电路分析5第五章2012

(a)
(b)
图5-15 具有初始电流I0的电感(图a)及其等效电路(图b)
状态变量是指一组最少的变量，若 已知它们在t0时的数值和所有t≥t0时的输 入就能确定t≥t0时电路中的任何电路变 量。 电容电压uC(t)，和电感电流iL(t)符 合这一特性，因而是电路的状态变量。

di (t ) u (t ) L dt
a i(t)
t t0
a i(t)
(5-10)
+
uC(t) C
+
uC(t0)=U0 uC(t)
＋
C
＋
u1(t)
－
u1(t0)=0
b
b
U0
－
(b) (a) 图5-7 具有初始电压U0的电容(图a)及其等效电路(图b)
设在t1到t2期间对电容C充电，电容电压为u(t)，电 流为i(t)，则在此期间供给电容的能量为
dCu du i (t ) C dt dt
若u和i为非关联方向则
(5-4)
du i (t ) C dt
(5-5)
对(5-4)式积分可得
1 u (t ) C

t

i ( )d
(5-6)
1 t0 1 t u (t ) i ( )d i ( )d C C t0 1 t u (t0 ) i ( )d t t0 C t0
1 2 wL (t ) Li (t ) 2
根据对偶性可得电感电流具有连续性和 记忆性。若电感电压u(t)在闭区间[ta, tb]内有界， 则电感电流iL(t)在开区间(ta, tb)内为连续的。特 别对任何时间t且ta< t < tb，有
i L (t ) i L (t )
(5-21)
电容元件的定义 一个二端元件，如果在任一时刻t， 它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的 关系可以用u－q平面上的一条曲线来 确定，则此二端元件称为电容器。 i(t)
qபைடு நூலகம்t) u(t)
图5-1 电容元件的符号
如果u－q平面上的特性曲线是一条通过原 点的直线。且不随时间而变，则此电容元件称 为线性非时变电容元件，亦即
式中L为正常数，它是度量特性曲线斜 率的，称为电感。国际单位制中L的单位是 亨利H(韦伯/安)。
Ψ L 1 i
o
i (t ) (t )
u(t )

图5-12 电感的符号
当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋 法则时，即电压和电流在关联参考方向时，则有
d u dt (t ) Li(t ) dLi di u L dt dt
d u dt (t ) Li(t )
di (t ) u (t ) L dt
t t0
t t0
1 t u (t ) u (t0 ) t0 i ( )d C 1 t i (t ) i (t0 ) t u( )d L
0
1 2 wC (t ) Cu (t ) 2
电压与电流为非关联参考方向时
(5-16)
(5-17)
di u L dt
对(5-17)式积分可得
(t ) 1 t i (t ) u ( )d L L
1 t0 1 t i (t ) u ( )d u ( )d L L t0 1 t i (t0 ) u ( )d t t0 L t0


电容C在某一时刻贮能只与该时刻t的电压有关,即
1 2 wc (t ) Cu (t ) 2
(5-14)
i
图5-11
电感线圈及其磁通线
一个二端元件，如果在任一时刻t，它 的电流i(t)同它的磁链Ψ(t)之间的关系可以 用i－Ψ平面上的一条曲线来确定，则此二 端元件称为电感元件。
如果i－Ψ平面上的特性曲线是一条通过 原点的直线，且不随时间而变，则此电感 元件称为线性非时变电感元件，亦即 (5-15) (t ) Li(t )
Mq
q dq du (t ) i (t ) C i dt dt
d u dt u
Li q Cu
u Ri
i
§5-3 ， §5-5， §5-12
电容和电感元件的伏安关 系都涉及对电流、电压的微分或积分， 我们称这两种元件为动态元件。 至少包含一个动态元件的电路称 为动态电路。任何一个电路不是电阻 电路便是动态电路。 KVL、KCL只取决于电路的联接 方式即电路的拓扑结构，因而无论是 电阻电路还是动态电路都要服从这一 规律。
第五章
电容中电荷建立的电场存储着 能量，电容器是一种贮能元件；电 容器通过存贮电荷形成电场建立电 压，理想电容器应是一种电荷与电 压相约束的器件。
u /V
100
wc (t )
o 0.25 0.5
0.75
1
1.25 1.5
t / ms
100
i/ A
(b)
0 .4
0 .2
0 .2
o
0 .5
1
1 .5
t / ms
0 .4
(c )
p /W
o
t / ms
(d )
图5-2 线性电容对三角波电压源的响应
例5-2 电容与一电流源相 接，如图5-3(a)，电流波 形如图(b)中所示，试求电 容电压。设u(0)＝0。
i/ A
i (t )
C 1F
(a )
o 0.25 0.5 0.75
1
1
1.25
t / ms
1
u /V
(b)
250 125
o 0.25 0.5 0.75 1
t / ms
(c )
图5-3 线性电容对三角波电流源的响应
思考题 5-1 一个1F的电容，在某一时刻，其两端 的电压为10v，能否算出该时刻的电流是多少？ 为什么？ 如果已知电压为u=5t2，且在某一时刻的瞬 时值为10v，结果又如何？ 5-2 (1)试根据例5-1中分析所得的，在t＝0、 0.25、0.5、0.75、1、1.25ms时的一组u和i的数 据，绘出该电容的u－i特性曲线草图； (2)试根据例5-2分析结果，重复(1)； (3)同为一个1μF的电容，(1)、(2)结果是否 相同？
1μF电容的电流及电压波形
若电容电流i(t)在闭区间[ta, tb]内有界，则电容电 压uC(t)在开区间(ta, tb)内为连续的。特别对任何时间t且 uc (t ) uc (t ) ta <t<tb ,有 (5-8)
设电容的初始电压u(t0)=U0(图5-7a)，由(5-7) 式可得
1 t uC (t ) uC (t0 ) id C t0 uC (t0 ) u1 (t ) U 0 u1 (t )
(5-7)
例5-1 电容与电压源相接如图5-2(a)所示， 电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)， 求电容电流。
i (t )
u (t )
u /V
C 1F
(a )
wc (t )
o 0.25 0.5
0.75
1
100
1.25 1.5
t / ms
100
(b)
图5-2 线性电容对三角波电压源的响应
(5-18)
(5-19)
电感电流和电感上所加的电压全部历史有 关，采用初始电流i(t0)来反映t0以前所加电压的 所有情况。
思考题 5-7 试标出图5-14所示电路中开关S打开 瞬间，电感两端电压的极性。
US
S
R L
图5-14 思考题5-7
dq i dt
q(t ) Cu(t )
du (t ) i (t ) C dt
设有一个1F的电容，求在下列各种电压波 形作用时的伏安特性曲线； (1)u＝10sintV；(2)u=10etV ；(3)u＝10V。 试判断下列各种说法是否正确： (1)一个线性时不变电容可以用唯一的一条 伏安特性曲线来表征； (2)一个线性时不变电容可以用唯一的一条 u－q特性曲线来表征； (3)一个线性时不变电容可以用唯一的一条 du 特性曲线来表征。 i
wc (t1 , t 2 ) p( )d u ( )i ( )d
t1 t1
t2
t2

t2
t1
u (t2 ) du Cu ( ) d C udu u ( t1 ) d u (t2 )
(5-13)
1 2 1 2 2 Cu C u (t 2 ) u (t1 ) 2 2 u ( t1 )
1 t i L (t ) i L (t 0 ) ud i L (t 0 ) i1 (t ) L t0 I 0 i1 (t ) t t 0
(5-22)
具有初始电流I0的电感，在t≥t0时可以等效成一个初 始电流为零的电感和一个电流值为I0的电流源并联的电 路，如图 a iL(t) a iL(t) i1(t) + + L u(t) L u(t) I0 iL(t0)=I0 i1(t0)=0 b b
dt
1 t 1 t 电容的VCR u (t ) i ( )d u (t0 ) i ( )d t t0 C C t0 反映了电容的两个重要性质，即电容电压的连续性 和记忆性。
i(mA) 10 20 u(V)
2
0 -5
4
6
8 t (ms)
0
2
4
6
8 t (ms)
图5-6
q(t ) Cu (t )
(5-1)
式中C为正常数，它是度量特性曲线斜率 的，称为电容。在国际单位制中电容C的单位 是法拉F(安•秒/伏)。
q C 1
O
u
i (t ) q(t )