曲率及讲义其计算公式00517
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曲率及其计算公式
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
曲率定义以及计算
曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得
| 2a | K 2 ]3 2 [1 (2ax b) 显然 当2axb0时曲率最大 曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧sDs 在点N处切线的倾 角为D 平均曲率： 记 K D 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 Ds 曲率： D 记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds
曲率：
记 K lim
D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan y 所以 sec 2dydx
§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关 怎样 度量曲线的弯曲程度？
一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向
讨论： 1 直线yax参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何 计算？
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示： 1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0
曲率及其计算公式
2
从而，有
a a a a a ．
K da ． ds
| y | K 2 3 2 ( 1 y )
| y | K 2 3 2 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． ( 1 y )
1 由 y ， 得 x 1 2 y ， y ． 2 3 x x 因此，y|x11，y|x12．
2
2
2 2 ( M D x ) ( D y ) M | |M M M M 2 2 | M M | ( D x ) | M M | x ) (D
2
2
2
(
(
2 D y M M 1 | D x M | M
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | |y K 0 . 2 32 ) ( 1 y x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
| y | 2 2 1 K ． 0．8． 2 2 3 2 3 2 2 ( 1 y ) ( 1 ( 1 ) ) 2
一弧微分二曲率及其计算公式三曲率圆与曲率半径有向弧段的值弧微分公式曲率曲率的计算公式曲率圆曲率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ径的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段的方向与曲线的正向一致时的增量dxds于是下面来求xdxdxdy因为因此由于是单调增加函数从而于是dsdxdsdxdsdxds观察曲线的弯曲线程度与切线的关系
从而，有
a a a a a ．
K da ． ds
| y | K 2 3 2 ( 1 y )
| y | K 2 3 2 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． ( 1 y )
1 由 y ， 得 x 1 2 y ， y ． 2 3 x x 因此，y|x11，y|x12．
2
2
2 2 ( M D x ) ( D y ) M | |M M M M 2 2 | M M | ( D x ) | M M | x ) (D
2
2
2
(
(
2 D y M M 1 | D x M | M
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | |y K 0 . 2 32 ) ( 1 y x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
| y | 2 2 1 K ． 0．8． 2 2 3 2 3 2 2 ( 1 y ) ( 1 ( 1 ) ) 2
一弧微分二曲率及其计算公式三曲率圆与曲率半径有向弧段的值弧微分公式曲率曲率的计算公式曲率圆曲率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ径的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段的方向与曲线的正向一致时的增量dxds于是下面来求xdxdxdy因为因此由于是单调增加函数从而于是dsdxdsdxdsdxds观察曲线的弯曲线程度与切线的关系
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
曲率及其计算公式
有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数． 因为tan a y ，所以
da y y da sec a y， ， 2 2 dx dx 1 tan a 1 y y 于是 da dx．又知 ds 1 y 2 dx． 1 y2
2
Ds MM Dx | MM |
(
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM | Dx | MM
2
Dy 2 1 Dx
2
从而，有
| y | K ． 2 32 (1 y )
| y | K 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． (1 y 2 ) 3 2
解
1 由y ，得 x
x 因此，y|x11，y|x12．
y
1
2
，y
2 x
3
．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
M0
曲率及其曲率半径的计算
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率及其曲率半径的计算讲解
于是
da
y
1 y2
dx．又知 ds
1 y2 dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
|
j(t) (t) j(t) [j2 (t) 2 (t)]3
(t)
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0a ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
曲率计算公式推导过程
曲率计算公式推导过程
曲率k=y''/[(1+(y')^2)^(3/2)]，其中y', y"分别为函数y对x的一阶和二阶导数(函数形式)。
曲率计算公式的推导过程如下：
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
扩展资料：
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。
因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。
曲率及其计算公式(精)
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
Байду номын сангаас
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
曲率公式_??????
未知驱动探索，专注成就专业
曲率公式
曲率公式是一种用于计算曲线的曲率的公式。
曲线的曲率
描述了曲线的弯曲程度。
曲率公式的一种常见形式是:
曲率(k) = |(dy/dx'') / (1+(dy/dx)^2)^(3/2)|
其中，dy/dx表示曲线在某一点处的斜率（即变化率），
dy/dx''表示曲线在这一点处的二阶导数（即曲率）。
以参
数方程表示的曲线，可以通过将x和y分别表示为参数t的函数来计算曲率。
曲率公式可以帮助我们衡量曲线的弯曲程度，从而在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以判断曲线的凸、凹性，找到曲线的高低点，以及
解决各种与曲线相关的问题。
1。
《曲率及其计算公式》PPT课件
4
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。
曲率的公式
曲率的公式
曲率分为数学曲率和物理曲率两大类。
数学曲率是指物体在物理坐标系上表示时所采用的曲率，它舍弃了物质特质，只考虑坐标系中的物体形状。
物理曲率描述物质在其他条件相同的情况下，物理空间中物体形状。
数学曲率和物理曲率之间有着密切的联系，例如，在物体空间中拥有相同的曲率的物体（椭圆体或球体），它们的数学曲率也是相等的。
物理曲率的计算公式是把形状和物理特性结合起来表示的：物体的物理曲率R为曲率半径的负值：R=−1／K，其中K为物体的曲率，又称为弧长所占的角度。
弧长所占的角度可以通过下面公式求得：Δφ＝s／R，而s则表示曲线上两点之间的弧长，故可以得出物理曲率公式：R＝−s／Δφ，当Δφ趋近于0时，R趋近于负无穷大，表明表面形状越来越接近直线。
总之，求物理曲率的公式是R＝−s／Δφ，其中K为曲率半径，s为曲线上两点之间的弧长，Δφ表示弧长所占的角度。
物理曲率的计算方法主要考虑物质在空间中的形状和物质特性，它与数学曲率有着千丝万缕的联系。
曲率概念附计算公式
因为:1
■"-r 'Ax 令二;一〕，同时用1代替二
曲率的概念及计算公式
概念
来源：为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率’厶，这个定义描述了 AB 曲线上的平均弯曲程度。
其中-「表示曲 线段AB 上切线变化的角度，-为AB 弧长。
计算公式的推导：
由于’ 丄，所以要推导「•与ds 的表示法，ds 称为曲线弧长的微分
MN\
具体表示； 仁y 叮⑴时，矗二±』1+丁%）必
2、 ◎厂加）时，d 汁士厶阳石西%
3、 彳=时，亦二±//（龙+孑（为刖（令厂內開肉厂"in 竹
再推导；，因为U ，所以mW ，两边对x 求导，得八 -'T' ， d^= ‘卩 dx
推出'0
即为曲率的计算公式
曲率半径:
般称.'为曲线在某一点的曲率半径
几何意义为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以P为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。
曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
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y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率及其计算公式00517
精品jin
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
K | y | ( 1 y 2 ) 3 2
解 由y 1 ，得
x
y 1 ， y 2 ．
x 2 x 3
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K |y | 2 1 2 ． ( 1 y 2 ) 3 2( 1 ( 1 ) 2 ) 3 2 2 2
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
Dx0 | MM | MM| MM |
Dx0Dx
因此
ds
dx
1y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds 1y2 ． dx
于是 ds 1y2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
y
r 三、曲率圆与曲率半径
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K(1| yy2|)32 0.
2．若曲线由参数方程
x
y
j (t) (t)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K|j[(jt) 2(t()t ) j2((tt)) 3]2(t)| ．
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率及其计算公式00517
精品jin
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
K | y | ( 1 y 2 ) 3 2
解 由y 1 ，得
x
y 1 ， y 2 ．
x 2 x 3
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K |y | 2 1 2 ． ( 1 y 2 ) 3 2( 1 ( 1 ) 2 ) 3 2 2 2
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
Dx0 | MM | MM| MM |
Dx0Dx
因此
ds
dx
1y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds 1y2 ． dx
于是 ds 1y2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
y
r 三、曲率圆与曲率半径
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K(1| yy2|)32 0.
2．若曲线由参数方程
x
y
j (t) (t)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K|j[(jt) 2(t()t ) j2((tt)) 3]2(t)| ．