圆周运动_课件PPT
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圆周运动_PPT课件
圆周运动
描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 定义和公式 方向和单位
描述物体 物体沿圆周通过的 方向：沿圆弧
线速度 做圆周运 弧长与所用时间的 切线方向．
动的快快慢慢 比值，v＝ΔΔΔΔtllt
单位：m/s
描述物体 运动物体与圆心连 与圆心连 线扫过的角的弧度 角速度 线扫过角 数与所用时间的比 单位：rad/s
弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出 h 和 r 关系的表达式，并求 出当 r＝440 m 时，h 的设计值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全， 要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内
[解析] 根据角速度的定义式得 ω＝θt ＝2Nt π；要求自行 车的骑行速度，还要知道牙盘的半径 r1、飞轮的半径 r2、自 行车后轮的半径 R；由 v1＝ωr1＝v2＝ω2r2，又 ω2＝ω 后，而 v＝ω 后 R，以上各式联立解得 v＝rr21Rω＝2πRNtrr21.
[练习 1] [2012·莱芜模拟]如图所示 装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距离为 r，求图中 a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比．
归纳拓展：解决此类问题，一是对皮带传动和轮轴的特 点要明确，二是线速度、角速度、向心加速度与半径的关系 要清楚．从而能熟练地运用在线速度或角速度相等时，角速 度、线速度、加速度与半径的比值关系．
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的， 可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合 力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向 心力． 2. 向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向 圆心的合力，该力就是向心力．
描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 定义和公式 方向和单位
描述物体 物体沿圆周通过的 方向：沿圆弧
线速度 做圆周运 弧长与所用时间的 切线方向．
动的快快慢慢 比值，v＝ΔΔΔΔtllt
单位：m/s
描述物体 运动物体与圆心连 与圆心连 线扫过的角的弧度 角速度 线扫过角 数与所用时间的比 单位：rad/s
弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出 h 和 r 关系的表达式，并求 出当 r＝440 m 时，h 的设计值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全， 要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内
[解析] 根据角速度的定义式得 ω＝θt ＝2Nt π；要求自行 车的骑行速度，还要知道牙盘的半径 r1、飞轮的半径 r2、自 行车后轮的半径 R；由 v1＝ωr1＝v2＝ω2r2，又 ω2＝ω 后，而 v＝ω 后 R，以上各式联立解得 v＝rr21Rω＝2πRNtrr21.
[练习 1] [2012·莱芜模拟]如图所示 装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距离为 r，求图中 a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比．
归纳拓展：解决此类问题，一是对皮带传动和轮轴的特 点要明确，二是线速度、角速度、向心加速度与半径的关系 要清楚．从而能熟练地运用在线速度或角速度相等时，角速 度、线速度、加速度与半径的比值关系．
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的， 可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合 力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向 心力． 2. 向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向 圆心的合力，该力就是向心力．
人教版《圆周运动》课件ppt1〔完美版〕
mv
2 A
R
（2）
小球在半径为r的圆周运动中，由牛顿第二定律可得：
mg N mvB 2 r
（3）
联立(1)(2)(3)式可得：
W mg ( 9 r 5R) 22
竖直圆周运动
所以，小球克服轨道阻力所做的功为：
W克
=
-W
mg 2
(5R
9 2
r)
跟踪演练
重力做功:-mg(2R)
回引入忆动能定理的应用
f1 N1
mg
V1
重力做功：mgh 弹力N不做功 阻力为变力，设其做功为W
回引入忆动能定理的应用
解:设物体阻力所做的功为W，对物体由A运动到B用动能定理
得：
mgh W
1 2
mv功为-32J。
水平圆周运动
(俯视图） V
F
重力不做功
动能定理解题步骤
【应用动能定理解题的一般步骤】 1.确定研究对象，明确它的运动过程； 2.分析物体在运动过程中的受力情况，明确各个
力是否做功，是正功还是负功，并求出合力所 做的功； 3.明确起始（初）状态和终了（末）状态的动能 （可分段、亦可对整个运动过程）
4.根据动能定理布列方程：W Ek Ek2 Ek1
F mg mv12 R
（2）
小球恰能通过最高点，由牛顿第二定律可得：
mg mv22
（3）
R
联立(1)(2)(3)式可得： W mgR 2
跟踪演练
所以，小球克服空气阻力所做的功为：
W f W mgR 2
课堂小结
m
图1
F 图2
O
m
图3
圆周运动的基本规律ppt课件
2、汽车转弯问题 (1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供， 若转弯半径为R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为
车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为 v gR
(2)高速公路的转弯处，公路的外沿设计的比内沿略 高，若汽车以设计速度转弯时，汽车转弯的向心力 由重力和支持力的合力提供．
N
F θ
mg
例与练
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心 力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
例与练
甲､乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧秤做圆周运 动的溜冰表演，如图所示。已知M甲=80 kg，M乙=40 kg，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为96 N，下列判 断中正确的是( BD ) A. 两人的线速度相同，约为40 m/s B. 两人的角速度相同，为2 rad/s C. 两人的运动半径相同，都是0.45 m D. 两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
2、向心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时， 即F>mω2r，物体逐渐向圆心靠近．如图所示．
三、圆周运动中的动力学问题分析 1、向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹 力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某 个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加 一个向心力。 2、向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位 置。 (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向 指向圆心的合力就是向心力．
答案： (1)N3mg (2)s2 (HR)R
例与练 如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光 滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块 脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块 在AB段运动过程中的加速度.
高一物理《第二章 第1节 圆周运动》课件
而言的，匀速转动是对物体而言的。匀速转动的物体上的每一
点都在做匀速圆周运动，转动的物体整体不能被视为质点。
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2．关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(
)
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线 速度恒定 B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成正比
知识点一
理解教材新知
知识点二
第 二 章
第 1 节
考向一
把握热点考向
考向二 考向三
随堂基础巩固
应用创新演练
课时跟踪训练
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1.物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆 周运动。线速度和角速度是描述圆 周运动快慢的物理量。 2．质点沿圆周运动，如果在相等的 时间里通过的圆弧长度相等， 这种运 Δs 动就叫做匀速圆周运动。匀速圆周运动的线速度大小 v＝ ， Δt 方向沿圆周的切线方向。
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[解析]
A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B
两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ① 由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速 度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1 由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ③ ④
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解析：子弹射出后沿直线运动，从 a 点射入，从 b 点 射出，该过程中圆筒转过的角度为 π－θ d 设子弹速度为 v，则子弹穿过圆筒的时间 t＝v 此时间内圆筒转动的角度 ωt＝π－θ d ωd 得 π－θ＝ωv，故子弹速度 v＝ 。 π－θ
ωd 答案： π－θ
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[随堂基础巩固]
生活中的圆周运动课件33张PPT
4、(多选)一质量为 2.0×103 kg 的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为 1.6×104 N，当汽车经过半径为 100 m 的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为 30 m/s 时所需的向心力为 1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为 30 m/s 时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过 8.0 m/s2
解析：选 CD.汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力 提供向心力，不能说受到向心力，故 A 错误；如果车速达到 30 m/s，需要的向心力 F＝ mvr2＝2.0×103×130002 N＝1.8×104 N，故 B 错误；最大静摩擦力 f＝1.6×104 N，则 F＞f， 所以汽车会发生侧滑，故 C 正确；最大加速度为：a＝mf ＝12.6××110034 m/s2＝8.0 m/s2，故 D 正确．
解：由mg m v2 可知：v gr 9.8 64001000m / s 7.9km / s r
2、航天器在近地轨道的运动，航天员在航天器中绕地球做匀速圆周运动时,只受地球引力,
引力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力
F引
=m
v2 r
①对航天器而言，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足
mg
,当绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg=
m
v2 R
→
v
临界=
Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
在最高点时：
(1)v＝ gr时，拉力或压力为零．小球在最高点的临界速度
(2)v＞ gr时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
圆周运动ppt完美版课件
12:1
24:1
把地球看做一个球体，在赤道上有一点A，在北纬60°有一点B，在地球自转时，A与B两点的角速度之比是多少？线速度之比是多少？
ωA：ωB=1：1vA：vB=2：1
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示．在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )A．A、B两点的线速度大小相等B．B、C两点的角速度大小相等C．A、B两点的角速度与其半径成反比D．A、B两点的角速度与其半径成正比
物体做曲线运动的条件是什么？
受到的合力的方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动
骑手骑马的时候应该如何通过弯道？
你是否观察过摩天轮是怎么运转的吗？
刚才图中的运动轨迹有什么共同点？
轨迹是圆或圆弧
定义：质点的运动轨迹是圆或圆弧的一部分的运动叫做圆周运动。
曲线运动
摩天轮转动时观察各个点运动状态
ABC
关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A．匀速圆周运动是变速运动B．匀速圆周运动的速率不变C．任意相等时间内通过的位移相等D．任意相等时间内通过乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中，正确的是( )A．若它们的线速度相等，则角速度一定相等B．若它们的角速度相等，则线速度一定相等C．若它们的周期相等，则角速度一定相等D．若它们的周期相等，则线速度一定相等
速率不变
匀速圆周运动中的匀速是指速度不变吗？
速度方向时刻改变
加速度方向呢？
时刻改变
运动性质？
变加速曲线运动
质点A和质点B哪个运动地更快？
A、B相同时间内绕过的弧度一样
你是如何比较的呢？
可以通过比较相等时间转过的角度的大小来比较质点做圆周运动的快慢
角速度
定义：质点所在半径绕过圆心角Δθ与所用时间Δt的比值叫做角速度。
24:1
把地球看做一个球体，在赤道上有一点A，在北纬60°有一点B，在地球自转时，A与B两点的角速度之比是多少？线速度之比是多少？
ωA：ωB=1：1vA：vB=2：1
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示．在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )A．A、B两点的线速度大小相等B．B、C两点的角速度大小相等C．A、B两点的角速度与其半径成反比D．A、B两点的角速度与其半径成正比
物体做曲线运动的条件是什么？
受到的合力的方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动
骑手骑马的时候应该如何通过弯道？
你是否观察过摩天轮是怎么运转的吗？
刚才图中的运动轨迹有什么共同点？
轨迹是圆或圆弧
定义：质点的运动轨迹是圆或圆弧的一部分的运动叫做圆周运动。
曲线运动
摩天轮转动时观察各个点运动状态
ABC
关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A．匀速圆周运动是变速运动B．匀速圆周运动的速率不变C．任意相等时间内通过的位移相等D．任意相等时间内通过乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中，正确的是( )A．若它们的线速度相等，则角速度一定相等B．若它们的角速度相等，则线速度一定相等C．若它们的周期相等，则角速度一定相等D．若它们的周期相等，则线速度一定相等
速率不变
匀速圆周运动中的匀速是指速度不变吗？
速度方向时刻改变
加速度方向呢？
时刻改变
运动性质？
变加速曲线运动
质点A和质点B哪个运动地更快？
A、B相同时间内绕过的弧度一样
你是如何比较的呢？
可以通过比较相等时间转过的角度的大小来比较质点做圆周运动的快慢
角速度
定义：质点所在半径绕过圆心角Δθ与所用时间Δt的比值叫做角速度。
圆周运动 课件
图5－4－3
2．皮带传动 如图 5－4－4 所示，A 点和 B 点分别 是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带 连起来，并且皮带不打滑。由于 A、B 两 点相当于皮带上不同位置的点，所以它们 的线速度必然相同，但是因为半径不同， 所以角速度不同。运动特点是转动方向相 同。线速度、角速度、周期之间的定量关 系：vA＝vB，ωωBA＝Rr ，TTBA＝Rr 。
图5－4－5
圆周运动
1．描述圆周运动的物理量 (1)圆周运动：物体沿着 圆周 的运动。 (2)描述圆周运动的物理量及相互关系
线速度
角速度 周期
转速
描述物体 物体沿圆 定义或 描述物体做圆 绕圆心 转 周 运动一 物体单位时间 意义 周运动的快慢 动快慢 周 所 用 内转过的 圈数
的物理量 的时间
是 矢量 ， 是矢量，方向
2．匀速圆周运动 (1)定义：线速度的大小处处 相等 的圆周运动。 (2)特点： ①线速度大小 不变 ，方向 时刻改变 ，是一种变速 运动。 ②角速度 不变 。 ③转速、周期 不变。
1．线速度v与角速度ω的关系 (1)关系式：v＝ωr。 (2)理解： ①当半径一定时，线速度的大小与角速度成正比。 ②当角速度一定时，线速度的大小与半径成正比。 ③当线速度一定时，半径与角速度成反比。
4．频率f与角速度ω、线速度v的关系 ω＝2πf，v＝2πfr。 5．频率f与转速n的关系 f＝n(n的单位必须用r/s)。 6．角速度与转速的关系 做圆周运动的物体每转过一圈转过的角度为2π，所 以ω＝2πn。(n的单位r/s)
1．同轴转动 如图 5－4－3 所示，A 点和 B 点在 同轴的一个“圆盘”上，但跟轴(圆心)的距 离不同。当“圆盘”转动时，A 点和 B 点 沿着不同半径做圆周运动，它们的半径 分别为 r 和 R，且 r＜R。运动特点是转 动方向相同角速度相同，但线速度不同。 角速度、周期和线速度之间的定量关系： ωA＝ωB，TA＝TB，vvAB＝Rr 。
6.1圆周运动课件(共20张PPT)
B．ωa：ωb：ωc= 2∶1 ∶2
C．va：vc：vd = 1∶1 ∶2
D．va：vb：vd = 2∶1 ∶4
)
四、传动方式分析
【例题5】如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球
转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要
使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
四、传动方式分析
【例题6】如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的
是(
)
A. a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
四、传动方式分析
【例题7】如图所示，一个半径为R的圆环绕中心轴AB以一
s
Hz 或 s-1
物理意义
关系
描述物体做圆周运动的快慢
三、匀速圆周运动
v
定义：线速度的大小处处相等的圆周运动。
思考与讨论
匀速圆周运动中的“匀速”指的是什么意思？
v
匀速圆周运动——匀速率圆周运动
线速度大小、角速度，周期、频率、转速均恒定不变
o
v
三、匀速圆周运动
【例题1】对于做匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是(
ω1、ω2、ω3。则 (
A. r1ω1= r2ω2
B. r1ω1= r3ω3
C. ω1=ω2=ω3
D. ω1=ω2+ ω3
)
定的角速度匀速转动，下列说法正确是(
)
A．P、Q两点的角速度相同
B．P、Q两点的线速度相同
C．P、Q两点的轨道半径之比为1∶ 3
C．va：vc：vd = 1∶1 ∶2
D．va：vb：vd = 2∶1 ∶4
)
四、传动方式分析
【例题5】如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球
转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要
使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
四、传动方式分析
【例题6】如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的
是(
)
A. a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
四、传动方式分析
【例题7】如图所示，一个半径为R的圆环绕中心轴AB以一
s
Hz 或 s-1
物理意义
关系
描述物体做圆周运动的快慢
三、匀速圆周运动
v
定义：线速度的大小处处相等的圆周运动。
思考与讨论
匀速圆周运动中的“匀速”指的是什么意思？
v
匀速圆周运动——匀速率圆周运动
线速度大小、角速度，周期、频率、转速均恒定不变
o
v
三、匀速圆周运动
【例题1】对于做匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是(
ω1、ω2、ω3。则 (
A. r1ω1= r2ω2
B. r1ω1= r3ω3
C. ω1=ω2=ω3
D. ω1=ω2+ ω3
)
定的角速度匀速转动，下列说法正确是(
)
A．P、Q两点的角速度相同
B．P、Q两点的线速度相同
C．P、Q两点的轨道半径之比为1∶ 3
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如果把轻杆换成细绳，情况
怎样？如果把轻杆换成细绳，且小球带正电、
空间存在一场强为E方向竖直向上的匀强电
场，则小球能做整个圆周运动的临界速度怎
样？
(1)若将轻杆换成细绳，临界条件是
mg
m
v2 R
，v临界
Rg，即细绳只能产生拉力，
所以只有答案A、B正确.
(2) 若 将 小 球 置 于 匀 强 电 场 中 ① 当 qE=mg时，小球在整个圆周上都不会脱轨，
由牛顿第三定律知，FN2 与FN2′等值反向.
2.圆周运动中的临界问题 如图2所示，一轻杆一端固定质量 为m的小球，以另一端O为圆心，使小 球做半径为R的圆周运动，以下说法正 确的是( )
图2
A.小球过最高点时，杆所受的弹力 可以等于零
B.小球过最高点时的临界速度为 gR C.小球过最高点时，杆对球的作用 力可以与球所受重力方向相反，此时重 力一定大于杆对球的作用力 D.小球过最高点时，杆对球作用力 一定与小球所受重力方向相反
②
r 因为θ很小，有： tan
sin
h
③
L
由②③可得： v ghr
④
代入数据得： L
v=15m/s=54km/h.
(3)由④式可知，可采取的有效措施有： a.适当增大内外轨的高度差h； b.适当增大铁路弯道的轨道半径r.
点评：火车转弯问题：在火车转弯处，铁 轨做成外高内低，为的是在火车以规定速度转 弯时由重力的分力提供向心力，以减小对铁轨 侧面的压力，当火车转弯速率小于规定的数值 时重力的分力大于所需的向心力，使内轨受的 压力增大．
r/m
660 330 220 165 132 110
内外轨道高 度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表 达式，并求出当r=440m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为 保证绝对安全，要求内外轨道均不向车 轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外
xAC=vBt ⑤
2
由④⑤得：xAC=1.2m.
易错题：如图4所示，使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点上升，那么在最低点需给它 的最小速度为多大时，能使它到达最高点？
图4
【错解】根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点
A时的势能等于它在圆形轨道最低点时的动能，
所以mg 2R
=
1 2
mvB2，解得vB
做匀速圆周运动，速度v可以是不等于零的 任何值.
②当qE＜mg时，小球不会在下半圆脱
轨，最容易脱轨是最高点.由临界条件：
mg qE m v2 R
得：
v临界
R(g qE ) m
Rg qER m
③当qE＞mg时，小球不会在上半圆 脱轨，最容易脱轨是最低点(等效最高 点).由临界条件：
当汽车经过凹桥面最低点时，
设桥面支持力为FN1，
由牛顿第二定律有：
FN1
mg
m
v2 R
要求FN1≤2.0×105N 解得允许的最大速度vm=7.07m/s 由上面的分析可知，汽车经过凸桥顶点时
对桥面的压力最小，设为FN2′.如图(乙)所示，
由牛顿第二定律有：
mg
FN2
m
vm2 R
解得：FN2=1.0×105N.
当NA = 0时，vB取最小值所以在B点应使小球至少
具有vB = 5gR的速度．
点评：物体能否做圆周运动，不是我们想 象它怎样就怎样，而是要能从实际情况中找 到．
图3
匀减速运动过程中，有：vA2-v02=-2ax ①
恰好做圆周运动时，物体在最高点B满足：
mg m vm2
②
R
解得：vm=2m/s
假设物体能达到圆环的最高点B，由机械能
守恒得：
1 2
mvA2
2mgR
1 2
mvB2
③
联立①③可得：vB=3m/s
因为vB＞vm,所以小球能通过最高点B. 小球从B点做平抛运动，有：2R 1 gt2④
(1)分析表中数据可得，每组的 h与r之乘积均等于常数.
C=660m×50×10-3m=33m2
即hr=33或 (h 33 1) ①
r
当r=440m时，有：
h 33 m=0.075m=75mm 440
(2)转弯中，当内、外轨对车轮没有侧向压力
时，火车的受力如图所示.由牛顿第二定律得：
mg tan m v2
如图1所示，汽车质量为 1.5×104kg，以不变的速率先后驶过凹形桥 面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15m，如果 桥面承受的最大压力不得超过2.0×105N， 汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率 驶过桥面的最小压力是多少?(g=10m/s2)
图1
首先要确定汽车在何位置时对桥面的压 力最大.汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向 上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加 速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经 过凹形桥面的最低点时如图(甲)所示，汽车对桥面 的压力最大.
轨的间距设计值为Ｌ=1425mm，结合表
中 数 据 ， 算 出 我 国 火 车 的 转 弯 速 率 v( 以 km/h为单位，结果取整数)；(路轨倾角很 小时，正切值按正弦值处理)
(3)随着经济的发展和人们生活节奏的 加快，对交通运输的快捷提出了更高的要 求.为了提高运输力，国家不断对火车进行 提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高. 请根据上述计算原理分析提速时应采取怎 样的有效措施提高铁路的转弯速率.
=
2
gR
【错解分析】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，
否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道．
【正解】以小球为研究对象，小球在轨道最高点时
受重力和轨道给的弹力，满足方程mg
+ NA
=
mvA2 R
①
根据机械能守恒
1 2
mvA2
+2mgR=来自1 2mvB2
②
联立①②解得vB =
R 5gR + m N A
抛体运动与圆周运动 万有引力定律
圆周运动的实例分析
1.圆周运动的实际应用举例 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决
定的.弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高 度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在 弯道上的行驶速率.下面表格中的数据是铁路 设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的 轨道的高度差h.
弯道半径
弹力可取任意值．但可以进一步讨论：当v> gR 时物体受到的弹力必然是向下的；当v< gR时 物体受到的弹力必然是向上的；当v= gR时物体受 到的弹力恰好为零．当弹力大小F<mg时，向心力 有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只 有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零 或2mg.
qE mg m v2 得：
R
v临界
R( qE g) m
qER Rg m
3.圆周运动与其他知识综合应用 如图3所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨 道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相 切于圆环的端点A.一质量m=0.10kg的小球，以初 速 度 v0=7.0m/s 在 水 平 地 面 上 向 左 做 加 速 度 a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上 竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距 离.（取重力加速度g=10m/s2)
小球用轻杆支持，过最高点的v临界=0， N=mg，方向向上，故B答案不正确.当杆对球 作用力与重力相反，即向上，当v=0时，重力 与支持力相等，故C错误.
当v= Rg 时，N=0，所以A正确.
当0＜v＜ Rg时，mg＞N＞0，N为支持力.
当v＞ Rg 时，N＞0，N为拉力，所以D不
正确.
点评：竖直面内圆周运动最高点处的受 力特点及分类：①弹力只可能向下，如绳拉 球．②弹力只可能向上，例如车过桥．③弹力 既可能向上又可能向下，如管内转球(或杆连 球、环穿珠)．