高斯定理和环路定理

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10-4高斯定理和环路定理

B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和. 表达式: 注意电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋时，为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析选择合适的高斯面根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则此对对称电流元在该面上产生的合磁场必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线

m2 （2）计算单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩形面积的磁通量.

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。

由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。

电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。

静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。

静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。

英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。

这个假设后来被实验证实了。

正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。

由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。

in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。

对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。

高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。

高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。

其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。

高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。

但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。

高斯定理和环路定理

高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。

它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。

本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。

一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。

高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。

具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。

高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。

高斯定理的应用非常广泛。

例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。

通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。

高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。

二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。

环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。

具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。

环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。

环路定理的应用也非常广泛。

例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。

通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。

环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。

三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。

虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。

例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。

电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵

电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
高斯定理（Gauss’s Theorem）和环路定理（The Ampere-Maxwell Law）是物理学上电场中重要的两个定理，描述了电流的流动以及电荷的影响。

高斯定理提供了一种描述电场的方法，即在宏观尺度上，电荷的总量决定其受影响的范围。

它可以通过一个球面的贴片来表示，每一贴片上的电荷量为零。

具体来说，它定义了任何内测面内电荷的累加值就可以表示外部电场，也就是高斯定理说明电荷就等于外部电场。

这个定理让人可以方便地描述一个电荷四周的电场，并且可以很容易地计算出电荷外围的电场强度和朝向。

环路定理中，它指出电流可以通过一个环形路径，以及流入和流出环形路径的电荷量之和，就可以反映该环形路径上的电场强度和方向。

也就是说，环路定理表明，电流的和就可以表示其所环绕的某个空间电场。

总之，高斯定理和环路定理在电学中都有重要的地位，它们不仅让我们更好地描述电场，也给出了电荷对外部电场的影响，极大地促进了理解电场的发展。

6-4稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

L L
r2
r1 O
P
B2r
0 NI 0 NI r2 r1 r B 2r
B = m0 nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
无限大载流薄板看作无限长载流导线密排：导线中电流强度 I；单位长度导线匝数n 分析对称性
dB
I
磁力线如图作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
若认为电流为-I 则结果可写为
B dl 0 I
L
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合曲线不在垂直于导线的平面内：
I
dr
L
dr dr//
B cos 90 dl B cos dl//
度 B 的大小。
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场设圆柱电流呈轴对称分布，导线可看作是无限长的，磁场对圆柱形轴线具有对称性。
B
I
r
I
Q
B d l B 2 r
R
r
B
P
当 rR
B2r 0 I 0 I B 2 r
B
长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同！
b
a
.........
c
d
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。通有相反方向的电流。求磁场分布。已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
B 0 nI 2
0 B 0 nI 两板外侧两板之间

o
R
r
当 r R ，且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时当 r R ，且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时

《高斯定理环路定理》课件

环路定理的应用
总结词：广泛适用
VS
详细描述：环路定理在电磁学、电动力学、麦克斯韦方程组等多个领域都有广泛应用。它可以用来计算磁场穿过任意封闭曲线的线积分，从而解决一系列实际问题，如电磁感应、磁场分布、电磁波传播等。
03 高斯定理与环路定理的比较
定理表述的比较
总结词
高斯定理和环路定理的表述形式各有特点，高斯定理强调空间区域内的电荷分布，而环路定理则关注磁场的变化。
应用。
02 环路定理
环路定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：环路定理表述为“磁场穿过一个封闭曲线的线积分等于零”，即磁场在封闭曲线上的线积分与路径无关，只与起点和终点的磁通量有关。
环路定理的证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过引入矢量场和微分同胚等概念，利用矢量场的散度和旋度的性质，经过严谨的数学推导，证明了环路定理的正确性。
复杂模型应用
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分析一个通电螺线管的磁场分布，通过环路定理确定磁场方向和大小，展示环路定理在实际问题中的应用。
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对比验证
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通过对比环路定理和传统积分方法的计算结果，验证环路定理的正确性和高效性，强调环路定理在电磁学中的重要地位。
05ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总结与展望
环路定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了磁场沿闭合路径的线积分等于穿过该闭合路径所围成的面积的磁通量。环路定理反映了磁场沿闭合路径的线积分与磁通量之间的关系，是计算磁场分布、磁通量、磁感应线和磁力等方面的重要工具。
比较与联系
高斯定理和环路定理都是电磁学中的基本定理，它们之间有着密切的联系。通过高斯定理可以推导出环路定理，反之亦然。它们在描述电场和磁场分布方面具有不同的侧重点，但都是描述电磁场性质和行为的重要工具。

高斯定理和安培环路定理

r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁场： B dS ?
B dN dS

d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想的一段载流导线不成立
例如图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
B dl
L
I
2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a

0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I

磁场的高斯定理和安培环路定理

L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁感强度值, 感强度值,是由闭合路径内外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于磁场中的磁感强度的环流一般不为零,所以磁场是非保守场非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.

12磁场的高斯定理和安培环路定理解读

穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。磁力线穿出闭合面为正通量，磁力线穿入闭合面为负通量。

2
B

磁通量单位：韦伯，Wb

2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r

磁场的高斯定理和安培环路定理课件

03
安培环路定理的介绍与推导
安培环路定理的基本概念
总结词
安培环路定理是描述磁场散布的重要定理之一，它指出磁场线总是闭合的，且穿过任意一个封闭曲面的磁通量为零。
详细描述
安培环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了磁场线的性质和散布规律。根据安培环路定理，磁场线总是闭合的，即磁场线不会中断或消失，而是形成一个完整的闭合曲线。此外，安培环路定理还指出，穿过任意一个封闭曲面的磁通量为零，即磁场线不会从一个区域穿入另一个区域。
磁力线
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，单位是特斯拉或高斯。
描述磁场散布的几何图形，磁力线闭合且不相交，磁力线的疏密程度表示磁场强弱。
高斯定理的背景与定义
高斯定理的背景
磁场在空间中的散布具有闭合性，即穿过某一封闭曲面S的磁通量等于零或无穷大。
高斯定理的定义
穿过任意封闭曲面S的磁通量等于该封闭曲面所包围的净磁荷量。
04
高斯定理与安培环路定理的比较与联系
两者之间的类似之处
闭合曲面的磁场通量
高斯定理和安培环路定理都涉及到闭合曲面的磁场通量。在高斯定理中，磁场通量是通过闭合曲面进入或离开某一区域的量，而在安培环路定理中，磁场通量与电流和闭合曲面的关系是关键。
无源磁场
高斯定理适用于无源磁场，即没有电流源的磁场。同样地，安培环路定理也适用于无源磁场的情况。
高斯定理的应用场景
01
02
03
磁场散布分析
通过高斯定理可以分析磁场在空间中的散布情况，确定磁力线的走向和强弱。
磁荷检测
高斯定理可以用于检测磁场中的磁荷散布，例如磁铁、发电机和电动机中的磁荷散布。
磁场屏蔽

07磁场的高斯定理和安培环路定理

I
r L
B
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有高度的对称性。利用安培环路定理求磁感应强度的关健：利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3、选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点 (2)环路的长度便于计算；环路的长度便于计算；环路的长度便于计算 r r (3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路大小相等，要求环路上各点方向一致，方向一致， r r µ0 ∑ I I 写成 B = 目的是将: B ⋅ dl = µ0 目的是将
3
2、磁通量
dΦm
r B
磁通量: 通过任一曲面的磁力线的条数。磁通量通过任一曲面的磁力线的条数。 1）穿过一面元的磁通量dΦ m ）
r r d Φ m = B ⋅ dS 单位：韦伯，Wb 单位：韦伯，
2）穿过某一曲面的磁通量）
dS
S
Φm = ∫
S
r r d Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdScosθ
a
b
r B
d
c
r B外 = 0
r cr r d r r ar r r r b r B ⋅ dl = ∫a B ⋅ dl + ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫d B ⋅ dl ∫ r r r c r a r r Q B ⊥ d l , cosθ = 0 ∫b B ⋅ dl = ∫d B ⋅ dl = 0, r d r r B = µ0nI B 螺线管外：螺线管外：外 = 0, ∫ B ⋅ dl = 0

13-3磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理

B 0I0I 0I 8R1 4R1 8R2

36
例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长
的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方
向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。
导为体J内均匀通过电流，电流密度
J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度
分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。
例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。
解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的
圆为安培环路
L B d l 2 π r B0
I
dl ''
B 0I
r R
2 πr
B
dB
dl '
rBdl0IR r2 2 B2 π 0R Ir2 rR
由安环定理有 2πrB0 Ii
i
30
解得
2πrB0 Ii
i
0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱内，即 r < R
包围的电流为 Ii Jπr2
i
则磁感强度为 B0Jπr2 0Jr
2πr 2
若写成矢量式为
B

0
Jr
2
J I S
IR
J
r
B
31
解得
特殊形状电流产生的
fI
场的叠加，即
B B a b B b c B c d B d e B ef
R1 R2
eI
b
I
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是
Bbc

1 0I

磁场的高斯定理和安培环路定律

0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的

静电场的高斯定理和环路定理

静电场的高斯定理和环路定理
静电场是指电荷分布静止不动的情况下所产生的电场。

在静电场中，高斯定理和环路定理是两个非常重要的定理。

高斯定理是描述电场通量的定理，它表明：在任何闭合曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷总量除以介质常数。

即：ΦE = ∫E · dS = Q/ε0
其中，ΦE表示电场的通量，E表示电场强度，dS表示曲面元素的面积，Q表示该曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的介电常数。

环路定理则是描述电场中电势的变化的定理，它表明：沿着任意闭合回路的线积分等于该回路内的电荷的代数和除以电容。

即：∮Edl = 0
其中，∮Edl表示沿着回路的电场强度的线积分，E表示电场强度，dl表示回路的微元长度，如果回路内有电荷则其代数和为Q。

电容则是电荷和电势之间的比值。

高斯定理和环路定理是静电学中的基本定理，对于研究静电场的性质和计算电场强度、电势等都具有重要的意义。

- 1 -。

磁场的高斯定理和安培环路定理

L
I
dϕ v
dB
v v B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。垂直平面内的任一回路。
v v I B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
6
3. 安培环路定理的应用例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。：求无限长载流圆柱体磁场分布。圆柱体轴对称，解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I 圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
v v Q∫ B⋅ dl = 2πrB = µ0 ∑I
L
v dB
dl'
2πr v r Ir 2 ∴ ∫ B ⋅ dl = µ0 2 r R
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果：结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
13
ab bc cd da
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
r r ∫ B ⋅ dl = Bab ⇒ Bab = µ 0nab I
∴B = µ0nI
9
其方向与电流满足右手螺旋法则。其方向与电流满足右手螺旋法则。
v v 表达式 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L i
符号规定：符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，为正，否则为负。手关系的，I 为正，否则为负。

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场是无源场磁场是无源场比较静电场稳恒磁场磁感应线闭合成环，无头无尾不存在磁单极。磁感应线闭合成环，或两端伸向不存在磁单极（？）高斯定理环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考：如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I

n
B内 0nI
外

B
I //

0 //
I B 2r
练习：半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求：内部 B ?
已知：
解：

R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献；对 LB dl 无贡献

磁场的高斯定理和安培环路定理

§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路的电流
闭合路径包围的电流为电
流密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；