沪教版相似三角形专题复习教案解析

相似三角形综合复习

一、基础知识

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

（1）基本性质：

bc ad d c b a =⇔= ac b c b

b a =⇔=2 （2）合比定理：d d

c b b a

d c b a ±=

±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b

a

n d b m c a n m d c b a

3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2

，则点P 为线段AB 的黄金分割点．

4．平行线分线段成比例定理

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4.

相似三角形的性质

● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.

● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:

连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

B

二、经典例题

例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点

上．

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．

（2）判定△ABC与△DEF是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.

例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．

例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米

例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，•这个正方形零件的边长是多少？

例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

三．适时训练

（一）选择题

1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A ）

mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mn

n

m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且

AC AD ＝3

1

，AE ＝BE ，则（ ） （A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD

题2 题4 题5

3．P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）

（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条

4．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

5．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）

（A ）∠APB ＝∠EPC （B ）∠APE ＝90°（C ）P 是BC 的中点（D ）BP ︰BC ＝2︰3 6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： （1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）

AD CD ＝AB

AC

；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ）

（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个

题6 题7 题8

7．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）

（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1（C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC 8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）

（A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC