数理逻辑部分综合练习题

数理逻辑部分综合练习

一、单项选择题

1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A．P

∨

⌝

P⌝

Q→B．Q

P→C．Q

P↔D．Q 2．命题公式P∨Q的合取范式是( )．

A．P∧Q B．（P∧Q）∨（P∨Q）

C．P∨Q D．⌝（⌝P∧⌝Q）

3．命题公式)

⌝的析取范式是( )．

P→

(Q

A．Q

⌝D．Q

P∨

P⌝

∨

P⌝

⌝C．Q

∧B Q

P∧

4．下列公式成立的为( )．

A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→Q

C．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q

5．下列公式( )为重言式．

A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))

C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q

6．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．⌝(∃x)(A(x)∧B(x))

C．⌝(∀x)(A(x)→B(x)) D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))

7．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(∃x)(A(x)∧B(x)) B．(∀x)(A(x)∧B(x))

C．⌝(∀x)(A(x)→B(x)) D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))

8．表达式))

y

Q

y

R

x

z

x∀

∨

∀中x

∧

∃

x

P

→

(

(

,

)

(

y

))

(

zQ

(

(z

)

,

∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)

9．在谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中，（）．

A．x，y都是约束变元B．x，y都是自由变元

C．x是约束变元，y都是自由变元D．x是自由变元，y都是约束变元

补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为( )

A．)1

∃

∀y

+

y

x

(=

x

y

⋅

(=

∃

∀y

x

x B．)0

C．)

y

x

y

x=

+

∃

∀

(y

2

y

x

y

x=

⋅

∃D．)

∀

(x

二、填空题

1．命题公式()

→∨的真值是．

P Q P

2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．

3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是．

4．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)

xA∀

∨

x

∃消去量词后的等值式

)

yB

(

(y

为．

5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．

6．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为.

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．命题公式P P

⌝∧的真值是1．

2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．

3．下面的推理是否正确，请给予说明．

五．计算题

1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)

∃→∀∧∀．

x P x y z Q y x z y R y z

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

3．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式∀y∃xP(x,y)消去量词后的等值式．六、证明题

1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．

2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．