沪教版相似三角形专题复习教案解析

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沪科版数学九年级上册第22章《相似三角形》复习教学设计

沪科版数学九年级上册第22章《相似三角形》复习教学设计一. 教材分析《相似三角形》是沪科版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握相似三角形的性质和判定方法，以及相似三角形在实际问题中的应用。

本章内容是学生以前学过三角形知识的进一步拓展，也是为后续学习相似多边形、相似圆等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。

同时，他们具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但是，对于相似三角形的性质和判定方法，学生可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解相似三角形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的性质和判定方法，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的问题解决能力和合作能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质和判定方法。

2.教学难点：相似三角形的性质和判定方法在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己发现相似三角形的性质和判定方法。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力和沟通能力。

3.案例教学法：教师通过列举实际问题，引导学生运用相似三角形的知识解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的性质和判定方法。

2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用相似三角形的知识解决问题。

3.学具：准备一些三角形模型，供学生观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。

然后，教师提出本节课的主题——相似三角形，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示相似三角形的性质和判定方法，引导学生观察、思考，自己发现相似三角形的性质和判定方法。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结相似三角形的复习教案

相似三角形复习（2）教学内容：相似三角形复习课第二节（相似三角形判定定理）教学目标： 1、进一步理解和掌握相似三角形的判定定理、灵活应用这些定理去探索问题和解决问题。

2、培养在基本图形中运用知识的能力。

体会在发现中学习，在学习中发现。

发展学生的数学思维能力。

渗透图形运动、类比、分类讨论等数学思想。

3、提倡学生主动学习、积极参与教学，用所学的知识解决问题，提高学数学的热情。

在师生互动过程中，培养团结协作的精神。

教学重点：相似三角形判定定理的应用。

教学难点：能在复杂图形背景下、识别和判定三角形的相似，并正确推理论证，关注数学的严密性。

设计思想：本节课是在学习了相似三角形判定定理后的一节复习课。

一方面，抓住基本图形的特征，将基本图形通过平移、旋转、翻折、分解、组合成各种图形。

鼓励学生联想，培养学生创新意识。

另一方面，让学生进一步形成学习的主体意识、探究意识和合作意识。

教学过程：教师活动学生活动教学设计意图我们已经认识了相似三角形，学习了相似三角形的判定，这节课我们要巩固我们所学的知识，并把所学的有关判定定理应用到实际的例题中，去探索和解决一些问题。

一；相似三角形基本图形以及判定定理的回顾。

问1：若DE//BC ，则可以判定哪两个个三角形形相似？用哪条判定定理？预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

这类基本图形我们称为平行线型生：△ADE ∽△ABC ，用预备定理生：△ADC ∽△ACB通过回忆使学生掌握相似三角形的所有的判定方法．1A BCD E 1AECBD三边对应成比例，两三角形相似。

这类网格型的题目还可以用那种判定方法。

通常网格类的相似，还可以用哪个判定定理？最后，我们来回顾一下直角三角形相似的判定方法：问5：若BDACBE AB =，∠C=∠D=90°则可以判定哪两个三角形形相似？用哪条判定定理直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似上面我们回顾了相似三角形判定定理及重要的基本图形，下面我们要应用这些定理来解决一些几何问题。

相似三角形复习课教案

相似三角形复习课教案一、教学目标1、使学生理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理。

2、能够熟练运用相似三角形的知识解决实际问题，提高学生的逻辑推理和综合运用能力。

3、通过复习，培养学生的数学思维和创新意识，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1、重点（1）相似三角形的判定定理和性质定理。

（2）相似三角形的应用。

2、难点（1）相似三角形的判定定理的灵活运用。

（2）相似三角形在实际问题中的建模。

三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

2、相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

三边对应成比例的两个三角形相似。

3、相似三角形的性质定理相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

（二）例题讲解例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，BD ＝ 2，AE ＝ 4，求 CE 的长。

解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC所以\（＼frac{AD}｛AB} ＝＼frac{AE}｛AC}＼）因为 AD ＝ 3，BD ＝ 2，所以 AB ＝ AD ＋ BD ＝ 5所以\（＼frac{3}｛5} ＝＼frac{4}｛AC}＼）解得 AC ＝＼（＼frac{20}｛3}＼）所以 CE ＝ AC AE ＝＼（＼frac{20}｛3} 4 ＝＼frac{8}｛3}＼）例 2：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90°，AD⊥BC 于 D，E 为AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于点 F。

求证：＼（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{DF}｛AF}＼）证明：因为 AD⊥BC，∠BAC ＝ 90°所以∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°，∠BAD ＋∠DAC ＝ 90°，∠DAC＋∠C ＝ 90°所以∠BAD ＝∠C又因为 E 为 AC 的中点，所以 DE ＝ EC所以∠EDC ＝∠C所以∠BAD ＝∠EDC又因为∠FDB ＝∠FDA ＋∠ADB ＝∠FDA ＋ 90°，∠FAD ＝∠FDA ＋∠BAD所以∠FDB ＝∠FAD所以△FDB∽△FAD所以\（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{BD}｛AD} ＝＼frac{DF}｛AF}＼）（三）课堂练习1、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且\（＼frac{AD}｛BD} ＝＼frac{AE}｛EC}＼），求证：DE∥BC。

沪教版(上海)九年级上册数学 24.4 相似三角形的判定教案

24.4 相似三角形的判定教案【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形例题1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定例题2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．例题3.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．例题4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB 于E. 求证：DE AC EF BC =.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE△AGF ∽△ABC∵DEDBEF GF =,又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF =∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =,即DEACEF BC =.。

沪教版数学(上海)九年级第一24.4相似三角形的判定优秀教学案例(5课时)

五、案例亮点
1.贴近生活的情境创设：本节课通过引入生活实际的情境，如建筑物的设计、电路板上的元件布局等，让学生感受到相似三角形知识的应用，激发学生的学习兴趣，提高学习的积极性。
2.问题导向的教学策略：通过设计一系列的问题，引导学生进行思考和讨论，激发学生的学习兴趣和求知欲。问题导向的教学策略能够培养学生的逻辑思维能力，提高学生的问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
本节课的教学目标是培养学生对数学学科的兴趣和自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习，形成积极的数学情感态度。在情感态度方面，我期望学生能够对相似三角形的判定方法产生浓厚的兴趣，感受到数学的乐趣和魅力。在价值观方面，我期望学生能够认识到相似三角形知识在实际生活中的重要性，培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。
1.第一课时：通过实际问题引入相似三角形的概念，让学生了解相似三角形的定义和性质。
2.第二课时：引导学生探究相似三角形的判定方法，让学生通过合作交流，发现并证明相似三角形的判定定理。
3.第三课时：通过例题讲解，让学生掌握相似三角形的判定方法，并能运用判定方法解决实际问题。
4.第四课时：引导学生深入理解相似三角形的性质，通过练习题让学生熟练掌握相似三角形的性质。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我将进入讲授新知的环节。首先，我会用简洁明了的语言介绍相似三角形的定义和性质。我会通过示例和讲解，让学生理解相似三角形的概念，并掌握AA、SSS、SAS三种相似三角形的判定方法。接着，我会运用多媒体教学手段，展示相似三角形的判定过程，帮助学生直观地理解知识。在讲授过程中，我会注意与学生的互动，提问和引导他们思考，确保他们对知识的理解和掌握。
本节课的教学目标是通过探究相似三角形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。在过程方面，我期望学生能够在探究过程中，主动思考、提出问题、解决问题，培养学生的独立思考能力和创新意识。在方法方面，我期望学生能够通过观察、实验、讨论等方法，发现并证明相似三角形的判定定理，培养学生的实证能力和论证能力。

《相似三角形复习课》教学设计

《相似三角形复习课》教学设计上海市彭镇学校徐飞教材分析相似三角形是沪教版九年级上第二十四章内容，本章内容处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高阶段，主要内容有相似三角形的判定和性质，在平面几何计算和证明中应用十分广泛。

相似三角形知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习三角函数及代数和几何相结合的综合数学知识打下良好的基础，因而它在本章的学习中占有重要地位。

我把这节课的重点放在相似三角形的基本图形的总结和在复杂图形中找出基本图形及其相似三角形的性质的简单应用，相似三角形的性质的综合应用对学生分析问题的能力、综合解题的能力要求更高，安排第二节复习课上。

学情分析学生对相似三角形这一章的基本知识的掌握，基本技能的训练都落实到位，大部分学生对相似三角形的判定和性质了如指掌，对相似三角形的判定和性质的简单应用也比较熟练。

部分学生分析问题的能力、综合解题的能力较高，但大部分学生对本章内容的系统总结还不够，还没有构建出完善的知识结构体系，与以前所学的相关知识的联系也不够，同时对相似三角形的判定和性质的综合应用能力还不强，需要通过复习课和习题课来提升。

学生对学习数学有浓厚的兴趣，特别对有挑战性的探究问题愿意去尝试，但在发表看法时并不主动，显得过于内敛，需要教师鼓励。

教学目标1.知识与技能：熟练掌握相似三角形的一些基本图形，并能从复杂图形中找出基本图形；2.过程与方法：能在变式训练过程中熟练运用相似三角形的判定和性质，提高分析问题和解决问题的能力；3.态度、情感、价值观：能在独立探究数学问题和与同伴的交流合作中，进一步养成主动探究与合作交流的习惯。

教学重点和难点重点：相似三角形的基本图形及其运用；难点：在探究过程和分析推理过程中提高数学思维能力。

教学设计思路根据本节课的教学目标，教材和学生的实际情况，采用以知识点总结+经典例题+练习的复习模式。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结相似三角形的判定复习课教案

《相似三角形的判定》复习课一、复习提问问：证明两个三角形相似的判定方法有哪些？学生口答：A 、预备定理B 、判定定理1、2、3.C 、直角三角形相似的判定定理二、精选习题，整合已学知识例1、如图，∆ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 、AC 分别于D 、E ，DC 、BE 相交于点O ，图中相似的三角形有多少对？为什么？分析：学生易发现：∆ADE ∽∆ABC 和∆DOE ∽∆COB 。

我进一步问：是否还有其他的相似三角形？教学目标：1.掌握相似三角形的判定定理，并能准确运用。

2.认识几种常见的基本图形，提高识图能力。

3.通过题目的分析、推导，提高逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力。

教学重难点：重难点：相似三角形的判定及其应用。

OE E A BD D OE BD（让学生思考）再问：∆DOB与∆EOC是否相似？【设计意图】：此题难度较小，学生基本都能看出相似三角形，通过此题，让学生回顾相似三角形中的最基本图形，即“正A型”和“正X型”。

再次追问的目的是让学生思考在运用“两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似”这个判定时要清楚什么叫对应边成比例，此处是学生的易错点，故我特意强调，并让学生多加思考。

练习1：如图，AC‖DF，∠B=∠F，图中有多少对相似三角形？理由是什么？分析：学生容易发现由AC//DF得到△BDE∽△BAC、△AMC∽△MEF，以及已知∠B=∠F得到△BDE∽△FME。

教师引导学生进一步观察图形，找出图中“斜A”型，初步判断是否相似，然后找满足相似的条件，进而找到△BAC∽△AMC，△BDE∽△AMC。

【设计意图】：此题较基础，重点在于通过题目让学生熟练掌握基本图形，能快速看出“A 型”和“X型”，能快速找到证明相似的条件，准确运用判定定理。

例2、如图1，在∆ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠ACB.(1)证明：△ADE∽△ACB.(2)如图2，连接CD、BE，CD与BE相交于点O.证明：∆ABE∽∆ACD.ABCA BCB(3)问： △DOB 与△EOC 是否相似.理由是什么？ (4)问： △DOE 与△BOC 是否相似. 理由是什么？图1 图2分析：（1）学生容易找到证明∆ADE ∽∆ACB 的条件，由判定定理1即可证明，要求学生自主完成。

沪科版数学九年级（上册）22.2相似三角形的判定-教案（1）

相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。

【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。

【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。

【课时安排】5课时。

【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。

一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。

2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。

3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。

4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。

相似。

记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。

注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。

, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。

）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。

（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。

沪教版初三上册396660《相似三角形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , , ,之一成立，则DE//BC.基本图形(3):若, , , , ,之一成立，则AC//DB.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.A型 X型常用的比例式：.（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、黄金分割1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.2.黄金分割的求法①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根据求根公式，得：x＝∴ (不合题意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，则C点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB，求作：线段AB的黄金分割点C.作法：如图：(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.则点C就是所求的黄金分割点.证明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C点是线段AB的黄金分割点.要点诠释：①一条线段有两个黄金分割点.②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.要点三、相似三角形1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.(4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF ∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点四、实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、比例线段1.已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案与解析】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,问题得解.举一反三：【变式】已知：，求的值.【答案】根据等比性质：由得.2．如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求.【答案与解析】分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,ADBC,∵E为AB中点，∴AE=BE，∵AD//BC，∴∠AFE=∠H.在△AEF和△BEH中：∴△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH，∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K，∵AD//BC，即AF//HC.∴∴【总结升华】欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.举一反三：【变式】如图，在是两条中线，则（）A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4【答案】由题意可知，为的中位线，则△CED∽△CAB，∴，故选D．类型二、相似三角形3．（2016•南平）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案与解析】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∴DE===4【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出=是解题关键．举一反三：【变式】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC与△DG 的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D.设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在Rt△FC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证Rt△FC∽Rt△DG，所以S△FC与S△DG的面积比为（：1）2=.类型三、实数与向量相乘4．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.【答案】②、④.【解析】掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.【总结升华】应用向量的运算性质.类型四、向量的线性运算5．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设=，=，请用向量、表示．【答案与解析】（1）证明：∵AD=DE=EB，∴==，∵DF∥BC，EG∥AC，∴==，，∴，∴FG∥AB；（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，∴，，∴FG=AB，∵与同向，∴=，∵=，=，∴=﹣，∴=．【总结升华】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．解题时注意掌握数形结合思想的应用．类型五、相似与其它知识综合问题6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.【答案与解析】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG.∴BG=AC+AG，∵BG=AB－AG，∴BG==，（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－，∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD，又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∠FDG=∠EDG，∴DG平分∠EDF ，（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.【总结升华】这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.举一反三：【变式】如图，在口ABCD中，的平分线分别与、交于点、．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）如图，在口ABCD中，，∴．∵是的平分线，∴．∴．∴．（2）∴△∽△，∴，∴．。

上海教育版九上24.4《相似三角形的判定》word教案

24.4 (2)相似三角形的判定教学目标1. 掌握相似三角形的判定定理2;2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等• 教学重点及难点了解判定定理2的证题方法与思路，应用判定定理2.教学用具准备三角板、课件教学过程一、复习引入1 .问题1:什么叫做相似三角形？它们在形状上、大小上有何特征？什么叫做相似比？结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理 1.2.两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？3•类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题2.本节学习相似三角形判定定理 2.问题2：如上图，在也ABC和AA i B1C1中，如果N人=",空=竺那么A[ B i AC iABC和SB i C i相似吗？分析：心ADE幻心ABiG ( SAS ,再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE/ BC可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.二、学习新课新授i:相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述.通过问题2,又得到：相似三角形的判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.AB ACA ABC s ：AB IC IA iB i A^C i新授2:相似三角形的判定定理2的应用例题i已知如图，四边形ABC啲对角线AC与BD相交于点Q OA=i, 0B=i.5, OC=3,OD=.求证:QAD与QBC是相似三角形.DBA分析：判断是否有成比例的线段，再利用判定定理2.议一议：图中是否还有相似三角形？答: OAB S ODC问题：(1)两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似？为什么？(2) 等腰三角形AB (与等腰三角形DEF 有一角相等，这两个三角形是否相似？为什么？例题2已知如图，点D 是ABC 的边AB 上的一点，且AC 2二AD • AB .求证:MCD s 心ABC.分析：已知条件AL二AD・AB是一个乘积式，将它改写成比例式，得到AD ACAC「AB ,观察这个比例式中的四条线段结合图形，可以依据相似三角形的判定定理2推出结论.这是比较困难的技巧问题，也是证题的关键步骤.三、巩固练习练习1:书后练习24.4(2)/1 练习2：( 1)书后练习24.4(2)/2(2)D在的△ ABC边AB上,且AC2=AD?AB 则厶AB3A ACD理由是________________ .(3)—个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 ____________________ 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)(4)如图，在ABC中，若-AED = B，则下列比例式正确的是:(B)也二也AE AB练习3:补充(C)DEBCAEBD(D)些亠AB ED(A)型二圧BD EC(1)在心ABC 禾口 ADEF 中，N A = 36°,AB =12,AC =15,ND = 36°,DE =16贝y 当 Qp= ------ 时, ABC s QEF .⑵ 如图,P 为AB 上一点(ABAC ,要使AACP s ；ABC ,可添加一个条件(3)如图，D 是厶ABC 一边BC 上的一点，△ AB(S^ DBA 勺条件是(4)如图，在MBC 中，ABAC D 点是CB 的延长线上一点，E 是BC延长线上的一点，且满足 AB 2=DB- CE. 求证：(AD S △ EAC (2)若/ BAC 4O 0，求/ DAE 的度数.四、课堂小结 1、三角形相似与全等的判定方法的类比2、三角形相似的判定定理 2，并强调判定相似需且只需两个独立条件 ., 强调对应边成比例 .(A)也妙BC BD (B)些少 BC AD(C) AB 2 =CD ・BC(D) AB 2=BD ・BC五、作业布置书后练习1-3 ，练习册24.4 （2）五、教学反思1 、相似三角形的判定定理2 是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程引导学生多多参与，重点理解“角”是“两条对应边的夹角” . 2、例题及练习的教学是相似三角形的判定定理 2 的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂.。

沪科版九年级数学上册24.2《相似三角形的判定》教案

（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法 2 如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角
形相似．
3．（ 1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（ 1）提出问题：由三角形全等的 SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与
AD AE ，又 AB AC
3．如图， DE ∥BC ，（1）如果 AD=2 ， DB=3 ，求 DE : BC 的值；（2）如果 AD=8 ， DB=12 ， AC=15 ， DE=7 ，求 AE 和 BC 的长．
教学反思
24.2 相似三角形的判定（二）
一、教学目标 1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边
24.2 相似三角形的判定（一）
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，生的探究、交流能力．
体验分析归纳得出数学结论的过程，
进一步发展学
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似） ——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和
试着画一画、看一看？
3．如图，△ ABC 中，点 D 、E、 F 分别是 AB 、BC、 CA 的中点，求证：△ ABC ∽△ DEF ．
七、课后练习
1．教材 P66
2．如图， AB?AC=AD?AE ，且∠ 1=∠ 2，求证：△ ABC ∽△ AED ． ※3．已知：如图， P 为△ ABC 中线 AD 上的一点，且 BD 2=PD?AD ，求证：△ ADC ∽△ CDP．

沪教版九年级上学期-相似三角形讲义(含解析) (1)

一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=．（2）合比性质：如果a cb d =，那么a bc db d++=；如果a cb d =，那么a bc db d--=．（3）等比性质：如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==．七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例1】如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =．【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ．【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =．【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项．【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______．【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =．【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值．【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==．【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=，即334BN =，∴4BN =，∴6AB =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；（1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．二、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．三、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值．【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ．【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥，易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ．【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14．【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠．（1）求证：ECA ∆∽ECB ∆；（2）若DF = AF ，求AC : BC 的值．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠，又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆；（2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ；（2）AB 是AG 和HE 的比例中项．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项．【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠；（2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ．（1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =．【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =，综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =．【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______．【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ．【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______．【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ，过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ．（1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =．【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ．求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形；（2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =．【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ．（1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =，设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ．（1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。

沪教版相似三角形专题复习教案设计

相似三角形综合复习一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

沪科版九年级数学上册22.2相似三角形的判定优秀教学案例

本节课的亮点主要体现在教学情境的创设、问题驱动的学习、小组合作的学习方式、反思与评价的培养以及关注个体差异，全面提高学生的数学素养等方面。这些亮点使本节课成为一节符合教学实际、具有人性化教学语言的优质教学案例。
2.问题驱动的学习：本节课以问题为导向，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，自主探索相似三角形的判定方法。这种问题驱动的学习方式，使学生在解决问题的过程中，培养了他们的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.小组合作的学习方式：本节课注重学生的小组合作学习，通过组织学生进行小组讨论、交流，培养他们的合作意识和团队精神。学生在小组合作的过程中，相互启发、共同进步，提高了他们的沟通能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的判定方法，理解并能够运用AA相似定理、SSS相似定理、SAS相似定理和HL相似定理判断两个三角形的相似关系。
2.使学生了解相似三角形的性质，包括对应边的比例关系、对应角的相等关系，并能运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生运用数学知识对现实生活中的事物进行观察、分析和解决问题的能力，提高他们的数学应用意识。
在案例背景中，我选择了与学生生活密切相关的事物作为教学素材，如建筑物、电路图等，让学生在探究中感受到数学与生活的紧密联系。同时，我注重引导学生运用已学的知识解决实际问题，从而提高他们的数学应用能力。此外，我还设计了一些富有挑战性的练习题，让学生在解答过程中加深对相似三角形判定方法的理解和运用。
在教学活动中，我充分尊重学生的的主体地位，鼓励他们积极参与、勇于尝试，培养他们的自主学习能力。同时，我注重发挥教师的主导作用，引导学生正确运用数学方法，克服困难，解决问题。在课堂氛围上，我努力营造轻松、愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高他们的学习效果。

沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计3

沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计3一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容。

本节课主要让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过引入实物图片和几何图形，引导学生发现相似三角形的特征，进而总结出判定方法。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对于图形的观察和分析能力也有一定的提高。

但是，对于相似三角形的判定，学生可能还存在一定的困难，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解相似三角形的定义和性质。

2.掌握相似三角形的判定方法。

3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。

2.相似三角形的判定方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、合作学习法等教学方法，通过引导学生观察、思考、讨论和练习，使学生理解和掌握相似三角形的判定方法。

六. 教学准备1.教学课件。

2.实例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如建筑设计中的相似图形，引导学生思考相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）利用课件展示相似三角形的定义和性质，通过几何图形的直观展示，让学生发现相似三角形的特征。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，运用相似三角形的判定方法进行分析和判断。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对相似三角形判定方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）让学生思考相似三角形在实际问题中的应用，如测量物体的高度、计算图形的面积等，引导学生将所学知识运用到实际生活中。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的相似三角形的判定方法，教师进行补充和归纳。

7.家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家后巩固所学知识。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 函数背景下的相似三角形专题复习课教案

课题函数背景下的相似三角形执教者课型专题复习课授课时间教学目标1、掌握相似三角形分类讨论问题，体会分类讨论和数形结合的数学思想方法；2、能根据已知条件正确画出图形，并结合图形分析和解决问题；3、学生在自主探究与主动合作的过程中提高数学思维品质。

教学重点和难点掌握相似三角形分类讨论问题，体会分类讨论和数形结合的数学思想方法。

教学用具多媒体课件教学活动学生活动设计意图例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点B (-1，0)，一次函数5+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A ，C 两点．二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c的图像经过点A 、点B ．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标．例题2已知平面直角坐标系xOy ，双曲线(0)ky k x=≠与直线2+=x y 都经过点),2(m A ，且直线2+=x y 与y 轴交于点D ，（1）求k 与m 的值；（2）已知点)2,(n B 在双曲线上，且过点B 的直线BC 与直线2+=x y 平行交y 轴于点C ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形先尝试探索完成，找到相似的基本图形，寻求合适的方法来解决问题。

独立思考，在完成第1小题后，尝试画出图形，探索第2小题的解题思路。

1、复习待定系数法求二次函数解析式。

2、在坐标系中发现有一个公共顶角的基本图形，然后讨论如何进行相似三角形分类。

3、复习点的坐标的求法1、根据已知条件画图的解题能力；2、对例题1的方法加以巩yxO CAB与△ACD 相似，求点E 的坐标．例题 3 在平面直角坐标系xOy 中，已知顶点为P（0, 2）的二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点， A 点坐标为（2, 0）.（1）求该二次函数的解析式，并写出点B 坐标；（2）点C 在该二次函数的图像上，且在第四象限，当△ABC 的面积为12时，求点C 坐标；（3）在（2）的条件下，点D 在y 轴上，且△APD 与△ABC 相似，求点D 坐标.小结：师生共同进行小结学生完成第1小题，画图尝试第2、3小题的思考，请有思路的学生说说自己发现的规律谈谈自己的想法。

沪教版(上海)九年级数学第一优秀教学案例：24.5相似三角形的性质

6.知识拓展与应用：教师引导学生思考相似三角形性质在实际生活中的应用，提高了学生的运用能力，使学生真正学会用数学知识解决实际问题。
7.教学策略的灵活运用：教师根据学生的实际情况，合理运用情景创设、问题导向、小组合作等教学策略，使教学过程更加生动有趣，提高了教学效果。
8.关注学生的情感态度：教师以耐心、鼓励的语言激发学生的学习兴趣，关注学生的情感需求，使学生在轻松愉快的氛围中学习，培养了学生积极的学习态度。
3.教师引导：教师在学生探究过程中进行有效引导，启发学生思维，帮助学生突破难点，提高学生的数学素养。
（三）小组合作
1.分组学习：根据学生实际情况，合理分组，确保每个学生都能在小组合作中发挥自己的优势，提高学习效果。
2.小组讨论：组织生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的沟通表达能力和团队协作能力。
3.问题情境：设计具有启发性的问题，引导学生运用已学知识分析问题、解决问题，培养学生独立思考和解决问题的能力。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生自主学习，发现问题、解决问题，发展学生的自主学习能力和问题解决能力。
2.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，培养学生的团队合作精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例等，并能运用这些性质解决实际问题。
2.掌握相似三角形的判定方法，并能够运用判定方法判定两个三角形是否相似。
3.了解相似三角形在现实生活中的应用，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
4.通过观察、操作、探究等活动中，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
（四）总结归纳
1.学生总结：引导学生对自己所学知识进行总结，加深对相似三角形性质的理解。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.5 相似三角形复习教案

1课题：相似三角形复习教案(二)一、教学目标1、进一步巩固与掌握相似三角形的判定与性质定理。

2、熟练运用相似三角形的判定和性质解决有关问题，并在探究过程中运用一题多解、运动转化、图形化归等数学思想方法。

3、通过例题的分析、研究，揭示基本图形的变化，提高分析问题和解决问题的能力，养成在自主探究的过程中，仔细观察、大胆猜想、严格推理、合作解决问题的精神。

二、重点与难点1、重点：利用相似三角形的判定与性质解决有关问题。

2、难点：灵活运用相似形的判定与性质，探究运动变化过程中图形的基本特征。

三、教学技术与学习资源：多媒体辅助教学(几何画板) 四、教学过程（一）基本图形回顾：[问题设置] 如图△ABC 中，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上（点D 不与点A 、B 重合，点E 不与点A 、C 重合）问题1、请添上一个条件，使得以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似。

（学生口答）总结归纳并画出示意图：添加以下任意一个条件，都可以使得以点A 、D 、E 为顶点与△ABC 相似①DE//BC ②∠ADE=∠B ③∠AED=∠C ④∠B+∠BDE=180°⑤∠DEC+∠C=180° ⑥AD AE =BD EC ⑥AD AE =AB AC ⑦BD CE=AB AC⑧∠ADE=∠C ⑨∠AED=∠B ⑩AD AE=AC AB。

ABD E2问题2、将图2的线段DE 向下平移，使得点E 与点C 重合，如图3所示，若△ACD ∽△ABC ，则线段AC 、AD 、AB 满足怎样的数量关系呢？接下来，我们在图3的基础上继续探索。

（二）典型例题[例题设置1] 如图1直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是△ABC 的高，试问图中有几对相似三角形？变式1：如果△ABC 是钝角三角形，∠ACB 为钝角（如图2）， CD 、BE 是△ABC 的高，DC 、BE 的延长线相交于点O ，则图中有几对相似三角形？变式2：如果△ABC 是锐角三角形（如图3），△ABC 的高CD 、BE 相交于点O ，连接DE ，则（1）图中有几对相似三角形？（2）若∠A ＝60°，则ED ：BC 的值＝（3）若△ADE 与△ACB 的面积之比为1：4，则∠A ＝度[例题设置2] 如图四边形ABCD 中，点E 、F分（1）（３））B）(E)3别是线段AB 、AC 上两点，且AD//EF//BC 若AD=10，BC=16，ΑΕ1=ΕΒ2，求线段EF 的长。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.4 相似三角形判定的复习教案

课题相似三角形判定的复习课型复习课教时/累计教时教学目标1、知识、技能2、过程、方法3、情感、价值掌握一般相似三角形的判定方法，会从复杂图形中分离基本图形。

经历问题的解决过程，领会逻辑推理的方法。

在自主整理、交流合作等学习过程中，养成自觉梳理知识的习惯。

和手段教学策略1、教学重点2、教学难点3、教学手段一般相似三角形的判定方法从复杂图形中分离基本图形从基本图形到复杂图形，由复杂图形分解成基本图形教学程序和内容教师活动学生活动备注一、课前复习反馈本课目标介绍课前复习单讲解结合学生完成情况进行整理归类并全班反馈；请学生回答课前复习单问题，其他学生可补充学生简单讲解，答案不唯一，其他学生补充二、例题精讲试一试：如图，ABC中，DE//BC，DE 交AB、AC分别于D、E，DC、BE相交于点O，图中相似的三角形有：____________________________ 。

请学生讲解，并简述理由学生根据判定写出相似三角形并简述相似理由例1、如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，ADE=ACB，CD与BE相交于点O，写出图中各对相似的三角形，并简述理由。

由原图分解出基本图形请学生上台讲解，教师板书要点由原图分解出基本图形理解识记相似三角形的基本图形学生根据判定独立思考和书写小组进行讨论后回答学生上台讲解例2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD,BE、CD相交于点G．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：△AED∽△ABC；（3）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．三、拓展提高1、（2014•奉贤区二模）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．(1)(2)题请学生口答，简单讲述理由巡视，了解各组情况，个别辅导由原图分解出基本图形视时间情况处理学生独立思考学生口答，并讲述理由学生独立思考，全班展示交流（1）（2）小题思路。