1.7无穷小比较

特殊地，如果 lim 1,则称 与 是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(4)
如
果
lim
k
C
0,k
0,就说 是 的 k 阶的
无穷小.
例如，
lim x2 0， x0 3x
即 x2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
定理1 与 是等价无穷小的的充分必要条件 为 o().称 是 的主要部分．
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o()．
lim
lim o()
则有 lim f (x)u lim[ f (x)u u v]
g(x)v
g(x)v u v
lim f (x)u lim u lim v lim f (x)u
g(x)v u v
g(x)v
上式说明当分子或分母为若干个因子的乘积时， 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价 无穷小代换，而不会改变原式的极限．
lim（１＋o()） 1，
~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时, sin x ~ x,
sin x x o( x),
1 cos x ~ 1 x 2 . 2
y 1 x2 2
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ). 2
y 1 cos x
(1 x) 1 x o(x)
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x2 , sin x 都是无穷小.
x2
观
lim 0, x0 3x
察 各 极
lim sin x 1, x0 x
x 2比3 x要快得多; sin x与x大致相同;
限
sin x
lim （0 型） x0
x2
lim(sin x 1 ) x0 x x
1 cos(x) ~ 1 2 (x)
2
即在某一极限过程中,若有(x) 0,将原等价式子 中的x都换成 ( x)，上述各函数的等价式仍然成立。
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则 lim lim .
证 lim lim( )
lim lim lim lim .
此定理说明用等价无穷小来代换,并不改变其极限值。
设在同一极限过程中 u ~ u,v ~ v
求
lim
x0
tan
5
x sin
cos 3x
x
1
.
解 tan5x 5x o( x),
sin 3x 3x o( x),
1 cos
x
x2 2
o( x2 ),
原式
lim
x0
5
x
o( x)
x2 2
3x o( x)
o(
x
2
)
lim
x0
5
o( x) x
x 2
3
o( x) x
o( x2 ) x5 3 Nhomakorabea.
(3) lim
x0
x3
ln(sin 2 x ex ) x (4) lim
2 ax 1 ~ x ln a，ln(1 x) ~ x
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim( 1 x0 cos
x
sin x
x
1
cos x2
x)
1 lim x0 cos x
lim sin x x0 x
lim
x0
1
cos x2
ax 1 xln a o(x)
设 是某一极限过程的无穷小，则
o( ) { | lim 0 }
o() 是一个集合,它是由比更高阶的无穷小的
全体组成的集合。
通常我们用 o()表示这个集合中的任一个元素。
因而有 lim o( ) 0.
o() 式中的等号 "" 表示属于,即 o()
例2
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2,
2
arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ex 1 ~ x ax 1 ~ xln a, (1 x) 1 ~ x ( 0),
ln(1 x) ~ x.
由复合函数的极限运算法则我们可以进一步得到
sin (x) ~ (x)，tan(x) ~ (x)，arcsin (x) ~ (x) arctan(x) ~ (x), ln(1 (x)) ~ (x)，e(x) 1 ~ (x) (1 (x)) 1 ~ (x)，a(x) 1 ~ (x)ln a,
原式= lim ax 1 lim x ln a ln a
x x0
x x0
例5 利用等价无穷小代换求下列极限。
1 xsin x 1 (1) lim
x0 1 cos x
(etanx ex )(1 cos 2x) (2) lim
x0 (tan x x)ln(1 x)sin 2x
tan x sin x
0
sin x 比 x2 要慢 .
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
由前面几节已经计算过的极限可以知道
在x 0时,下列函数与x等价
sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x
ex 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x) 1 ~ x,
8.
2
tan 2x ~ 2x.
例４ 求(1)
(x 1)sin x
lim
;
x0 arcsin x
(2)
lim a x 1 . x0 x
解 (1) 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim ( x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
(2) 当x 0时, ax 1 ~ xln a,