高斯定理和环路定理
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步骤： 1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布 的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见 的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量 n 与E 平行或垂直，n与 E 平行时，E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面；
qr
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
由此可知： 点电荷电场对球面的 ΦE 与 r 无关，
电场线是连续。在没有电荷的地方不会中断
• q 在任意闭合面内， 电通量为
Φe
E dS
S
q
0
穿过闭合面的电力线条数仍为
q/
0
• q 在闭合面外 e 0 Φe
穿出、穿入的电力线条数相等
等于该曲面所包围电量的代数和除以 0 。
ΦE
E d s
S
q内
0
2. 高斯定理的证明 证明可按以下四步进行：
1）一个点电荷的情况 E
• q 在球心处， 球面电通量为
Φe
SE dS
SEdS
E
dS
S
q 4πr 2
4 π 0r 2
q
0
E
dS
E
++
+ o+
++
P
dSE
S +e S
E S E dS 左 E dS 右 E dS 2ES
高斯面所包围的电量为
q eS
由高斯定理可知 2ES e S / 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。
E e 2 0
e 0 电场强度方向离开平面 e 0 电场强度方向指向平面
3）法线的取向
① 对于不闭合曲面选择是任意的 ，多取 E 的方向
通量为标量，其正负有场强的方向与面元法向间 的夹角确定。
0 / 2, cos 0, dE >0，通量为正。
/ 2, cos 0, dE =0，对通量无贡献。
/ 2 , cos 0, dE <0，通量为负。
几种电荷的E 线分布的实验现象：
单个点 电 极
正负点电极
两个同号的点电极
分别带正负电的平行平板电极
带异号电荷的点电极和平板电极
怒 发 冲 冠
2.电通量
1）定义
通过电场中某一个面的电场线的条数叫做通过这一个面
的电场强度通量。简称电通量 E 2）计算电场的电通量
θ
n
θ
E
E
ΔS
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯 定理求出场强。
例1.5 、求面电荷密度为 e 的均匀带电的无限大薄平
板的电场强度分布。
解：由于电荷分布对于求场点 P到平面 的垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强
dS +
+r
+
必然垂直于该 平面。 底面 E dS 且 大小相等； 侧面 E dS
来自百度文库
E
2 0
E
x
O
( 0)
E
EE
E
iS
jS
qi 0
i 0
q4
E
dS
1
0
q内
q3 q2 q1
☆ 对连续电荷分布的情况，可把带电体划分为许多 小部分，并把每部分当作点电荷处理。这样，连续 电荷分布被代之以点电荷系。
☆ 静电场有源，电荷是它的源；
流量 v v S cos v S
电荷,E有d可s 能 是面内0正负电并荷非数高目斯相面同上;场强一qi 定处0处为也零只若是；表明,
s
e
Φ 0 4、 e
只能说明高斯面内电量的代数和为零,并非一定没
有电力线穿过;可能是穿进和穿出的一样多而以净电场线数目为零。
三、高斯定理的应用举例
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比 较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。
(2) 在没有电荷处,任何两条电场线都不能相交。
说明：
1）电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；
2）电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; 3）电荷在电场中的轨迹不是电场线； 4）电场线图形可以用实验演示出来。
把奎宁的针状结晶或头发屑悬浮在蓖麻油里，放入电场中， 微屑按照场强的方向排列起来，显示出电场线的分布情景。应 该注意，虽然我们可以用实验来模拟电场线，但电场线并不 是电场里实际存在的线，而是使电场形象化而假想的线。
（2）对于闭合曲面
约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。
出发点：一条穿过闭和曲 面的电场线对这个闭和曲
/2
n
面的电通量的贡献为零
E
电场线穿出闭合面为正通量，
电场线穿入闭合面为负通量。 n 0 / 2 E
二、高斯定理
1. 高斯定理的内容 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
3）电场线密度与场强的关系
为了用电场线的蔬密表示场强的强 E
弱，规定：电场中任一点的场强的
E
大小等于穿过该点的垂直于E的单
位面积的电场线数（数密度），
S
E＝ E S
对于匀强电场，电场线密度处 处相等，而且方向处处一致。
4）静电场的电场线特点
(1) 电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲 线；不会在没有电荷的地方中断。
3、关于高斯定理的说明
1、通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷 的代数和，与闭合曲面内的电荷分布无关,闭合曲面外的电荷 对其电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处 的场强大小和方向；
2、高斯面上电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
3、 q 是电荷的代数和, qi 0 并非高斯面内一定无
E dS
q
S
0
2 ）多个电荷的情况
+q
E Ei E j
（S内i ）
j（S外）
任意闭合面电通量为
e E dS ( Ei ) d s ( E j d s) q5
S i
Sj
Ei d s E j d s
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量 n 与E 平行或垂直，n与 E 平行时，E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面；
qr
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
由此可知： 点电荷电场对球面的 ΦE 与 r 无关，
电场线是连续。在没有电荷的地方不会中断
• q 在任意闭合面内， 电通量为
Φe
E dS
S
q
0
穿过闭合面的电力线条数仍为
q/
0
• q 在闭合面外 e 0 Φe
穿出、穿入的电力线条数相等
等于该曲面所包围电量的代数和除以 0 。
ΦE
E d s
S
q内
0
2. 高斯定理的证明 证明可按以下四步进行：
1）一个点电荷的情况 E
• q 在球心处， 球面电通量为
Φe
SE dS
SEdS
E
dS
S
q 4πr 2
4 π 0r 2
q
0
E
dS
E
++
+ o+
++
P
dSE
S +e S
E S E dS 左 E dS 右 E dS 2ES
高斯面所包围的电量为
q eS
由高斯定理可知 2ES e S / 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。
E e 2 0
e 0 电场强度方向离开平面 e 0 电场强度方向指向平面
3）法线的取向
① 对于不闭合曲面选择是任意的 ，多取 E 的方向
通量为标量，其正负有场强的方向与面元法向间 的夹角确定。
0 / 2, cos 0, dE >0，通量为正。
/ 2, cos 0, dE =0，对通量无贡献。
/ 2 , cos 0, dE <0，通量为负。
几种电荷的E 线分布的实验现象：
单个点 电 极
正负点电极
两个同号的点电极
分别带正负电的平行平板电极
带异号电荷的点电极和平板电极
怒 发 冲 冠
2.电通量
1）定义
通过电场中某一个面的电场线的条数叫做通过这一个面
的电场强度通量。简称电通量 E 2）计算电场的电通量
θ
n
θ
E
E
ΔS
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯 定理求出场强。
例1.5 、求面电荷密度为 e 的均匀带电的无限大薄平
板的电场强度分布。
解：由于电荷分布对于求场点 P到平面 的垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强
dS +
+r
+
必然垂直于该 平面。 底面 E dS 且 大小相等； 侧面 E dS
来自百度文库
E
2 0
E
x
O
( 0)
E
EE
E
iS
jS
qi 0
i 0
q4
E
dS
1
0
q内
q3 q2 q1
☆ 对连续电荷分布的情况，可把带电体划分为许多 小部分，并把每部分当作点电荷处理。这样，连续 电荷分布被代之以点电荷系。
☆ 静电场有源，电荷是它的源；
流量 v v S cos v S
电荷,E有d可s 能 是面内0正负电并荷非数高目斯相面同上;场强一qi 定处0处为也零只若是；表明,
s
e
Φ 0 4、 e
只能说明高斯面内电量的代数和为零,并非一定没
有电力线穿过;可能是穿进和穿出的一样多而以净电场线数目为零。
三、高斯定理的应用举例
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比 较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。
(2) 在没有电荷处,任何两条电场线都不能相交。
说明：
1）电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；
2）电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; 3）电荷在电场中的轨迹不是电场线； 4）电场线图形可以用实验演示出来。
把奎宁的针状结晶或头发屑悬浮在蓖麻油里，放入电场中， 微屑按照场强的方向排列起来，显示出电场线的分布情景。应 该注意，虽然我们可以用实验来模拟电场线，但电场线并不 是电场里实际存在的线，而是使电场形象化而假想的线。
（2）对于闭合曲面
约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。
出发点：一条穿过闭和曲 面的电场线对这个闭和曲
/2
n
面的电通量的贡献为零
E
电场线穿出闭合面为正通量，
电场线穿入闭合面为负通量。 n 0 / 2 E
二、高斯定理
1. 高斯定理的内容 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
3）电场线密度与场强的关系
为了用电场线的蔬密表示场强的强 E
弱，规定：电场中任一点的场强的
E
大小等于穿过该点的垂直于E的单
位面积的电场线数（数密度），
S
E＝ E S
对于匀强电场，电场线密度处 处相等，而且方向处处一致。
4）静电场的电场线特点
(1) 电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲 线；不会在没有电荷的地方中断。
3、关于高斯定理的说明
1、通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷 的代数和，与闭合曲面内的电荷分布无关,闭合曲面外的电荷 对其电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处 的场强大小和方向；
2、高斯面上电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
3、 q 是电荷的代数和, qi 0 并非高斯面内一定无
E dS
q
S
0
2 ）多个电荷的情况
+q
E Ei E j
（S内i ）
j（S外）
任意闭合面电通量为
e E dS ( Ei ) d s ( E j d s) q5
S i
Sj
Ei d s E j d s