直线的点斜式方程
点斜式直线方程公式
点斜式直线方程公式点斜式直线方程公式是高中数学中直线的一种表达方式，也是直线解析式中的一种。
在解题过程中，我们可以通过寻找一条过给定点且满足一定条件的直线，来解决问题。
在学习和应用点斜式直线方程公式时，我们需要具备一定的数学知识和技巧，理解和掌握相关原理，才能更好地应用于实际问题中。
一、点斜式直线方程公式的概念及意义点斜式直线方程公式，也称为向量式直线方程或向量表达式，是直线解析式的一种形式。
它表示为：y-y1=k(x-x1)其中，（x1，y1）是直线上的任意一点，k是直线的斜率，表示直线与x轴的夹角（弧度制）。
x轴上的斜率为0，y轴上的斜率为无穷大，其他情况下，斜率的计算公式为：k=tanθ=(y2-y1)/(x2-x1)其中θ表示斜率的夹角，y2、x2表示直线上另一个点的坐标。
点斜式表达了直线的一般形式，通过确定直线上的一点和斜率，可以唯一地确定一条直线。
点斜式与其他解析式相比，更能体现几何意义，便于直观理解和应用。
二、点斜式直线方程公式的应用点斜式直线方程公式是解决各种直线问题的常用工具，可以应用于以下情况：1.已知直线上一点和斜率，求直线方程如果已知直线上某一点（x1，y1）和直线的斜率k，我们可以应用点斜式直线方程公式求解直线方程。
将已知条件代入公式，得到：y-y1=k(x-x1)这就是所求的直线方程。
例如，已知直线上的一点(-3，5)和直线的斜率为-2/3，我们可以应用点斜式公式求得直线方程：y-5=-2/3(x-(-3))化简为：y=-2/3x+3这就是所求的直线方程。
2.已知直线上两点，求直线方程如果已知直线上两个点（x1，y1）和（x2，y2），我们可以应用斜率公式求得直线斜率，然后应用点斜式公式求解直线方程。
具体步骤如下：1）计算出直线斜率k：k=(y2-y1)/(x2-x1)2）选择其中一个点（例如（x1，y1）），将已知条件代入点斜式公式，得到直线方程：y-y1=k(x-x1)例如，已知直线上的两个点（2，4）和（4，1），我们可以求得直线斜率k：k=(1-4)/(4-2)=-1.5接着，选择其中一个点（例如（2，4）），将已知条件代入点斜式公式，得到直线方程：y-4=-1.5(x-2)化简为：y=-1.5x+7这就是所求的直线方程。
直线方程的点斜式
Ⅱ: 根据直线上任意两点的 (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
有斜率情况 两条直线平行 无斜率情况
k a kb a∥b
要无都无
有斜率情况 ka kb 1 a⊥b
两条直线垂直
无斜率情况 一个没有，一个为0
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
解：设A（ ）是直线l 1上的一点， 1 x1，y 1 根据斜率公式有
y1 0 1 x1 0
即x1＝y 1
设x1＝1，则y 1＝1，
于是A1的坐标是（ 1， 1 ）。过原点及 A（ ， 1 ）的 1 1 直线即为l 1，如图
如图：直线l经过点P。（x。，y。），且斜率 为k，求l的方程。
3.2 直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为 900的直线 没有斜率 2：直线的斜率有两种求解方法：
Ⅰ: 根据倾斜角来求
注：当
为钝角时
P2
P1
k tan
0
k tan tan (180 )
场,开始选择决赛阶段第三轮の挑战对象.鞠言直接取出挑战令牌,以申魂之历镌刻了肖常崆战申の名字.龙岩国鞠言战申,挑战玄秦尪国の肖常崆战申.当鞠言战申和肖常崆战申の名字,显现在大斗场上空の事候,又引起大斗场一片浩大の喧哗声.同样身处中心广场の肖常崆战申,脸上倒是没哪 个表情变化.当鞠言挑战他后,他只是转目琛琛看了鞠言一眼.倒是在悬空台上の廉心国尪,脸色又变得阴沉起来.她,并不想看到鞠言挑战自身尪国の战申,她担心肖常崆战申不敌鞠言.“鞠言战申,又要出手了.”洛彦王尪笑着说道.“是啊,呐一次,是挑战战申榜排名第拾の肖常崆战申！”万 江王尪点点头道.“若是挑战成功,那他就要进入战申榜前拾了.啧啧,在战申榜排位赛の历史上,似乎从未出现过没有得到混元无上称号の善王,进入过战申榜前拾吧?”“嗯,好像是没有呐样の例子！”“对了,天庭那边应该已经知道鞠言战申の存在了.不知道,鞠言战申の混元无上称号哪个 事候能够颁布！”“呐个说不好,可能很快,但也可能会拖一段事间.不过,以鞠言战申の实历,肯定是要得到此称号の.”几位王尪,低声の交谈着.“段泊王尪,俺听说尹红战申去找过鞠言战申?”仲零王尪看向一旁那位话最少の段泊王尪,口中说道.段泊王尪,红叶王国の王尪！第三零思一章 俺怎么不知道?混元空间七大王国の王尪,在战申榜排位赛举办期间,齐聚在法辰王国.红叶王国の段泊王尪,是七位王尪中话最少の一位.其他王尪彼此交谈,段泊王尪大多都保持沉默.听到仲零王尪の话,段泊王尪才转目看了看仲零王尪.“尹红战申去找过鞠言战申,希望鞠言战申能够加入红 叶王国.”段泊王尪直接就回答了仲零王尪の问题,并无丝毫遮掩.段泊王尪の话,让仲零等王尪面色都稍稍一变.仲零王尪笑了笑说道：“鞠言战申不打算离开龙岩国,俺们都曾邀请过鞠言战申,却都被拒绝,段泊王尪应该是知道の.”“红叶王国,自是不同の.鞠言战申为炼体、双料战申,此等 天赋,混元罕见.俺红叶王国老祖,对其很是欣赏.信任,鞠言战申会作出明智の决定.他,会加入红叶王国の.”段泊王尪淡淡の语气说道.仲零王尪等人互相对视了一眼.呐种话,也只有段泊王尪说出来,其他王尪才无法反驳.由于,红叶王国确实与其他王国情况不同.红叶王国の老祖,乃是天庭大 王,呐是其他陆个王国都没有の巨大优势.若红叶王国决心要招揽鞠言战申,那鞠言战申恐怕真の没有选择余地.混元中,谁又能拒绝红叶王国,拒绝一尊天庭大王呢?就是说,即便鞠言心中不愿意离开龙岩国,但是在红叶王国面前,他也只能做违心の决定.而红叶王国の尹红战申亲自去招揽鞠言, 可见红叶王国是有决心の.“哈哈……”“仲零王尪,看来你法辰王国想要授予鞠言战申名誉大公爵身份,也只能是泡汤了.”秋阳王国笑了一声,对仲零王尪道.他呐番话,倒不是有意の想要取笑仲零王尪.众人都听得出来,秋阳王尪话语中,更多の是自嘲の味道.面对红叶王国,他们の王国也不 得不低下头颅.段泊王尪又扭过头不再说话.仲零王尪等人,也失去了谈论の心思,一个个都沉默下来.那些顶级尪国の国尪等人,见气氛有些变化,他们也谨慎起来,将闲谈の声音压低下来.……半个事辰后,战申们各自选择过自身の挑战对手.接下来就是决赛阶段第三轮挑战,也是决赛の最后一 轮.当决赛阶段第三轮对战结束后,那本届战申榜排位赛将全部结束.广场大名牌上,随后公示了决赛第三轮对战の名单.鞠言战申,对战玄秦尪国の肖常崆战申.在第三轮对战之中,仍然是没有人挑战鞠言战申.所以第三轮挑战中,鞠言也只需要对战一场,就是与玄秦尪国肖常崆の一战.押注大厅 内,押注盘口再次开放.鞠言战申与肖常崆战申の盘口,自然也在其中.不过呐一次の压保情况,就不像先前那几次了.前几次鞠言战申相关盘口の押注,几乎都是一边倒の情况,而呐次,押注鞠言获胜の押注者也是不少.鞠言和纪沄国尪又去了押注大厅,不过呐次鞠言只在自身身上投了一亿白耀 翠玉.由于赔率上相差不是很大,所以鞠言也没太多の兴趣.押注,不过是一种象征罢了.“鞠言战申！”在押注大厅,一个王国の叠要人物出现在鞠言面前.不是别人,正是法辰王国の柳涛公爵.柳涛公爵の脸色有些沉叠,欲言又止の样子.“柳涛公爵,有事吗?”鞠言开口问道.对法辰王国,鞠言 の印象不坏.虽然先前淘汰阶段中,法辰王国在自身对手安排上用了一些手段,但鞠言对此是能够理解の.除此之外,法辰王国与鞠言之间不存在任何の嫌隙.而且,法辰王国是第二个来找他,表示想要授予他王国名誉大公爵身份の王国.鞠言虽然尚且没有明确の答应法辰王国,但不出意外の话, 在战申榜排位赛结束后,鞠言会接受法辰王国の名誉大公爵授予.“鞠言战申,你即将要加入红叶王国了吧?恭喜了！”柳涛公爵开口,对鞠言说道.“嗯?”鞠言微微一愣.加入红叶王国?哪个事候の事情?俺怎么不知道?“柳涛公爵何出此言?”鞠言凝眉问道.柳涛公爵突然跑过来见自身,说出呐 样の话,显然不太正常.“红叶王国の尹红战申,亲自去见了你.”柳涛公爵目光看着鞠言,他の心情也比较复杂,他当然是希望鞠言战申能够加入法辰王国,成为法辰王国の名誉大公爵也好！“尹红战申确实去见过俺,他是
直线的点斜式方程 课件
【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求
直线方程为 y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角
α＝150°，∴斜率
k＝tan
150°＝－
3 3.
由斜截式可得方程为 y＝－ 33x－2.
(3)∵直线的倾斜角为 60°，
∴其斜率 k＝tan 60°＝ 3，
∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，
∴直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3.
误把“截距”当“距离”致误
已知斜率为－43的直线 l，与两坐标轴围成的三 角形面积为 6，求 l 的方程．
【错解】 设 l：y＝－43x＋b，令 x＝0 得 y＝b；令 y＝0 得 x＝34b， 由题意得12·b·(34b)＝6，
∵b>0，∴b＝4， ∴直线 l 的方程为 y＝－43x＋4.
【错因分析】 上述解法的错误主要在于“误把直线在 两轴上的截距当作距离”．
∴a＝± 3.
故当 a＝± 3时，直线 l1 与直线 l2 垂直．
已知直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2. (1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时两直线与 y 轴的交点不同， 即 b1≠b2；反之 k1＝k2 且 b1≠b2 时，l1∥l2.所以有 l1∥l2⇔k1 ＝k2 且 b1≠b2. (2)若 l1⊥l2，则 k1·k2＝－1；反之 k1·k2＝－1 时，l1⊥l2. 所以有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
【自主解答】 (1)由点斜式方程可知， 所求直线的方程为 y－5＝4(x－2)， 即 4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为 45°， ∴此直线的斜率 k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为 y－3＝x－2， 即 x－y＋1＝0.
直线的点斜式方程(张爽)
y − y0 = k ( x − x0 )
概念理解
斜率是k的直线 上的点 上的点,其坐标代入都 （1）过点 0(x0,y0) 斜率是 的直线 l上的点 其坐标代入都 ）过点p 满足方程y-y 满足方程 0=k(x-x0)吗？ 吗 （2）坐标满足方程 0=k(x-xo)的点都在过点 p0(x0, y0) ,斜 ）坐标满足方程y-y 的点都在过点 斜 率为k的直线 上吗 率为 的直线l上吗？ 的直线 上吗？
x
学以致用
1.已知直线经过点p(3,4)，求 （1）倾斜角为0°时的直线方程； （2）斜率为２时的直线方程； （3）倾斜角为90°时的直线方程. 2.经过点p(2,3),倾斜角是30°的直线方程.
3.经过A(-2,-3),B(0,0)两点的直线的点斜式方程. 4.经过点p(0,3),斜率是1的直线方程，并画出图 形.
经过探究,上述两条都成立 所以这个方程就是过 经过探究 上述两条都成立,所以这个方程就是过 上述两条都成立 的直线l的方程 的方程． 点p0(x0,y0)，斜率为 k 的直线 的方程． ，
直线的点斜式方程
方程y-y 由直线上一点 方程 0=k(x-x0)由直线上一点 0(x0,y0)及 由直线上一点p 及 斜率k确定 把这个方程叫做直线的点斜式方 确定， 其斜率 确定，把这个方程叫做直线的点斜式方 简称点斜式 点斜式． 程，简称点斜式．
x − x0 = 0
或
x = x0
x 点斜式的局限性： 点斜式的局限性：只适用于斜率存在 的情形。 的情形。
当直线L的倾斜角为0 当直线L的倾斜角为0°时,直 线的方程怎么表示？ 线的方程怎么表示？
倾斜角为0 倾斜角为 ° 如图： 如图：
y
则 直线与x轴平行或重合；
8.3直线的点斜式方程解析
点，因为直线 l 的斜率为k ，由斜率公式得：
即：
y y1 k ， x x1
y y1 k x x1
y
P
P1 O
l
Hale Waihona Puke x直线的点斜式方程 经过点 P ，斜率为 k 直线的方程 1 x1 , y1 为：
y y1 k x x1
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，
O
x x0 0
或
x x0
x 点斜式的局限性：只适用于斜率存在 的情形。
学以运用
求满足下列条件的直线方程：
1 (1)过点（10， ），平行于 x轴； 2
1 y 2
(2)过点（ 1 ， 4），平行于y轴；
(3)x轴；
x 1
y0
x0
(4) y轴.
典型例题
例3 直线 经过点
线 的方程．
y
.
. Q
k2
1
3– P
y 3 2 x0
l
–
y 3 2(x 0)
－1
o
x
直线与方程有什么联系？
上一页
问题引入
y
方程的
y 3 2(x 0) 解(x,y)
l
.
. Q
k2
1
3– P –
直线 l上的点(x,y)
－1 o
x
结论：如果直线 l 上每个点的坐标都是某个方程 的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在直 线 l上。就称直线 l 是方程的直线，方程是直线 l 的方程。 上一页
, 求直
练习 直线 线 的方程．
经过点
, 求直
课堂练习
1.写出下列直线的点斜式方程 （1）经过点A（3，-1），斜率是
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
直线的点斜式方程
B
C
D
3. 已知直线过点P(1,2),且斜率与直 线 y 2x 3 的斜率相等,则该直线 的方程是 2x y 4 0 .
4.任一条直线都可以用点斜式方程 表示吗? 斜截式方程可以改写成点 斜式方程吗?
答: 斜率不存在的直线不能用点斜式表示, 斜截式方程可以改写成点斜式方程.
5、过点(－3 ，3)且倾斜角300为的直线的直 线方程为 x 3y 12 0 .
当 k 取任意实数时,方程 y kx 2 表 示的直线有什么特点?
y
1
O1
x
想一想
当 b 取任意实数时,方程 y 2x b 表
示的直线有什么特点? y
1
O1
x
巩固练习
1. 根据下列条件,分别写出直线的方程
(1)经过点(4,-2),斜率为3;
(2)经过点(3,1),斜率为
1 2
;
(3)斜率为-2,在y 轴上的截距为-2;
问题推广：
y
直线 L经过点 L
P1 (x1, y1), 斜率为 k，点P在直线L上 运动，那么点P的 坐标（x,y ）满足
P1(x1,y1)
O
x
P(x,y)
什么条件？
直线的点斜式方程
求直线已L知的直方线程L(如的图斜1率)设为点k ，P(x且,y过)是点直P线1(xL1上,y不1), 同点于 的P直1线的的任斜意率一公点式。，因得直线L的斜率为k,由过两
由此得到经过点A(-1,3),斜率 为-2的直线方程为 2x y 1 0
如果直线上的每一个点的坐标 都是这个方程的解；反之，以这个 方程的解为坐标的点都在直线上. 我们就可以说这个方程为直线的方 程或直线是这个方程的直线.
能否说 y 3 2 是过点
3.2.1_直线的点斜式方程
k 不存在
越大 越大， k ___
k
6、哪些条件可以确定一条直线？
一点+倾斜角
l1 // l2 k1 k2 ; l1 l2 k1k2 1.
确定一条直线
讲授新课
问题1：若直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是？
y
P ( x, y )
高一（1）班
• 教学目标： 1、掌握点斜式方程及其应用。 2、掌握斜截式方程及其应用。 3、知道什么是直线在y轴上的截距。 • 教学重点： 点斜式方程、斜截式方程及其应用。 • 教学难点： 斜截式方程的几何意义。
温故知新
1、直线的倾斜角及其范围.
2、直线的倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率.
k tan
( 90 )
经过两点 P1 ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ) 的直线 3、 的斜率公式
y2 y1 ( x1 x2 ) k x2 x1
温故知新 4、倾斜角
0 90
0
与斜率 k 的关系
90
k __ 0,
k0
k
越大， 越大 ___ 90 180 k __ 0, 5、若两条不重合直线斜率都存在时，
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k2 1
练习5判断下列直线是否平行垂直：
1 1 (1)l1 : y x 3, l2 : y x 2; 2 2
为12，且斜率为-3/4的直线方程。
直线的点斜式方程、直线的两点式方程】
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=-(2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即 叫做直线的 ，简称当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为 .这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为 ___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是 ___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+ 斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=--四、1x ya b+= 截距 b 五、122x x + 122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求： （1）过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0.由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关.【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y += D ．25x y -=【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-． （2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值范围是115k -≤≤.7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为 . 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在， 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-解得3m =或1m =-∴m 的值为3或1-【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=,∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是 A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y －2＝3(x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y ＋2＝3(x －2)2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜04．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4 C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y+= B ．143x y-= C ．134x y+= D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为 ． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点 ． 9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是 . 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是 .11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= . 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k ＝tan60°＝3，则点斜式方程为y －2＝3(x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。
3.2.1 直线的点斜式方程
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②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．【常考题型】题型一、直线的点斜式方程【例1】(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．【类题通法】已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.【对点训练】1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．题型二、直线的斜截式方程【例2】 (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．【类题通法】1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．【对点训练】2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．题型三、两直线平行与垂直的应用【例3】 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？(2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？【类题通法】判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．【对点训练】3．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.【练习反馈】1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．参考答案【例1】[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0【对点训练】1.(1) y －5＝4(x －2)．(2) y －3＝x －2.(3) y ＝－1.【例2】[答案] (1)y ＝－33x －3 【对点训练】2．y ＝33x －5. 【例3】 [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行．【对点训练】3．解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38. (2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．【练习反馈】1．答案：D 2．选A 3．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．答案：y ＝－3x ＋25．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.。
点斜式直线方程公式
点斜式直线方程公式在平面几何中，直线是一个基本的概念。
在解决直线问题时，我们需要知道直线的方程。
直线的方程有很多种，其中点斜式直线方程公式是一种常用的方法。
点斜式直线方程公式是指通过一条直线上的一个点和该直线的斜率来求出这条直线的方程。
这个公式的形式是y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一个点，m是直线的斜率。
这个公式的推导过程非常简单，我们可以通过以下步骤来理解它。
步骤一：求出直线的斜率在点斜式直线方程公式中，我们需要知道直线的斜率。
斜率是指直线在坐标系中的倾斜程度。
我们可以通过以下公式来求出直线的斜率：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
这个公式的意思是直线的斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
步骤二：代入点斜式直线方程公式在求出直线的斜率之后，我们可以用点斜式直线方程公式来求出直线的方程。
这个公式的形式是y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一个点，m是直线的斜率。
我们可以通过以下步骤来代入点斜式直线方程公式：1. 将点(x1, y1)代入公式中，得到y - y1 = m(x - x1)。
2. 将斜率m代入公式中，得到y - y1 = m(x - x1)。
3. 将已知的点和斜率代入公式中，得到y - y1 = m(x - x1)。
通过这个公式，我们可以方便地求出一条直线的方程。
下面是一个例子：例子：求过点(2, 3)且斜率为2的直线的方程解：首先我们需要求出这条直线的斜率。
由于已知斜率为2，我们可以代入斜率公式中，得到：m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = 2由此可得y2 - y1 = 2(x2 - x1)。
将点(2, 3)代入公式中，得到：y - 3 = 2(x - 2)将公式化简，得到：y = 2x - 1因此，过点(2, 3)且斜率为2的直线的方程为y = 2x - 1。
3.2.1 直线的点斜式方程
二、典型问题与方法
1．直线的点斜式方程 例 1 直线 l 经过点 P0(－2，3)，且倾斜角 α＝45° ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l. (链接教材 P93 例 1) [解析] 直线 l 经过点 P0(－2，3)，斜率是 k＝tan 45° ＝1，
代入点斜式方程得 y－3＝x＋2. 画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P1(x1，y1)，取 x1＝－1，y1＝4，得 P1 的坐标为(－1，4)， 过 P0，P1 的直线即为所求，如图． 【方法小结】由点斜式写直线方程时，由于过 P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时 方程为 y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为 x＝x0. 【变式训练】 1．写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点 B(－ 2，2)，倾斜角是 30° ；(2)经过点 C(0，3)，倾斜角是 0° . 解：(1)因为倾斜角是 30° ，所以直线的斜率是 故直线的点斜式方程为 y－2＝ 3 ， 3
3．2.1 直线的点斜式方程
一、课本知识梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 点斜式 已知条件 点 P(x0，y0) 和斜 率k 斜率 k 和在 y 轴上 的截距 b 示意图 方程 y－y0＝k(x－x0) 使用范围 斜率存在Βιβλιοθήκη 斜截式y＝kx＋b
斜率存在
2.直线 l 的截距 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b． (2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a，0)的横坐标 a．
3 (x＋ 2)． 3
(2)因为倾斜角是 0° ，所以直线的斜率为 0，则直线的点斜式方程为 y－3＝0(x－0)，即 y＝3.
2．直线方程的斜截式及应用 例 2 已知直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2 的条件是什么？(2)l1⊥l2 的条件是什么？ (链接教材 P94 例 2) [解析](1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时 l1，l2 与 y 轴的交点不同，即 b1≠b2；反之，k1＝k2，且 b1≠b2 时，l1∥l2. (2)若 l1⊥l2，则 k1k2＝－1；反之，k1k2＝－1 时，l1⊥l2. 【方法小结】对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
直线的点斜式方程
例2:斜率是5,在y轴上的截距是-4的直线方程.
解：由已知得k =5， b= - 4， 代入斜截式方程 y= 5x - 4
1、说出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（１）y 3x 2
(2) y 3x
3， -2
3， 0
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 3 x2 （1）斜率是 ，在 y轴上的截距是 2； y 2 2 （2）斜率是 2 ，在 y轴上的截距是 4 ；y 2 x 4
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
y 3 2( x 1)
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1 （4）且过原点的直线方程.
y 3 x
巩固练习
1.经过点（- 2 ，2）倾斜角是1500的直线的方程是（ （A）y＋ 2 =－ 3 x－2） （
3 3
C）
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）y+2= （x－ 2 ） － 3
[答案](1)过定点(3，－2) (2)(－1,3)
[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何 实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3,－2)，斜率为 k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3,－2)． (2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可 知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．
1 1 (1) l1 : y x 3 , l2 : y x 2 2 2 5 3 (2) l1 : y x , l2 : y x 3 5
l1 // l2
l1 l2
条 件 ： 有 斜 率 且 非 零 ！
例、已知直线经过点 P1,3 ，求 （1）倾斜角为 0 时的直线方程；
2、直线的斜截式方程：
高一数学直线的点斜式方程
例6：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kL 5 5 2 23
即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝0
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) ,即
2x + y －1 = 0
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
4
例5：求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1
直线过点（1，2）代入点斜式方程得
y- 2 = x - 1 或y－２＝－（ｘ－１）
3 （C）y－2= （x＋ 3
（x＋ 2） 2）（D）y－2= 3
㈣总结： ①直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应 用。 ②直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。
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可化为 y y1 k x x1
y y1 k x x1
. .
P1
O
x
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直 线的点斜式方程。
小结：
⑴P为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关
y
° P ° ° ° ° ° ° ° ° P1
O x
° ⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x -x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1）， 而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即 不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。
高中数学直线的点斜式方程
3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程【知识提炼】1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距__ b条件图示2.直线在y轴上的截距定义:直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b.符号:可正,可负,也可为零.【即时小测】1.思考下列问题:(1)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.(2)直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 提示:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.2.过点M(-3,1),斜率为2的直线的方程是()A.y=2x+7B.y=2x-7C.y=-2x+7D.y=-2x-7【解析】选A.由直线的点斜式方程可得:y-1=2(x+3),即y=2x+7.3.直线l的点斜式方程是y-2=-2(x+3),则此直线的斜率等于()A.3B.-3C.2D.-2【解析】选D.由直线的点斜式方程的形式可知该直线的斜率为-2.4.一条直线的方程为y=-2x-3,则该直线在y轴上的截距等于. 【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线y=-2x-3在y轴上的截距等于-3.答案:-35.直线l过点(1,-2),且直线的倾斜角为60°,则此直线的斜截式方程为.【解析】因为该直线的斜率为k=tan60°=,所以直线的点斜式方程为y-(-2)=(x-1),化为斜截式为y=x--2.答案:y=x--2【知识探究】知识点1直线的点斜式方程观察图形,回答下列问题:问题1:上图中直线l的斜率如何用点P与点P0表示? 问题2:要得到直线的点斜式方程应具备什么前提条件?【总结提升】1.直线的点斜式方程的前提条件(1)已知一点P0(x0,y0)和斜率k.(2)斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.2.直线的点斜式方程形式的关注点方程y-y0=k(x-x0)与方程k=不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P0(x0,y0)的一条直线.3.当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条直线.知识点2直线的斜截式方程观察图形,回答下列问题:问题1:根据图中的条件,能否写出该直线的方程? 问题2:直线在y轴上的截距有几种情况?【总结提升】点斜式与斜截式的关系(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b).它们都不能表示斜率不存在的直线.(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其它形式的基础.(3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟一,而斜截式的形式是惟一的.(4)直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别和联系①斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次函数.②一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.【知识拓展】1.截距的理解(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y轴的交点(0,b) 的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是坐标,它可能是正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负数.(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距.并不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直线y=2没有横截距.2.对直线l在y轴上的截距b的两点说明(1)本质:直线l与y轴交点的纵坐标.(2)四种情况:①当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0;②当直线l与y轴负半轴相交时,截距b<0;③当直线l经过原点时,截距b=0;④当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.【题型探究】类型一求直线的点斜式方程【典例】1.(2015·杭州高一检测)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为.2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为.3.(2015·景德镇高一检测)一直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线l2:y=的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.【解题探究】1.典例1中平行于y轴的直线的斜率存在吗?提示:平行于y轴的直线的斜率不存在,则过点(-5,2)且斜率不存在的直线方程为x=-5.2.典例2中逆时针旋转90°后得直线l的倾斜角为多少?提示:直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°,逆时针旋转90°后直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为-1.3.典例3中直线l2的倾斜角为多少?直线l1的倾斜角等于多少?提示:由点斜式方程可知直线l2的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以直线l1的倾斜角为60°.【解析】1.因为直线平行于y轴,所以直线斜率不存在,所以方程为x=-5.答案:x=-52.直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan135°=-1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).答案:y-4=-(x-3)3.由点斜式方程可知直线l2的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以直线l1的倾斜角为60°,其斜率k=tan60°=,由直线方程的点斜式可得,直线l1的方程为y+3=(x-2).【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤【拓展延伸】求直线的点斜式方程的注意点(1)前提条件:只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.(2)倾斜角为0°,即k=0时,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程是y-y0=0.(3)倾斜角为90°时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,l的方程是x-x0=0.【补偿训练】(2015·福安高一检测)直线l过点P(2,-3)且与过点M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程.【解题指南】先求出过已知两点M,N的直线的斜率,再由已知条件判断直线l的倾斜角,可得所求直线的方程.【解析】直线MN的斜率k==0,所以该直线平行于x轴.又直线l垂直于直线MN,因此直线l的倾斜角为90°,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为x-2=0,即x=2.类型二求直线的斜截式方程【典例】(2015·常德高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.【解题探究】由直线l1的方程y=-2x+3,能得出此直线的斜率为多少吗? 由l2的方程y=4x-2,可知此直线在y轴上的截距为多少?提示:直线l1的斜率为-2,直线l2在y轴上的截距为-2.【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.【延伸探究】1.(变换条件)若将典例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l⊥l1,所以l的斜率k=由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=x-2.2.(变换条件)若将典例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解?【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+2.【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程, 只需知道参数k,b的值即可.(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.【补偿训练】(2015·潍坊高一检测)直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.【解题指南】确定l1的斜率和它在y轴上的截距,再求出l的斜率和它在y轴上的截距,由斜截式写方程.【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y=-3x+6.【延伸探究】1.(变换条件)若将本题中的“直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的截距”,改为“截距互为倒数”,其他条件不变,又如何求直线l的方程?【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为.由斜截式可得直线l的方程为y=-3x+.2.(变换条件)若将本题中“l的斜率与l1的斜率互为相反数”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,由题意可得直线l的斜率为-,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y=-x+6.类型三两直线平行与垂直的应用【典例】1.(2015·鄂州高一检测)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2: y=4x-3垂直,则a=.2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=.3.(2015·安阳高一检测)已知直线l过点A(2,-3),若直线l与直线y=-2x+5平行,求其方程.【解题探究】1.典例1中直线l1与直线l2垂直可得两直线的斜率有怎样的关系?提示:可得两直线的斜率乘积等于-1.2.典例2中由两直线平行可得两直线的斜率有怎样的关系?提示:可得两直线的斜率相等.3.典例3中由直线l与直线y=-2x+5平行,可得到什么结论?提示:可得两直线斜率相等.【解析】1.由题意可知,k l1=2a-1,k l2=4.因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,解得a=.故当a=时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直. 答案:2.因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1;所以a=-1时两直线平行.答案:-13.方法一:因为直线l与y=-2x+5平行.所以k l=-2,由直线方程的点斜式知y+3=-2(x-2),即l:2x+y-1=0. 方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5.又l与其平行,则可设l为y=-2x+b,因为l过点A,所以有-3=-2×2+b,则b=1,所以l:y=-2x+1,即2x+y-1=0.【延伸探究】若把典例3中的平行改为垂直,此时直线l的方程又如何?【解析】方法一:因为直线l与y=-2x+5垂直.所以k l= ,由直线方程的点斜式知y+3= (x-2),即l:x-2y-8=0.方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5.又l与其垂直,则可设l为y=x+b,因为l过点A,所以有-3= ×2+b,则b=-4,所以l:y= x-4,即x-2y-8=0.【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,(1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2,则k1·k2=-1;反之k1·k2=-1时,l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.。
点斜式方程
课后研学
1.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2 l2 : y x 2 ；l3 : y x 2 ；l4 : y 3x 2 ；l5 : y 3x 2 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？ 2.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2x l2 : y 2x 1 ；l3 : y 2x 1 ；l4 : y 2x 4 ；l5 : y 2x 4 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？
斜截式方程的特点
y kxb
y系数为1 直线的斜率
Y轴上的截距
与Y轴的交点 是（0，b）
对斜截式方程深入理解：
问题1 ：能否用斜截式方程表示直角坐标平 面内的所有直线?
不能，直线的斜率k必须存在。 问题2：截距是不是距离？是不是一定要为 正？
截距与距离不一样，截距可正、可为零、 可负, 而距离不能为负。
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
不一定平行
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
不一定相等
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,它们
平行吗?
平行
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
一定垂直
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
y y0 k x x0
直线的方程就是直线上所有的点的横纵坐标所满足的 等量关系式
思考:经过点P0(x0，y0)的任意一条直线
的方程都能写成点斜式 y y0 k(x x0)吗？
不能，直线的斜率必须存在。
当直线L的倾斜角为 0° 时，直线的方程是什么？
y
l与x轴平行或重合
P0(x0,y0)
注意：不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线与x 轴垂直。
直线的点斜式方程
练习
3、写出下列直线的斜截式方程： 3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是 2 2
(2)斜率是 2, 在y轴上的3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5） 5 5 kl 2 23 将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜 率不存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2；
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
练习
已知直线l1经过点A(2,a)，B(a-1,3)， 直线l2经过点C(1,2)，D(-2,a+2),试确 定a的值，使得直线l1和l2满足l1⊥l2
0
(3)经过C (0,5), 倾斜角是0
0
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角： (1)y-2 = x-1 ( 2) y 2 3 x 3
2、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0， y b），求直线方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程： y - b =k （ x - 0） (2) 即 y = kx + b。
1、直线的点斜式方程：
(1)、当直线l的倾斜角是00时， tan00=0,即k=0，这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程：y-y0=0 或 y=y0
y y0 O l
x
y
(2)、当直线l的倾斜角是900时， 直线l没有斜率，这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程：x-x0=0 或 x=x0
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直线的点斜式方程
1．理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2．能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
3．体会直线的斜截式方程与一次函数的关系
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重点：直线的点斜式方程和斜截式方程
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
1．方程y ＝k(x －2)表示
( )
A ．通过点(－2,0)的所有直线
B ．通过点(2,0)的所有直线
C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线
D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 2．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线
1
(3)4
y x =
+的斜率的2倍，则直线l 的方程为________．
3．写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(2,5)，且与直线27y x =+平行； （2）经过点C(－1，－1)，且与x 轴平行．
一、选择题
1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则（ ）
A ．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
2．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为
（ ） A ．y ＋2＝3(x －3)
B ．y －2＝
3
3(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝
3
3
(x ＋3) 3．若直线(m 2－m )x ＋(2m 2＋m －3)y ＝4m －1在y 轴上的截距为1，则实数m 是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．－12
D ．2或－1
2
4．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为 （ ）
A ．60°，2
B ．120°，2－ 3
C ．60°，2－ 3
D ．120°，2
5．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经
过的已知点与倾斜角分别是 （ ） A ．(4，3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4，3)，30°
D ．(－4，－3)，60° 6．方程y ＝ax －1
a
对应的直线可能是 （ ）
二、填空题
7．若一直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y＝－2x＋3的斜率相等，则该直线的方程是________．
8．已知直线的方程为y－3＝(a－2)(x＋1)，且其倾斜角为钝角，则a的取值范围是_______．9．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l 在y轴上的截距为6，则a＝________．
10．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．三、解答题
11．分别求满足下列条件的直线方程．
（1）过点A(2，－1)且与直线y＝3x－1垂直；
（2）倾斜角为60°且在y轴上的截距为－3. 12．求满足下列条件的m的值：
（1）直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－
2)x＋2m平行；
（2）直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－
1)x－5垂直．
【易错反思总结】：。