2015-2016高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课时作业 新人教A版必修1
课时作业13：2.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时 对数的运算一、选择题1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③a nm ＝1m a n ；④(a m )n ＝am n ；⑤log n a b ＝－n log a b .A ．2B ．3C ．4D ．5考点 对数的运算题点 对数的运算性质答案 B解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( )A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab 5c C ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3考点 对数的运算题点 对数的运算性质答案 A解析 lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5， ∴由lg x ＝lg ab 3c 5，可得x ＝ab 3c 5. 3．2等于( )A.12B.14C ．2D ．4 考点 对数的运算题点 对数的运算性质答案 D解析 2＝2(2)4＝4.4．化简log 58log 52等于( )A ．log 54B ．3log 52C ．2D ．3考点 对数的运算题点 换底公式的应用答案 D解析 log 58log 52＝log 28＝log 223＝3. 5．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示lg 15为( )A ．b －a ＋1B ．b (a －1)C ．b －a －1D ．b (1－a )考点 对数的运算题点 用代数式表示对数答案 A解析 lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg 102＝lg 3＋1－lg 2＝b －a ＋1. 6．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25 D.125考点 对数的运算题点 换底公式的应用答案 D解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 7．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( ) A ．log 26B ．log 36C ．2D ．1考点 对数的运算题点 对数的运算性质答案 C解析 原式＝(log 32)2＋2log 32·log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2.8．化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 2 13等于( ) A ．2 B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2考点 对数的运算题点 对数的运算性质答案 B解析 (log 23)2－4log 23＋4 ＝(log 23－2)2＝|log 23－2|＝2－log 23.∴原式＝2－log 23＋log 213＝2－log 23－log 23＝2－2log 23. 二、填空题9．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 考点 对数的运算题点 换底公式的应用答案 54解析 原式＝⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝⎛⎭⎫1log 23＋1log 232＝56log 23·32log 23＝54. 10．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.考点 对数的运算题点 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值 答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.11．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝________. 考点 对数的运算题点 用代数式表示对数答案 1解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得 x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y＝log 62， 故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.三、解答题12．计算：(1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8. 考点 对数的运算题点 对数的运算性质解 (1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－＝⎝⎛⎭⎫122＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋13lg 23 ＝2lg 2＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋(lg 6－lg 10)＋lg 2 ＝2lg 2＋lg 3lg 6＋lg 2＝2lg 2＋lg 3(lg 2＋lg 3)＋lg 2 ＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1. 13．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p 的值；(2)求证：1z －1x ＝12y. 考点 对数的运算题点 用代数式表示对数(1)解 设3x ＝4y ＝6z ＝t ，则t >0，且t ≠1. ∴x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 6t .∵2x ＝py ，∴2log 3t ＝p log 4t ＝p ·log 3t log 34. ∵log 3t ≠0，∴p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明 1z －1x ＝1log 6t －1log 3t＝log t 6－log t 3＝log t 2.又12y ＝12log 4t ＝12·log t 4＝12·2log t 2＝log t 2，∴1z －1x ＝12y. 四、探究与拓展14．计算⎝⎛⎭⎫－27823-＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－55log 2＝________. 考点 对数的运算题点 指数对数的混合运算 答案 229解析 ∵⎝⎛⎭⎫－278232233327114(),89273()()82-⨯-===-- log 827log 23＝log 227log 28·log 23＝3log 233log 23＝1， (2－3)0＝1，log 31＝0，2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2,55log 2＝2，∴原式＝49＋1＋1－0＋2－2＝229. 15．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 考点 对数的运算题点 指数对数的混合运算 答案 433 解析 ∵a ＝log 43＝12log 23， ∴2a ＋2－a ＝2222111111log 3log 3log 3log 322222222(2)(2)33---+=+=+＝3＋13＝433.。
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算练习(含解析)新人教版
第二课时对数的运算1.下列等式成立的是( C )(A)log2(8-4)=log28-log24(B)=log2(C)log28=3log22(D)log2(8+4)=log28+log24解析:由对数的运算性质易知C正确.2.对于a>0且a≠1,下列说法中正确的是( C )①若M=N,则log a M=log a N;②若log a M=log a N,则M=N;③若log a M2=log a N2,则M=N;④若M=N,则log a M2=log a N2.(A)①③ (B)②④ (C)② (D)①②③④解析:①中当M=N≤0时,log a M,log a N都没有意义,故不正确;②正确;③中当M,N互为相反数且不为0时,也有log a M2=log a N2,此时M≠N,不正确;④中当M=N=0时,log a M2,log a N2都没有意义,故不正确.综上知选C.3.若lg m=b-lg n,则m等于( D )(A)(B)10bm(C)b-10n (D)解析:由题知lg m+lg n=b,即lg(mn)=b,解得10b=mn,所以m=.故选D.4.设lg 2=a,lg 3=b,则log512等于( C )(A) (B) (C)(D)解析:log512=====.故选C.5.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则( B )(A)=+(B)=+(C)=+(D)=+解析:设3a=4b=6c=t,则a=log 3t,b=log 4t,c=log 6t.所以=log t 3,=log t 4,=log t 6.所以+=log t 9+log t 4=2log t 6=.选B. 6.已知log 32=a,3b=5,则log 3由a,b 表示为( A )(A)(a+b+1) (B)(a+b)+1(C)(a+b+1) (D)a+b+1 解析:由3b=5得b=log 35,所以log 3=log 330=(log 33+log 32+log 35)=(1+a+b).故选A.7.若x 1,x 2是方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两根,则x 1x 2等于( C ) (A)lg 2+lg 3 (B)lg 2·lg 3(C) (D)-6解析:由题知lg x 1+lg x 2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6,则lg(x 1x 2)=-lg 6=lg ,故x 1x 2=,选C.8.已知x,y,z 都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log xyz m=12,则log z m 的值为( B )(A) (B)60 (C) (D)解析:log m (xyz)=log m x+log m y+log m z=,而log m x=,log m y=,故log m z=-log m x-log m y=--=,即log z m=60.故选B.9.已知2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,则= .解析:因为2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,所以lg(x+y)2=lg(4xy),所以(x+y)2=4xy,即(x-y)2=0.所以x=y,所以=1.答案:110.已知log34·log48·log8m=log416,则m= .解析:由题知··=log416=log442=2,所以=2,即lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9.答案:911.已知=(a>0),则lo a= .解析:因为=(a>0),所以=,所以a=()3,故lo a=lo()3=3.答案:312.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,则(lg)2= .解析:由题知则(lg)2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.答案:213.求下列各式的值:(1)4lg 2+3lg 5-lg;(2)log220-log25+log23·log34;(3);(4)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.解:(1)原式=4lg 2+3lg 5+lg 5=4lg 2+4lg 5=4.(2)原式=log2+log23·=log24+log24=2log24=4.(3)原式====.(4)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是log3645======.14.解下列关于x的方程:(1)lg=lg(x-1);(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).解:(1)原方程等价于解之得x=2.经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2.(2)原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).即log4=log4.整理得=,解之得x=7或x=0.当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.x=0满足,所以原方程的解为x=0.15.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最小值为3,求(log a5)2+log a2·log a50的值. 解:因为f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a存在最小值3,所以lg a>0,f(x)min=f(-)=4lg a-=3,即4(lg a)2-3lg a-1=0,则lg a=1,所以a=10,所以(log a5)2+log a2·log a50=(lg 5)2+lg 2·lg 50=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 2=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=lg 5+lg 2=1.16.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则-等于( A )(A)(B)3(C)-(D)-3解析:因为x=log2.51 000,y=log0.251 000,所以==log1 0002.5,同理=log1 0000.25,所以-=log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010==.故选A.17.已知log2x=log3y=log5z<0,则,,的大小排序为( A )(A)<<(B)<<(C)<<(D)<<解析:x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z<0,所以=2k-1,=3k-1,=5k-1,可得,=21-k>1,=31-k>1,=51-k>1.即1-k>0,因为函数f(x)=x1-k单调递增,所以<<.故选A.18.已知log a x=2,log b x=3,log c x=6,则log(abc)x的值为.解析:因为log a x=2,log b x=3,log c x=6,则a2=x,b3=x,c6=x,所以a=,b=,c=,所以abc==x,所以log(abc)x=log x x=1.答案:119.下列给出了x与10x的七组近似对应值:第组解析:由指数式与对数式的互化可知,10x=N⇔x=lg N,所以第一组、第三组对应值正确.又显然第六组正确,因为lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09,所以第五组对应值正确.因为lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18,所以第四组、第七组对应值正确.所以只有第二组错误.答案:二20.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(log a b+log b a)的值.解:原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0.设t=lg x,则方程化为2t2-4t+1=0,所以t1+t2=2,t1·t2=.又因为a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,所以t1=lg a,t2=lg b,即lg a+lg b=2,lg a·lg b=.所以lg(ab)·(log a b+log b a)=(lg a+lg b)·(+)=(lg a+ lg b)·=(lg a+lg b)·=2×=12,即lg(ab)·(log a b+log b a)=12.。
高一数学人教A版必修1课后强化作业：2.2.1 第2课时《对数的运算》
第二章 2.2 2.2.1 第二课时一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[点拨] 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．2．下列各式错误的是( ) ①log 101100＝－2； ②log 333＝13；③lg a ＋lg 1a ＝0(a ＞0)；④log 318－log 32＝3； ⑤log 1014－log 1025＝－2；⑥2log 510＋log 50.25＝2. A ．④ B ．⑤ C ．⑥ D ．全错[答案] A[解析] 显然①②③成立；④式左边＝log 3182＝log 39＝2≠3，故④式不成立；⑤式左边＝log 1014×25＝log 101100＝－2，⑥式左边＝log 5102＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2，故选A.3．(2013～2014晋江高一检测)已知ab ＝M (a ＞0，b ＞0，M ≠1)，log M b ＝x ，则log M a 的值为( )A ．1xB ．1＋xC ．1－xD ．x －1[答案] C[解析] log M a ＝log M Mb ＝log M M －log M b ＝1－x ，故选C.4．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48 [答案] A[解析] ∵2x ＝9，∴x ＝log 29，∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 2(9×649)＝log 264＝6，故选A.5．(2013～2014克拉玛依高一检测)若p ＝log 23·log 34，Q ＝lg2＋lg5，M ＝e 0，N ＝ln1，则正确的是( )A ．P ＝QB ．Q ＝MC ．M ＝ND ．N ＝P [答案] B[解析] P ＝log 24＝2，Q ＝lg2＋lg5＝1 M ＝1，N ＝0，∴Q ＝M ，选B.6．(2013～2014曲靖高一检测)已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( )A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．98 [答案] B[解析] x ＝log 2A ，y ＝12log A 7，∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A (2×72)＝log A 98＝2，∴A 2＝98， ∴A ＝72，故选B. 二、填空题7．(2013～2014河北孟村回民中学月考试题)化简 log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)＝________.[答案] 32[解析] log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－32]＝log 222＝log 2232＝32.8．计算lg5×lg20＋(lg2)2＝________. [答案] 1[解析] 原式＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.9．log 43·log 13432＝________.[答案] －58[解析] 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58.三、解答题10．若a ＞0且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： (1)(log a x )n ＝n log a x ； (2)(log a x )n ＝log a x n ； (3)log a x ＝－log a 1x ；(4)log a x log a y ＝log a x y ； (5)nlog a x ＝1n log a x ；(6)log a x n ＝log a n x ；(7)log a x ＝log an x n ； (8)log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y. 其中成立的有多少个．[解析] 利用对数的运算性质判断各式是否正确即可． (1)是错误的，如(log 24)3＝8≠3log 24＝6； (2)是错误的，如(log 24)3＝8≠log 243＝log 226＝6； (3)是正确的，因为－log a 1x ＝－log a x －1＝log a x ；(4)是错误的，如log 24log 22＝2≠log 242＝1；(5)同①一样，也不正确； (6)是正确的，因为log anx ＝log a x 1n＝1nlog a x ； (7)是正确的，设log a n x n ＝y ，则(a n )y ＝x n ， 即x ＝nany＝a nyn ＝a y ，所以y ＝log a x ，即log an x n ＝log a x ；(8)是正确的，因为log a x －y x ＋y ＝log a (x ＋y x －y )－1＝－log a x ＋yx －y.所以成立的有4个．[点评] 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算．11．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.[分析] 直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合． [解析](1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234. (2)原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋(lg6－lg10)＋lg2＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3(lg2＋lg3)＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1.[点评] 在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．12．已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.[分析] 本题是不同底数的对数之间的运算，解答本题可先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则求解．[解析] 解法一：log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 解法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， ∴log 3645＝log 18(9×5)log 18189＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .解法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg9＝a lg18，lg5＝b lg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg18＋b lg182lg18－a lg18＝a ＋b2－a.。
高中数学(人教A版)必修一课时作业2.2对数函数.1 第2课时 Word版含解析
第二章第二课时级基础巩固一、选择题．(·西安高一检测)设，，均为不等于的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．·＝．·＝．()＝·．(＋)＝＋．如果＝＋－，则等于( )．＋－．＋－．．[解析]＝＋－＝，∴＝，故选．．若·＝，则等于( )．．．．[解析]原式可化为：＝，∴＝，∴＝，＝，故选．．方程(－)＝(＋)的解为( )．＝－．＝－或＝．＝．＝－且＝[解析](\\((－(＝＋－>＋>))，解得＝，故．．已知[()]＝，那么－等于( )．．．．[解析][()]＝，则()＝，＝，＝，因此－＝.故选．．若，是方程－＋＝的两个根，则()的值等于( )．．．．[解析]由根与系数的关系，得＋＝，·＝，∴()＝(－)＝(＋)－·＝－×＝，故选．二、填空题．化简(＋＋)＋(＋－)＝[解析](＋＋)＋(＋－)＝[(＋)－]＝＝＝.．若－＝，则()－()＝[解析]∵－＝，∴()－()＝(－)＝(－)＝.三、解答题．计算：()()＋＋－；()＋＋·＋()；()[解析]()()＋＋－＝()＋＋×－＝＋＋＝.()原式＝＋＋·(×)＋()＝＋＋(－)(＋)＋()＝(×)＋－()＋()＝.()＝ ＝＝＝＝＝＝.．计算：(＋＋＋…＋)×[解析]原式＝(＋＋＋…＋)×＝(＋＋＋…＋)×＝×××＝.级素养提升一、选择题．若＝，则＋－的值为( )．．．．[解析]由＝得＝，所以＋－＝＋＝，故选．．＋的值为( )．－．－． ．[解析]＋＝＋＝(＋)＝＝，故选． ．已知＝，＝，＝，则的值为( )．－．． ． [解析]∵＝－－＝×－－＝－.∴＝－，∴＝.故选．．已知方程＋＋＝的两个实数根为α、β，则()α·()β等于( )．．．－．[解析]由题意知：α＋β＝－，()α·()β＝()α＋β＝()－＝＝＝，故选．二、填空题 －＝－)＋－(．[解析]＋－()－＝＋－＝－. ．若＝，＝，＝，则()＝[解析]∵＝＝，∴＝.同理＝，＝.∴＝＝＝. 三、解答题．(·沈阳高一检测)已知＝＝，且＋＝，求的值[解析]由＝＝得，＝，＝，所以＝，＝，又＋＝，所以＋＝，即＝，＝.。
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课件 新人教A版必修1 (2)
解：(1)方法一：
原式＝12(lg
25－lg
72)－43lg
3
22
＋lg(72×5)
1 2
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12(lg 2＋lg 5)＝12.
方法二：
原式＝lg472－lg 4＋lg 7 5
第二章 基本初等函数 第2课时 对数的运算
1．理解并掌握对数恒等式的推导与应用．(难点、易错点) 2．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行 对数的有关运算．(重点) 3．掌握换底公式，能用换底公式将一般对数化成自然对 数或常用对数．(难点)
1．对数恒等式 alogaN＝__N_.(a＞0，且a≠1) 2．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
1．求值： (1)10lg 2＝________. (2)31＋log3 4＝________. (3)22log25－1＝________. (4)13log34－2＝________.
解析：(1)10lg 2＝2.
(2)31＋log3 4＝3×3 log3 4＝3×4＝12.
(3)22log25－1＝2lo2g 252＝522＝225.
3．对数运算性质的两个注意点 (1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数 为正”，即 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一 定成立，如 log3－ －83≠log3(－8)－log3(－3)． (2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： ①logaM＋logaN＝loga(MN)(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，如 lg 2＋l公式：
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则． 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处 理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于 真数化简的原则进行． (2)两种常用方法． ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
高中数学 2.2.2对数与对数运算(二)练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
【金版学案】2015-2016高中数学 对数与对数运算（二）练习 新人教A 版必修1 基础梳理1．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 例如：①lg (3×5)＝______；②lg 5＋lg 2＝______；③ln e 2＝______.2．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同．(2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的．(4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .3．对数的换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝________，其中a ＞0，且a ≠1.4．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式．例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c b log c a.5．设a ，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b .例如：①log 23·log 32＝____；②log 89＝________ .基础梳理1．①lg 3＋lg 5 ②1 ③2 3.log a 5log a 34．证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x ，于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b ，∴x ＝log c b log c a ，∴log a b ＝log c b log c a. 5．证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1. (2)log am b n ＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n mlog a b . 答案：1 23log 23 ,思考应用1．log a (M ＋N )＝log a (MN )对吗？1．错2．log a (M －N )＝log a M N 对吗？2错 自测自评1．若a >0，a ≠1，x >y >0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．设9a ＝45，log 95＝b ，则( )A ．a ＝b ＋9B ．a －b ＝1C ．a ＝9bD ．a ÷b ＝13．求值：log 274log 32＝____. 1．解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．故选A.答案：A2．解析：由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1，故选B. 答案：B3．解析：log 274log 32＝lg 4lg 27lg 2lg 3＝2lg 23lg 3lg 2lg 3＝23. 答案：23►基础达标1．lg a 与lg b 互为相反数，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝1 D.a b＝11．C2．在log (a －2)2中，a 的取值X 围是____________．2.(2，3)∪(3，＋∞)3．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝____.3.814．化简12log 612－2log 62的结果为( ) A ．6 2 B ．12 2C ．log 6 3 D.124．解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.故选C.答案：C5．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 5．解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 答案：D6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a6．解析：log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝ b ＋2a 1－a. 答案：C►巩固提高7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( )A ．4B ．1C ．6D ．37．B8．(2014·某某卷)已知a ＝2－13，b ＝log 2，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．解析：0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜0，a ＝log 1213＝log 23＞1，所以c ＞a ＞b ，故选C.答案：C9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.9．解析：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.10．求值：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．10．解析：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38 ＝32log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32 ＝34＋12＝54.1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法．3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来．4．有时需将对数式log a 5log a 3写成log 35后解决有关问题．。
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课时作业(含解析)新
课时作业(十六) 对数的运算[学业水平层次]一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A．－3 B．－1 C．1 D．3【解析】lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg53＝lg 1 000＝3.【答案】 D2．(2014·广西桂林中学段考)log35－log315＝( )A．－1 B．1 C．0 D．log3(－10)【解析】log35－log315＝log3515＝log313＝－1.【答案】 A3．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( )A．log310 B．lg 3 C．103 D．310【解析】解法一：令10x＝t，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.解法二：令10x＝3，则x＝lg 3，12 ∴f (3)＝lg 3.【答案】 B4．(2014·泰安高一检测)2log 32－log 3329＋log 38的值为( )A.12 B ．2 C ．3 D.13【解析】 原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.【答案】 B二、填空题5．(2014·安徽高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278.【答案】 2786．(2014·陕西高考)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【解析】 4a ＝2，a ＝12，lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.【答案】 1037．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________．【解析】 ∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋1)－3log 32＝2－log 32＝2－a .【答案】 2－a三、解答题8．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. (2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2－1）2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.9．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 【解】 由3x ＝4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，4 ∴1x ＝1log 336＝log 363，1y ＝1log 436＝log 364.∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.[能力提升层次]1．(2014·河北衡水中学期末)已知a ，b (a ＞b )是方程log 3x 3＋log 27(3x )＝－43的两个根，则a ＋b ＝()A.1027B.481C.1081D.2881【解析】 设log 3x 3＝t ，则t ＋13t ＝－43，∴t 1＝－1，t 2＝－13，∴a ＝19，b ＝181，∴a ＋b ＝1081.故选C.【答案】 C2．(2014·蚌埠高一检测)计算log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72的值为( ) A ．－14 B ．4 C ．－154 D.154【解析】 原式＝log 33343＋lg(25×4)＋25 ＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.【答案】 D3．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解为________．【解析】 由lg x ＋lg(x ＋3)＝1，得lg []x （x ＋3）＝1.∴x (x ＋3)＝10，即x 2＋3x －10＝0.解得x ＝－5或x ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋3＞0，得x ＞0.∴原方程的解为x ＝2.【答案】 x ＝24．若a ，b ，c ∈N *，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b 的值；(2)若log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．6 【解】 (1)∵a 2＋b 2＝c 2，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b＝log 2（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）ab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab＝log 22ab ab ＝1.(2)∵log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，∴a ＋b ＋c a ＝4，即3a －b －c ＝0，①∵log 8(a ＋b －c )＝23，∴a ＋b －c ＝4②∵a 2＋b 2＝c 2③且a ，b ，c ∈N *，∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.。
2.2.1对数与对数的运算第2课时[精选文档]
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即证得 logaMn nlogaM(n R) (3)
对公式容易错误记忆：
loga (MN ) loga M loga N,
log a (M N ) log a M log a N
例3 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) loga 3 z
M
loga N logaM logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
log a
N
log c log c
N a
(4)
loga b logb a 1
（5）
log am
Nn
n m loga N
（6）
(3 5 15
1) 3
log5 1
log3 31
0 1
重要公式1:
换底公式
log a
N
log c N log c a
(其中a, c (0,1) (1,), N
0)
证明：设 log a N p 则：N a p ,
logc N logc a p,
logc N p logc a,
p logc N logc a
log a
N
log c N log c a
log a
b
log b log b
b a
log a
b
1 log b
a
还可以变形为： log a b logb a 1
重要公式3:
log am
Nn
n m
log a
N
公式中条件： a, c (0,1) (1,), N 0
高中数学 课时作业26 2.2.1.2 对数与对数运算(第2课时)新人教A版必修1
课时作业(二十六) 2.2.1.2 对数与对数运算（第2课时）1.log 35－log 345＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2答案 D2.若lgx ＝lga ＋2lgb －3lgc ，则x ＝( ) A.a ＋2b －3c B.2ab 3cC.ab 2c 3 D.ab 2－c 3答案 C3.当a>0，a ≠1时，下列说法正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A.①与② B.②与④ C.② D.①②③④答案 C4.lg(100x)比lg x100大( )A.200B.104C.4D.1104 答案 C5.已知|lga|＝lgb(a>0，b>0)，那么( ) A.a ＝b B.a ＝b 或ab ＝1 C.a ＝±b D.ab ＝1答案 B6.已知2log 6x ＝1－log 63，则x 的值是( ) A. 3 B. 2 C.2或－ 2 D.3或 2答案 B7.设方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1·x 2的值为( ) A.lg2·lg3B.lg2＋lg3C.16D.－6答案 C解析 设lgx ＝t ，则t 2＋(lg2＋lg3)t ＋lg2lg3＝0.据⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝lgx 1，t 2＝lgx 2，又t 1＋t 2＝－lg2－lg3＝lgx 1＋lgx 2，∴x 1x 2＝16.8.已知log 32＝a ，log 35＝b ，则log 310等于( ) A.a ＋b B.a －b C.ab D.a b答案 A解析 log 310＝log 3(2×5)＝log 32＋log 35.9.已知lga ＝2.431 0，lgb ＝1.431 0，则ba 等于( )A.1100B.110C.10D.100答案 B解析 b a ＝101.431102.431＝10－1＝110，故选B.10.已知2x＝3，log 25＝y ，则x ＋y 等于( ) A.log 215 B.log 253C.log 235D.log 310答案 A解析 由已知x ＝log 23，x ＋y ＝log 23＋log 25＝log 215. 11.log 2322－log 22＝________. 答案 5解析 原式＝log 23222＝log 232＝5.12.(1)2log 510＋log 50.25＝________. 答案 2(2)log 2149＋log 213－log 217＝________. 答案 1解析 原式＝log 2149×37＝1.(3)lg75－lg5－lg3＋lg2＝________. 答案 1解析 原式＝lg 75×25×3＝1.13.求值：lg2.5－lg 58＋lg 12＝________.答案 lg214.(1)若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg 23＝________.答案 a －b解析 原式＝lg2－lg3＝a －b.(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝______.答案234解析 原式＝(12)2＋log 0.250.25＋9log 5512－0＝14＋1＋92＝234.15.若ln x －ln y ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于________.答案 3a 16.计算.(1)lg 37＋lg70－lg3；(2)lg 22＋lg5lg20－1；(3)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.答案 (1)1 (2)0 (3)3解析 (3)原式＝2(lg5＋lg2)＋lg5(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 17.若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A.2B.12C.4D.14答案 A解析 ∵lga ＋lgb ＝2，lga ·lgb ＝12，∴(lg a b )2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga ·lgb ＝2.►重点班·选做题18.已知log a 2＝m ，log a 3＝n. (1)求a2m －n的值； (2)求log a 18.解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3. ∴a2m －n＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n.log 618＋2log 62的结果是( ) A.－2 B.2 C. 2 D.log 62答案 B解析 原式＝log 618＋log 62＝log 636＝2.。
高中数学 第二章 基本初等函数 2.2.1 对数与对数运算(第2课时)对数的运算性质课时作业(含解析
第2课时 对数的运算性质A 级 基础巩固一、选择题 1.log 29log 23＝( B ) A ．12 B ．2 C ．32D ．92[解析] 原式＝log 232log 23＝2log 23log 23＝2.2．lg8＋3lg5的值为( D ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3[解析] 原式＝lg8＋lg53＝lg8＋lg125＝lg1000＝lg103＝3. 3．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( D ) A ．2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋b C ．2a ＋b 2－a ＋bD ．2a ＋b 1－a ＋b[解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋1－lg2＝2a ＋b 1－a ＋b .4．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( A )A ．3B ．8C ．4D ．log 48[解析]x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A ．5．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( D ) A ．3B ．9C ．18D ．27[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27，故选D ． 6．已知2a ＝5b＝M ，且2a ＋1b＝2，则M 的值是( B )A ．20B ．2 5C ．±2 5D ．400[解析]∵2a ＝5b＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg M lg2，b ＝log 5M ＝lg M lg5， ∴1a ＝lg2lg M ， 1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20， ∴M 2＝20， ∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题7．(2019·某某某某高一期末测试)计算：34×819 ＋log 23×log 38＝__5__.[解析] 原式＝223 ×213 ＋log 23×log 323＝2＋lg3lg2×lg23lg3＝2＋lg3lg2×3lg2lg3＝2＋3＝5.8．化简log 2(2＋3)＋log 2(2－3)＝__0__. [解析] log 2(2＋3)＋log 2(2－3) ＝log 2[(2＋3)·(2－3)]＝log 21＝0. 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)(2019·某某河西区高一期末测试)log 327＋lg25＋lg4－7log 73－27－23 ；(2)(2019·某某某某市高一期中测试)21＋log 23－log 1264＋lg0.01＋ln e.[解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg(25×4)－7log 72－(33) －23 ＝32＋lg100－2－3－2 ＝32＋2－2－19 ＝32－19＝2518. (2)原式＝2×2log 23－log 2－126＋lg10－2＋lne 12 ＝2×3＋6－2＋12＝212.B 级 素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x＋4－x的值为( B ) A ．83 B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x＝3＋13＝103，故选B ．2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A ． 3．log 2716log 34＝( D )A ．2B ．32C ．1D ．23[解析] 由公式log an b m＝mnlog a b ，得 原式＝log 3342log 34＝23log 34log 34＝23.4．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则lg(ab )·(lg a b)2＝( B ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝2lg a ·lg b ＝12，∴lg(ab )·(lg ab)2＝(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ] ＝2(4－4×12)＝4.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝__1__. [解析]∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.三、解答题7．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a2m －n的值；(2)求log a 18.[解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ， 所以a m ＝2，a n＝3. 所以a2m －n＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n . 8．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析] (1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234. (2)原式＝lg25＋lg823 ＋lg 102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.9．(2019·北师大附中高一期中测试)计算下列各式的值： (1)2log 32－lg 3329＋log 38－log 553；(2)4log 23＋log 128－lg 516＋lg25－lg(12)－3－ln e 3.[解析] (1)原式＝log 34－log 3329＋log 38－3＝log 3(4×932×8)－3＝log 39－3＝log 332－3＝2－3＝－1. (2)原式＝4log 49＋log 2－123－lg 516＋lg25－lg8－lne 32＝9－3＋lg25－(lg 516＋lg8)－32＝92＋lg25－lg(516×8) ＝92＋lg25－lg 52 ＝92＋lg(25×25) ＝92＋lg10＝92＋1＝112.。
2015-2016学年高一数学人教A版必修一精品教案：2.2.1对数的运算性质 Word版含答案
课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：一、引入课题1． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ；2． 对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ；二、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a(log ·)N ． （学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．3． 换底公式ab bc c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）；○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =． 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．4． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含答案
第2课时 对数的运算 学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点)．预习教材P64－P65，完成下面问题：知识点1 对数的运算性质 若a >0且a ≠1，M >0，N >0，则有：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )提示 (1)√ 根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)× 根据对数的运算性质可知log a (xy )＝log a x ＋log a y ；(3)× 公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数．知识点2 换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 【预习评价】(1)log 35·log 56·log 69＝________.(2)若log 34×log 48×log 8m ＝log 416，则m ＝________.解析 (1)原式＝lg 5lg 3·lg 6lg 5·lg 9lg 6＝lg 9lg 3＝2lg 3lg 3＝2. (2)原方程可化为lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9. 答案 (1)2 (2)9题型一 利用对数的运算性质化简、求值【例1】 计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【训练1】 计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27. 解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12 lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 (1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. (2)已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值．(1)解析 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54. 答案 54 (2)解 法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a . 规律方法 利用换底公式化简与求值的思路【训练2】 (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．解 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ， ∴lg 2＝3－a 2alg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . (2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 题型三 利用对数式与指数式的互化解题【例3】 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值； (2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z＝1，求x ，y ，z . 解 (1)法一 由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b＝log 364， ∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 法二 由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得a log 63＝b log 64＝log 636＝2，∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 5， 由1x ＋1y ＋1z＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．【训练3】 已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b＝2，则M ＝________. 解析 由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ，故1a ＋1b＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.答案 15课堂达标1．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5 解析 lg2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A ． 答案 A 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析 原式＝log 323－2log 32－2log 33＝log 32－2＝a －2.答案 A3．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案 814．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________. 解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg 10＝1. 答案 15．求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2. 解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32(lg 2＋lg 3)＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. 课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．。
高中数学Ⅰ2.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算课时作业新人教A版必修1
第二课时对数的运算选题明细表基础巩固1.下列各式中:①log a(b2-c2)=2log a b-2log a c;②(log a3)2=2log a3;③=lg 5;④log a x2=2log a|x|.正确的个数是( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对于①,log a(b2-c2)=2log a b-2log a c不满足对数的运算法则,故不正确;对于②,因为2log a3=log a9,所以(log a3)2=2log a3不正确;对于③,=log315≠lg 5,故不正确;对于④,log a x2=2log a|x|满足对数的运算法则,故正确.故正确的个数为1,故选B.2.log225·log32·log59等于( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:log225·log32·log59=··=··=2××2=6.3.(2018·北京西城期末)若log2a+lob=2,则有( C )(A)a=2b (B)b=2a(C)a=4b (D)b=4a解析:因为log2a+lob=log2a-log2b=2,所以log2=2,所以=4,所以a=4b.4.设a=log23,则log612可表示为( B )(A) (B)(C) (D)解析:因为a=log23,所以log612===.故选B.5.已知x2+y2=1,x>0,y>0,且log a(1+x)=m,log a=n,则log a y等于( B )(A)(m+n) (B)(m-n)(C)m+n (D)mn解析:因为log a=n,所以log a(1-x)=-n,所以log a(1+x)+log a(1-x)=m-n,所以log a(1-x2)=m-n,因为x2+y2=1,所以1-x2=y2,所以log a y2=m-n,所以log a y=.6.(2018·辽宁大石桥期末)已知a=log29,b=log25,则log275用a,b表示为( C )(A)2a+2b (B)2a+b(C)a+2b (D)(a+b)c解析:因为log29=a,所以log23=,所以log275=log2(3×25)=log23+2log25=+2b.7.(2018·河南洛阳期中)计算:(lg -lg 25)÷10+=.解析:原式=-(lg 4+lg 25)÷+7×=-2×10+7×2=-6.答案:-68.计算:log43·log92-lo= .解析:log43·log92-lo=·-=log23·log32+log22=+=.答案:9.计算:(1)(2019·山东烟台高一上期中)(lg 5)2+lg 5·lg 20+;(2)(2019·湖南岳阳一中高一上期中)log525+lg +ln ++ log23·log98.解:(1)原式=(lg 5)2+lg 5·lg 20+=(lg 5)2+lg 5·lg 20+lg 4=lg 5(lg 5+lg 20)+2lg 2=2lg 5+2lg 2=2.(2)原式=log552+lg 10-2+ln +3+log23·lo23=2-2++3+×=.能力提升10.(2018·四川雅安中学期中)如果方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,那么x1x2的值为( C )(A)lg 2lg 3 (B)lg 2+lg 3(C) (D)-6解析:由题意可知,lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6,即lg x1x2=lg ,故x1x2=.11.方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1)的解集为.解析:原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1),即log4=log4.整理得=,解得x=7或x=0.当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.x=0满足,所以原方程的解为x=0.答案:{0}12.已知f(x)=ln(-3x),则f(lg )+f(lg 2)= .解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln 1=0,所以f(lg )+f(lg 2)=f(-lg 2)+f(lg 2)=0.答案:013.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2) -2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.解:由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,2lg a-lg(c2-b2)=0,lg=0,=1,a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.探究创新14.下列给出了x与10x的七组近似对应值:假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第组. 解析:由指数式与对数式的互化可知,10x=N⇔x=lg N,将已知表格转化为下表:因为lg 2+lg 5=0.301 03+0.698 97=1,所以第一组、第三组对应值正确,又显然第六组正确,因为lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09,所以第五组对应值正确,因为lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18,所以第四组、第七组对应值正确,所以只有第二组错误.答案:二。
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算 新人教A版必修1
C．2
D．4
【解析】 log29·log34＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
【答案】 D
4.lloogg2293＝________． 【解析】 lloogg2293＝log39＝log332＝2. 【答案】 2
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问 题记录在下面的表格中
自 主 学 习
易
误
• 第2课时 对数的运算
警 示
· 基 础 知 识
• [学习目标]
·
规
范
1. 理 解 对 数 的 运 算 性
指 导
质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数
合
作 探
转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运 课
究
时
· 重
用运算性质进行一些简单的化简与证明(易
作 业
难
疑 点
混点)．
• 一、对数的运算性质
方法
2：因为
log189＝a，即lg
2lg 3 2＋2lg
3＝a，
所以 lg 2＝2（1－aa）lg 3，
又
18b＝5，即
b＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3， 所以 log3645＝2llgg52＋＋22llgg33＝4（12a－ ab＋a）2 ＋2＝a2＋ －ba.
• logab＝______(a＞0，且a≠1；c＞0， 且c≠1，b＞0)． 1
• 特别地：logab·log＝__(a＞0，a≠1，b＞0， b≠1)．
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)积 、商的对数可以化为对数的和 、
差• (4(．)2由)(l换og底a(公x)式y)可＝得lolgogaaxb·＝lollooggga（（y－－.22(））ba.(
高中数学 2.2.1 第2课时 对数的运算课时作业 新人教A版必修1
第2课时对数的运算课时目标1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；(2)log a M N ＝____________________；(3)log a M n＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B ．(log a x )n＝n log a x C.log a x n＝log a nxD.log a xlog a y＝log a x －log a y2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.1254．已知3a ＝5b＝A ，若1a ＋1b＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32b －1C.3a 2b ＋1D.3a －12b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b＋log b a)的值．能力提升12．下列给出了x 与10x的七组近似对应值：A ．二B ．四C ．五D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.]3．D [由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.]4．B [∵3a ＝5b＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a .∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a2b ＋1.]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12.于是(lg a b)2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.]7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3, 136b＝4， 所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b)＝(lg a ＋lg b )·lg b 2＋lg a2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·lg a ＋lg b 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x＝N ⇔x ＝lg N ，组号 一 二 三 四 五 六 七 N 2 3 5 6 8 10 12 lg N 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．]13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。
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活页作业(十九) 对数的运算
1．log 39
100＋2log 310＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：原式＝log 39
100＋log 3100＝log 39＝2.
答案：C
2．已知log 32＝a,3b
＝5，则log 330用a ，b 表示为( ) A.1
2(a ＋b ＋1) B ．1
2(a ＋b )＋1 C.1
3
(a ＋b ＋1) D ．.a
2
＋b ＋1
解析：由3b
＝5得，b ＝log 35，而log 330＝12(log 310＋1)＝12(log 35＋log 32＋1)＝12(a
＋b ＋1)，故选A.
答案：A
3．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.1
2 B ．9 C ．18
D ．27
解析：由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 416＝log 442
＝2.
∴
lg m
lg 3
＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. ∴m ＝9.故选B. 答案：B
4．定义新运算“&”与“*”：x &y ＝x y －1
，x *y ＝log (x －1)y ，则函数f (x )＝ x &3 ＋1
3*2
x
是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
解析：因为f (x )＝ x &3 ＋1
3*2
x
＝x 3－1＋1log 3－1 2x ＝x 2＋1
log 22x ＝x 2＋1
x
(x ≠0)， 且f (－x )＝ －x 2
＋1－x ＝－x 2
＋1x ＝－f (x )，
所以f (x )为奇函数．故选A. 答案：A
5.计算：＝______.
解析：.
答案：－4
6．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)＝________. 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 8lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫lg 2lg 3＋3lg 22lg 3
＝
5lg 36lg 2·5lg 22lg 3＝25
12
. 答案：2512
7．求值：(1)15⎝ ⎛
⎭⎪⎫lg 32＋log 4 16＋6lg 12＋15lg 15.
(2)(lg 2)2
＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解：(1)原式＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 32＋2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋15lg 1
5
＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×164×15 ＝15⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋lg 110
＝
1
5
[]2＋()－1 ＝15
. (2)∵lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1. ∴原式＝(lg 2)2
＋lg 2·lg(2×52
)＋lg 52
＝(lg 2)2
＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2lg 5 ＝(lg 2)2
＋(lg 2)2
＋2lg 2·lg 5＋2lg 5 ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5 ＝2lg 2·(lg 2 ＋lg 5)＋2lg 5 ＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
8．已知2x
＝3，log 4 83＝y ，则x ＋2y 等于( )
A ．3
B ．8
C ．4
D ．log 48
解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23. 又log 4 8
3＝y ，
∴x ＋2y ＝log 23＋2log 48
3
＝log 23＋2(log 4 8－log 43) ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A. 答案：A
9．已知f (x )＝kx ＋6x －4(k ∈R )，f (lg 2)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝________. 解析：f (lg 2)＝k lg 2＋
6
lg 2
－4＝0， ∴k ＝4－
6lg 2lg 2＝4lg 2－6
lg 2·lg 2
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫l
g 12
＝4lg 2－6lg 2·lg 2
·(－lg 2)－6lg 2－4＝－8.
答案：－8
10．若a ，b ，c ∈N *
，且满足a 2
＋b 2
＝c 2
，
(1)求log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋a －c b 的值．
(2)若log 4⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
b ＋
c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝2
3
，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵a 2
＋b 2
＝c 2
， ∴log 2⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋
b ＋
c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b
＝log 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋
b ＋
c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝log 2 a ＋b ＋c a ＋b －c ab
＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab ＝log 22ab ab
＝1.
(2)∵log 4⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋b ＋c a ＝1， ∴
a ＋
b ＋c
a
＝4.即3a －b －c ＝0 ①
∵log 8(a ＋b －c )＝2
3，
∴a ＋b －c ＝4 ② ∵a 2
＋b 2
＝c
2
③
且a ，b ，c ∈N *
，
∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.
11．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，并且关于x 的二次方程x 2
－2x ＋lg(c 2
－b 2
)－2lg a ＋1＝0有等根，试判断△ABC 的形状．
解：由题意知Δ＝0，
即(－2)2
－4[lg(c 2
－b 2
)－2lg a ＋1]＝0 ⇒2lg a －lg(c 2
－b 2
)＝0
⇒lg a 2
c 2－b 2
＝0
⇒
a 2
c 2－b 2
＝1
⇒a 2
＋b 2
＝c 2
⇒△ABC 是直角三角形．
12．已知100m
＝5,10n
＝2. (1)求2m ＋n 的值；
(2)x1、x2、…、x10均为正实数，若函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)，且f(x1·x2·…·x10)＝2m＋n，求f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x210)的值．
解：(1) 方法一：∵100m＝102m＝5，
∴102m·10n＝102m＋n＝10，
∴2m＋n＝1.
方法二：∵100m＝5，
∴2m＝lg 5
∵10n＝2，
∴n＝lg 2，
∴2m＋n＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
(2)由对数的运算性质知
log a(x1·x2·…·x10)＝log a x1＋log a x2＋…＋log a x10，
log a x2＝2log a x且由(1)知2m＋n＝1，
∴f(x1x2…x10)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)＝1，
∴f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x210)
＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)]
＝2×1＝2.
1．使用对数恒等式应注意的三项：
对于对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
2．对数的运算性质及应用：
(1)能用语言准确叙述对数的运算性质．
log a(M·N)＝log a M＋log a N→积的对数等于对数的和．
log a M
N
＝log a M－log a N→商的对数等于对数的差．
log a M n＝n log a M(n∈R)→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(3)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
3．利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．。