微波技术与天线-第二章规则金属波导

2 c
(
E z x
H z ) y
E
y
j
k
2 c
(
E z y
H z ) x
kc2>0 →β<k , kc≠0
kc2 k2 -2
H
x
j
k
2 c
(
Ez y
H z ) x
TE波（ H波）
H
y
j
k
2 c
(
E z x
H z ) y
将Ez=0而Hz≠0 的波称为电场纯横向波（简称
TE波）, 此时只有纵向磁场。
第二章 规则金属波导
2020/6/9
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引言
任意的两根导线不能有效引导微波。 采用微波传输线有效引导微波。
平行双线（改进型双导线）：米波 减小双导线的辐射和电阻损耗。 同轴线（封闭式双导体导波系统）：分米波，厘米波 避免辐射和进一步减少电阻损耗。 柱面金属波导（去掉内导体的空心单导体导波系统）：厘米 波和毫米波 同轴线横向尺寸变小，内导体的损耗很大，功率容量也下降。 介质波导：毫米波，亚毫米波 此时金属损耗已经很大，而介质损耗还不算高，特别是低损 耗介质。 平面导波系统：适应微波集成电路的需要 带状线，微带线
满足的边界条件： H Z 0
n S
TE波的波阻抗:
zT EH E tt H E x y H E x y
1 k 1 c 2/k2kZ TE
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导波的分类
kc2=0 多导体传输线（TEM波）
fc =0时：理论上任意频率均能在此类传输线上传输。
非色散波
kc2>0 金属波导（TM波、TE波）
25
波导中导波的传输特性
速度和色散
将相移常数β及相速vp随频率ω的变化关系称为色散关系, 它描述了波导系统的频率特性。
当存在色散特性时，vp已不能很好地描述波的传播速度, 这时就要引入“群速” （group velocity）的概念——表 征了波能量的传播速度。
d 1 c vgdd/durr
1k kc2 2v
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矩形波导中的导波---TE模
矩形波导中TE模场分布 TE模: E z 0 ,H z H o(zx,y)e jz
2tHo(z x,y)kc2Ho(z x,y)0 x22y22Ho(z x,y)kc2Ho(z x,y)0
分离变量法
纵向场分量：
E z(x,y,z)E z(x,y)A ejzE o(zx,y)ejz H z(x,y,z)H z(x,y)A ejzH o(zx,y)ejz
分离了纵向变量后的横向场方程： t2Eo z(x,y)kc2Eo z(x,y)0 t2Ho z(x,y)kc2Ho z(x,y)0
传输系统的本征值 kc2 k22
k2kc2k 1kc2/k22 g
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波导中导波的传输特性
截止特性
一个模能否在波导中传输取决于波导的结构和工作频率 （或波长）。
2k2kc2(2)2(2 c )2
传导模：在波导中能传输。
2 0
k2 kc2,c(f fc)
截止模：在波导中不能传输。
2 0
k2
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kc2,c(
决定于kc， λc和媒质无关；fc和媒质有关。
——kc取决于工作模式和导波系统的结构尺寸。
波导波长λg gv fp2 2 k 1k 1 c 2/k21 2 c/2
工作频率所对应的导波沿导波系统纵向传播的波长。
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1g21c2 12(kc2k2-2)
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波导中导波的传输特性
波阻抗
ZEt / Ht
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波导管内的电磁波
无源自由空间E和H满足亥姆霍兹方程：
rr 2Ek2E0 亥姆霍兹方程
rr 2H k2H 0
其中
k2 2
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波导管内的电磁波
将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量：
E
Et
ezEz
H Ht ezHz
其中ez为z向单位矢量, t表示横向坐标。
上传输。
TEM波不能用纵向场分析法（可用二维静 E x态 场j k分c2 ( 析Ex z 法
H z ) y
或T中E传。M输波线只方能程存法在进与行多分导析体）导。波系统（TEMEH y波x j传j kkc2c2 输((线EyzEy）z
H z x
H z) x
)
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H
y
j
k
2 c
(
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导波的分类
波导中是否存在TEM波？ （略）
从磁力线角度
假设存在TEM波
磁力线总是闭合的，因此必然存在纵向传导电流或纵 向位移电流。
波导内不存在纵向传导电流。 若存在纵向位移电流，则必然存在纵向电场。Jr D
r D t
采用反证法从Maxswell旋度方程可证明金属波导 中不存在TEM波。
2 Ez 2Et 2 Hz
k k k
2 2 2
Ez 0 Et 0 H z 0
2 H t k 2 H t 0
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波导管内的电磁波
分离变量法
2 t2 z2 2( x2 2 y2 2) z2 2
其中▽t2为二维拉普拉斯算子。利用分离变量法，令：
E z ( x ,y ,z ) E z ( x ,y ) Z ( z )
——波从不传播到传播的临界情况
传播状态 ffc,c,kkc 高通滤波器
传播状态时，场沿z的变化是波动。 γ=jβ:场振幅沿z不变化，相位沿z变化。
无耗波导：kc2 k2 -2
γ= α +jβ:场振幅和相位均沿z变化 。
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导波的分类
kc2=0→β=k,γ=jβ
kc2 k2 -2
c
rr
v
TE/TM波：vgvp v2
v
TEM波：vg vp v
0
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vp
vg
fc
26 fc
波导中导波的传输特性
波长
工作波长λ v/f2/k
导波系统工作频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中的 波长。
决定于工作频率和媒质参数。
截止波长λc cv/fc2 /kc
截止频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中传播的波长。
即可满足边界条件。
TM波（ E波）
将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波（简称
TM波），只有纵向电场。
满足的边界条件：Ez |S0
TM波的波阻抗:
Z T M H E tt H E x y H E x y 1 k c 2/k2kZ TEM
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导波的分类
E
x
Hale Waihona Puke Baidu
j
k
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主要内容
2.1导波原理
2.1.1 波导管内的电磁波 2.1.2 导波的分类 2.1.3 波导中导波的传输特性
2.2 矩形波导
2.2.1 矩形波导内TE/TM模式下场的分布 2.2.2 矩形波导的截止特性 2.2.3 TE10模的场结构 2.2.4 TE10模的传输特性 2.2.5 矩形波导尺寸选择原则
(t2
k2)EZ(x,y)
d dz2
z(z)
2
EZ(x,y)
z(z)
左边是横向坐标(x, y)的函数, 与z无关; 而右边是z的函数, 与
(x, y)无关。只有二者均为一常数上式才能成立， 设该常数
为γ2 。
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波导管内的电磁波
分离变量法
横向场方程： （二维矢量的波动方程）
纵向场方程：
f
fc
)
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波导中导波的传输特性
速度和色散
电磁波在波导中传播， 其等相位面移动速率称 为相速（phase velocity） 。
vp
kv k1 kc 2/k2 u r r
c 1 kc 2/k2
在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间
媒质中传播的速度要快。
快波
kkc,vpvc/ rr
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k
2 c
(
Ez H z ) y x
H
y
j (
k
2 c
E z x
H z ) y 12
波导管内的电磁波
结论
在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动 方程，结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez 和Hz，而场的横向分量即可由纵向分量求得。
既满足上述方程又满足边界条件的解有许多, 每一个解对应一个波型也称之为模式，不同的 模式具有不同的传输特性。（重点）
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导波的分类
例2.1
空心的BJ-100波段矩形铜波导，尺寸为a*b=22.86cm*10.16cm。 观测不同频率下，电磁波是否能传输？
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波导中导波的传输特性
矩形波导中的导波的传播特性与电磁波的波数k 和截 止波数kc 有关。
描述波导传输特性的主要参数:
波数
相移常数
E x
z
15
H y
z
)
导波的分类
E
x
j
k
2 c
(
E z x
H z ) y
E
y
j
k
2 c
(
E z y
H z ) x
βk系2＞c2统>0将0，→不Eβz存和<k在H任z不何能场k同c2）时k→2为-只零2要（E否z和则HEtz和中H有 HH txy一必 j个然kjc2kc(2不全(为为EyEzxz零零HxHz,y)z )
相速
群速
波导波长
波阻抗及传输功率
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波导中导波的传输特性
波数和相移常数
在确定的均匀媒质中, 波数k和截止（cutoff）波数kc与电 磁波的频率成正比。
k 2
kc c
2 c
TE/TM波：kc≠0 TEM波： kc=0
相移（phase shift）常数β和k的关系为：
快波。
kkc,vpvc
rr
fc ≠0时： f>fc 时波才能传播。 色散波
kc2<0 →β>k kc2 k2 -2
慢波。vp
vc
rr
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表面波导（EH波）
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导波的分类
波 t导2E t中 0 是, 否t2H 存t 在0TEM波？（略）
TEM波在横截面内满足的方程与无源区域内静场满足 的微分方程相同。 TEM波在波导横截面上的分布规律与同样边界条件下 的二维静场的分布规律完全相同。 静场是由静电荷或恒定电流产生的，而单导体波导管 内不存在静电荷或恒定电流，因此波导系统中不能传 输TEM波。
传输功率
由玻印亭定理→波导中某个波型的传输功率为：
2 1 R s ( E e H ) d S 2 1 R s ( E t e H t ) e z d . 2 1 Z S s E t2 d Z 2 S s H t2 d
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矩形波导
2.2.1 矩形波导内TE/TM模式下场的分布 2.2.2 矩形波导的截止特性 2.2.3 TE10模的场结构 2.2.4 TE10模的传输特性 2.2.5 矩形波导尺寸选择原则
kc是微分方程在特定边界条件下的特征值，是 与导波系统横截面形状、 尺寸及传输模式有关 的参量。
β=0→波导系统不再传播波（截止）→kc =k。
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导波的纵向分布状态
截止状态 f fc ,c ,k k c 2 fc 2/c
截止状态时，场沿z的变化不是波动。 γ=α’:场振幅沿z按指数规律变化，相位沿z不变化。 特别的：γ=0（f=fc ），场振幅和相位沿z均不变化。
t2EZ(xdd,2yz2)z(z(k)22z2()zE)Z(x0,y)0
（ 二阶常微分方程）
其中二阶常微分方程的通解为：Z(z)A e zA ez
对于无限长的规则金属波导，没有反射波→A－＝0， A+为待定
常数，则纵向场为：Z(z)Aez
无耗波导：γ=jβ（β为相移常数）。
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波导管内的电磁波
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波导管内的电磁波
纵向场法
由麦克斯韦方程组的两个旋度式，可以得到场的 横向分量和纵向分量的关系式，从而由纵向场分 量直接求解出场的横向分量。
H jE EjH
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横向场分量
E
x
j
k
2 c
(E z x
H z ) y
E
y
j
k
2 c
(
E z y
H z ) x
H
x
j
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波导管内的电磁波
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图所示坐标 系, 设z轴与波导的轴线相重合。
假设：
波导方程
导波系统匀直、无限长→波导管内填充的介质是均 匀、 线性、 各向同性的（μ、ε、η为实数） 。
波导内壁是理想导体（σ= ∞）。
波导管内无源（ρ= 0，J=0） 。
波导管内的场是时谐场，波沿+z轴传播。
Ez=0和Hz=0（否则Ex、Ey、Hx、Hy将出现无穷大） →
该导行波既无纵向电场又无纵向磁场，只有横向电场和
磁场，称为横电磁波（简称TEM波）。
TEM波的相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中 相同（因为二者的传播常数相同）。
TEM波是无色散波（因为vp / vg与频率无关）
kc=0→ fc=0，λc=∞。理论上任意频率均能在此类传输线
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2.1 导波原理
2.1.1 波导管内的电磁波 截止波数kc的推导和物理意义（重点）
2.1.2 导波的分类 2.1.3 波导中导波的传输特性
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导波原理
规则金属波导——截面尺寸、形状、材料以及
边界条件不变的均匀填充介质的金属波导管。
根据结构波导可分为： 矩形波导 圆波导 脊波导