必修一全部知识点与典型例题

一集合的含义1．集合的中元素的三个特性：元素确定性元素的互异性元素的无序性2.集合的表示：{ … }集合的表示方法1）列举法：{a,b,c……}2）描述法： {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:3．集合的分类：有限集无限集空集4．常见集合表示R实数集 Q有理数集 N自然数集 Z整数集 N*正整数集 C复数集二集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集。

A A②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊆/B或B⊇/A③如果 A B, B C ,那么 A C④如果A B 同时 B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B，即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B，即AB ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作ACS，CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示A B图1A B图2性质A A=A A Φ=ΦA B=B A A B⊆AA B⊆BA A=A A Φ=AA B=B A A B⊇ＡA B⊇B(CuA) (CuB)= Cu(A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=U A (CuA)=Φ．SA一.函数.1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

（象与原象P36）注意:对映射定义的理解。

判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域(注意区间表示方法)二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数四．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()f x f x-=，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x∈A，都有()()f x f x-=-，则称y=f(x)为奇函数。

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x+-=奇函数()()0f x f x--=偶函数3.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]4．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1．证明函数单调性的方法：（Ⅰ）. 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（Ⅱ）用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则⇔∈≥)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为增函数； ⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数。

2．求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； 若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

3．一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

d.函数)0,0(>>+=b a xbax y 在(][)+∞-∞-,,ab ab 或上单调递增；在[)(]abab ，或00,-上是单调递减。

4设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

（同增异减）51212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减六．函数的周期性：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。

说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)22定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间［-2,0］上单调递减，设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f (x )是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f (2005)=.4 已知)(x f 是(-∞+∞，)上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≤≤x 1时，f(x)=x ，则f(7.5)=________5 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数； ⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； ⑶计算：1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2.求反函数的步骤：①求原函数)(x f y =，)(A x ∈的值域B ②把)(x f y =看作方程，解出)(y x ϕ=； ③x ，y 互换的)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，)(B x ∈。

3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)； （4）f -1[f(x)]=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f --1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f --1(x)的图象的交点一定在直线y=x 上;1设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过( )（A ）1(,1)2（B ）1(1,)2（C ）(1,0)（D ）(0,1)2：)1(2log 3x y -=，)0(≥x 的反函数为。

3：已知)0(,32)(2≥++=x x x x f ，求)12(-=x f y 的反函数。

4：设=⋅-=-)0(,329)(1fx f x x 则。

1．正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过两点O(0，0)，A(1，k)的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过两点A(0，b)，)0,(kbB -的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取．因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线．一次函数y=kx+b 的图象是恒过(0，b)点且平行于直线y=kx 的一条直线，其中k 叫直线y=kx+b 的斜率，b 是直线y=kx+b 在y 轴上的截距(注意：截距b 不是距离，它可以是正数，也可以是负数或零)．2．一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的性质.图象与系数的联系八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --，其中a 是二次项系数，决定开口方向和大小，b 是一次项系数与a 决定对 y=kx （k ≠0） y=kx+b （k ≠0，且b ≠0） 经过原点（0，0） 与两坐标轴的交点（0，b ）为和（－b/k ，0） k ＞0 经过一、三象限 必过一、三象限 k ＜0 经过二、四象限 必过二、四象限 当k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小。