曲率及讲义其计算公式00517
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曲率及其计算公式00517
精品jin
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
K | y | ( 1 y 2 ) 3 2
解 由y 1 ，得
x
y 1 ， y 2 ．
x 2 x 3
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K |y | 2 1 2 ． ( 1 y 2 ) 3 2( 1 ( 1 ) 2 ) 3 2 2 2
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K(1| yy2|)32 0.
2．若曲线由参数方程
x
y
j (t) (t)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K|j[(jt) 2(t()t ) j2((tt)) 3]2(t)| ．
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
y
r 三、曲率圆与曲率半径
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
Dx0 | MM | MM| MM |
Dx0Dx
因此
ds
dx
1y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds 1y2 ． dx
于是 ds 1y2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
精品jin
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
K | y | ( 1 y 2 ) 3 2
解 由y 1 ，得
x
y 1 ， y 2 ．
x 2 x 3
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K |y | 2 1 2 ． ( 1 y 2 ) 3 2( 1 ( 1 ) 2 ) 3 2 2 2
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K(1| yy2|)32 0.
2．若曲线由参数方程
x
y
j (t) (t)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K|j[(jt) 2(t()t ) j2((tt)) 3]2(t)| ．
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
y
r 三、曲率圆与曲率半径
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
Dx0 | MM | MM| MM |
Dx0Dx
因此
ds
dx
1y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds 1y2 ． dx
于是 ds 1y2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：