定积分练习题

第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

4．证明：若f 在区间∆上有界，则()()()()"','".sup sup inf f f f f χχχχχχχχ∈∆∈∆∈∆-=-。

§4 定积分的性质1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则∑⎰=→=∆ni baiiiT dx x g x f x g f 10,)()()()(limηξ其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)⎰⎰11;2dx x xdx 与(2)⎰⎰2020.sin ππxdx xdx 与3.证明下列不等式:(1)20;22πππ<<⎰(2)1201x e dx e <<⎰;(3)20sin 12;xdx dx x ππ<<⎰(4)4 6.e e <<⎰ 4.设f 在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明()()20.baf x dx >⎰5.设f 与g 都在[a,b]上可积,证明[]{}[]{})(),()(,)(),()(m in m ax ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==在[a,b]上也都可积.6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.7.设f 在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)( m x f ≥证明f1在[a,b]上也可积.8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).9.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M 、m 分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m ≤μ≤M),使得⎰⎰=babadx x g dx x g x f .)()()(μ10.证明:若f 在[a,b]上连续,且⎰⎰==b abadx x xf dx x f ,0)()(则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2,使f(x 1)= f(x 2)=0.又若⎰=badx x f x ,0)(2这时f 在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f 在[a,b]上二阶可导,且"f (x)>0.证明:(1)⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a dx x f a b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f ba ∈-≥⎰ 12.证明:(1)11ln(1)11ln ;2n n n +<+++<+ (2).1ln 1211lim =+++∞→nn n§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)习 题1． 设f 为连续函数，u 、v 均为可导函数，且可实行复合f °u 与f °v 证明：⎰-=)()().('))(()('))(()(x v x u x u x u f x v x v f dt t f dx d2．设f 在[a,b]上连续，⎰-=xa dt t x t f x F .))(()(证明F ”b].[a,),()(∈=x x f x3．求下列极限： （1）⎰→x x dt t x 02;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→4．计算下列定积分：（1）⎰205;2sin cos πxdx x （2）⎰-12;4dx x （3）⎰-aa dx x a x 0222);0(（4）⎰+-102/32;)1(x x dx（5）⎰-+10;x x e e dx （6）⎰+22;sin 1cos πdx xx（7）⎰1;arcsin xdx （8）⎰20;sin πxdx e x （9）;ln 1dx x ee⎰（10）⎰1;dx e x（11）⎰+-aa dx xa xa x 02);0( （12）⎰+20.cos sin cos πθθνθd5.设f 在[-a,a]上可积。

证明： （1）若f 为奇函数，则⎰-=aa dx x f ;0)(（2）若f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0.)(2)(6．设f 为（-∞，+∞）上以p 为周期的连续周期函数。

证明对任何实数a ，恒有⎰⎰+=pa padx x f dx x f a .)()(7．设f 为连续函数。

证明：（1）⎰⎰=2020;)(cos )(sin ππdx x f dx x f （2）⎰⎰=πππ.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf8．设J （m,n ）⎰=20,(cos sin πn m xdx x n m 为正整数）。

证明：),,2(1)2,(1),(n m J nm m n m J n m n n m J -+-=-+-=并求J(2m,2n).9．证明：若在（0，∞）上f 为连续函数，且对任何a ＞0有⎰==axx dt t f x g 常数)()(， ),,0(+∞∈x则c x xcx f ),,0(,)(+∞∈=为常数。

10．设f 为连续可微函数，试求⎰-xa dt t f t x dx d ,)(')(并用此结果求⎰-xtdt t x dx d 0.sin )(11．设)(x f y =为[a,b]上严格增的连续曲线（图 9-12）。

试证存在ξ∈（a,b ），使图中两阴影部分面积 相等。

12．设f 为[0，2π]上的单调递减函数。

证明：对任何正整数n 恒有 ⎰≥π20.0sin )(nxdx x f13．证明：当x ＞时有不等式 ).0(1sin 2c x dt t cx x⎰+ 14．证明：若f 在[a,b]上可积，[],)(,)(,,b a ==βϕαϕβαϕ上单调且连续可微在则有⎰⎰'=ba dt t t f dx x f βαϕϕ.)())(()(※15.证明：若在[a,b]上f 为连续可微的单调函数，则存在[],,b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=baabdx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ.)()()()()()(（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多,因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）※§6 可积性理论补叙1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).2. 证明性质6中关于下和的极限式S T s t =→)(lim 0.3. 设 ⎩⎨⎧=.,0.,)(为无理数为有理数x x x x f试求f 在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f 在[0,1]上是否可积.4. 设f 在[a,b]上可积,且[]],[.,,0)(b a f b a x x f 在试问=上是否可积?为什么?5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给T T 的对于一切满足存在δδε<>>,0,0都有εω''<-=∆∑)()(T s t s x i Ti .6.据理回答:(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？ (3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T 是[a,b]的一个分割，使得S （T ）s(T)<b —a ，则在T 中存存在某个小区间.1,<∆f i i ω使（2）存在区间),,(],[111b a b a I ⊂=使得.1)(i n f )(s u p )(111<-=∈∈x f x f I I x I x f ω（3）存在区间),,(],[11222b a b a I ⊂=使得.21)(i n f )(s u p )(222<-=∈∈x f x f I I x I x f ω（4）继续以上方法，求出一区间序列),,(],[11--⊂=n n n n n b a b a I.1)(i n f )(s u p )(n x f x f I n nI x I x n f <-=∈∈ω说明{}n I 为一区间套，从而存在;,2,1,0 =∈n I x n 而且f 在点x 0连续。