FNM，再求出∠A+∠B，即可求解．【详解】(1)解：∵DM，EN分别是AC，BC的中垂线∴MA=MC，NB=NC∴C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=10cm；(2)由(1)得MA=MC，NB=NC，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°，∴∠A=∠MCA，∠B=∠NCB，∵在△MNF中，∠MFN=65°，∴∠FMN+∠FNM=115°，根据对顶角的性质可得：∠FMN=∠AMD，∠FNM=∠BNE，在Rt△ADM中，∠A=90°-∠AMD=90°-∠FMN，在Rt△BNE中，∠B=90°-∠BNE=90°-∠FNM，∴∠A+∠B=90°-∠FMN+90°-∠FNM=65°，∴∠MCA+∠NCB=65°，在△ABC中，∠A+∠B=65°∴∠ACB=115°，∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【答案】(1)15°(2)AD⊥EF，AD平分EF【分析】(1)根据三角形内角和可得∠C，再利用内角和即可得出∠CDF；(2)由角平分线的意义及两个垂直可证明△ADE≌△ADF，从而有AE=AF,DE=DF，由线段垂直平分线的判定知，AD⊥EF，AD平分EF．【详解】(1)解：∵DE⊥AB∴∠BED=90°∵BE=DE∴∠B=45°∵∠BAC=60°∴∠C=180°-45°-60°=75°∵DF⊥AC∴∠DFC=90°∴∠CDF=15°(2)解：AD⊥EF，AD平分EF；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，DE=DF，∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD⊥EF，AD平分EF．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的性质直接可得到答案；(2)根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】(1)证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA =PB ，PB =PC ，∴PA =PC ，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D 是等边△ABC 外一点，∠BDC =120°，DB =DC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分∠BEF ，BC =5，求△AEF 的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】(1)根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，结合已知易证∠DBE =90°即DB ⊥AB ，同理可得DC ⊥AC ，易证Rt △DBE ≌Rt △DME HL 得BE =ME ，同理可得CF =MF ，然后转换求周长即可．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB =DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上，∴AD 是BC 的垂直平分线；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，∵∠BDC =120°，DB =DC∴∠DBC =30°又∵△ABC 是等边三角形，∴∠DBE =∠DBC +∠ABC =90°∴DB ⊥AB同理可得∴DC ⊥AC∵ED 平分∠BEF ，DM ⊥EF∴DB =DM =DC∴DF 平分∠CFE ，在Rt △DBE 与Rt △DME 中，DE =DE DB =DM∴Rt △DBE ≌Rt △DME HL∴BE =ME同理可得CF =MFC△AEF=AE+AF+EF=AE+AF+EM+MF=AE+AF+EB+CF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=2BC=10.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【答案】D【分析】如图：作DF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质可得DF=DE=4，再由S△ABC=S△ADC+S△ADB求解即可．【详解】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4，∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE AC+AB=12×46+8=28，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=4是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．【详解】解：∵O是BA上任意一点，∴当PO⊥BA时，OP的值最小，又∵BD平分∠ABC，P是BD上一点，PQ⊥BC，PQ=5∴OP的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【答案】(1)30°(2)详见解析【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；(2)过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】(1)∵AD∥BC，∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°．∵∠CPB=30°，∴∠PBC=90°-∠CPB=60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC=120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1∠DAB=30°．2(2)如图．过点P作PE⊥AB于点E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE=PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE=PC，∴PD=PC．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE =10，DE =4，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明△CDE ≌△CBF ，可得CE =CF ，结论得证；(2)证明Rt △ACE ≌Rt △ACF ，可得AE =AF ，可求出AB ．【详解】(1)证明：过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．∵CE ⊥AD ，∴∠DEC =∠CFB =90°，∵∠D +∠ABC =180°，∠CBF +∠ABC =180°，∴∠D =∠CBF ，又∵CB =CD ，∴△CDE ≌△CBF ，∴CE =CF ，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：由(1)可得BF =DE =4，在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，CE =CF AC =AC ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴AE =AF =10，∴AB =AF -BF =6．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BD =CD ,BE =CF ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)AB +AC =2AE ，证明见解析【分析】(1)根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理，求证即可；(2)通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，BD=CD BE=CF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF HL，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．(2)解：AB+AC=2AE，证明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF HL，∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)CF=2【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF=EB；(2)利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC=DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；(3)设CF=BE=x，则AE=AB-BE=10-x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DF=DB DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB HL，∴CF=EB．(2)证明：连接CE，如图在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED HL，∴AC=AE∴点A在CE的垂直平分线上，∵DC=DE，∴点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE(3)解：设CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB-BE=10-x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10-x=6+x，解得：x=2∴CF=2【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF，则问题得解；(2)先得出S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，结合DE=DF，可得S△ABC=12×AB+AC×DE，问题随之得解．【详解】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴点D在EF的垂直平分线上．(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，∵在(1)中有：DE=DF，∴S△ACD=12×AC×DF=12×AC×DE，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DE=12×AB+AC×DE，∵AB+AC=16，S△ABC=24，∴24=12×16×DE，∴DE=3，即DE的长为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF是解答本题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=7【分析】(1)连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED，即可得证；(2)根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB-AE=AF-AC，从而可得AE=1 2AB+AC．【详解】(1)连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB =∠DFC =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BE =CF BD =CD ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC∴DE =DF ，在Rt △AFD 和Rt △AED 中，DF =DE AD =AD ，∴Rt △AFD ≌Rt △AED∴∠FAD =∠EAD ，∴AD 为∠CAB 的角平分线；(2)∵Rt △AFD ≌Rt △AED ，∴AE =AF ，又∵BE =CF ，∴AB -AE =AF -AC ，即AE =12AB +AC ，∵AB =8，AC =6，∴AE =7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD 交△ABC 的外角平分线CE 于点P ，已知∠A =78°，∠BPC =39°，BC =7，AB =4．(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)如图2，AC 的垂直平分线交BD 于点Q ，交AC 于点G ，QM ⊥BC 于点M ，求MC 的长度．【答案】(1)见解析(2)MC =1.5【分析】(1)由∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，得∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，再根据CE 平分∠ACF ，得∠ACF =2∠ECF ，则∠ABF =2∠ECF -78°=2(∠ECF -39°)=2∠DBF ，从而证明结论；(2)连接AQ ，CQ ，过点Q 作BA 的垂线交BA 的延长线于N ，利用HL 证明Rt △QNA ≌Rt △QMC ，得NA =MC ，再证明Rt △QNB ≌Rt △QMB (HL )，得NB =MB ，则BC =BM +MC =BN +MC =AB +AN +MC ，从而得出答案．【详解】(1)证明：∵∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，∴∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACF =2∠ECF ，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2(∠ECF-39°)=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；(2)解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC(HL)，∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB(HL)，∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°【答案】D【分析】利用垂直平分线的性质，可得∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC边的垂直平分线，∴∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B=180°-∠BAD-∠DAC-∠C=85°，故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM +ON 的值不变B.∠PNM =∠POBC.MN 的长不变D.四边形PMON 的面积不变【答案】C【分析】如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，于∠EPF +∠AOB =180°，可证∠MPN =∠EPF ，所以∠EPM =∠FPN ，由OP 平分∠AOB ，得证PE =PF ，于是Rt △POE ≌Rt △POF ，所以OE =OF ，同时△PEM ≌△PFN ，所以EM =NF ，PM =PN ，推出∠PMN =∠PNM ，进一步得到∠PNM =12∠AOB ，∠POB =12∠AOB ，所以∠PNM =∠POB ，故B 正确；因为OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确；由三角形全等可知，所以定值，故D 正确；M ，N 的位置变化，所以MN 的长度是变化的，故C 错误．【详解】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠MPN =∠EPF ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在Rt △POE 和Rt △POF 中，OP =OP PE =PF ，∴Rt △POE ≌Rt △POF ，∴OE =OF ，在△PEM 和△PFN 中，∠MPE =∠NPFPE =PF∠PEM =∠PFN∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，∵PE =PF ，EM =NF ，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故D 正确，∵OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确，∵M ，N 的位置变化，∴MN 的长度是变化的，故C 错误．∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ，∵∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN +∠AOB =180°，∵∠PMN +∠PNM +∠MPN =180°，∴∠PMN +∠PNM =∠AOB ，∵∠PMN =∠PNM ，∴∠PNM =12∠AOB ，∵OP 平分∠AOB ，∴∠POB =12∠AOB ∴∠PNM =∠POB ，故B 正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB =16，AC =6，DE =5．则△ADF 的面积为．【答案】12.5【分析】过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM =DE =5，然后根据三角形的面积公式可得S △ABD =40，S △ACD =15，可得S △ABC =S △ABD +S △ACD =55，然后由三角形的中线得S △ACF =27.5，根据S △ADF =S △ACF -S △ACD 求解即可．【详解】解：过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，AB =16，AC =6，DE =5，∴DM =DE =5，∴S △ABD =12AB ⋅DM =12×16×5=40，S △ACD =12AC ⋅DE =12×6×5=15，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =40+15=55，∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF =12S △ABC =12×55=27.5，∴S △ADF =S △ACF -S △ACD =27.5-15=12.5，∴△ADF 的面积为12.5．故答案为：12.5．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，作辅助线并利用角平分线的性质是解题的关键．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．【答案】6【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面积为18，AB=6，×6×CP=18，∴12∴CP=6．即CE+EF的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①20，70；②60；(2)存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF．当x=68或104时，∠EFD=4∠EDF．【分析】(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO 的度数，根据DP ⊥OE 求出x 的值；②根据三角形内角和求出∠FDE ，根据平行的性质∠ODC 的度数，相减即可得x 的值；(2)分两种情况进行讨论:DP 在DE 左侧，DP 在DE 右侧，分别根据三角形内角和定理，可得x 的值．【详解】(1)解：①∵∠AOB =40°，OC 平分∠AOB ，∴∠BOE =20°，∵DE ∥OB ，∴∠DEO =∠BOE =20°；∵∠DOE =∠DEO =20°，∴DO =DE ，∠ODE =140°，当DP ⊥OE 时，∠ODP =12∠ODE =70°，即x =70，故答案为：20，70；②∵∠DEO =20°，∠EDF =∠EFD ，∴∠EDF =80°，又∵∠ODE =140°，∴∠ODP =140°-80°=60°，∴x =60；(2)存在这样的x 的值，使得∠EFD =4∠EDF ．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE ⊥OA ，∴∠EDF =90°-x °，∵∠AOC =20°，∴∠EFD =20°+x °，当∠EFD =4∠EDF 时，20°+x °=490°-x ° ，解得x =68；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵∠EDF =x °-90°，∠EFD =180°-20°-x °=160°-x °，∴当∠EFD =4∠EDF 时，160°-x °=4x °-90° ，解得x =104；综上所述，当x =68或104时，∠EFD =4∠EDF ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．(1)如图1，求∠BGC 的度数；(2)如图2，求证：EG =FG ；(3)如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB :FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【答案】(1)120°(2)见解析(3)5【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；(2)作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE ≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF ≌△CGH ，得出FG =GH ，即可证明结论；(3)作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG ≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG ≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC=12，求出MG =5即可得出答案．【详解】(1)解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．(2)解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；(3)解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由(1)得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°-∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由(2)得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MG GC =MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG-MG=5．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB=PB，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】(1)连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO =BQ ，则∠BOQ =∠BQO ，根据OF 平分∠MON ，则∠AOB =∠BOQ ，即∠AOB =∠BQO ，根据OA =QP ，可知△AOB ≌△PQB ，则可知AB =PB ；(2)如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ =BO ，CQ =CO 结合条件可证△BQC ≌△BOC ，则∠BQO =∠BOQ ，根据OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，可知∠AOF =∠FON =∠BOQ ，则∠AOF =∠BQO ，进而可知∠AOB =∠PQB ，由此可证△AOB ≌△PQB (SAS )，则AB =PB ．【详解】(1)解：AB =PB理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO =BQ∴∠BOQ =∠BQO∵OF 平分∠MON∴∠AOB =∠BOQ∴∠AOB =∠BQO∵OA =QP∴△AOB ≌△PQB∴AB =PB ；(2)存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ =BO ，CQ =CO在△BQC 和△BOC 中，BC =BCCQ =COBQ =BO∴△BQC ≌△BOC (SSS )∴∠BQO =∠BOQ ，∵OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，∴∠AOF =∠FON =∠BOQ ，∴∠AOF =∠BQO ，∴∠AOB =∠PQB ，在△AOB 和△PQB 中，OA =PQ∠AOB =∠PQBBO =BQ∴△AOB ≌△PQB (SAS )，∴AB =PB ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．【答案】(1)见解析；(2)AB=4；(3)10【分析】(1)根据AAS证明△POD≌△POE即可；(2)作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，由角平分线的性质得DM=DN，由三角形的面积公式可得AD CD =ABBC，结合AB+BC=10即可求解；(3)过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，根据角平分线的性质得到EG=CE=2CP=8，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，∠PDO=∠PEO ∠DOP=∠EOP OP=OP，∴△POD≌△POE AAS，∴PE=PD;(2)解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，∵BD平分∠BAC，∴DM=DN，∵S△ABD=12AB⋅DM,S△CBD=12BC⋅DN，∴S△ABDS△CBD=ABBC，同理可证S△ABDS△CBD=ADCD，∴AD CD =AB BC．∵AD=2,CD=3，∴AD CD =ABBC=23，设AB=2x，则BC=3x ∵AB+BC=10，∴2x+3x=10,x=2，∴AB=4；(3)解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∴S△EFP=S△CFP，设S△EFP=S△CFP=y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF=S△AFD=z，∵S△BFP=20，∴S△BCD=20+y+z，∴S△ABC=2S△BCD=40+2y+2z，∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，∵AE是∠CAB的角平分线，CP=4，∴EG=CE=2CP=8，AB⋅EG=40，∴S△ABE=12∴AB=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．【答案】(1)①见解析 ②30°(2)见解析【分析】(1)①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°．(2)本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，。

角垂直平分线的性质和判定-专项练习

角垂直平分线的性质和判定-专项练习

角垂直平分线的性质和判定-专项练习
角垂直平分线是指一个角的两条垂直平分线相交于角的顶点，将角分成两个相等的角。

本篇文档将介绍角垂直平分线的性质和判定方法。

性质：
1. 角垂直平分线上的任意点到角的两边的距离相等。

2. 角垂直平分线上的任意点与角的顶点连线所成的角均为 90 度。

3. 角垂直平分线将角分成两个相等的角。

判定方法：
1. 当已知角的两条边的长度时，可以通过构造角的垂直平分线判定角是否为直角。

- 构造角的垂直平分线，如果垂直平分线与角的两边相交的点重合于边上，则角是直角。

- 如果垂直平分线和角的两边相交的点不重合于边上，则角不是直角。

2. 当已知角的两条边的斜率或角的两边的方程时，可以通过计算斜率或代入方程来判定角是否为直角。

- 计算两条边的斜率，如果斜率互为相反数，则角是直角。

- 代入方程，如果两边的方程互为相反数，则角是直角。

总结：
角垂直平分线的性质和判定方法对于解决与角直角相关的问题非常有用。

通过利用角垂直平分线的性质和判定方法，我们可以判断角是否为直角，从而辅助解决各类与角直角相关的问题。

(字数：200)。

线段的垂直平分线和角平分线专题练习

线段的垂直平分线和角平分线专题练习

线段的垂直平分线和角平分线专题练习一．选择题1. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:( )A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点.3. 已知，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．124. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(2，－2)，P 点在y 轴上，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点有 ( )A ．2个 D ．3个 C ．4个 D ．5个5. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定6．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)C. (2)(3)(4) D ．(1)(3)(4)7. 等腰三角形的底角为35°，两腰垂直平分线交于点P ，则A ．点P 在三角形内B ．点P 在三角形底边上C ．点P 在三角形外D ．点P 的位置与三角形的边长有关8. 如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处9. 等腰三角形中, AB 长是BC 长2倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 10．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AB = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm二. 填空题1．已知等腰三角形的两边长是1cm 和2cm ，则这个等腰三角形的周长为_______cm ．2．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm ，则最小边的长是_______cm ．3．等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分(1)36︒C B A(2)45︒C B A 108︒(4)CB A (3)90︒C BA E D CBA （10)之差是3cm ，那么这个等腰三角形的腰长是_______．4. 如图，已知OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，根据角平分线的性质，则有___________；反之如果PM=PN ，且___________，那么OP 平分∠AOB. 5.在△ABC 中,AB=AC, ∠B=560,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= 6.等腰三角形中有一个角为520，则它的一条腰上的高与底边的夹角为___________.7. △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB 的中垂线交BC 于D ，BD ＝10 cm ，则CD __________．8.已知在△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC ＝130°，则∠DAE ＝_______9.△ABC 中，∠C = 90°，角平分线AD 分对边BD ：DC = 2：3，BC=15 cm ，D 到AB 的距离是 cm 。

垂直平分线和角平分线典型题

垂直平分线和角平分线典型题

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

专题一：垂直平分线和角平分线

专题一：垂直平分线和角平分线

、角平分线和线段垂直平分线一、（1）角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点， 若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.（2）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.（2）、角平分线性质定理的逆定理：（1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥ OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.（2）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.（3）、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线， 那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：图4C DOAB FE 图5CDOABP图6EFDIP RQ BCA例1：如图，已知△ABC 中，AB = AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则下列四个结论 中正确的个数是( )①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等； ②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等； ③BD = CD ，AD = BC ；④∠BDE =∠CDF ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2：如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离 等于______________。

角平分线、垂直平分线性质专项练习

角平分线、垂直平分线性质专项练习

5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt△ABG，且EF 是Rt△ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1 F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

专题02 垂直平分线与角平分线二种模型(学生版)

专题02 垂直平分线与角平分线二种模型(学生版)

专题02垂直平分线与角平分线二种模型【类型一垂直平分线综合】例1．（2022·山西·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．(1)求∠DAF的度数．(2)若BC的长为50，求△DAF的周长．【变式训练1】（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m 分别交边AB，BC于点D和点E．(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【变式训练2】（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，EF 垂直平分AC ，交AC 于点E ，交AB 于点F ，M 是直线EF 上的动点．(1)当MD BC ⊥时．①若1ME =，则点M 到AB 的距离为________②若30CMD ∠=︒，3CD =，求△BCM 的周长；(2)若8BC =，且△ABC 的面积为40，则△CDM 的周长的最小值为________．【类型二角平分线综合】例2．（2022·天津市第七中学八年级期末）如图，AD 为ABC ∆的角平分线．（1）如图1，若CE AD ⊥于点F ，交AB 于点E ，7AB =，5AC =．则BE =________；（2）如图2，若7AB =，5AC =，ACD ∆的面积是10，求ABC ∆的面积；（3）如图3，若2C B ∠=∠，AB m =，AC n =，请直接写出BD 的长（用含m ，n 的式子表示）【变式训练】（2022·广东广州·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A ＝α．(1)如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．【专项训练】一、解答题1．（2021·云南·弥勒市长君实验中学八年级期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，(1)AB，AC，CE有什么关系？请你说明理由(2)①求证：AB+BD=DE；②若AB=5，AD=4，求△ACE的面积．2．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边的中点，AE平分∠BAD，交BC于点E，点F在△ABC外部，且FA⊥AE于点A，FC⊥BC于点C．(1)求证：BE＝CF；(2)过点E作EM⊥BC，交AB于点M，连结MC，交AD于点N，求证：①△ACM≌△ECM；②BM＝2DN．3．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD．（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．4．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC 交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）若∠BAC=80°，则∠EDF=________．（2）求证：AD平分∠BAC；（3）在（1）的条件下，求∠6．（2021·陕西西安·八年级阶段练习）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C点在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连接BE．(1)如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；(2)如图2，若P在C点上方，试猜想线段PD，AC，CE的数量关系并说明理由；(3)若AC＝6，CE＝2，则PD的值为．（直接写出结果）7．（2022·四川成都·八年级期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．8．（2021·江苏·宜兴市和桥镇第二中学八年级阶段练习）在△ABC 中，AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N ．（1）如图①，若△AMN 是等边三角形，则∠BAC ＝°；（2）如图②，若∠BAC ＝135°，求证：BM 2＋CN 2＝MN 2（3）如图③，∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H ．若AB ＝4，CB ＝9，求AH 的长．9．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的长度有关问题，这种方法称为面积法．在ABC ∆中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连接AD ．(1)如图①，当点D 是BC 边上的中点时，:ABD ACD S S ∆∆=；(2)如图②，当AD 是BAC ∠的平分线时，若AB m =，AC n =，:ABDACD S S ∆∆（用含m ，n 的代数式表示）＝；(3)如图③，在ABC ∆中，∠BAC ＝90°AD 平分BAC ∠，AB ＝8，AC ＝6，求BD 的长度．10．（2021·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置；(保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．11．（2022·重庆开州·八年级期末）已知，在Rt ABC △中，90,30ACB A ∠=︒∠=︒．(1)如图1，取AB 的中点D ，连接CD ，在CA 上截取CE CB =，连接DE ，求ADE ∠的度数；(2)如图2，分别以,AB AC 为边向外作等边ABG 和等边ACH ，连接GH 交AB 于点K ，求证：2BC AK =；(3)如图3，QD 垂直平分AB 交AC 于点Q ，点P 在线段AC 上运动（不与点,Q C 重合），以BP 为一边，在BP 下方作60,BPS PS ∠=︒交QD 的延长线于点S ，请直接写出,AQ PQ 与QS 之间的数量关系．12．（2022·河南新乡·九年级期末）已知：如图，OC 是AOB ∠的平行线，点P 是OC 上的任意一点．PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为点D 和点E ．求证：PD PE =．分析:图中有两个直角三角形PDO 和PEO ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD PE =．(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．(2)【类比探究】（Ⅰ）如图②，OC 是AOB ∠的平分线，P 是OC 上任意一点，点M 、N 分别在OB 、OA 上，连接PM 和PN ，若180PMO PNO =∠∠+︒，求证：PM PN =；（Ⅱ）如图③，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，DC =直接写出ABD △的面积．。

垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))

垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))

垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。

中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线

中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线

中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。

其中∠B=∠C 。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。

角平分线与垂直平分线期末专项训练题

角平分线与垂直平分线期末专项训练题

角平分线与垂直平分线期末专项训练题一、选择题（共23小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．若BC＝8，AB＝10，则点D到AB 的距离是（）A．3B．4C．5D．62．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）A．△ABC三条高线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAFC．∠B+∠BAD＝90°D．S△ABC＝2S△ABF4．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（）A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上5．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（）cm2．D．108 A．27B．54C．2726．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥67．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD ＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．808．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．三角形的三条角平分线的交点处B．三角形的三条中线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对9．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．710．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C＝∠BADC．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF11．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：512．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（）A．∠DCP＝65°B．∠BDC＝40°C．∠DBE＝85°D．∠E＝50°13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm14．如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是（）A．S1＝4S2B．S1＝3S2C．S1＝2S2D．S1＝S215．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处16．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm217．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（）A ．8B ．7C ．10D ．918．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是20cm 2，AB ＝15cm ，AC ＝5cm ，则DF 的长为（ ）A ．10cmB ．5cmC ．4cmD ．2cm19．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°+12∠A ，②∠EBO =12∠AEF ，③∠DOC +∠OCB ＝90°，④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF =mn 2．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直BC 于点E ，AB ＝6，DE ＝3，则△ABD 的面积为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1021．如图，BD 为∠ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ，DE ＝6，∠A ＝30°，则AD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1622．如图，OP 平分∠AOB ，点E 为OA 上一点，OE ＝4，点P 到OB 的距离是2，则△POE 的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．723．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点P ，且与AB 垂直，若BP ＝5，CP ＝12，则AD 的长为（ ）A．12B．13C．6013D．12013二、填空题（共11小题）24．下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．25．定义：利用的直尺和作图，简称为尺规作图．26．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，若△ABC的面积为28，AB＝8，BC＝6，则DE的长为．27．如图，已知△ABC的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为．28．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为．29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的是．30．如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为．32．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC 于点E．已知DE＝1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为．33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA 的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．34．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝．三、解答题（共13小题）35．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，求△ABD的面积．36．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；（2）求证：∠BOD＝∠COH．37．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B，AE ＝3，AD＝5，求AB的长．38．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．（1）求△CBD与△ABD的面积之比；（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．39．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．①当t＝2秒时，OC∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA 的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．40．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AE＝AF，那么AD是∠BAC的平分线吗？请补充完成下列说明过程并在括号内填注依据．解：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝90°，∠5＝90°（）．∴∠4＝∠5（等量代换）．∴AD∥EG（）．∴∠1＝∠E（），∠2＝（两直线平行，内错角相等）．又∵（已知），∴∠3＝∠E（）．∴∠1＝∠2（）．∴AD平分∠BAC（）．41．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）OD与OE是否相等．请说明理由；（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．42．已知：如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，求△ABD 的面积．43．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是．44．把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt △ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．45．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填．想法一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD，依据是．想法二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD，依据是．解决问题：如图⑤，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．46．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．47．如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝°．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．。

尺规作图：角平分线专项训练(含解析)印刷版

尺规作图：角平分线专项训练(含解析)印刷版

尺规作图：角平分线专项训练一．选择题（共8小题）1．数学课上，小丽用尺规这样作图：（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于D，E两点；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC并连接CD，CE，下列结论不正确的是（）A．∠1=∠2 B．S△OCE=S△OCD C．OD=CD D．OC垂直平分DE2．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上．A．0 B．1 C．2 D．35．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．O、E两点关于CD所在直线对称D．C、D两点关于OE所在直线对称6．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=140°，则∠AHC的大小是（）A．20°B．25°C．30°D．40°7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a﹣1，b），则a与b的数量关系为（）A．3a+b=1 B．3a+b=﹣1 C．3a﹣b=1 D．a=b8．如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A．AE、BF是△ABC的内角平分线B．CG也是△ABC的一条内角平分线C．AO=BO=CO D．点O到△ABC三边的距离相等二．填空题（共3小题）9．如图，在△ABC，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边与点D．则∠ADB的度数为．10．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为．11．如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D=116°，则∠DHB 的大小为度．三．解答题（共4小题）12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．13．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．（1）在OA边上作点P，使OP=2a；（2）作∠AOB的平分线；（3）过点M作OB的垂线．14．在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．已知：求证：证明：15．在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=，求证：点P在∠AOB的上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有处．尺规作图：角平分线专项训练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．数学课上，小丽用尺规这样作图：（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于D，E两点；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC并连接CD，CE，下列结论不正确的是（）A．∠1=∠2 B．S△OCE=S△OCD C．OD=CD D．OC垂直平分DE【分析】利用画法可判定OE=OD，CE=CD，则根据“SSS”可判定△OCE≌△OCD，于是可对A、B、C进行判断；然后根据线段垂直平分线的判定方法可对D进行判断．【解答】解：由作法得OE=OD，CE=CD，而OC为公共边，所以可根据“SSS”可判定△OCE≌△OCD，所以∠1=∠2，S△OCE=S△OCD，因为OE=OD，CE=CD，所以OC垂直平分DE．故选C．2．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【解答】解：在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选D．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD=∠CAB=25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA=90°﹣25°=65°．【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由角平分线的作法可知AD是BAC的平分线，由直角三角形两锐角互余可知∠CAB=60°，从而可知∠BAD=30°，由此可将∠BAD=∠B=30°，从而得到AD=DB，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断③；由三角形的外角的性质可知∠ADC=∠B+∠BAD可判断．【解答】解：由角平分线的作法可知①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=30°．∴∠BAD=∠B=30°．∴AD=DB．∴点D在AB的垂直平分线上．∴③正确．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADC=30°+30°=60°．故②正确．故选：D．5．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．O、E两点关于CD所在直线对称D．C、D两点关于OE所在直线对称【分析】连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；根据作图得到OC=OD，判断B正确；根据作图不能得出CD平分OE，判断C错误；根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE 是CD的垂直平分线，判断D正确．【解答】解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；C、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意；D、根据作图得到OC=OD，射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线，∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；故选C．6．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=140°，则∠AHC的大小是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】根据题意可得AH平分∠CAB，再根据平行线的性质可得∠CAB的度数，再根据角平分线的性质可得答案．【解答】解：由题意可得：AH平分∠CAB，∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠ACD=140°，∴∠CAB=40°，∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20°，∴∠AHC=20°．故选A．7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a﹣1，b），则a与b的数量关系为（）A．3a+b=1 B．3a+b=﹣1 C．3a﹣b=1 D．a=b【分析】由题意知点P在第二象限角平分线上，即可得3a﹣1=﹣b，从而得出答案．【解答】解：由题意知，点P在第二象限角平分线上，∴3a﹣1=﹣b，则3a+b=1，故选：A．8．如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A．AE、BF是△ABC的内角平分线B．CG也是△ABC的一条内角平分线C．AO=BO=CO D．点O到△ABC三边的距离相等【分析】根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．【解答】解：A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，所以选项A正确；B、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，所以选项B正确；C、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项C不正确；D、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，所以选项D正确；本题选择说法不正确的，故选C．二．填空题（共3小题）9．如图，在△ABC，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边与点D．则∠ADB的度数为115°．【分析】利用角平分线的作法可得出答案．【解答】解：∵根据作法可得AG是∠CAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAB=×50°=25°，∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=25°+90°=115°。

八(下)垂直平分线和角平分线尺规作图训练

八(下)垂直平分线和角平分线尺规作图训练

垂直平分线和角平分线尺规作图训练1. 已知线段AB.（1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写出作法)（2）在(1）中所作的直线上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN.求证：∠MAN=∠MBN2. 已知:等腰三角形的底边a 及底边上的高b ，求作：等腰三角形ABC 。

ba3。

已知∠β为等腰三角形的一个内角,a 为腰长，求作等腰三角形ABC 。

βa4。

已知:如图,直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点。

求作：点E ，使直线DE ∥AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等.（在题目的原图中完成作图） 结论:BE=DE 。

5。

如图,在等腰直角三角形ABC 中，AB=BC ，∠B=36°。

（1)用尺规作BC 边的垂直平分线,交AB 于点D ，连接CD 。

（不写作法，保留作图痕迹）(2）求证:△ACD 为等腰三角形。

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠A=30°。

(1)尺规作图:作线段AB 的垂直平分线a(不写作法,保留作图痕迹）(2)在已作图形中，若a 分别交AB ，AC 及BC 的延长线于点D,E ，F,连接BE.求证：EF=2DE 。

CBA7。

为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在北张镇新建一个医疗点P ，使我镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示）,请你用尺规作图的方法确定点P 的位置. 要求：写出已知、求作;不写作法，保留作图痕迹。

村B 村A8。

作图题（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(1)在图1∠AOB 内部求作一点P ，使PC=PD ，并且点P 到∠AOB 两边的距离相等。

（2）如图2，进过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D 。

做出平移后的△DEF 。

图2图1AC B9. 如图，已知在两条公路OA，OB的附近有C，D两个超市，现准备在两条公路的交叉路口附近安装一个监控摄像头，要求摄像头P的位置到两个超市的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请你找出摄像头P的位置。

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B A
垂直平分线和角平分线作图专训（分类整理）
专题作图应用专训
1、为了方便淄博居民的生活,计划在三个小区ABC之间建一个购物广场,试问购物广场应建于何处才能使它到三个小区的距离相等?
变式：如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
2、在平坦的草原上，一辆越野吉普车需从A地到B地，但中途需到河边l加一次水，为了使行程最短，请在图1中画出加水地点
.
变式：（最短路径问题）下图小河边有两个村庄，要在河边l某处建一自来水厂向A村与B村供水， 若要使厂部到A、B的距离相等，则应建在哪儿？
拓展提升：某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
3、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短。

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